BÀI GIẢNG lý THUYẾT TRƯỜNG điện từ

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI
KHOA: ĐIỆN - ĐIỆN TỬ TB
BỘ MÔN: HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG



BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

TÊN HỌC PHẦN

: LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

MÃ HỌC PHẦN

: 13403

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

: ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

DÙNG CHO SV NGÀNH: ĐIỆN-ĐIỆN TỬ TB

HẢI PHÒNG-2010

1


MỤC LỤC
STT

NỘI DUNG
1
Chương I: Những khái niệm cơ bản về trường điện từ
1.1 Bài 1: Trường điện từ và môi trường chất

TRANG
8
8

1.2
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5
5.1
5.2
5.3

5.4

Bài 2: Các đại lượng đặc trưng của trường điện từ
Chương 2: Trường tĩnh điện
Bài 1: Định luật Culông
Bài 2: Các tính chất cơ bản của trường tĩnh điện
Bài 3: Các phương trình Poaxông và Laplaxơ
Bài 4: Năng lượng của trường điện tĩnh
Bài 5: Điều kiện bờ của trường tĩnh điện
Chương 3:Dòng điện và mật độ dòng điện
Bài 1: Các khái niệm
Bài 2: Các định luật cơ bản của dòng điện
Chương 4:Các thông số đặc trưng về điện của một hệ vật dẫn
Bài 1: Khái niện chung
Bài 2: Hệ số thế
Bài 3: Hệ số thế của đường dây trên không
Bài 4: Hệ số tích điện
Bài 5: Điện dung bộ phận giữa các vật dẫn
Bài 6: Điện dung tương đương của đường dây hoán vị
Chương 5:Lực điện trường tác dụng lên vật dẫn và điện môi
Bài 1: Các khái niệm
Bài 2: Lực điện trường tác dụng lên vật dẫn mang điện
Bài 3: Lực điện trường tác dụng lên điện môi tuyến tính
Bài 4: Lực điện trường tác dụng lên điện môi có phân cực không đổi và

9
11
11
12
14

14
14
15
15
15
18
18
18
18
19
20
20
22
22
22
24
24

6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
7
7.1
7.2

7.3
8
8.1
8.2

tính mômen xoay điện môi
Chương 6: Trường điện từ dừng
Bài 1: Những khái niệm
Bài 2: Điện trường dừng trong vật dẫn
Bài 3: Điện trường của vật dẫn có nối đất
Bài 4: Từ trường dừng
Bài 5: Xét từ trường dừng bằng thế véctơ
Bài 6: Tính điện cảm và hỗ cảm trong cuộn dây
Bài 7: Từ trường song phẳng
Bài 8: Điện cảm đường dây
Chương 7: Lực từ trường tác dụng lên dòng điện và từ môi
Bài 1: Khái quát chung
Bài 2: Lực từ trường tác dụng lên dòng điện
Bài 3: Lực từ trường tác dụng lên từ môi tuyến tính.
Chương 8: Trường điện từ biến thiên.
Bài 1: Khái niệm chung
Bài 2: Phương trình Laplace của trường điện từ biến thiên trong môi

25
25
25
28
28
29
31

33
34
35
35
35
36
37
37
38

8.3
8.4
8.5

trường điện môi thần tuý
Bài 3: Điều kiện bờ hỗn hợp giữa hai môi trường
Bài 4: Toán tử điện môi phức
Bài 5: Phương trình Laplace của trường điện từ biến thiên trong môi

40
40
42

8.6
8.7

trường dẫn thuần tuý.
Bài 6: Phương trình Laplace trong môi trường bán dẫn.
Bài 7: Từ trường biến thiên.

43
43
2


8.8
9
9.1

Bài 8: Các thông số đặc trưng của từ trường
Chương 9: Các phương trình của trường điện từ biến thiên.
Bài 1: Phương trình truyền sóng Dalambee và hiện tượng truyền sóng của

45
46
46

9.2
9.3

trường điện từ biến thiên.
Bài 2: Phương trình truyền của trường điện từ biến thiên.
Bài 3: Phương trình truyền của trường điện từ biến thiên dưới dạng phức

47
49

3

YÊU CẦU VÀ NỘI DUNG CHI TIẾT
Tên học phần: Lý thuyết trường điện từ

Loại học phần: 2

Bộ môn phụ trách giảng dạy: Hệ thống tự

Khoa phụ trách: ĐiệnĐiện tử TB

động

Tổng số TC:2

Mã học phần: 13403
TS tiết
Lý thuyết Thực hành/ xêmina
30
30
0

Tự học Bài tập lớn
0
0

Đồ án môn học
0

Điều kiện tiên quyết:
Sinh viên phải học và thi đạt các học phần sau mới được đăng kí học phần này:
Vật lí, toán cao cấp, lý thuyết mạch

Mục tiêu của học phần:
Cung cấp cho sv các kiến thức về mô hình toán học của trường điện từ, các mô hình vật lý về trường điện
từ tĩnh, trường điện từ dừng, trường điện từ biến thiên. Từ đó giải thích được các hiện tượng xảy ra trong
thực tế gắn với trường điện từ.
Nôi dung chủ yếu:
- Những khái niệm cơ bản về trường điện từ
- Mô tả toán học của trường điện từ
- Trường điện từ tĩnh
- Trường điện từ dừng
- Trường điện từ biến thiên

4


Nội dung chi tiết:
TÊN CHƯƠNG MỤC
Chương I - Những khái niệm cơ bản về trường điện từ
Bài 1: Trường điện từ và môi trường chất
Bài 2: Các biến trạng thái cơ bản của trường điện từ
Chương 2 - Trường tĩnh điện
Bài 1: Định luật Culông
Bài 2: Các tính chất cơ bản của trường tĩnh điện
Bài 3: Các phương trình Poaxông và Laplaxơ
Bài 4: Năng lượng của trường điện tĩnh
Bài 5: Điều kiện bờ của trường tĩnh điện
Chương 3 - Dòng điện và mật độ dòng điện
Bài 1: Các khái niệm
Bài 2: Các định luật cơ bản của dòng điện
Chương 4 - Các thông số đặc trưng về điện của một hệ
vật dẫn

Bài 1: Khái niện chung
Bài 2: Hệ số thế
Bài 3: Hệ số thế của đường dây trên không
Bài 4: Hệ số tích điện
Bài 5: Điện dung bộ phận giữa các vật dẫn
Bài 6: Điện dung tương đương của đường dây hoán vị
Chương 5 - Lực điện trường tác dụng lên vật dẫn và

TS
1.5
2.5

1.5
3.5

3.5

điện môi
Bài 1: Các khái niệm
Bài 2: Lực điện trường tác dụng lên vật dẫn mang điện
Bài 3: Lực điện trường tác dụng lên điện môi tuyến tính
Bài 4: Lực điện trường tác dụng lên điện môi có phân
cực không đổi và tính mômen xoay điện môi
Chương 6 - Trường điện từ dừng
Bài 1: Những khái niệm
Bài 2: Điện trường dừng trong vật dẫn
Bài 3: Điện trường của vật dẫn có nối đất
Bài 4: Từ trường dừng
Bài 5: Xét từ trường dừng bằng thế véctơ
Bài 6: Tính điện cảm và hỗ cảm trong cuộn dây

Bài 7:Từ trường song phẳng
Bài 8: Điện cảm đường dây
Chương 7 - Lực từ trường tác dụng lên dòng điện và từ
môi
Bài 1: Khái quát chung
Bài 2: Lực từ trường tác dụng lên dòng điện
Bài 3: Lực từ trường tác dụng lên từ môi tuyến tính.
Chương 8 - Trường điện từ biến thiên.
Bài 1: Khái niệm chung
Bài 2: Phương trình Laplace của trường điện từ biến
thiên trong môi trường điện môi thần tuý
Bài 3: Điều kiện bờ hỗn hợp giữa hai môi trường
Bài 4: Toán tử điện môi phức

PHÂN PHỐI SỐ TIẾT
LT Xêmina BT KT
1.5
05.
1
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1.5
0.5
1
3.5
0.5

0.5
0.5
0.5
0.5
1
2.5

1

0.5
1
0.5
0.5
5.5

3

5.5

5.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
0.5
0.5
2

1

0.5
1
0.5
5.5
0.5
1
0.5
0.5
5


Bài 5: Phương trình Laplace của trường điện từ biến

1

thiên trong môi trường dẫn thuần tuý.
Bài 6: Phương trình Laplace trong môi trường bán dẫn.
Bài 7: Từ trường biến thiên.
Bài 8: Các thông số đặc trưng của từ trường
Chương 9 - Các phương trình của trường điện từ biến

0.5
1.0
0.5
2.5

3.5

thiên.
Bài 1: Phương trình truyền sóng Dalambee và hiện

1

tượng truyền sóng của trường điện từ biến thiên.
Bài 2: Phương trình truyền của trường điện từ biến

1

thiên.
Bài 3: Phương trình truyền của trường điện từ biến

0.5

1

thiên dưới dạng phức

6


Nhiệm vụ của sinh viên: Lên lớp đầy đủ và chấp hành mọi quy định của nhà trường
Tài liệu tham khảo:
1. Kiều Khắc Lâu. Lý thuyết trường điện từ. nhà xuất bản giáo dục-HN1998
2. Nguyễn Bình Thành-Nguyễn Trần Quân-Phạm Khắc Chương. Cơ sở Lý thuyết trường điện từ. Nhà
xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp-HN 1971
Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
- Thi viết dọc phách, thời gian làm bài 60 phút
Thang điểm: Thang điểm chữ A,B,C,D,F

Đánh giá học phần: Z=0.2X +0.8Y
Bài giảng này là tài liệu chính thức và thống nhất của Bộ môn hệ thống tự động, Khoa Điện - Điện Tử
TB và dùng để giảng dạy cho sinh viên
Ngày phê duyệt:

/

/20

Trưởng Bộ môn:

7


Chương I - NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1 - TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ MÔI TRƯỜNG CHẤT
1.1.1 - ĐỊNH NGHĨA
Trường điện từ là môi trường vật chất đặc biệt có 2 thuộc tính
Liên tục dưới dạng sóng điện từ trong không gian
Gián đoạn dưới dạng hạt phôton, có năng lượng và động lượng, tồn tại khách quan, không nhìn, không sờ
thấy.
Nó đặc biệt vì nó chuyển động với vận tốc ánh sáng.Nó tồn tại và vận động khách quan.Sự tồn tại của nó
thể hiện qua sự tương tác, tác động với cấc hạt mang điện ở trong không gian.các điện tích có thể đứng
yên hoặc chuyển động.Độ lớn của lực tác động phụ thuộc vào độ lớn của điện tích,phụ thuộc vào khoảng
cách,phụ thuộc vào vận tốc của các điện tích.
Như vậy trường điện từ có 2 tính chất thể hiện là sóng và hạt,tuỳ theo phạm vi không gian mà chúng ta
xét mà tính chất sóng thể hiện rõ hoặc tính chất hạt thể hiện rõ rệt hơn.
VD: Trong phạm vi vĩ mô thì tính chất sóng thể hiện rõ rệt hơn nhưng trong phạm vi vi mô thì tính chất
hạt thể hiện rõ hơn.
Trong thực tế thì sự tồn tại và vận động của trường điện từ chúng ta gặp rất nhiều,đặc biệt là trong kĩ

thuật điện có rất nhiều các thiết bị điện đều ứng dụng các lý thuyết trường điện từ để tạo ra các sản phẩm
có ứng dụng trong đời sống sản xuất.
Hai mặt thẻ hiện của trường điện từ là điện trường và từ trường chỉ có tính chất tương đối mà thôi, ở
những hệ quy chiếu khác nhau thì địên trường và từ trường có các giá trị khác nhau, thậm chí có thể
chuyển hoá qua lại lẫn nhau.Cho nên, nếu chúng ta tách riêng rẽ hai mặt điện và từ để nghiên cứ khảo sát
thì khi đó sẽ không miêu tả được đầy đủ các hiện tượng cơ bản thường gặp trong thực tế như năng lượng,
động lượng, áp lực điện từ…..
Khi xét về mối quan hệ tương tác giữa trường điện từ và môi trường chất ở trong một hệ quy chiếu quán
tính nào đó thì trường điện từ sẽ có hai mặt tương tác động lực học:
Một là lực Lozen về điện, kí hiệu là FE = q × E
Nó chỉ phụ thuộc vào vị trí điện tích mà không phụ thuộc vào khoảng cách, vận tốc của điện tích điểm
đang xét.
Hai là lực Lozen về từ, kí hiệu là FM = q × (vx B)
Trong đó thì:E = v/m,q = C, v = m/s, B = Tesla (T).
Hai lực này thông thường tạo ra một lực tổng hợp cho cả điện và từ có biểu thức như sau: F = FM + FE
Như vậy trường điện từ có hai mặt thể hiện động lực học là điện trường và từ trường cùng với hai lực
Lozen.Đó chỉ là những khái niệm tương đối còn thực tế ta phải coi trường điện từ là một thể thống nhất
không thể chia cắt vì điện trường biến thiên sinh ra từ trường và ngược lại.Tuy nhiên trong thực tế có cái
thì điện trường thể hiện rõ có cái thì từ trường thể hiện rõ hơn.
Trường điện từ là một trường vật lý đặc biệt có năng lượng và động lượng.Mặt khác vì trường điện từ nó
tác dụng động lực học lên các hạt mang điện bởi các lực phụ thuộc vào vị trí,vận tốc.Vì vậy có thể coi
trường điện từ chính là một trường véctơ được biểu diển bởi các véctơ trạng thái:

8


1.2 - CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.2.1 - VÉC TƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG E
Trường điện từ là do các hạt đứng yên hoặc chuyển động sinh ra. Xét về mặt điện trường người ta đưa ra
biến trạng thái E nó đặc trưng cho điện trường, nó nói lên tác dụng lực của trường lên điện tích đứng yên,

có biểu thức là:
Ε=

FE
q

(1)

Vậy E là lực trường điện từ tác dụng lên điện tích có giá trị là +1 Culông đặt trong điện trường.
1.2.2 VÉC TƠ CẢM ỨNG TỪ B
Từ trường do các hạt điện chuyển động sinh ra, do đó để đặ trưng cho từ trường người ta đưa ra biến
trạng thái B, nó đặc trưng cho tác dụng lực của từ trường lên các điện tích chuyển động.
Ngoài ra từ trường còn do dòng điện sinh ra,theo định luật Biôxava ta co biểu thức như sau:
dB =

µ0 I
(dl ∧ R 0 )
4πR 3

Trong đó: R là khoảng cách từ điểm tính trường có từ cảm B tới dòng điện I.
R0 là véctơ đơn vị khoảng cách của R
Tích phân hai vế ta có:

H 
µ 0 = 4.π .10 −7  
m
1.2.3 - TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐỐI GIỮA E VÀ B
Như đã nói ở trên thì điện trường và từ trường chỉ là hai mặt cụ thể của trường điện từ ở trong hệ quy
chiếu mà chúng ta khảo sát.Như vậy điện trường và từ trường chỉ là những thể hiện tương đối của trường
điện từ.Nó tương đối như hệ quy chiếu mà chúng thể hiện và xác định.Việc thể hiện riêng rẽ diện trường

và từ trường trong hệ quy chiếu quàn tính chỉ là cá biệt mà sự tồn tại và vận động của trường điện từ là
thống nhất,là tuyệt đối,có tính phổ biến và không thể chia cắt.

9


1.2.4 - VÉCTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN D
Ở trong chân không thì véctơ E đủ để mô tả trạng thái của điện trường nhưng ở trong môi trường chất thì
ảnh hưởng của chúng tới điện trường là rất lớn,cần phải được tính đến. Vì vậy ngoài véctơ E người ta còn
đưa ra biến trạng thái véctơ cảm ứng điện D.Nó chíng là sự tổ hợp của trạng thái trong chân không và
trạng thái phân cực trong chất điện môi.
Ta có:

D = ξo E + P

Trong đó: P = ξ 0 k p E được gọi là véctơ phân cực điện trong chất điện môi va k p là hệ số phân cực điện
trong chất điện môi.Và ta có
D = ξ 0 (1 + k p ) E = ξ 0ξ Î E = ξ E
Và ξ R = (1 + k p ) là độ thẩm điện môi tương đối trong chất điện môi

ξ = ξ 0ξ R là độ thẩm điện môi tuyệt đối trong chất điện môi.
Trong đó thì D & E là các thông số cơ bản của môi trường còn ξ R & ξ 0 & ξ là các thông số hành vi của
môi trường,giá trị của nó phụ thuộc vào bản chất môi trường điện môi.
1.2.5 - VẾC TƠ CƯỜNG ĐỘ TỪ TRƯỜNG H
Trong các chất từ môi có các dòng nội phân tử dưới tác dụng của từ trường ngoài chúng sắp xếp lại tạo ra
hiện tượng phân cực từ trong chất từ môi. Do đó ở trong chân không thì véctơ B đủ để mô tả trạng thái
của từ trường còn trong chất từ môi thì chúng ta phải tính tới ảnh hưởng của nó lên từ trường.Vì vậy
người ta đưa ra biến trạng thái véctơ cường độ từ trường H để mô tả từ trường trong các môi trường vật
chất khác.
Β = µ 0 .Η + Μ

Với Μ = µ 0 .K M .Η là véctơ phân cực từ.
⇒ Β = µ 0 (1 + K M ) Η = µ 0 .µ R .Η = µ .Η
⇒ Β = µ .Η
Với µ R là độ từ thẩm tương đối của môi trường từ môi.

µ = µ 0 .µ R là độ thẩm từ tuyệt đối của môi trường từ môi.
Α
Μ &Η =  
m
Η 
µ= 
m

µ , µ 0 , µ R được gọi là các thông số hành vi của môi trường từ môi.Các thông số hành vi này mô tả năng
lực phân cực từ của từ môi dưới tác dụng của từ trường Η .
1.2.6 - THÔNG SỐ TRẠNG THÁI VÀ HÀNH VI VỀ DÒNG ĐIỆN TRONG VẬT DẪN
Khi vật dẫn có dòng điện chạy qua thì bao giò cũng kèm theo hiện tượng tiêu tán, hiện tượng này chính là
hiện tượng tiêu tán năng lượng của trường điện từ và tổn hao năng lượng của trường. Vì vậy để đo dòng
điện chạy trong vật dẫn người ta đưa ra khái niệm véctơ mật độ dòng dẫn.
Kí hiệu:
10


i = ∫ J d .dS
S

Và ta có:
J d = γ .Ε

(4)

γ là hệ số dẫn điện của vật dẫn.Đơn vị là  S 
 m 

Α
J d =  m2 

 

Ε =  V 
 m 

1.2.7 - KẾT LUẬN
Qua việc khảo sát đưa ra các biến trạng thái và hành vi kể trên ta thấy rằng gồm 5 biến là: B,E,D,H,J. Các
biến đó đủ để mô tả các quá trình cơ bản giữa trường điện từ và môi trường chất. Trong đó B&E là các
biến trạng thái của trường. D,H,J mô tả mối quan hệ trường_môi trường chất. Các thông số µ , γ , ξ là các
thông số hành vi của môi trường. Các thông số này chỉ đúng trong trạng thái tĩnh và dừng của trường điện
từ,còn đối với trường điện từ biến thiên thì các tham số này không còn phù hợp, không còn chính xác
nữa.
Câu hỏi ôn tập chương 1:
1. Trình bày khái niệm và các thông số đặc trưng của trường điện từ.
Chương 2 - TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Trường tĩnh điện là trường được tạo ra xung quanh các điện tích đứng yên. Các thông số đặc trưng bao
gồm véctơ E và D.
2.1 - ĐỊNH LUẬT CULÔNG
Được tìm ra từ thực nghiêm vào năm 1785.
2.1.1 - PHÁT BIỂU
Xét hai điện tích điểm q1và q2 đặt ở trong không gian ở các vị trí 1 và 2. Thì giữa chúng sẽ tương tác với
nhau một lực nằm dọc theo đường thẳng nối giữa hai điện tích và lực này được gọi là lực tĩnh điện,có độ
lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai điện

tích và phụ thuộc vào môi trường đặt các điện tích.
2.1.2 - BIỂU THỨC
F12 =

q1 .q2
.R12
4.π .ξ .R 2

F21 =

q1 .q2
.R21
4.π .ξ .R 2

11


2.2 - CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
2.2.1 - ĐỊNH LÝ THÔNG LƯỢNG GAUSS
Được tìm ra từ thực nghiệm
a) Phát biểu
Thông lượng của véctơ cảm ứng điện D qua mặt kín S có giá trị bằng tổng đại số các điện tích chứa trong
mặt kín đó.
b) Biểu thức như sau
n

∫ D ×dS = ∑q
i =1

S

= Q (2)

i

vế phải của biểu thức chính là tổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V bao bởi mặt kín S dược xác
định theo biểu thức sau:
Q =
∫ρ×dV

(3)

V

C 
Trong đó ρ là mật độ điện tích khối  3 
m 
So sánh (2) và (3) ta có:

∫ D.dS = ∫ ρ .dV
S

(4)

V

Trong giải tích véctơ theo công thức Gass-Ostrograski ta có:

∫ D.dS = ∫ Div D.dV
S

V

Từ đó ta có biểu thức sau:
⇒ ∫ Div D.dV = ∫ ρ .dV
V

(5)

V

⇒ ρ = Div D
Với Div D =

∂Α x ∂Α y ∂Α z
+
+
∂x
∂y
∂z
⇒ DivΕ =

ρ
ξ

(5’)

Từ (5) và (5’) ta thấy rằng trường tĩnh điện là trường có nguồn, nguồn của trường chính là các điện tích tự
do sinh ra.
Mật độ của nguồn chính là mật độ của điện tích ρ

2.2.2 - TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN LÀ MỘT TRƯỜNG THẾ
Như đã biết trường tĩnh điện là do các điện tích đứng yên sinh ra tức là xung quanh điện tích q bao giờ
cũng tồn tại một điện trường tĩnh.Xét công của điện trường để dịch chuyển một điện tích +q từ vị trí 1 tới
vị trí 2 ở trong một hệ quy chiếu quán tính.
2

2

1

1

Α12 = ∫ FE .dl = q.∫ Ε.dl =

q.Q
4.π .ξ

1
1 
 −

 R1 R2 

(6)

12


Từ biểu thức trên ta thấy rằng công do điện trường tạo ra không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc
vào điểm đầu và điểm cuối.Do đó trường tĩnh điện là một trường thế.Còn nếu lấy biểu thức của công theo

đường cong kín thì nó sẽ triệt tiêu.
Α12 = ∫ Ε.dl = 0
L

(1 ≡ 2 )

(7)

Theo công thức Stốc ta có:

∫ Ε.dl = ∫ Rot Ε.dS
L

(8)

S

So sánh (7) và (8) ta được:
Rot E = 0
i
∂
Với Rot Ε =
∂x
Εx

j
∂
∂y
Εy

(9)

k
∂
∂z
Εz

Nhận xét:Từ biểu thức Rot E =0 ta thấy rằng trường tĩnh điện là một trường không xoáy,do đó các đường
sức điện trường không khép kín mà đi ra từ điện tích dương và đi vào điện tích âm.Tập hợp các điểm có
cùng điện thế thì được gọi là mặt đẳng thế.
2.2.3 - KHÁI NIỆM VỀ ĐIỆN THẾ VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ
a) Điện thế
Điện thế tại điểm M trong trường tĩnh điện bằng công của trường dịch chuyển một điện tích thử có giá trị
bằng +1 Culông từ điểm M ra xa vô cùng.
Biểu thức có dạng như sau:
∞

ϕ( M ) = ∫ E.dl =
M

Q
4πξR( M )

b) Hiệu điện thế U AB
Là công của điện trường làm xê dịch một điện tích thử q có giá trị = 1 Culông từ vị trí A tới vị trí B

U AB

A
Q  1

1 
 = ϕ A − ϕ B = ∫ E.dl 2.2.4 - MỐI QUAN
=
.
−
4πξ  RA RB 
B
HỆ GIỮA E VÀ ϕ

Viện là một trường thế nên ta có thể đặc trưng cường độ điện trường E bằng thế vô hướng
qua biểu thức sau:

ϕE

thông

E = − gradϕ E
Gradϕ E = e x .

∂ϕ E
∂ϕ
∂ϕ
+ e y . E + ez . E
∂x
∂y
∂z

2.3 - CÁC PHƯƠNG TRÌNH POAXÔNG VÀ LAPLAXƠ
13

Xuất phát từ 2 phương trình:
 Divξ .E = ρ

Ε = −Gradϕ E
Ta sẽ suy ra:
DivGradϕ E = −
⇔ ∆.ϕ E = −

ρ
ξ

ρ
ξ

(11) Đây chính là phương trình Poaxong.

Nếu trong môi trường không có điện tích thì ta có:
∆.ϕ E = 0

(12) Đây chính là phương trình Laplace
2.4 - NĂNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

Trường điện tĩnh bao giờ cũng mang năng lượng, năng lượng của trường tĩnh điện trong thể tích V được
xác định bởi công thức sau:
¦ WE =

1
Ε.D.dV
2 V∫

(J)

Trong môi trường đồng nhất đẳng hướng thì ξ = const nên năng lượng của trường điện tĩnh là:
¦ WE =

ξ
Ε 2 .dV
∫
2V

(J)
2.5 - ĐIỀU KIỆN BỜ CỦA TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

Xét điều kiện bờ của trường tĩnh điện là xét sự thay đổi của trường khi đi từ môi trường này sang môi
trường khác. Cụ thể là xét sự thay đổi của véctơ E & D
2.5.1 - VẬT DẪN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Theo định nghĩa thì vật dẫn lý tưởng là môi trường mà trong đó các điện tử tự do có thể chuyển động với
vận tốc hữu hạn.Trường điện từ trong không gian của vật dẫn nó chỉ tồn tại khi cường độ điện trường tĩnh
tại mọi điểm trong vật dẫn bằng 0.
Bởi vì khi đặt vật dẫn vào trong trường tĩnh điện thì dưới tác dụng của lực điện trường các điện tử tự do
bắt đầu chuyển động, các điện tích dương chuyển động cùng chiều điện trường còn các điện tích âm
chuyển động ngược chiều điện trường.Kết quả sự chuyển động này tiếp diễn cho tới khi các điện tích cảm
ứng cân bằng với điện trường ban đầu đặt vào vật dẫn nên thành phần tiếp tuyến ở mặt phân giới giữa vật

ρ

dẫn và điện môi bằng không ( Ε t = 0) còn thành phần pháp tuyến khác không  Ε n = S ≠ 0  .
ξ



C 
ρ S mật độ điện tích mặt phân bố trên vật dẫn  2 
m 
2.5.2 - ĐIỀU KIỆN BỜ GIỮA HAI CHẤT ĐIỆN MÔI
Các điều kiện bờ như sau:
Ε1t = Ε 2t
Thành phần tiếp tuyến liên tục tại mặt phân cách giữa hai môi trường điện môi tại bờ.
D1n − D2 n = ρ S
Thành phần pháp tuyến của véctơ cảm ứng điện là gián đoạn tại mặt phân cách giữa hai môi trường. Nếu
tại mặt phân cách không có điện tích phân bố ( ρ S = 0 ) thì ta có:
14


D1n = D2 n
⇔ ξ1 .Ε1n = ξ 2 .Ε 2 n
⇒

Ε1n ξ 2
=
Ε 2 n ξ1

Từ đó ta thấy thành phần pháp tuyến của véctơ cường độ điện trường gián đoạn tại mặt phân cách giữa
hai môi trường.
Câu hỏi ôn tập chương 2:
1. Trình bày định luật Culông và các tính chất cơ bản của trường tĩnh điện.
2. Thành lập phương trình Poaxong và laplaxơ
Chương 3 - DÒNG ĐIỆN VÀ MẬT ĐỘ DÒNG ĐIỆN
3.1 - CÁC KHÁI NIỆM
3.1.1 - Dòng điện là sự chuyển rời có hướng của các hạt mang điện trong điện trường hoặc là được tạo

bởi sự biến thiên của điện trường có kèm theo sự xuất hiện của từ trường.
Giả sử xét một thể tích V giới hạn bởi mặt kín S và trong thể tích này có một lượng điện tích q biến đổi
theo thời gian.nếu ta thừa nhận các điện tích này không tự nhiên mất đi mà nó chỉ chảy qua thể tích V đó
qua mặt S và sự chuyển dịch đó sẽ sinh ra dòng điện. Dòng điện này được xác định bởi tốc độ biến đổi
lượng điện tích q theo thời gian:
I =−

dq
dQ
=−
dt
dt

3.1.2 - Mật độ dòng điện J
Là một đại lượng véctơ có hướng trùng với chiều chuyển động của các điện tích tại điểm xét và có độ lớn
bằng lượng điện tích chảy qua một đơn vị bề mặt vuông góc với hướng chuyển động trong một đơn vị
thời gian:
I = ∫ J × dS
S

3.2 - CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA DÒNG ĐIỆN
3.2.1 - ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐIỆN TÍCH
Từ biểu thức của dòng điện I = −

dq
dt

Thực chất biểu thức này là định luật bảo toàn điện tích dưới dạng vi phân.Vì nó có mối liên hệ với véctơ
J , với sự biến đổi của điện tích trong không gian V giới hạn bởi mặt kín S

i=−
Ta có q = ∫ ρ × dV

dq
= J × dS
dt ∫S

V

⇒i=−
Hay

d
ρ × dV = ∫ J × dS
dt V∫
S

∂ρ

∫ J × dS = − ∫ ∂t × dV
S

V

áp dụng công thức biến đổi tích phân trong giải tích ta có
15


∫ J × dS = ∫ div J × dV
S

V

⇒ ∫ div J × dV = − ∫
V

V

⇒ div J = −

∂ρ
× dV
∂t

∂ρ
∂t

Đó là công thức vi phân của định luật bảo toàn điện tích. Theo công thức này thì mật độ dòng điện có
nguồn chính là các điểm của trường mà ở đó mật độ điện tích biến đổi theo thời gian. Đường sức của
véctơ mật độ dòng điện là những đường cong khép kín, chúng bắt đầu và kết thúc tại những điểm mà ở đó
mật độ điện tích biến đổi theo thời gian.
3.2.2 - ĐỊNH LUẬT ÔM
Nó biểu hiện mối quan hệ giữa mật độ dòng điện trong môi trường dẫn điện với E có biểu thức như sau:
J =γ ×E
Với γ là điện dẫn suất của vật dẫn, nó phụ thuộc vào tính dẫn điện của môi trường. Nếu trong vật dẫn lý
tưởng thì γ = ∞ còn trong môi trường điện môi thì γ = 0 .
Từ biểu thức trên ta có định luật Ôm dưới dạng vi phân như sau:
E=

J

γ

Có E × dl =

J
× dl
γ

J
J S
dl
× dl = ∫ × × dl = I ∫
= I×R
γ
γ S
γ ×S
L
L
L

⇔ ∫ E × dl = ∫
L

⇒ ∫ E × dl = I × R
L

(Định luật Ôm dưới dạng tích phân)

Chú ý:
Đối với dòng điện không đổi thì

dρ
= 0 ⇒ div J = 0
dt

Các đường sức của vectơ mật độ dòng điện không đổi là các đường sức không có nguồn (không có điểm
xuất phát và điểm kết thúc). Như vậy mạch của dòng điện không đổi phải là mạch khép kín, nó biểu thị
tính chất liên tục của dòng điện không đổi. Ngoài ra nó còn xác nhận tính liên tục của thành phần pháp
tuyến của vectơ mật độ dòng điện tại bờ ngăn cách giữa hai môi trường.
Nừu hai môi trường là vật dẫn và điện môi thì thành phần pháp tuyến bằng không còn thành phần tiếp
tuyến thì khác không.Vậy trên bề mặt vật dẫn chỉ có thành phần tiếp tuyến.
3.2.3 - SỨC ĐIỆN ĐỘNG NGOÀI VÀ ĐỊNH LUẬT KIRSHOFF
Ta xét một mạch kín của dòng điện không đổi, biểu thức cho dòng kín của dòng không đổi là:
dl

∫ E × dl = I ∫ γ × S
L

Vì vế trái bằng không nên vế phải cũng bằng không.Vì

L

dl
≠0⇒ I =0
γ ×S

16


Chứng tỏ rằng nó không được duy trì bởi các lực tĩnh điện. Muốn cho dòng điện không đổi tồn tại thì ta

phải đưa thêm vào mạch một nguồn lực ngoài không có nguồn gốc tĩnh điện. Các nguồn lực ngoài thường
có tính chất nhiệt, hoá,cảm ứng,.. Các lực này sẽ không phải là lực tĩnh điện mà cũng không phải các lực
có tính chất thế. Như vậy khi có một trường lực ngoài tác động mạch thì định luật Ôm viết cho điểm đó
có dạng:
J = γ ( E ng + E )
Lúc đó biểu thức tích phân đối với hai điểm 1 và 2 khi có lực ngoài tác động sẽ có dạng:
2

2

1

2

dl
⇔ e12 = ∫ E ng × dl = I × R
γ
S
1
1

∫ ( E ng + E ) × dl = I ∫
e12 : sức điện động cảm ứng nguồn ngoài

3.2.4 - CÔNG SUẤT CỦA DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI
Xét một đoạn dây dẫn AB hai đầu đặt điện áp U AB sao cho U A > U B . Khi đó trong mạch sẽ có một dòng
điện chạy từ A đến B.Và lúc đó dây dẫn sẽ toả ra nhiệt độ.Sự toả nhiệt này sẽ dẫn đến việc dịch chuyển
các điện tích từ A đến B.Và công dịch chuyển các điện tích được tính:
¦ W = Q(U A − U B )
Vì công dịch chuyển bằng hiệu điện thế ở hai điểm AB

Ta có: Q=It
⇒ W = I (U A − U B )t
dW= I(Ua-Ub)dt
dW/dt=I(Ua-Ub)
Tiếp tục biến đổi cuối cùng ta được:
P = R×I2
Câu hỏi ôn tập chương 3:
1.Trình bày các định luật cơ bản của dòng điện.

17


Chương 4 - CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG VỀ ĐIỆN CỦA MỘT HỆ VẬT DẪN
4.1 - KHÁI NIỆM CHUNG
Khi xét một điện trường ứng với một hệ vật dẫn thì thường thường ta phải giải phương trình Laplace của
điện trường ∆ϕ = 0 trong đó ϕ là thế vô hướng
Xét E = − gradϕ với ϕ ( x, y, z ) và E ( x, y, z )
Khi biết các thông số ϕ & E từ việc giải phương trình thì nó sẽ cho biết đầy đủ các thông tin về điện
trường của một hệ vật dẫn tức là biết được sự phân bố của ϕ & E , của năng lượng điện trường của điện
tích, từ đó chúng ta có thể tìm được điện tích tổng hợp của hệ vật dẫn cũng như biết được điện áp của cặp
vật dẫn.Các thông số đặc trưng của hệ vật dẫn như sau:

α ik là hệ số điện thế hay hệ số thế
β ik là hệ số tích điện
C ik là các điện dung bộ phận
Từ các thông số đặc trưng này nếu biết ta có thể suy ra được điện tích,điện áp,năng lượng của hệ vật dẫn
4.2 - HỆ SỐ THẾ α ik
Giả thiết cho n vật dẫn, mỗi vật dẫn sẽ mang điện tích từ q1 đến q n . Các điện tích này nằm dải trên các
vật dẫn trong một môi trường xác định và nó tạo ra các thế vô hướng ϕ trên các vật dẫn ϕ1 → ϕ n . Khi đó
ta sẽ có quan hệ hàm tuyến tính giữa các điện tích và điện thế thông qua hệ số thế α ik

 ϕ1 
 q1 
ϕ 
 
 2  = [α ] ×  q 2 
ik
 ... 
 ... 
 
 
ϕ n 
q n 
Với hệ số thế α ik xác định thì nó cho ta biết được mối quan hệ giữa q & ϕ . Nó mô tả đầy đủ hành vi toàn
cục của hệ vật dẫn_hành vi tương tác. Ta xác định được như sau:

α 11 =

∂ϕ1 ϕ11
=
∂q1
q1

α 1k =

∂ϕ1 ϕ1k
=
∂q k
qk

Trong đó: α 11 là hệ số thế trên vật 1 = điện thế đặt trên vật đó khi điện tích của nó

bằng 1Culông còn các vật khác không nạp điện. α 1k là hệ số thế trên vật 1 khi vật k được nạp một điện
tích là 1Culông còn các vật khác không nạp điện.
Chú ý: trong môi trường tuyến tính thì phương trình trên là tuyến tính.Lúc đó các hệ số thế có tính chất
tương hỗ α ik = α ki .
4.3 - HỆ SỐ THẾ CỦA ĐƯỜNG DÂY TRÊN KHÔNG
Thực tế người ta dùng các hệ số thế để tính toán hệ số thế của đường dây. Nếu đường dây đơn giản thì hệ
số thế của nó cũng đơn giản hơn các đường dây khác. Điện trường phân bố ở hai trục mang điện có điện
thế xác định tại các điểm tuỳ ý được xác định theo công thức sau:

ϕ=

R
τ
ln 2
2πξ R1

Trong đó τ là mật độ điện tích dài trên đường dây.Theo định luật Gauss ta có:
18


∫ D × dS = D ∫ dS = D × 2πR × l = τ × l
S

S

Với τ là mật độ điện tích mặt trên chiều dài l
Vậy D =

τ
τ

và E =
2πRξ
2πR

Ta xét một đường dây hai dây ánh xạ qua mặt đất với bán kính dây là R và nằm trong một môi trường
đồng nhất. Với điện trường của các điện tích và coi toàn bộ là môi trường không khí thì ta có sự phân bố
điện thế trên các đường dây như sau:
Đối với cặp 11' ta có:

ϕ11 =

l '
τ
ϕ
× ln 11 và ⇒ α 11 = 11
2πξ
R
τ

Tương tự như vậy đối với các cặp khác ta cũng có:

ϕ 21 =

l'
ϕ
τ
× ln 1 2 ⇒ α 21 = 21
2πξ
l12
τ

⇒ α 21 =

ϕ 21
τ 21

ϕ 22 =

l /
τ
ϕ
ln 22 ⇒ α 22 = 22
2πξ
R
τ

ϕ12 =

l /
ϕ
τ
ln 12 ⇒ α 12 = 12
2πξ l12
τ

Mặt khác l1/ 2 = l12 / nên α 12 = α 21
Tương tự như vậy ta sẽ tìm được hệ số thế của 3 hoặc 4 dây.
4.4 - HỆ SỐ TÍCH ĐIỆN
Từ bài trước ngược lại chúng ta có thể tính được mối quan hệ giữa các điện tích theo điện thế.Ta có
phương trình như sau:
 q1 

ϕ 1 
q 
 
 2  = [ β ] × ϕ 2 
 ... 
 ... 
 
 
q n 
ϕ n 
Ma trận [ β ] là ma trận hệ số tích điện đặc trưng cho toàn cục của một hệ vật dẫn trong điện trường.Từ
mối quan hệ giữa q & ϕ ta sẽ tính được các hệ số tích điện như sau:

β11 =

q1n
q11
và β1n =
ϕ1
ϕn

19


4.5 - ĐIỆN DUNG BỘ PHẬN GIỮA CÁC VẬT DẪN
Để đặc trưng cho mối quan hệ giữa điện tích và điện áp và mô tả mối quan hệ giữa điện tích và điện áp
trong hệ vật dẫn. Giả thiết khi đặt hệ vật dẫn giữa các điện áp U 11 , U 12 ,..........., U 1n thì các vật dẫn sẽ được
tích điện trong môi trường và tạo ra điện trường. Các đường sức của diện trường sẽ được chảy từ điện tích
này sang điện tích kia hoặc chảy từ điện tích này ra xa vô cùng và ta coi điện thế ở đó bằng không. Mối
quan hệ giữa điện tích và điện áp của n vật dẫn được thể hiện bằng hệ phương trình tuyến tính như sau:

q1 = C10U 10 + C12U 12 + .......... + C1nU 1n
q 2 = C 21U 21 + C 22U 22 + ........... + C 2 nU 2 n
..................................................................
q n = C n1U n1 + ............................... + C n 0U n 0
Trong đó C10 , C 20 , C i 0 là điện áp giữa vật thứ i với mặt đất. C ik là điện dung bộ phận giữa vật thứ i với vật
thứ k.Phương tình trên có ý nghĩa là điện tích q có thể tách thành n phần C10 , C12 ,........., C1n trong đó C10
là điện tích nạp lên vật 1 khi điện áp đặt lên nó là U 10 so sánh nó với đất trong khi các vật khác đều
không nối đất.
∂q1
trong đó q1n là điện tích đặt trên vật 1 khi điện áp đặt trên vật 1 và n là U 1n trong khi các vật
∂U 10
khác nối đất kể cả vật 1.Ta có:
C10 =

C1n =

q1n
U 1n

4.6 - ĐIỆN DUNG TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA ĐƯỜNG DÂY HOÁN VỊ
Một đường day hoán vị bao giờ cũng có tính đối xứng trong suốt chiều dài dây. Do đó mỗi dây sẽ lần lượt
ở mỗi vị trí khác nhau tương ứng lên các điện dung bộ phận của các dây dẫn với đất. Các điện dung này
hoàn toàn giống nhau và điện dung gữa hai dây bất kì là như nhau.Một đường dây hoán vị bao giờ cũng
được đặc trưng bởi một cặp điện dung bộ phận riêng đó là C i 0 & C ik .Điện dung là một thông số quan
trọng của dây cáp.
4.6.1 - ĐIỆN DUNG TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA ĐƯỜNG DÂY HAI DÂY HOÁN VỊ
Vì đường dây 2 dây hoán vị có tính đối xứng,nó được đặc trưng bởi một cặp điện dung bộ phận là
C10 , C 20 , C12 trong đó C10 & C 20 là điện riêng của từng đường dây với đất. C12 là điện dung tương hỗ giữa
dây 1 và dây 2. C12 được gọi là điện dung tương đương của đường dây 2 dây hoán vị.Ta có:
C12 =

q
U 12

Nếu biết C10 ,C 20 thì chúng ta cũng dễ dàng phát hiện ra điện dung tương đương giữa hai đường dây như
sau:giả thiết nguồn cung cấp cho hai đường dây vay hai đường dây này tạo thành một hệ cô lập.Theo định
luật bảo toàn điện tích hệ sẽ phải thoả mãn điều kiện: τ 1 = −τ 2 .Do đó ta gọi thế trên đường dây 1 là ϕ1 và
thế trên đường dây 2 là ϕ 2 .
Và ta có: ϕ1 = ( α ii − α ik )τ 1 = ( α ii − α ik )τ

ϕ 2 = ( α ii − α ik )τ 2 = −( α ii − α ik )τ
C12 = C =

q
τ
τ
1
=
=
=
U 12 ϕ1 − ϕ 2 2( α ii − α ik )τ 2( α ii − α ik )

20


Đó chính là công thức tính điện dung tương đương giữa dây 1 và dây 2.Nếu thay các thông số α ii & α ik
πξ
C=
l .l l
vào biểu thức trên thì ta có:

ln 11` 22` 12
R.l1`2
Trong trường hợp 2 dây này nằm ngang thì ta sẽ có:
l1`1 = l 2`2 = 2h : l12 = d : l1`2 = 4h 2 + d 2
⇒C =
ln

πξ
2hd
R 4h 2 + d 2

Và ta có cho trường hợp hai dây dặt đứng là:
Cd =

πξ
2 h1 h2 h1 − h2
ln
R ( h 1 + h2 )

4.6.2 - ĐIỆN DUNG TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA ĐƯỜNG DÂY 3 DÂY HOÁN VỊ
Đối với hệ thống đường dây 3 dây hoán vị nó cũng được đặc trưng bởi các cặp điện dung bộ phận riêng là
C ii & C ik .Trong chế độ làm việc của đường dây tải điện 3 pha thường được cung cấp bởi hệ thống điện 3
pha.Điện áp đặt giữa các dây dược gọi là điện áp dây còn điện áp giữa các dây với mặt đất được gọi là
điện áp pha.Vì vậy khi tính toán đường dây đối xứng thì người ta cũng phải đưa ra điện dung tương
đương giữa đường dây với đất và điện dung tương đương giữa các dây với nhau.Giả thiết gọi điện thế đặt
vào các dây là ϕ , ϕ 2 , ϕ 3 và các điện tích trên các đường dây là τ 1 ,τ 2 ,τ 3 .Theo định luật bảo toàn điện tích
ta có: τ 1 + τ 2 + τ 3 = 0 .Từ đó ta có thế trên các đường dây là:

ϕ1 = α iiτ 1 + α ik (τ 2 + τ 3 ) = ( α ii − α ik )τ 1

ϕ2 = ( αii − αik )τ 2
ϕ 3 = ( α ii − α ik )τ 3
Theo định nghĩa điện dung giữa đường dây với đất là:

CΨ =

τ1
τ1
1
=
=
ϕ1 ( α ii − α ik )τ 1 α ii − α ik
1
1
⇒ C∆ = CΨ =
3
3( α ii − α ik )

Thay α ii & α ik vào ta có
2πξ

CΨ =
ln

1
1 l12 l 23 l 31l1`1l 2`2 l3`3 và C ∆ = C Ψ
3
R
l1`2 l 2`3 l 3`1

Như vậy đối với 3 đường dây nằm ngang thì ta có: h1 = h2 = h3 = h
CΨ =

ln

2πξ
2hd

(

R 3 h 2 + d 2 4h 2 + d 2

)

Khi mắc đứng ta có:
21


2πξ

CΨ =
ln

1 h1 h2 h3 ( h1 − h2 )( h2 − h3 )( h3 − h1 )
3
( h1 + h2 )( h2 + h3 )( h3 + h1 )
R

Câu hỏi ôn tập chương 4:
1. Hệ số thế của vật dẫn và của đường dây trên không.

2.Hệ số tích điện của một hệ vật dẫn.
3.Điện dung bộ phận giữa các vật dẫn.
4.Điện dung tương đương của đường dây hoán vị.
Chương 5 - LỰC ĐIỆN TRƯỜNG TÁC DỤNG LÊN VẬT DẪN VÀ ĐIỆN MÔI
5.1 - CÁC KHÁI NIỆM
Khi các vật mang điện nằm trong điện trường thì sẽ chịu tác dụng bởi lực Lozen về điện và chúng có thể
dịch chuyển trong trường do có sự phân bố năng lượng của trường phân bố trong không gian.
Giả thiết khi đặt một vật mang điện tích q trong trường, vật này mang điện với mật độ điện mặt là δ .
Như vậy với mỗi vi phân diện tích vật sẽ chịu một vi phân lực dF. Tổng các vi phân lực này trên bề mặt
vật dẫn sẽ tạo ra một lực nén hoặc lực căng bề mặt và tương ứng với nó sẽ xuất hiện một ứng lực bên
trong vật dẫn.
Hợp lực này có xu hướng dịch chuyển vậy dẫn trong không gian. Nếu ta có điện trường đều và điện tích
phân bố trên bề mặt vậy dẫn đều thì tổng hợp lực trong điện trường đều sẽ bị triệt tiêu. Trong thực tế hầu
hết vậy dẫn đều có dạng hình tròn, tuy nhiên có những trường hợp lực phân bố không đều (không đối
xứng) thì vật sẽ bị dịch chuyển.
Trong chất điện môi thì dưới tác dụng của lực điện trường các điện tích thoát ra khỏi bề mặt tinh thể và
tạo thành các lưỡng cực điện và nó được phân bố trong các chất điện môi.Giả sử xét hai điện tích tạo
thành một lưỡng cực điện P = ql thì mômen tạo ra sẽ là: l F = ql E = P E trong trường hợp nếu l & E & F
song song với nhau thì lúc đó lực tổng hợp sẽ bi triệt tiêu.Nếu điện trường không đều thì
F = F + + F − = q E+ + E − ≠ 0

(

)

Khi đó tổng hợp lực của điện trường sẽ có xu hướng lôi lưỡng cực theo chiều mạnh.Với điện trường đều
thì sẽ không còn lực tác dụng lên lưỡng cực.Trong thực tế lực điện trường được ứng dụng rộng rãi trong
các máy gia tốc,ống tia âm cực,ống điện từ.
5.2 - LỰC ĐIỆN TRƯỜNG TÁC DỤNG LÊN VẬT DẪN MANG ĐIỆN
5.2.1 - PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC

Để xây dựng phương trình hay công thức tính lực tác dụng lên vật dẫn trong điện trường ta sẽ dựa vào sự
cân bằng động lực học trong một hệ thống tương tác tĩnh của trường. Giả thiết xét một hệ vật dẫn
( q k .... & ......ϕ k ) . Vật dẫn có năng lượng là WE , nguồn sẽ cung cấp thêm năng lượng cho các vật dẫn để
dịch chuyển thêm các hạt mang điện tức là nó nạp điện tích thêm cho các vật. Giả sử vật dẫn chịu tác
dụng của một lực F X lúc đó công dịch chuyển vật theo hướng x sẽ là:
FX dx = dAng − dWE
Hay FX =

∂A ng
∂x

−

∂WE
∂x

Ta xét trường hợp có nguồn áp và không có nguồn áp
5.2.2 - KHẢO SÁT
a) Khi không có nguồn áp
22


Dựa vào công thức trên ta có: FX = −

∂WE
∂x

Vậy lực dịch chuyển một vật mang điện theo chiều x bằng tốc độ giảm năng lượng của trường.Trong một
số trường hựp chúng ta có thể tìm được lực tác dụng theo chiều y & z.Ta có các lực FX & Fy & Fz với độ
lớn của các lực dịch chuyển vật dẫn theo các chiều là:

Fy = −

∂WE
∂W E
và Fz = −
∂y
∂z

⇒ F = Fx + Fy + Fz = −GradWE
Như vậy lực F có chiều và độ lớn bằng tốc độ giảm nhanh của năng lượng điện trường khi dịch chuyển
một vật mang điện trong trường. Trường có xu hướng đẩy vật về phía nào đó sao cho năng lượng của
trường giảm nhanh nhất.
b) Khi có nguồn áp
Khi có công điện trường tức là các nguồn áp đã thực hiện một công để dịch chuyển một vật dẫn nào đó,
tức là nó cung cấp thêm năng lượng cho trường để dịch chuyển vật đi một đoạn là dx. Khi đó các thế ϕ k
được xác định và đối với một hệ gồm n vật dẫn thì năng lượng điện trường sẽ được tính bằng công thức
sau:
¦ WE =

∑ϕ

dxWE =

∑ϕ

qk

k

2

Vi phân hai vế theo chiều x ta có:
k

dq k

2

Biểu thức trên cho ta thấy lượng tăng năng lượng điện trường khi dịch chuyển một vật theo chiều x. Vì có
các nguồn cung cấp thêm năng lượng nên thế của các vật dẫn được giữ cố định. Khi các vật dẫn dịch
chuyển đi một đoạn là dx, lúc này chỉ có sự phân bố điện tích của các vật dẫn, điện tích của nó có biến
động và nó sẽ tăng thêm một lượng là dq k . dq k là lượng điện tích tăng do các nguồn chuyển từ nơi có
điện thế bằng không đến các vật có thế bằng ϕ k . Như vậy nguồn đã cung cấp thêm một công dịch chuyển
dAng = ∑ ϕ k dq k hay 2dWE = ∑ ϕ k dq k .
Vậy khi có nguồn cung cấp thì công do nguồn cung cấp luôn gấp đôi sự tăng năng lượng của điện trường
với điều kiện ϕ k là một hằng số. Và từ đó ta suy ra được công của một nguồn cung cấp một phần để dịch
chuyển vật dẫn một phần để tăng năng lượng của trường, hợp lực tác dụng lên vật dẫn được tính bằng
biểu thức:
F = GradWE
Vậy khi có nguồn áp thì lực sẽ có chiều và độ lớn bằng tốc độ tăng nhanh nhất của năng lượng điện
trường và vật bị đẩy xa về phía nào đó của trường sao cho năng lượng của trường tăng nhanh nhất.

23


5.3 - LỰC ĐIỆN TRƯỜNG TÁC DỤNG LÊN ĐIỆN MÔI TUYẾN TÍNH
Dưới tác dụng của lực điện trường thì các điện tích liên kết trong các phân tử của chất điện môi sẽ bị kéo
ra khỏi vị trí cân bằng trong phân tử điện môi.Vì vậy nó nhận thêm năng lượng của trường tức là tăng thế
năng để hình thành lưỡng cực điện,lúc này lực tác dụng của điện trường được tính bằng biểu thức:
Fl =

∂W p
∂l

Với W p là thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường
Fl là lực kéo các điện tích trong một đơn vị thể tích theo chiều phân cực l
Từ công thức này ta sẽ suy ra được các lực theo không gian 3 chiều Fx & Fy & Fz . Tổng hợp các lực này
ta gọi là lực F trong một đơn vị thể tích chất điện môi phân cực. Ta có: F = Fx + Fy + Fz = GradW p
Như vậy chiều và độ lớn của lực F bằng tốc độ tăng nhanh nhất của mật độ thế năng điện môivà mật độ
thế năng của chất điện môi tính trong một đơn vị thể tích chất điện môi. Chất điện môi sẽ bị lôi về phía
nào đó sao cho thế năng của nó tăng nhanh nhất.
5.4 - LỰC ĐIỆN TRƯỜNG TÁC DỤNG LÊN ĐIỆN MÔI CÓ PHÂN CỰC
KHÔNG ĐỔI VÀ TĨNH ĐIỆN MÔMEN XOAY ĐIỆN MỚI
5.4.1 - LỰC ĐIỆN TRƯƠNG TÁC DỤNG LÊN CHẤT ĐIỆN MÔI CÓ PHÂN CỰC KHÔNG ĐỔI
Lực điện trường tác dụng lên chất điện môi có phân cực không đổi thường gặp ở những chất điện môi
tuyến tính có lưỡng cực P lớn. Vì vậy khi điện trường ngoài ít thay đổi cả về không gian và thời gian thì
lưỡng cực P coi như không đổi. Còn trường hợp nếu điện trường ngoài không đều và trong mối quan hệ
giữa lực điện trường và mật độ thế năng thì véctơ phân cực P là hằng số và chiều dài l cũng là hằng số,
vậy lưỡng cực điện bị xê dịch. Chất điện môi không bị căng thêm ra,thế năng của một lưỡng cực điện sẽ
được tính bằng biểu thức như sau: WP = q ϕ + − ϕ − = q.l.E = P.E

(

)

Trong đó ϕ + & ϕ − ứng với vị trí của một lưỡng cực điện. Từ năng lượng ta có thể suy ra được lực tác
dụng lên lưỡng cực điện như sau:

( )

F = GradWP = Grad P.E

đây chính là lực điện trường tác dụng lên chất điện môi tuyến tính có phân cực không đổi trên một đơn vị
thể tích. Công thức này có ý nghĩa là lực điện trường có xu hướng lôi lưỡng cực của chất điện môi về phía
trường mạnh hơn tức là về phía trường tăng nhanh nhất.
5.4.2 - MOOMEN XOAY
Trong chất điện môi có phân cực tuyến tính có phân cực bằng hằng số,gọi mômen của lưỡng cực điện là
P = q.l , tức là nó dịch chuyển một đoạn l trong điện trường E, cụ thể nó chịu tác dụng của một lực như
sau: F = q.E . Do đó mômen xoay chất điện môi sẽ bằng: T = F .l = q.E.l = P.E
Từ biểu thức của mômen xoay ta thấy mômen xoay là một đại lượng có hướng, nó chỉ rõ mômen có xu
hướng lôi lưỡng cực về cùng một phía,cùng một chiều với điện trường. Nó chỉ triệt tiêu khi P & E song
song với nhau.
Câu hỏi ôn tập chương 5:
1.Lực điện trường tác dụng lên vật dẫn .
2.Lực điện trường tác dụng lên điện môi .

24


Chương 6 - TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
6.1 - NHỮNG KHÁI NIỆM
Trường điện từ dừng là trường có sự phân bố của dòng điện không đổi trong các môi trường dẫn đứng
yên trong hệ quy chiếu quan sát. Nó là trường hợp riêng của trường điện từ khi trạng thái của nó không
biến thiên theo thời gian. Đó chính là dòng điện có tiêu tán trong môi trường dẫn.
PT của điện trường dừng và từ trường dừng
- Điện trường dừng:
- Từ trường dừng:
6.2 - ĐIỆN TRƯỜNG DỪNG TRONG VẬT DẪN
6.2.1 - KHÁI NIỆM
a) Điều kiện duy trì điện trường dừng trong vật dẫn

Như đã biết thì với điện trường tĩnh thì dòng điện trong vật dẫn bị triệt tiêu vì không có sự chuyển động
của các hạt mang điện. Khi môi trường dẫn khép kín với các cực của nguồn điện thì lúc đố xuất hiện dòng
điện chảy liên tục vì trường điện từ đã tiếp thêm năng lượng cho các hạt mang điện làm cho các hạt
chuyển động tạo thành dòng điện. Như vậy điều kiện để duy trì điện trường dừng trong vật dẫn là như
sau:
Về điều kiện bờ thì môi trường dẫn phải khép kín qua nguồn
Về điều kiện nguồn thì phải có một nguồn không đổi có khả năng cung cấp năng lượng một cách thường
xuyên và không đổi cho các hạt tự do trong vật dẫn.
b) Tính chất của điện trường dừng
Sự tồn tại của điện trường dừng trong vật dẫn thể hiện qua sự tác động tương tác động lực học và cung
cấp năng lượng cho các điện tử tự do trong vật dẫn.Đồng thời kèm theo quá trình tiêu tán biến thành
nhiệt.
Nếu vật dẫn có hình dạng phức tạp thì năng lượng tiêu tán được tính bằng biểu thức sau:
P = R.i 2 = u.i = ∫ E.dl.∫ J .dS
L

S

Khi dòng dẫn trong điện trường dừng liên tục tức là J d = 0 thì các đường sức của véctơ mật độ dòng dẫn
là khép kín,nó thể hiện tính liên tục của dòng điện.
điện trường dừng trong vật dẫn có tính chất thế thể hiện qua phương trình: Rot E = 0 và có thể biểu diễn
điện trường bằng thế vô hướng: E = −Gradϕ .
c) Phương trình cho thế vô hướng và điều kiện bờ
Phương trình cho thế vô hướng như sau:
DivGradϕ = ∆ϕ = 0
Điều kiện bờ: xuất phát từ phương trình Rot E = 0 và Div J = 0 ta có điều kiện bờ như sau:
E1t = E 2t và J 1n = J 2 n
Trong trường hợp riêng ta có điều kiện bờ giữa vật dẫn và chất điện môi lý tưởng (bờ tiếp giáp giữa vật
rắn 1 và chất điện môi lý tưởng 2 có J = 0 & γ = 0 )thì ta có:
E1t = E 2t

E1n = 0
J 1n = J 2 n = 0
d) Các thông số tiêu tán của điện trường dừng
25