Ung dung cua tich phan tinh dien tich hinh phang

Trường THPT Võ Thị Sáu

Chào Mừng Q Thầy Cô
Dự Giờ Thao Giảng
ζ 4 – Ứng Dụng Hình Học & Vật
Lý
Của Tích Phân

A – Diện Tích Hình
Giáo Viên:BÙI HUY THỐNG
Phẳng


Diện Tích Hình Phẳng
Phần 1: Kiểm Tra Bài Cũ
2)Công thức:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
x = a; x = b và đồ thị của hai hàm soá

y = f1 ( x ); y = f2 ( x )

Liên tục trên
b

[ a, b] được tính theo công thức

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (1)
a


Diện Tích Hình Phẳng

Phần 2: Nội Dung Bài Mới
3.Tính diện tích hình phẳng theo cơng thức :
b

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (1)
a


Diện Tích Hình Phẳng
4)

Các Ví Dụ:

a) Ví Dụ 1:

Tính diện tích hình phẳng nằm giữa (c) : y = x3 ;
y=0;x=-1;x=2


Giải

Đặt

f1(x) = x3
f2 (x) =0

f1 (x) – f2 (x) =0
⇔

0

(

x3 – 0 = 0
∈ [ −1;2]
⇔
x=0
2

)

(

)

S =∫ x 3 − dx +
0
x 3 − dx
0
∫
−
1

4

0

0

4

2

x 
x 
=

÷ +

÷
4  1
4 
−
0
1
16
17
=
− +
=
4
4
4

ñvdt


Diện Tích Hình Phẳng
b) Ví dụ 2 :
Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường

f1(x) = x3 -3x và f2(x) = x


Giaûi
f1 ( x ) − f2 ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3 x − x = 0
 x = −2
x = 0
3
⇔ x − 4x = 0 ⇔ 
x = 2

2

S = x 3 − x dx
4
∫
−
2

0

(

=∫ x 3 − x
4
−
2

4

)

2

(

dx +
x3 − x
4
∫
0

0

) dx

4

2



x
x
2 
2 
=
− x ÷ +
2
− x ÷

2


4
2
4

−
0
= 4 + + − = + = ñvdt
−
8
4
8
4
4
8


Diện Tích Hình Phẳng
5 ) Chú ý :
a) Chú ý 1 : Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi
nhiều đường
Vẽ các đường lên một hệ
trục tọa độ
Chia diện tích ra nhiều
vùng nhỏ và sử dụng công
thức (3)

Diện Tích Hình Phẳng
Ví dụ :
Cho (c) : y = -x2 + 4x – 3
a) Vẽ (c) trong mặt phẳng oxy
b) Viết phương trình tiếp tuyến (T1) và (T2) với
(c) lần lượt tại các điểm M (0 ; -3 ) và N (3 ; 0)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c)
và (T1), (T2)


Giải

a)

Đỉnh S ( 2 , 1 )

x = 1
y = 0 ⇔ − x + 4x − 3 = 0 ⇔ 
x = 3
x = 0 ⇒y =−
3
2

x = 0
y =− ⇒
3
x = 4

b) Ta có y’= -2x + 4
Tiếp tuyến (T1) với (c) tại M
có phương trình :

y + 3 = 4( x − 0) ⇔ y = 4 x − 3

Tieáp tuyến (T2) với (c) tại N
có phương trình :

y − 0 = − 2( x − 3) ⇔ y = − 2 x + 6


3
2

3

0

3
2

c) S = ∫  4 x − 3 − ( − x 2 + 4 x − 3)  dx + ∫  − 2 x + 6 − ( − x 2 + 4 x − 3)  dx




3

0

=

3
2

3
2

(

)

−x 2 dx + ∫ x 2 −6 x + 9 dx
∫
3

3
2

3

3

 x 
x

=  − ÷ +  − 3x + 9 x ÷
 3 0  3
2

3
9
=
4

đvdt


Diện Tích Hình Phẳng
b) Chú ý 2 :
Khi diện tích S ở vị trí phức tạp ta dùng tính chất:
Diện tích S bất biến qua một phép dời hình

Ví dụ :
Tính diện tích hình tròn tâm tùy ý và bán kính R


Giải
Mọi đường tròn có tâm tùy ý và
bán kính R đều có cùng diện tích.
Nên ta cần tính diện tích của đường
tròn (c) tâm O bán kính R là đủ
(c) : x2 +y2 =R2 (1)
 y = f ( x ) = R 2 − x 2 (c )
1
1
(1) ⇔ 
( − R ≤ x ≤ R)
2
2

 y = f ( x ) = − R − x (c )

2
2

(c) = (c1 ) ∪ (c2 )

x = −R
f1 ( x ) − f2 ( x ) = 0 ⇔ 
x = R

S=

∫(
R

2

2

=2

∫

−R

2

)

R − x + R − x dx

−R
R

2

R 2 − x 2 dx

 π π
t ∈− , 
 2 2

Đặt x = R sint; Với

dx = R cos tdt

Ta Coù

x = −R ⇒ sin t = −1 ⇒ t = −
x = R ⇒ sin t = 1 ⇒ t =
π

S =2

2

∫

−π

2

= 2R2

(

)

π

π

2

2

R 2 1 − sin 2 t R cos tdt

π
2

cos2 tdt = 2 R 2
∫

−π
2

π
2

1 + cos 2t
∫π 2 dt
−
2

π
2

 sin 2t 
= R2  t +
= π R 2 dvdt
2 ÷− π

 2