bài tập ứng dụng của tích phân tính thể tích

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Tích phân tính thể tích thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn
cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 y  f ( x)

 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường  y  g ( x)
 x  a; x  b  a


 Chú ý : Nếu H giới hạn bởi các đường được viết dưới dạng:
b

S

x

h
(
y
)


 H  h( y )  l ( y ) dy


a

 x  l ( y)
b
 y  a; y  b  a
V   h 2 ( y )  l 2 ( y ) dy

a
 Oy


II. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1 (B – 2007). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H giới hạn bởi :
y  x ln x , y  0 , x  e quay quanh trục Ox .

Giải:
x  0

Phương trình hoành độ giao điểm: x ln x  0    x  0  x  1
 x  1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2 ln x

du 
dx
2


u  ln x

x
2
2
2
2

Khi đó VOx    x ln xdx   I (*) . Tính I   x ln xdx Đặt 
3
2
dv  x dx v  x
1
1

3

dx

du 
e
e
e
3
2
3

u

ln
x

x ln x
2
e 2

x

Đặt 
I 
  x 2 ln xdx   J . Tính J   x 2 ln xdx
2
3
3 1 31
3 3
dv  x dx v  x
1


3
e

e

e

e

x3 ln x
1
e3 x 3
2e3  1
Suy ra J 
  x 2 dx  

3 1 31
3 9 1
9
e

Thay (2*) vào (*) ta được: VOx 

  5e3  2 
27

. Khi đó I 

e3 2 2e3  1 5e3  2

 .

(2*)
3 3
9
27

(đvtt).

Ví dụ 2. Xét hình phẳng ( H ) giới hạn bởi ( P) : y  2 x  x 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng ( H ) :
1) Quanh trục Ox .

2) Quanh trục Oy .

Giải
1) Phương trình hoành độ giao điểm của ( P) và trục hoành là:

x  0
2 x  x2  0  
x  2
Khi đó thể tích hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox là:
2

2

0

0

2

VOx    y 2 dx    (2 x  x 2 )2 dx    (4 x 2  4 x3  x 4 )dx
0

2

 4 x3
x5 
16
 
 x4   
5  0 15
 3
2) Phương trình tung độ giao điểm của ( P) và trục hoành là: y  0
Ta có ( P) : y  2 x  x2  x2  2 x  y  0

 x  1  1  y ( P1 )
 '  1  y  0  y  1 Suy ra: 
 x  1  1  y ( P2 )
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P1 ) và ( P2 ) là : y  1 . Do đó thể tích hình phẳng ( H ) quay
1



quanh trục Oy là: VOy     1  1  y

0

1

1
8 (1  y) 1  y
8
 1  1  y dy  4  1  ydy  

.

3
3
0
0

 
2



2

Ví dụ 3. Xét hình phẳng ( H ) giới hạn bởi y 2  8 x và x  2 trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng ( H ) :
1) Quanh trục Ox .

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2) Quanh trục Oy .

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

Giải

Giáo viên
Nguồn

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

 y  8x
1) +) Ta có y 2  8 x  
và y  8 x và y   8x đối xứng nhau qua trục Ox
 y   8 x
Do đó thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox cũng chính là thể tích của khối





tròn xoay khi quay hình phẳng D '  y  8x ; y  0; x  2 quay quanh trục Ox
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của y  8 x và y  0 (trục Ox ) là:
2

+) Suy ra VOx   





2

2

8x  0  x  0

8 x dx    8 xdx  4 x 2  16

0

2) +) Ta có y 2  8 x  x 

2

0

0

y2
y2
, khi đó phương trình tung độ giao điểm của x 
và x  2 là:
8

8
y2
 2  y 2  16  y  4
8

4
2
4

 y2  


y2 
y3 
94
2
+) Khi đó VOy     2    dy     4  dy    4 y 
 
64 
192  4
3
 8  

4 
4 

Nhận xét:
Qua 2 ý của ví dụ trên ta nhận thấy, khi đi tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình
phẳng D  D1  D2 :
4

+) quanh trục Ox mà D1 đối xứng với D2 qua Ox thì : VOx ( D)  VOx ( D1 )  VOx ( D2 ) .
+) quanh trục Oy mà D1 đối xứng với D2 qua Oy thì : VOy ( D)  VOy ( D1 )  VOy ( D2 ) .
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-