20 đề ôn cuối kì giải tích 2

www.tanbachkhoa.edu.vn
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh
Thời gian làm bài: 90phút
Đề luyện tập số 1.
Câu 1. Tìm khai triển Taylor của f ( x, y ) =

2x + y
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
x+ y

Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y + xy − 12 x − 3 y .
2

2

n

∞

u
1 
 2

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n với un=  2 + 2  và vn= 1 + 
n 

 n
n =1 v n

n2

(−1)n −1 x 2 n
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n
n =1 4 (3n − 1)
1
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫
dxdy , trong đó D là miền phẳng giới
2
2
D x + y
∞

hạn bởi 2 x ≤ x + y ≤ 6 x, y ≥ x ,
2

2

(

Câu 6. Tính tích phân I = ∫ e
C

x2

)

+ xy dx + ( y cos y + x 2 )dy với C là chu vi tam giác ABC,

A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính I = ∫ ydx + ( z + x)dy + xdz , với C là giao của x 2 + y 2 = 1 và z = y + 1 , chiều kim đồng
C

hồ theo hướng dương trục 0z.

(

Câu 8. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x + y
nằm giữa hai mặt phẳng z = 0, z = 1 .

S

2

2

) dS , trong đó S là phần mặt nón z

2

= x 2 + y2 ,

Đề luyện tập số 2.
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = xe

xy

2

2

. Tính d f (2,1) .

Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )e1− x

2

+ y2

trên miền D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 4}

 n −1 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑ 

n=2  n + 2 
∞

n ( n+ 2)

1.3.5...(2n − 1) n +1
.3
n =1 2.4.6...( 2 n)
∞

b/

∑

(−1)n ( x − 3)n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
3
n =1 2n + ln n

∞

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ e

− x2 − y2

dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn

D

bởi 1 ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x 3 ,
2

2

Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y )dy , với C là phần đường cong y = x + sin x , từ

A(0,0) đến B(π , π ) .

C

Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z = R 2 − x 2 − y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = Rx .
1


Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi
S

x + y + z ≤ 4, z ≥ x + y , phía trong.
2

2

2

2

2

Đề luyện tập số 3.
x
2
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln . Tính d f (1,1)
y
3 9
+ với x > 0, y > 0
x y

Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +

1 ⋅ 4 ⋅ 7⋯ (3n − 2)
(2n − 1)!!
n =1
∞

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑

n!( x − 4) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
nn

n =1
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + 2) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn
∞

D
2

2

x
y
+
≤ 1, y ≥ 0
9
4
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( 2 x + y ) dx + ( 3 x + 2 y ) dy , trong đó C là biên của miền phẳng giới
bở i

C

hạn bởi y = 2 − x , y = − x , chiều kim đồng hồ.
2

Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z = x 2 + y 2 nằm trong hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z .
Câu 8. Tính I = ∫∫ 2 xdS , với S là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt phẳng z = 1, z = 4 .
S

Đề luyện tập số 4.
2
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = 4 y + sin ( x − y ) . Tính d f (0,0)

2

2

Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x y + 12 x − 8 y.
3

2

2 ⋅ 5 ⋅ 8⋯ (3n − 1)
n =1 1 ⋅ 5 ⋅ 9⋯ (4n − 3)
∞

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑

(−1)n ( x + 1) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3n
n =1 2 (n + 1)ln( n + 1)
∞

Câu 5. Tính tích phân

∫∫

x 2 + y 2 . ln( x 2 + y 2) dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2 ≤ e2

D

Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích

phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều
L

ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z + x 2 + y 2 = 2 nằm trong hình paraboloid z = x 2 + y 2 .

Câu 8. Tính I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , phía trên.
S

Đề luyện tập số 5.
2


 f = f (u ) = u 3 + sin u;
∂2 f
, với 
x
∂x∂y
u = 2 xy + e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 2 x 2 + 12 xy + y 2 ; x 2 + 4 y 2 = 25
Câu 1. Tính

∞

 2n 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n + 2 

n =1
 n −1

Câu 5. Tính tích phân

∫∫ arctg (

∞

(−1) n+1 2 n +1 ( x − 5) n

n =1

(n + 1) ln(n + 1)

∑

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:

3n

3

)

x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3

D

Câu 6. Chứng tỏ tích phân I = ∫ e

x− y

C

[(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] không phụ thuộc đường đi.

x2 y2
Tính tích phân I với C là phần ellipse
+
= 1 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
9
4
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y = 2 − x 2 , y = 1, z = 0, z = 3 x , lấy phần z ≥ 0.
Câu 8. Tính I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3 z ) dxdz + z 2 dxdy , với S là phần mặt phẳng x + y + z = 4 nằm trong
S

hình trụ x + y = 2 y , phía trên.
2

2

Đề luyện tập số 6.
∂2z
(1,1)
∂x∂y
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1

Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x

2 3

y

. Tính dz(1,1) và

1 ⋅ 4 ⋅ 9⋯ n 2
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
n =1 (4n − 3)!!
∞

∞

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

(−1) n .3 n +1

∑4
n =0

n+2 3

. n +1

( x − 1) n

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ 4 − x − y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2

2

D

x + y = 1, y ≤ x .
2

2

Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x y + x − y ) dx + ( y − x − xy ) dy , với C là nửa bên phải của đường
2

2

C

tròn x + y = 4 y , chiều kim đồng hồ.
2

2

Câu 7. Tính tích phân đường loại một I = ∫∫ x 2 + y 2 dl , với C là nửa trên đường tròn x 2 + y 2 = 2 y .
C

Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I =

∫ ( x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao

của

C

x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

Đề luyện tập số 7.
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và

∂2z
( 2 ,1)
∂x 2

3


Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 1 − 4 x − 8 y; x 2 − 8 y 2 = 8 .
∞

2n n!
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n
n =1 n
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Câu 5. Tính tích phân

∫∫
0

dxdy
3+ x + y
2

∞

(n + 2)(x + 1)n

n =0

5 n + 2. n 6 + 1

∑

với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2=

2

1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 .
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny trong đó α là hằng số. Tìm α để
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân
đường ∫ [( x, y ) − y 3 ]dx + [Q( x, y ) + x 3 ]dy trong đó ( γ ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương
γ

(ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x 2 dS , với S là nửa trên mặt x 2 + y 2 + z 2 = 4
S

Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I =

∫ (3x − y

2

)dx + (3 y − z 2 )dy + (3 z − x 2 )dz , với C là giao của

C

z = x + y và z = 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
2

2

Đề luyện tập số 8.
Câu 1.

Tìm

zx' , zy'

của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x + y + yz = ln z
3

2

Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 trên miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1}
∞

 2n 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑ 

n = 2  2n + 1 
∞

Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

∑
n =1

Câu 5. Tính tích phân kép

∫∫

n ( n −1)

∞

b/

1.4.9...n 2
.5 n + 2
∑
n =1 1.3.5...( 2 n − 1) n!

(−1) n ( x − 2) n
3n +1

3

n4 + n2 + 1

9 − x 2 − y 2 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường

D

tròn x + y = 9, y ≥ 0 và các đường thẳng y = x, y = -x
2

2

−y

Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e . Tìm hàm h(x) để biểu thức
h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích
phân ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục
L

tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).

Câu 7. Tính I = ∫∫∫ 2 zdxdydz , với V giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z và z + x 2 + y 2 = 1 .
V

Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + 2 y )dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy , với S là phần mặt
S

paraboloid z = x + y , bị cắt bởi z = 2 − 2 x , phía dưới.
2

2

Đề luyện tập số 9.

4


 2−1 2
 x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0)
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của f ( x, y ) = e

 −3,
if ( x, y ) = (0, 0)
2
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4
∞

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của

∑ (u n + v n ) với u n
n =1

∞

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∑
n =0

 4n − 1 
=

 4n + 1 
( x + 3) n

n ( 4 n +1)

, vn =

2.4.6...(2n).n n

4.7.10...(3n + 1).n!

4 n + 2.4 n 3 + 1

∫∫ dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x +y
2

Câu 5. Tính J=

2

= 2x, x2+y2 = 6x và các

D

đường thẳng y = x, y = 0.
Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I= ∫ h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt đường x2 = y2.

[

]

AB

Câu 7. Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn bởi z = x 2 + y 2 và z + x 2 + y 2 = 2 .
V

Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy , với S là phần mặt
S

paraboloid x + y + z = 2 x , phần z ≤ 0 , phía dưới.
2

2

2

Đề luyện tập số 10.
 xy
, if ( x, y ) ≠ (0, 0)

Câu 1. Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x 2 + y 2
 0,
if ( x, y ) = (0, 0)

//

Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y − x − y − 2 xy, x ≠ 0.
4

4

2

2

2n

 n +1 

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ 

n =1  2n + 1 
∞ ( x − 4) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
n =1 n n + 2
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới
∞

D

hạn bởi x + y ≤ 4, x ≥ 0
2

2



x
y
y
1
−
dx
+
+
∫(1,1)  x 2 + y 2 x 2   x 2 + y 2 x dy , theo đường cong C






(2,3)

Câu 6. Tính tích phân I =

không qua gốc O và không cắt trục tung.
1
Câu 7. I = ∫∫∫ 2
dxdydz , với V được giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ x 2 + y 2
2
2
x
+
y
+
z
V

Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S là phần mặt
S

paraboloid z = x + y nằm dưới mặt x + z = 2 , phía trên.
2

2

5

www.tanbachkhoa.edu.vn
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh
Thời gian làm bài: 90 phút.
Hình thức thi: Tự luận.
Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm.
Đề luyện tập số 11.
Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi x + y + z 2 ≤ 2 y , y ≥ x 2 + z 2 .
Câu 2. Trên mặt phẳng x + y − 2 z = 0 tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng
x + 3 z − 6 = 0 và y + 3 z − 2 = 0 là nhỏ nhất.
∞
(3n − 1)!
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3 3
3
2
n =1 1 ⋅ 2 ⋅⋅⋅ n ⋅ 5
2

2

(−5) n ( x + 2) 2 n
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n
n =1 3 (2n + 1) n + 2
∞

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫
hạn bởi −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 .

y − x 2 dxdy , trong đó D là miền phẳng giới

D

Câu 6. Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ ( y + z )dxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
V

z = x + y , x + y = 4, z = 2 + x + y 2 .
2

2

2

2

2

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ (2 x + y )dydz , với S là phần mặt z = x 2 + y 2 bị cắt bởi mặt
z = 4 , phía trên theo hướng trục Oz.

S

Đề luyện tập số 12.
của hàm f ( x, y ) = 2 + 4 − x 2 − y 2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng
Câu 1. Tính
này như là hệ số góc của tiếp tuyến.
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3 xy trên miền 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2

f x' (1,1)

(−1)n
n

n =1 n + 1
∞

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: ∑

∞

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑

n =1

(2n + 1)( x − 3) n
3n3 + n ⋅ ln 3 n

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ max { x, y} dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn
D

bởi 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 .
Câu 6. Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ xdxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
V

x + y + z ≤ 0, x + y + z ≤ 4 .
2

2

2

2

2

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dxdz + z 3dxdy với S là mặt phía ngoài của vật thể
S

giới hạn bởi x + z ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 .
2

2

2

Đề luyện tập số 13.

1


Câu 1. Tính f y' (0,1) của hàm f ( x, y ) = 3 − 2 x 2 − y 2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như
là hệ số góc của tiếp tuyến.
xy
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z = ( x + y )e trên miền −2 ≤ x + y ≤ 1 .

(−1)n
n + (−1) n

∞

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑

n =1

Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của f ( x) =

2x + 3
, tại x0 = 1 và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
x − 5x + 6
2

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ xy dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1 ≤ x + y ≤ 4.
2

D

(

Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x 2 + y 2

)

2

2

= 2 xy, z = x + y, z = 0 ( x > 0) .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ 2 xds với S là phần mặt phẳng x + y + z = 2 nằm trong hình
S

cầu x + y + z = 4 .
2

2

2

Đề luyện tập số 14.
Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi y ≤ 4 − x 2 , y ≥ 1 − x 2 , z ≥ 0, z ≤ 2 x .
Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m2 bìa carton. Tìm
thể tích lớn nhất của cái hộp này.
∞

1
n =1 n (n + 1)( n + 2)

Câu 3. Tính tổng S = ∑

x

dt

Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của f ( x) = ∫

và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
1− t 4
x2 y 2
+
≤ 1, x 2 + y 2 ≥ 1.
Câu 5. Tính tích phân ∫∫ y dxdy với D là miền
16 9
D

2
2
2
Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu x + y + z = 18 nằm trong hình nón x 2 + y 2 = z 2 .
0

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ yds , với S là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt
S

phẳng z = 0, z = 3 .

Đề luyện tập số 15.
Câu 1. Cho f = f (3 x + y 2 , e xy ) . Tính

∂f ∂ 2 f
,
.
∂x ∂x∂y

Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón z 2 = x 2 + y 2 , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0).

2n + 3
n
n =1 5
∞

Câu 3. Tính tổng ∑

x+3
và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.

x −3
Câu 5. Tính tích phân ∫∫ max {sin x,sin y}dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π .

Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f ( x) = arctan
D

(

)

(

)

(

)

Câu 6. Tính tích phân đường I = ∫ 2 y + z 2 dx + 2 z + x 2 dy + 2 x + y 2 dz , với C là giao của mặt
C

phẳng x + y + z = 1 và mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.

2


Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ zdxdy với S là nửa mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9 , phần y ≥ 0 ,
S

phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy).

Đề luyện tập số 16.
u
∂2 f
.
Câu 1. Cho f = f (u, v) = arctan , u = u ( x, y ) = 2 x3 + y 2 , v = v( x, y ) = x + 2 y . Tính
v
∂x∂y
Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3
mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng x + 2 y + 3 z = 6 . Tìm thể tích lớn nhất.

(−2)n
Câu 3. Tính tổng ∑
n +1
n =1 n ( n + 2) ⋅ 7
∞

)

(

Câu 4. Tìm chuỗi lũy thừa của hàm f ( x) = ln x + 1 + x 2 và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.

 x2 y 2 
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ 
 + 9  dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
D  16

x = 0, y = 0, x = 4sin t , y = 3cos t , t ∈ [ 0,π / 2] .
Câu 6. Tính tích phân đường I = ∫ 3 zdx + 2 xdy + ydz , với C là giao của mặt phẳng x + z = 2 và mặt

C

cầu x + y = 4 theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.
2

2

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dzdx , với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid
S

2

2

x
z
+ y2 +
= 1,
16
9

( z ≥ 0) .
Đề luyện tập số 17.

)

(

Câu 1. Cho f ( x, y ) = y + ln 3 + 3 x 2 y . Tìm

∂f
∂f
(0, 0), (0, 0) .
∂x
∂y

Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = e xy ; x3 + y 3 = 16 .

(n − 1)
n =1 2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ (2n)
∞

Câu 3. Tính tổng ∑

+∞

Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫

(

0

)

xdx
ex +1

Câu 5. Tính tích phân ∫∫ sign x − y + 2 dxdy với D 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 .
0

2

2

(

)

(

)

(

)

Câu 6. Tính tích phân đường I = ∫ y 2 + z dx + z 2 + x dy + x 2 + y dz , với C là giao của mặt nón
C

y 2 + z 2 = x và mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox.
.Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , với S là mặt trong của vật thể
S

giới hạn bởi 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, y ≥ x 2 + z 2 .

Đề luyện tập số 18.
 x −y
, ( x, y ) ≠ (0, 0)
∂2 f
∂2 f

∂2 f
∂2 f
 xy 2
2
Câu 1. Cho f ( x, y ) =  x + y
. Tìm
(0, 0), 2 (0, 0),
(0, 0),
(0, 0) .
∂y∂x
∂x∂y
∂x 2
∂y

0,
( x, y ) = (0, 0)

Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y ) = 4 x + 6 y với điều kiện x 2 + y 2 = 13 .
2

2

3


(−2) n
n
n =1 3 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n + 1)
∞

Câu 3. Tính tổng S = ∑

1

Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫ ln
0

1
dx
1− x

Câu 5. Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi x + 3 y ≤ 1, y ≥ 0, y ≥ x .
2

(

)

(

2

)

Câu 6. Tính tích phân I = ∫ x3 + ye xy dx + y 2 + xe xy dy , trong đó C là phần elip
C

x2 y2
+
= 1 từ

16 9

điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ ( x − 1)3 dydz + 3 ydzdx + 5 zdxdy , với S là mặt ngoài của nửa
S

dưới mặt cầu x + y + z = 2 x, z ≤ 0 .
2

2

2

Đề luyện tập số 19.
Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi z = 4 + x 2 , x 2 + y 2 = 2 y, x + y + z = 2 .
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 35 .
∞
1
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
∑
n
n = 2 n + ( −1)
n
x ln(1 + 3t )
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của f ( x) = ∫
dt và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
t
0
Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 6 x, y ≤ x 3, y + x ≥ 0 .
Câu 6. Tính tích phân đường I = ∫ y 2 dl , C là cung Cycloid x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π .

C

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ z 2 dxdy , S là mặt trong của nửa mặt cầu
S

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + z = 4, z ≥ 0 .
2

2

Đề luyện tập số 20.
Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm z = z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình x + y + z = e z .
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y, z ) = x + 2 y + 3 z với hai điều kiện x − y + z = 1 và x 2 + y 2 = 1 .
∞
2n − 1
Câu 3. Tính tổng
∑ 2
2
n =1 n ( n + 1)
∞

( −1)n −1 ( x + 2)2n

n =1

n + n +1

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑

Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x − y ) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới
D

hạn bởi đường astroid x = a cos t , y = a sin 3 t , 0 ≤ t ≤ π / 2 , và các trục tọa độ.
Câu 6. Tính tích phân đường loại một I = ∫ ( x + y )dl , C là cung bên phải của đường Lemniscate có
3

C

phương trình trong tọa độ cực r = a cos 2ϕ , a > 0 .
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ yzdydz + zxdxdz + xydxdy , với S là biên của vật thể giới hạn
2

2

S

bởi x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , định hướng phía trong.

4