BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ PHƯƠNG TRÌNH RICCAT

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hồng Phương

Toán ứng dụng

Chuyên ngành :

Đề tài :
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH RICCATI

Giáo viên hướng dẫn:

GS-TSKH. Vũ Ngọc Phát

Học viên thực hiện:

Nguyễn Thị Hồng Phương

Hà Nội - 2011
1


Lời nói đầu
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kỹ thuật, điểu khiển
thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bằng các phương trình toán
học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng
.

x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0

(0.1)

x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2...
trong đó x(.) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(.) là biến điều
khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển
trong các mô hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu
vào có tác động quan trọng, ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm
ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy, ta hiểu một hệ
thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình
toán học biểu thị sự liên hệ vào−ra:
u(t)

.

x = f (t, x, u)

x(t)

(hệ điều khiển)
Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống
là tìm điều khiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất
mà ta mong muốn. Thông thường, việc chuyển một hệ thống có điều khiển
từ vị trí này sang vị trí khác có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp
dưới tác động bởi các điều khiển khác nhau. Căn cứ vào những mục đích
cụ thể của hệ thống − đầu ra − người ta xác định các bài toán điều khiển
khác nhau.

Sau lời mở đầu, bài luận văn gồm có hai chương và danh mục tài liệu

tham khảo.
Chương 1: Trình bày bài toán điều khiển được cho hệ phương trình
vi phân điều khiển tuyến tính. Đầu tiên là trình bày định nghĩa về một
2


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

số bài toán điều khiển được cơ bản mô tả bởi phương trình vi phân tuyến
tính: Điều khiển được sau thời gian t1 , điều khiển được hoàn toàn, đạt
được hoàn toàn và điều khiển được hoàn toàn về không. Tiếp theo là các
định lý điều khiển được cơ bản cho hệ ôtônôm, hệ không ôtônôm cùng một
số ví dụ minh họa.
Chương 2: Trình bày sự liên hệ mới của bài toán điều khiển được,
bài toán ổn định hóa và phương trình Riccati cho các hệ tuyến tính không
ôtônôm; Chứng minh sự tương đương giữa bài toán điều khiển hoàn toàn
về không, tính ổn định hóa tuyết đối và sự tồn tại nghiệm cho các phương
trình Riccati tương ứng.

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS-TSKH Vũ Ngọc Phát. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự quan tâm chỉ dẫn nhiệt tình của thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp
Cao học K17 đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị trong Viện toán
học, những người luôn sẵn sàng nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian học
tập và làm luận văn
Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả người thân, bạn bè
đã luôn động viên, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận của mình.

Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2011
Học Viên
Nguyễn Thị Hồng Phương

3


Mục lục
1 Bài toán điều khiển được
1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các định lý về điều khiển được cơ bản . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định lý điều khiển được cho hệ ôtônôm. (Tiêu chuẩn
hạng Kalman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. . . .
1.2.3 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. (Tiêu
chuẩn hạng Kalman biến thiên). . . . . . . . . . . .

23

2 Bài toán điều khiển được, bài
trình Riccati
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . .
2.2 Các ký hiệu và định nghĩa .
2.3 Kết quả chính . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . .

30
30
33
35

45

4

toán ổn định hóa và phương
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
6
9
9
16


Chương 1
Bài toán điều khiển được
Tính điều khiển được nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận
được sao cho dưới tác động của lớp hàm điều khiển chấp nhận được, hệ
thống được điều khiển về các vị trí mong muốn. Nói một cách cụ thể hơn:
cho một hệ thống mô tả bởi phương trình điều khiển, ví dụ dạng (0.1),
các vị trí mong muốn cần điều khiển của hệ thống, như trạng thái x0, x1
được cho trước, tìm các điều khiển chấp nhận được u(t) sao cho dưới tác
dụng của điều khiển này, hệ thống (0.1) được điều khiển từ trạng thái x0
tới trạng thái x1 trong một thời gian (tùy ý hoặc cố định) nào đó, tức
là quỹ đạo của hệ thống (0.1) xuất phát từ trạng thái x0 tại thời điểm
t0 sẽ chuyển đến trạng thái x1 tại thời điểm t1 . Dựa vào mục đích điều
khiển của hệ thống, người ta định nghĩa các khái niệm khác nhau của
bài toán điều khiển được như: điều khiển được về 0, đạt được từ một vị
trí cho trước, điều khiển được hoàn toàn, điều khiển được địa phương, v.v...
Tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi những ý tưởng
và kết quả quan trọng của R.Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứng
minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản.
Từ đó đến nay, bài toán điều khiển được đã được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệ
động lực.
Ví dụ. Ta xét sự vận hành của một toa xe có trọng lượng m trên đường
thẳng đi từ một vị trí x0 tới vị trí x1 trong thời gian T > 0 cho trước.

Sự chuyển động của toa xe có ba lực tác động: lực ma sát, lực đàn hồi và
lực đẩy (hoặc lực kéo). Khi đó, theo quy luật chuyển động Newton thì quá
5


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

trình chuyển động của toa xe mô tả bởi phương trình điều khiển
..

.

mx(t) + bx(t) + kx = u(t),
trong đó u(t) biểu thị lực đẩy hoặc lực kéo tại thời điểm t thỏa mãn hạn
chế |u(t)| ≤ a, x(t) biểu thị vị trí của toa xe tại thời điểm t. Phương trình
chuyển động toa xe được đưa về phương trình vectơ tuyến tính điều khiển
dạng:
.
y = Ay + Bu,
trong đó
A=

0
k
−m

1
, B=
− mb

1
1
m

, y(t) =

x1(t)
.
x2(t)

Khi đó trạng thái y(t) gồm hai thành phần: x1 (t) mô tả vị trí của toa
xe, x2(t) mô tả tốc độ chuyển động của toa xe. Bài toán đặt ra là tìm điều
khiển chấp nhận được u(t) sao cho toa xe chuyển động từ vị trí x0 tới vị
trí x1 trong thời gian T . Đó chính là nội dung của bài toán điều khiển được.
Như đã đề cập trong phần mở đầu, bước đầu tiên trong các bài toán
điều khiển hệ thống là xác định điều khiển chấp nhận được sao cho hệ
thống chuyển một vị trí này tới một vị trí khác trong thời gian hữu hạn
nào đó. Đó là nội dung của bài toán điểu khiển được. Tính điều khiển được
là một tính chất khá quan trọng trong lý thuyết định tính các hệ động lực,
đặc biệt trong các bài toán điều khiển tối ưu. Nội dung chương này bao
gồm những bài toán điều khiển được và các định lý chọn lọc đối với các
hệ động lực mô tả bởi các phương trình điều khiển với thời gian liên tục
cũng như rời rạc khác nhau.

1.1

Các định nghĩa

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính
dạng

.
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0
(1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn − là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển; n ≥
m; A(t), B(t), t ≥ 0, là những ma trận liên tục có số chiều (n × n), (m × n)
6


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

tương ứng. Một hàm vectơ u(t) xác định trên [0, ∞) là khả tích trên mọi
đoạn hữu hạn lấy giá trị trong Rm sẽ được gọi là điều khiển chấp nhận
được của hệ (1.1). Lớp các hàm điều khiển chấp nhận được thông thường
là các hàm trong Lp ([0; s), Rm) , s ≥ 0. Trong luận văn này, ta chỉ xét p = 2
và lớp hàm này được lý hiệu là U . Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.1) với
giá trị ban đầu x(0) = x0 cho trước. Như vậy ứng với mỗi điều khiển chấp
nhận được u(t), bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính
(1.1) luôn có nghiệm x(t, x0, u) tại thời điểm t được cho bởi
t

x(t, x0, u) = Φ(t, 0)x0 +

Φ(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥ 0

0

(1.2)

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất:

.

x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0,
x(0) = x0.

Định nghĩa 1.1. Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn , cặp (x0, x1) được gọi
là điều khiển được sau thời gian t1 > 0, nếu tồn tại một điều khiển chấp
nhận được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) của hệ thỏa mãn điều kiện
x(0, x0, u) = x0,
x(t1, x0, u) = x1

Định nghĩa 1.2. Hệ điều khiển (1.1) gọi là điều khiển được hoàn toàn
(Globally Controllable - GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái x0, x1 sẽ tìm
được một thời gian t1 > 0 sao cho (x0, x1) là điều khiển được sau thời gian
t1 .
Trong trường hợp tồn tại một lân cận gốc V (0) ⊂ Rn sao cho hệ (1.1) là
điều khiển được hoàn toàn trong V (0), thì hệ được gọi là điều khiển được
địa phương (Locally Controllable - LC).
7


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Định nghĩa 1.3. Hệ điều khiển (1.1) gọi là đạt được hoàn toàn (Globally Reachable - GR) nếu với bất kỳ trạng thái x1 ∈ Rn , tồn tại một thời
gian t1 > 0 sao cho (0, x1) là điều khiển được sau thời gian t1
Định nghĩa 1.4. Hệ điều khiển (1.1) được gọi là điều khiển được hoàn
toàn về 0 (Globally Null Controllable - GNC) nếu với bất kỳ trạng thái
x0 ∈ Rn , tồn tại một thời gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển được
sau thời gian t1 .
Một cách hình học, nếu ta định nghĩa tập Rt (x0) là tập hợp tất cả các

trạng thái x ∈ Rn mà từ đó hệ thống đạt được từ trạng thái x0 sau thời
gian t1 > 0, tức là,
Rt (x0) = {x ∈ Rn : ∃u(t) ∈ U , x(t, x0, u) = x}

Khi đó ta có thể nói hệ (1.1) là:
+ GC nếu ∀x0 ∈ Rn : R(x0) = Rn .
+ GR nếu R(0) = Rn .
+ GNC nếu ∀x0 ∈ Rn , 0 ∈ R, trong đó ký hiệu
R(x0) =

Rt (x0).

t>0

Nhận xét:
GR
GC
GNC

8


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

1.2

Các định lý về điều khiển được cơ bản

Hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm là hệ có dạng:
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , A, B là các ma trận hằng số có số chiều
tương ứng. Đối với hệ ôtônôm (1.3), theo công thức nghiệm (1.2), ta có
ma trận nghiệm cơ bản là Φ(t, 0) = eAt , cho nên, nghiệm x(t, x0, u) của hệ
(1.3) sẽ được cho bởi
t

x(t, x0, u) = eAt x0 +

eA(t−s) Bu(s)ds

(1.4)

0

Và khi đó, ta mô tả tập đạt được Rt của hệ (1.2) sau thời gian t là:


t


n
A(t−s)
Rt = Rt (0) = x ∈ R : x = e
Bu(s)ds, u(.) ∈ U .



0

1.2.1

Định lý điều khiển được cho hệ ôtônôm. (Tiêu chuẩn hạng
Kalman).

Hệ tuyến tính ôtônôm (1.3) là điều khiển được hoàn toàn (GC) khi và chỉ
khi
rank[B, AB, ..., An−1B] = n
(1.5)
Chứng minh:
Điều kiện cần:
Giả sử phản chứng rằng hệ (1.3) là GC nhưng điều kiện hạng (1.5)
không thỏa mãn, tức là:
rank[B, AB, ..., An−1B] < n
Khi đó sẽ tìm được vectơ khác không v ∈ Rn , v = 0 sao cho
v ′ [B, AB, ..., An−1B] = 0
9


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Từ đó ta có
v ′ B = v ′ AB = ... = v ′ An−1B = 0
Sử dụng định lý Cayley-Hamilton, ta được:
p(A) = An + an−1An−1 + ... + a0 I = 0
cho nên
An = −an−1An−1 − an−2 An−2 − ... − a0 I

Nhân vô hướng hai vế phương trình ma trận trên với vectơ khác không
v ∈ Rn ta có v ′ AB = 0. Lý luận tương tự, ta có
v ′ An+k B = 0, ∀k = 0, 1, 2, ...

(1.6)

Mặt khác, theo khai triển hàm số eAt , với mọi t > 0, ta có
v ′eAt B = v ′ B + tv ′ AB +

tn
t2 ′ 2
v A B + ... + v ′ An B + ...
2!
n!

(1.7)

Từ điều kiện (1.6) suy ra v ′ eAt B = 0 với mọi t > 0. Theo giả thiết hệ
là GC, và từ nhận xét, hệ là GR, tức là, với bất kỳ x ∈ Rn , theo công
thức nghiệm (1.4), tồn tại thời gian t1 > 0 và điều khiển chấp nhận được
u(t) ∈ U sao cho
t

eA(t1 −s)Bu(s)ds.

x=
0

Nhân vô hướng hai vế đẳng thức trên với vectơ v và áp dụng (1.7), ta

có
< v, x >= 0
Vì x là vectơ tùy ý nên v = 0, suy ra mâu thuẫn với điều kiện v = 0.
Vậy điều phản chứng vô lý, ta có điều kiện hạng (1.5).
Điều kiện đủ
Bây giờ ta giả sử điều kiện hạng (1.5) thỏa mãn. Trước tiên ta chứng
minh rằng hệ (1.3) sẽ đạt được hoàn toàn sau một thời gian t1 > 0 nào đó,
tức là:
∃t1 > 0 : Rt1 = Rn
(1.8)
10


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Giả sử phản chứng rằng điều này không xảy ra, hay là Rt = Rn với mọi
t > 0. Cố định một thời gian t1 > 0 bất kỳ. Vì Rt1 là ảnh của ánh xạ tuyến
tính liên tục Lt1 = Ut → Rn xác định bởi
t1

eA(t−s) Bu(s)ds

L t1 u =
0

qua một không gian Ut = L2 ([0, t1] , Rm) nên Rt là một không gian con
trong Rn . Vì Rt1 = Rn nên sẽ tìm được vectơ v ∈ Rn , v = 0 sao cho
v ′ x = 0, ∀x ∈ Rt1 .

Theo định nghĩa về tập đạt được của hệ sau thời gian t1 , ta có

t1

0

v ′ eA(t1 −s) Bu(s)ds, ∀u(.) ∈ Ut1

Vì hàm dưới tích phân là liên tục theo s ∈ [0, t1] và tích phân triệt tiêu
với mọi u(t) ∈ Ut1 nên
v ′ eA(t1 −s) B = 0, ∀s ∈ [0, t1]

(1.9)

Trong (1.9) đặt s = t1 , ta được v ′ B = 0. Đạo hàm hai vế (1.9) theo
s ∈ [0, t1], sau đó lại cho s = t, ta được v ′AB = 0. Tiếp tục lấy đạo hàm
của biểu thức v ′ AeA(t1 −s) B = 0 theo s và cho s = t1 , ta được v ′ A2B = 0.
Kéo dài quá trình tương tự cho đến bậc n, ta có v ′An−1B = 0, hay là,
v ′ [B, AB, ..., An−1B] = 0
Đẳng thức trên cho ta điều kiện
rank[B, AB, ..., An−1B] < n
vì v ′ = 0, điều mâu thuẫn với điều kiện (1.5) cho ta khẳng định (1.8). Bây
giờ việc chứng minh được hoàn thành như sau: Với bất kỳ hai trạng thái
x0, x1 ∈ Rn , đặt vectơ a = x1 − eAt1 x0, trong đó t1 > 0 được xác định từ
điều kiện (1.8). Vì hệ là GR sau thời gian t1 nên sẽ tìm được một điều
khiển u(t) ∈ U sao cho
t1

eA(t1 −s) Bu(s)ds

a=
0

11


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

kéo theo

t1

x1 = eAt x0 +

eA(t1 −s) Bu(s)ds.
0

Theo định nghĩa về tính GC, hệ đã cho là điều khiển được hoàn toàn.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét: Để xét tính điều khiển được của một hệ tuyến tính ôtônôm
(1.3), ta chỉ cần xác lập ma trận [B, AB, ..., An−1B] − (n × nm), sau đó
kiểm tra hạng của nó là đủ. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển
được và ký hiệu tắt là [A/B].
MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.1. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
.

x1 = 3x2 + u
.
x2 = 2x1 + 2u
Giải
.

Ta có

x1
.
x2

⇒ A=

0 3
2 0

=

0 3
2 0
; B=

x1
x2

1
u
2

+

1
2

Vì rank[A/B] = rank

1 6
=2.
2 2

nên hệ đã cho là điều khiển được.

12


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Ví dụ 1.2. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
 .
 x1 = x1 + 2x2 + u1
.
x2 = x2 + 3x3 + 2u2
 .
x3 = 3x1 + 4x2 + 3u1

Giải



1 2 0
Ta có: A=0 1 3 ;
3 4 0




1 0
B=0 2
3 0






1 4
19 8
⇒ AB = 9 2 ; A2B = 18 26
3 8
39 20



1 0 1 4 19 8
⇒ [A/B] = 0 2 9 2 18 26 ⇒ rank[A/B] = 3
3 0 3 8 39 20

Vậy hệ đã cho là GC

Ví dụ 1.3. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
.

x1 = −x1
.
x2 = x1 + 2x2 + u1 + 2u2

Giải
Ta có: A=

⇒ [A/B] =

−1 0
1 2

; B=

0 0
1 2

0 0 0
⇒ rank[A/B] = 1 < 2
1 2 4

Vậy hệ đã cho không điều khiển được
13


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Ví dụ 1.4. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
..

.

x(t) + 2x(t) + 4x + 3u = 0

(∗)

Giải
.

Đặt x = x1; x1 = x2 , thay vào (*) ta được hệ
.

x1 = x2
.
x2 = −4x1 − 2x2 − 3u
Ta có A=

0 1
−4 −2

; B=

0
−3

0 −3
=2.
−3 6

Vì rank[A/B] = rank
nên hệ đã cho là GC.

Ví dụ 1.5. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
...

.

x + 2x − au = 0, a ∈ R

(∗∗)

Giải
.

.

Đặt x = x1; x1 = x2; x2 = x3
 .
 x1
.
x2
 .
x3

, thay vào (**) ta được hệ
= x2
= x3
= −2x2 + au


 
0
0 1 0




Ta có A= 0 0 1 ; B= 0
a
0 −2 0


14


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati


 

0
a
⇒ AB = a ; A2B =  0 
0
−2a



0 0 a
⇒ [A/B] = 0 a 0 
a 0 −2a
• Xét a = 0 ⇒ rank[A/B] = 1 < 3, thì hệ đã cho không là GC
• Xét a = 0 ⇒ rank[A/B] = 3, thì hệ đã cho là GC
Ví dụ 1.6. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau
.

Giải

2x(4) − x(2) − 2ax − 4x − 2bu = 0, a, b ∈ R
.

.

.

(∗ ∗ ∗)

Đặt x = x1; x1 = x2; x2 = x3 ; x3 = x4 , thay vào (***) ta được hệ
 .
x1 = x2


 .
x2 = x3
.
x3 = x4


 .
x4 = 4x1 +2ax22+x3 +2bu


0
0
Ta có A=

0
2


 
1 0 0
0
 
0 1 0
 ; B=0
0
0 0 1
a 12 0
b

 

0
0
0 

 ; A2 B =  b
⇒ AB = 
b
 0
0
b/2






b

 
 ; A3 B =  0 

b/2
ab
15


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati



0
0
⇒ [A/B] = 
0
b


0 0 b
0 b 0

b 0 2b 
0 2b ab

• Xét b = 0 ⇒ rank[A/B] = 1 < 4, thì hệ đã cho không là GC
• Xét b = 0 ⇒ rank[A/B] = 4, thì hệ đã cho là GC

1.2.2

Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm.

Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình tuyến tính không ôtônôm (1.1):
.

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0
Như vậy, điều kiện (1.5) trong Định lý 2.1 cho ta tiêu chuẩn để hệ là
điều khiển được (đạt được hoặc điều khiển được về 0) hoàn toàn, nhưng
chưa cho ta cách xác định hoặc tìm cụ thể điều khiển chấp nhận được u(t)
mà nhờ đó hệ thống chuyển được từ một trạng thái này đến trạng thái
khác. Để đạt được mục đích này, ta xét tính điều khiển được hệ (1.1) trong
đó A(t), B(t) là các ma trận hàm liên tục theo t theo một cách tiếp cận
khác. Ta biết rằng với trạng thái ban đầu x(t0) = x0 và với điều khiển chấp
nhận được u(t) ∈ U , nghiệm x(t, x0, u) của hệ (1.1) được cho bởi
t

x(t, x0, u) = Φ(t, t0)x0 +

Φ(t, s)B(s)u(s)ds.
t0

Xác định ma trận Lt − (n × n) chiều bởi
t

Φ(t, s)B(s)B ′(s)Φ′(t, s)ds.

Lt =
t0

Ma trận Lt thường được gọi là ma trận tích phân điều khiển được.
16


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Định lý 1.2.2. Hệ (1.1) là điều khiển được hoàn toàn trong thời gian
T khi và chỉ khi ma trận LT là không suy biến .
Chứng minh:
Điều kiện cần:
Giả sử hệ (1.1) là GC trong thời gian T . Trước hết với vectơ tùy ý
x ∈ Rn và vì ma trận LT là đối xứng nên ta có thể xét dạng toàn phương
sau
T

x ′ LT x =

< Φ(T, s)B(s)B ′(s)Φ′(T, s)x, x > ds
t0
T

||B ′ (s)Φ′(T, s)x||2ds

=
t0

(1.10)

Vì hệ là GC nên hệ là GR sau một thời gian T . Vì LT theo giả thiết
phản chứng là suy biến nên có một vectơ x ∈ Rn , x = 0 sao cho LT x = 0.
Từ (1.10), ta có
T

x′ LT x =

||B ′ (s)Φ′(T, s)x||2 ds = 0

t0

Từ đó suy ra
B ′ (s)Φ′(T, s)x = 0 với mọi s ∈ [t0, T ].
Mặt khác vì hệ (1.1) là GR sau thời gian T > 0, cho nên sẽ tồn tại một
điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ U sao cho
T

x=

Φ(T, s)B(s)u(s)ds.
t0

17


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Nhân hai vế đẳng thức trên với x = 0, ta có

2

||x||

T

=

< Φ(T, s)B(s)u(s), x > ds
t0
T

=
t0

< u(s), B ′(s)Φ′(T, s)x > ds ≡ 0

Điều này dẫn tới mâu thuẫn vì x = 0. Vậy ma trận LT là không suy biến
với T .
Điều kiện đủ:
Giả sử ma trận LT là không suy biến. Như vậy ma trận LT có nghịch
n
đảo L−1
T . Với hai trạng thái tùy ý x0 , x1 ∈ R ta xác định điều khiển chấp
nhận được u(t) ∈ U như sau
u(t) = −B ′ (t)Φ′(T, t)L−1
T [Φ(T, t0)x0 − x1 ] .

(1.11)

trong trường hợp u(t) xác định theo (1.11) thì dễ kiểm tra được rằng nó
chính là điều khiển chấp nhận được chuyển trạng thái x0 tới x1:
T

x(T, x0, u) = Φ(T, t0) −

t0

Φ(t, s)B(s)B ′(s)Φ′(T, s)L−1
T [Φ(T, t0)x0 − x1 ] ds

= Φ(T, t0)x0 − LT L−1
T [Φ(T, t0)x0 − x1 ] = x1
Vậy định lý được chứng minh.
MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.7. Xét tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân sau
.

x1 = 2u
.
x2 = 4tx1
Giải
18


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Ta có A =

0 0

; B
4t 0

2
0

Sử dụng ma trận điều khiển được tích phân:
t

Φ(t, s)B(s)B ′(s)Φ′(t, s)ds

Lt =
0

Với

∂
∂t Φ(t, s)

Φ(t, t)
Đặt Φ(t, s) =
⇒

Φ1 Φ2
Φ3 Φ4

.

.

Φ1 Φ2
.
.
Φ3 Φ4

⇒

= A(t)Φ(t, s)
= Φ(s, s) = I

=

0 0
4t 0

Φ1 Φ2
Φ3 Φ4

=

 .
Φ1 = 0;
Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1



 .
Φ2 = 0;
Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0
.


Φ3 = 4tΦ1; Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0


 .
Φ4 = 4tΦ2; Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1

t
.



0=1
Φ
=
1



s
.



 Φ2 = 0

⇒

t

.


Φ3 =





.



 Φ4 =

s
t

4tdt = 2t2 − 2s2
0=1

s

⇒ Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) =
t

⇒ Lt =

0
0

4tΦ1 4tΦ2

0

1
0
2
2
2t − 2s 1

2
0

2 0

19

1
0
2
2t − 2s 1
2

1 2t2 − 2s2
ds
0
1


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

t

=
0



8(t2 − s2 )

4


8(t2 − s2)

168(t2 − s2)2





 ds = 

4t
16 3
t
3

16 3
3t
128 5

t
15

Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) = 5 31
45 = 0
Vậy hệ điều khiển được.
Ví dụ 1.8. Xét tính điều khiển được của hệ sau
.

x1 = 2tx2 + 2u1
.
x2 = u1 + u2
Giải
Ta có A =

0 2t
0 0

Đặt Φ(t, s) =
.

⇒
⇒

⇒

2 0
1 1

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

.

Φ1 Φ2
.
.
Φ3 Φ4

B

=

0 2t
0 0

 .
Φ1



 .
Φ2
.

Φ

3

 .

Φ4

Φ1 Φ2
Φ3 Φ4

2tΦ3 2tΦ4
0
0

=

= 2tΦ3; Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1
= 2tΦ4; Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0
= 0;
Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0
= 0;
Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1
 .
Φ1 = 1



 .
Φ2 = t2 − s2
.

Φ

3 =0


 .
Φ4 = 1

⇒ Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) =
20

1
0

2t2 − 2s2
1





Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

t

⇒ Lt =

1 t2 − s2
0
1

0
t

2 1

0 1

1
t − s2
2

2t4 + 2s4 − 4t2s2 + 4t2 − 4s2 + 4
2t2 − 2s2 + 2

=
0

 16

=

2 0
1 1

8 3
5
15 t + 3 t + 4t
4 3
3t

4 3
3t

+ 2t

Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) =

196
45

0
ds
1

2t2 − 2s2 + 2
ds
2


+ 2t

2t

=0

Vậy hệ điều khiển được.
Ví dụ 1.9. Xét tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân sau
.

x1 = x1 + u
.
x2 = 2tx1
Giải
Ta có A =

1 0
2t 0

Đặt Φ(t, s) =
.

⇒
⇒

1
0

Φ1 Φ2
Φ3 Φ4

.

Φ1 Φ2
.
.
Φ3 Φ4

B

=

1 0
2t 0

 .

Φ1



 .
Φ2
.

Φ

3

 .
Φ4

Φ1 Φ2
Φ3 Φ4

= Φ1 ;
= Φ2 ;
= 2tΦ1;
= 2tΦ2;

=

Φ1
Φ2
2tΦ1 2tΦ2

Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1

Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0
Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0
Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1
21


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

⇒

 .
Φ1



 .
Φ2
.

Φ3


 .
Φ4

= et−s
=0
= 2tet−s − 2et−s − 2s + 2
=1
et−s

0
t−s
t−s
2te − 2e − 2s + 2 1

⇒ Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) =
t

⇒ Lt =

et−s
2tet−s − 2et−s − 2s + 2

0

× 1 0
t

=
0

et−s
0

0
1

1
×
0

2tet−s − 2et−s − 2s + 2
ds
1

a1 b1
ds
c1 d1

với a1 = e2(t−s)
b1 = 2te2(t−s) − 2e2(t−s) − 2se(t−s) + 2e(t−s)
c1 = 2te2(t−s) − 2e2(t−s) − 2se(t−s) + 2e(t−s)
d1 = 4t2e2(t−s) + 4e2(t−s) − 8te2(t−s) + 4s2 + 4−
−8tse(t−s) + 8te(t−s) + 8se(t−s) − 8e(t−s) − 8s
=

a2 b2
c2 d2
với a2 = (e2t − 1)/2
b2 = te2t − e2t + t + 1
c2 = te2t − e2t + t + 1
d2 = 2t2 e2t − 4te2t + 2e2t + 34 t2 + 2t2 − 2
22


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) = (2e2 − 14)/3 = 0
Vậy hệ điều khiển được.
1.2.3

Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. (Tiêu
chuẩn hạng Kalman biến thiên).

Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (1.1)
.

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0
Định lý 1.2.2 cho chúng ta một tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn
của hệ không ôtônôm dưới dạng ma trận điều khiển tích phân không suy
biến. Ta nhận thấy phương pháp chứng minh Định lý 1.2.2 khác với Định
lý 1.2.1 đối với hệ ôtônôm (1.2), mặc dù các tiêu chuẩn này là tương đương
khi các hệ là ôtônôm. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là đối với các hệ không
ôtônôm thì liệu có tiêu chuẩn kiểu hạng Kalman (1.5) hay không? Nói
chung việc kiểm tra điều kiện hạng (1.5) bao giờ cũng dễ hơn việc kiểm
tra điều kiện ma trận LT là không suy biến. Để đạt mục đích này ta cần
có một số bổ đề sau.
Định nghĩa: Hệ hàm vectơ fi (t), i = 1, ..., n gọi là phụ thuộc tuyến
tính trên [a, b] nếu tồn tại các số λi , i = 1, 2, ..., n, không đồng thời bằng
0 sao cho
n
i=1

λi fi (t) = 0, ∀t ∈ [a, b],

và ngược lại với khẳng định trên, thì gọi là độc lập tuyến tính.
Bổ đề 1: Các hàm fi (.) : [t0 , t1] → Rm , i = 1, 2, ..., n. Hệ hàm {fi (t)}
là độc lập tuyến tính trên [t0 , t] khi và chỉ khi ma trận
t1

ψ(t0 , t1) =

t0 F (t)F ′(t)dt
23

(1.12)


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati
△

là không suy biến, trong đó F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))′ .
Bổ đề 2: Cho fi (.) : [t0 , t1] → Rm , i = 1, 2, ..., n. là các hàm vectơ khả
vi liên tục theo t tới bậc (n − 1). Khi đó hệ {fi (t)} là độc lập tuyến tính
nếu có một t2 ∈ [t0 , t1] sao cho
.

rank[F (t2 ), F (t2), ..., F (n−1)(t2)] = n

(1.13)

Định nghĩa: Hàm thực f : R → R được gọi là hàm giải tích trên M⊂R
nếu với ∀x0 ∈ M, hàm f biểu diễn được dưới dạng một chuỗi hội tụ:
f (x) =

∞
n=0

an (x − x0)n, ai ∈ R

Bổ đề 3: Giả sử các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, ..., n là các hàm giải tích trên
[t0 , t1]. Hệ hàm {fi (t)} là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hoặc điều điện
(1.12) hoặc (1.13) thỏa mãn.

* Các bổ đề trên được chứng minh trong [1].
Dựa vào các bổ đề trên, ta sẽ chứng minh định lý sau đây về tính điều
khiển được hoàn toàn cho hệ không ôtônôm (1.1) dưới dạng điều khiển
hạng Kalman.
Định lý 1.2.3. Giả sử các ma trận A(t), B(t) là các hàm giải tích trên
[t0 , ∞]. Hệ (1.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi
∃t2 ∈ [t0, ∞] : rank[M0 (t2 ), M1(t2 ), ..., Mn−1(t2 )] = n.
trong đó
M0 (t) = B(t)
d
Mk+1(t) = −A(t)Mk (t) + Mk (t), k = 0, 1, ..., n − 2.
dt
24

(1.14)


Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

Chứng minh:
Điều kiện cần:
Trước tiên ta nhận xét rằng hệ thức sau thỏa mãn
dk
= Φ(t0, t)Mk (t), k = 1, 2, ..., n − 1.
dtk
trong đó Φ(t0, t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.10). Từ đó với t2 > t0

tùy ý, ta có
Φ(t0, t2) [M0 (t2), M1(t2 ), ..., Mn−1(t2)] =
n−1

= Φ(t0, t2)B(t2), dtd Φ(t0, t)B(t) |t=t2 , ..., dtd n−1 Φ(t0, t)B(t) |t=t2
.

= F (t2)F (t2), ..., F (n−1)(t2 ) .

(1.15)

trong đó ký hiệu F (t) = Φ(t0, t)B(t).
Gọi các hàng của ma trận F (t) là các hàm {fi (t)}, i = 1, 2, ..., n. Bây
giờ nếu ta giả sử hệ (1.1) là GC, thì khi đó theo định lý 1.2.2, ma trận
Ψ(t0 , t) là không suy biến với t1 > t0 nào đó. Từ Bổ đề 1. suy ra hệ {fi (t)}
là độc lập tuyến tính trên [t0, t1 ]. Mặt khác, vì A(t), B(t) là các hàm giải
tích nên các hàm {fi(t)} sẽ khả vi liên tục cấp vô hạn (mặc dù ta chỉ cần
tới cấp (n − 1) ), áp dụng Bổ đề 2, có t2 ∈ [t0 , t1] sao cho (1.13) thỏa mãn.
Theo đẳng thức (1.15) ta có:
rankΦ(t0 , t2) M0 (t2 ), M1(t2 ), ..., M n−1(t2) = n.
Vì ma trận Φ(t0, t2 ) không suy biến, nên (1.14) thỏa mãn, tức là điều kiện
cần của định lý được chứng minh.
Điều kiện đủ:
Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả thiết có điều kiện (1.14). Từ đẳng
thức (1.15) suy ra
.

rank F (t2), F (t2 ), ..., F (n−1)(t2 ) = n.
25