skkn rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT MỸ HÀO
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SNH THPT
QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN”

Giáo viên: Lưu Thị Kim Tuyến
Tổ

: Toán

Năm học 2013 - 2014


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
1
A. T VN
I. Lý do chn ti
- Trong chng trỡnh toỏn hc lp 11, 12 trng THPT, bi toỏn v khong cỏch
trong khụng gian gi mt vai trũ quan trng, nú xut hin hu ht cỏc thi tuyn sinh
vo i hc, cao ng; thi hc sinh gii, cỏc thi tt nghip trong nhng nm gn
õy. Mc dự vy õy l phn kin thc ũi hi hc sinh phi cú t duy sõu sc, cú trớ
tng tng hỡnh khụng gian phong phỳ nờn i vi hc sinh i tr, õy l mng kin
thc khú v thng mt im trong cỏc kỡ thi núi trờn.
- Trong ging dy thỡ hot ng ch o v thng xuyờn ca hc sinh l hot ng
gii bi tp, thụng qua ú hỡnh thnh k nng k xo ng thi rốn luyn trớ tu. Vỡ vy

nú c quan tõm nhiu trong dy hc. Ch khong cỏch trong khụng gian c trỡnh
by c th v chỳ trng, tuy nhiờn bi tp v vn ny ó gõy ra khụng ớt khú khn,
vng mc cho nhng ngi hc toỏn.
- Trớ tng tng khụng gian, kh nng v hỡnh biu din, bit liờn h, xõu chui
kin thc s gúp phn quyt nh trong vic tỡm ra li gii ca mt bi tp hỡnh hc.
Nhng mt bi toỏn v khong cỏch cũn ũi hi cú s nhy cm, linh hot xỏc nh v
i n li gii c th. ú l tim nng ln phỏt trin trớ tu cho hc sinh khi gii cỏc
bi toỏn v khong cỏch.
- Vi hc sinh vic gii bi tp v khong cỏch ó mt nhiu thi gian thỡ vi giỏo
viờn vic phỏt trin t duy sỏng to thụng qua cỏc bi tp ú li cng mt nhiu thi gian
v cụng sc hn. Chớnh nhng khú khn ú ó cn tr n quỏ trỡnh truyn th kin thc
v phỏt trin trớ tu cho hoc sinh trong hot ng ging dy.
- Toỏn hc l mụn khoa hc rốn luyn t duy sỏng to cho hc sinh v hỡnh hc
khụng gian l mt chng rt tt thc hin nhim v ny.
Xut phỏt t nhng lớ do trờn, tụi ó chn ti: RẩN LUYN T DUY
SNG TO CHO HC SINH THPT QUA DY HC CC BI TON TNH
KHONG CCH TRONG KHONG GIAN
II. i t n n hiờn c u

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
2
uỏ trỡnh dy hc cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch trong khụng gian trng THPT.
III. M c ch n hiờn c u
Xõy dng v s dng h thng bi toỏn gúp phn phỏt trin t duy sỏng to cho
hc sinh Trung hc ph thụng trong vic dy hc cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch trong

khụng gian.
IV. Nhi m v n hiờn c u
+ Nghiờn cu lớ lun v t duy, t duy toỏn hc, t duy sỏng to.
+ Tỡm hiu, nghiờn cu mt s yu t ca t duy sỏng to qua ú xut mt s bin
phỏp rốn luyn t duy sỏng to cho hc sinh trong dy hc cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch
trong khụng gian.
+ T chc thc nghim s phm nhm kim nghim tớnh kh thi v tớnh thc tin ca
sỏng kin kinh nghim.
V. Ph n

hỏ n hiờn c u

+ Phng phỏp nghiờn cu lớ lun
+ Phng phỏp iu tra, kho sỏt
+ Thc nghim s phm
VI. Gi thuyt ho hc
Nu giỏo viờn bit khai thỏc v t chc dy hc cỏc bi toỏn Tớnh khong cỏch
trong khụng gian thỡ cú th nõng cao hiu qu dy hc ni dung ny, giỳp khc phc
c mt s khú khn v sai lm ca hc sinh, gúp phn phỏt trin t duy sỏng to cho
hc sinh Trung hc ph thụng.
VII. Thi i n hon thnh: Thỏng 3 nm 2014.
VIII. Cỏc quy c,

hi u, ch vit tt

SKKN: Sỏng kin kinh nghim
HS: Hc sinh.
GV: Giỏo viờn.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến

Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
3
C: i chng.
TN: Thc nghim.
THPT: Trung hc ph thụng.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
4
B. NI DUNG
I. C S Lí LUN V THC TIN
1.1. T duy sỏn to, cỏc thnh hn c t duy sỏn to
) T duy sỏn to
T duy sỏng to l mt dng t duy c lp, to ra ý tng mi c ỏo v cú hiu
qu gii quyt vn cao. í tng mi th hin ch phỏt hin ra vn mi, tỡm ra
hng i mi, to ra kt qu mi. Tớnh c ỏo ca ý tng th hin gii phỏp l, him,
khụng quen thuc hoc duy nht.
Theo GS.TSKH Nguyn Cnh Ton cú núi Ngi cú úc sỏng to l ngi cú kinh
nghim phỏt hin vn v gii quyt c vn t ra .
Tựy theo mc ca t duy, ngi ta ó chia thnh ba loi hỡnh: T duy tớch cc,
t duy c lp, t duy sỏng to, mi mc t duy i trc l tin to nờn mc t
duy i sau.

Cú th biu th mi quan h gia ba loi hỡnh t duy nh sau:
Ba vũng trũn ng tõm v t duy ca V.A Krutexcki
T duy sỏng to

to to
T duy c lp

T duy tớch cc

Nh vy cú th hiu t duy sỏng to l s kt hp cao nht ca t duy c lp v
t duy tớch cc, to ra cỏi mi c ỏo v cú hiu qu gii quyt vn cao.
b) Cỏc thnh hn c t duy sỏn to

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
5
Nhiu nh nghiờn cu v tõm lý hc, giỏo dc hc ó a ra cỏc cu trỳc khỏc
nhau ca t duy sỏng to. Tuy nhiờn theo cỏc tỏc gi Nguyn Bỏ Kim, Vng Dng
Minh, Tụn Thõn thỡ t duy sỏng to cú nhng thnh phn c bn sau õy.
+ T nh mm do:
ú l nng lc thay i d dng, nhanh chúng trt t ca h thng tri thc, chuyn
t gúc quan nim ny sang gúc quan nim khỏc, nh ngha li s vt hin tng,
xõy dng phng phỏp t duy mi, to ra s vt mi trong nhng mi quan h mi hoc
chuyn i quan h v nhn ra bn cht ca s vt v iu phỏn oỏn. Tớnh mm do ca
t duy cũn lm thay i mt cỏch d dng cỏc thỏi ó c hu trong hot ng trớ tu
ca con ngi.

+ T nh nhun nhuyn
ú l nng lc to ra mt cỏch nhanh chúng s t hp gia cỏc yu t riờng l ca
tỡnh hung hon cnh, a ra gi thuyt mi v ý tng mi. L kh nng tỡm c nhiu
gii phỏp trờn nhiu gúc v tỡnh hung khỏc nhau. Tớnh nhun nhuyn c c trng
bi kh nng to ra mt s lng nht nh cỏc ý tng. S ý tng cng nhiu thỡ cng
cú nhiu kh nng xut hin ý tng c ỏo. Trong trng hp ny cú th núi s lng
lm ny sinh cht lng.
+ T nh c ỏo
L nng lc c lp t duy trong quỏ trỡnh xỏc nh mc ớch c ng nh gii phỏp,
biu hin trong nhng gii phỏp l, him, tớnh hp lớ, tớnh ti u ca gii phỏp.
Ba yu t núi trờn l ba yu t c bn ca t duy sỏng to, l thnh phn ct lừi
ca t duy sỏng to. Tuy nhiờn t duy sỏng to cũn cú cỏc yu t khỏc nh:
+ T nh hon thi n
L kh nng lp k hoch, phi hp cỏc ý ngh v hnh ng, phỏt trin ý tng,
kim tra v chng minh ý tng.
+ T nh nhy c m vn
L nng lc nhanh chúng phỏt hin ra vn , s mõu thun, nhng sai lm, thiu
logic, cha ti u,...v t ú a ra nhng xut hng gii quyt, to ra cỏi mi.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
6
Ngoi ra t duy sỏng to cũn cú nhng yu t quan trng khỏc nh: Tớnh chớnh
xỏc, nng lc nh giỏ tr, nng lc nh ngha li, kh nng phỏn oỏn.
Cỏc yu t c bn núi trờn khụng tỏch ri nhau m trỏi li chỳng cú quan h mt
thit vi nhau, h tr b sung cho nhau. Kh nng d dng chuyn t hot ng trớ tu

ny sang hot ng trớ tu khỏc (tớnh mm do) to iu kin cho vic tỡm nhiu gii phỏp
trờn nhiu gúc v tỡnh hung khỏc nhau (tớnh nhun nhuyn) v nh xut c
nhiu phng ỏn khỏc nhau m cú th tỡm c phng ỏn l, c sc (tớnh c ỏo). Cỏc
yu t c bn ny li cú mi quan h khng khớt vi cỏc yu t khỏc nh: Tớnh chớnh xỏc,
tớnh hon thin, tớnh nhy cm vn ... Tt c cỏc yu t c trng núi trờn cựng gúp
phn to nờn t duy sỏng to, nh cao nht trong cỏc hot ng trớ tu ca con ngi.
Hot ng gii toỏn l mt hot ng c bit kớch thớch hc sinh tỡm tũi, khỏm
phỏ, gii nhng bi toỏn khú thụng qua vic huy ng cỏc tri thc ca mỡnh ó cú vi
mong mun tip thu tri thc mi, qua ú giỳp HS rốn luyn t duy sỏng to toỏn hc, bi
mi dng bi tp u cú tỏc dng nht nh i vi tng thnh phn c bn ca t duy
sỏng to.
thc hin tt cỏc bin phỏp trờn, mi giỏo viờn cn thng xuyờn trau di kin
thc toỏn hc ph thụng, trờn c s kin thc toỏn hc hin i cú liờn quan v u t
phng phỏp dy hc tt.
1.2. nh hn

hỏt trin t duy sỏn to

Phỏt trin t duy sỏng to cho HS l mt quỏ trỡnh lõu di c thc hin trong ton quỏ
trỡnh dy hc. lm c iu ny ũi hi ngi GV cn chỳ ý rốn luyn t duy sỏng
to cho HS theo cỏc thnh phn nh: tớnh mm do, tớnh nhun nhuyn, tớnh c ỏo, tớnh
hon thin, tớnh nhy cm, tớnh chớnh xỏc trờn c s trang b kin thc cho hc sỡnh v
rốn luyn cỏc hot ng trớ tu.
Vic trang b kin thc c bn cho HS i tr, c bit bi dng t duy núi chung, t
duy sỏng to núi riờng cho HS l mt quỏ trỡnh liờn tc, tri qua nhiu giai on vi
nhng mc khỏc nhau. iu quan trng nht trong vic phỏt trin t duy sỏng to l

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
7
gii phúng hot ng t duy ca HS cỏc em cú cỏch ngh, cỏch nhỡn, cỏch gii quyt
vn khụng gũ bú, khụng nhm chỏn.
Vic d oỏn, mũ mm kt qu khụng ch tp cho HS phong cỏch nghiờn cu khoa hc,
tp cho cỏc em thao tỏc t duy tin logic cn thit, m cũn l bin phỏp quan trng nhm
nõng cao tớnh tớch cc ca HS khi hc. Khi ta a ra d oỏn, hc sinh s ho hng v cú
trỏch nhim hn trong quỏ trỡnh tỡm tũi li gii, chng minh cho kt qu d oỏn ca
mỡnh. Nh Nguyn Cnh Ton ó núi: ng ngh rng mũ mm thỡ cú gỡ sỏng to
nhiu nh khoa hc ln ó phi dựng n nú. Khụng dy mũ mm thỡ ngi thụng minh
nhiu khi phi bú tay vỡ khụng ngh n hoc khụng bit mũ mm .
Rốn luyn cho hc sinh bit nhỡn tỡnh hung bi toỏn t ra hoc bit t bi toỏn di
nhiu gúc khỏc nhau cú hng gii quyt vn di nhiu khớa cnh, bin lun
cỏc kh nng xy ra v a ra li gii chun cho bi toỏn. HS bit gii quyt vn bng
nhiu phng phỏp khỏc nhau ri t ú tỡm ra cỏch gii quyt ti u. Ngi thy cú vai
trũ nh hng giỳp HS thc hin iu ny nhm tp luyn tớnh nhun nhuyn ca t duy.
1.3. Cỏc in th c liờn qu n
Mt s

hỏi ni m v ho n cỏch tron

hụn

i n.

+ Khong cỏch t mt im n mt ng thng
nh ngha: Cho im O v ng thng a. Trong
a

mt phng (O,a) gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O

O

trờn a. Khi ú khong cỏch gia hai im O v H

H



c gi l khong cỏch t im O n ng thng
a, kớ hiu l d(O,a).
+ Khong cỏch t mt im n mt mt phng
O

nh ngha: Cho im O v mt phng (). Gi H
l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn mt phng (.
Khi ú khong cỏch gia 2 im O v H c gi
l khong cỏch t im O n mp(kớ hiu l

H


Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014

8
d(O, ())
+ Khong cỏch gia ng thng v mt phng song song
nh ngha: Cho ng thng a song song vi mt

a

O

A

phng (), khong cỏch gia ng thng a v mt
phng () l khong cỏch t mt im bt kỡ ca a
n mp(), kớ hiu l d(a, ()).
H

A'



+ Khong cỏch gia 2 mt phng song song
nh ngha: Khong cỏch gia 2 mt phng song

A


song l khong cỏch t mt im bt kỡ ca mt
phng ny n mt phng kia, kớ hiu l d((),()).

A'

+ Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau
nh ngha: ng vuụng gúc chung: ng thng


a

ct 2 ng thng chộo nhau a, b v vuụng gúc vi mi
ng thng y c gi l ng vuụng gúc chung ca

M

2 ng thng a v b.
Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau: Nu ng
vuụng gúc chung ct 2 ng thng chộo nhau a v b

b
N

ln lt ti M v N thỡ di on thng MN gi l
khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau a v b. Kớ hiu l d(a,b).
Nhn xột.
+ Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau bng khong cỏch gia mt trong hai
ng thng ú v mt phng song song vi nú cha ng thng cũn li.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
9
+ Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau bng khong cỏch gia hai mt phng
song song ln lt cha hai ng thng ú.
M

a

M

a


b


a'

N

b
N



1
3

+ Th tớch ca khi chúp V S .h h

3V
(trong ú S l din tớch ỏy v h l chiu
S

cao ca khi chúp). Theo cỏch ny, tớnh khong cỏch t nh ca hỡnh chúp n mt
ỏy, ta i tớnh V v S.
+ Tớnh cht ca t din vuụng: Gi s

OABC l t din vuụng ti O

( OA OB, OB OC, OC OA ) v H l hỡnh chiu ca O trờn mt phng (ABC). Khi ú
ng cao OH c tớnh bng cụng thc:

1
OH

2



1
2

OA



1
OB

2



1
OC 2

+ Nu ng thng song song vi mt phng () v M, N thỡ
d ( M ;( )) d ( N ;( )) .

Nu ng thng ct mt phng () ti im I v M, N (M, N khụng trựng vi I)
thỡ

d ( M ;( )) MI
.

d ( N ;( )) NI

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
10
N

M

M
N

N'

M'



I

N'

M'



1
c bit, nu N l trung im ca IM thỡ d ( N ;( )) d ( M ;( ))
2
nu I l trung im ca MN thỡ d ( M ;( )) d ( N ;( ))

+ Phng phỏp ta trong khụng gian: Trong chng III - Đ1 sỏch giỏo khoa (SGK)
hỡnh hc 12, Trn Vn Ho (T ng ch biờn), Nguyn Mng Hy (Ch biờn), NXBGD
2008, ó nờu nh ngha v mt s tớnh cht sau :

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
11
Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho :

z

v x.i y. j z.k v ( x; y; z )
i=(1;0;0)

OM x.i y. j z.k M ( x; y; z )

j =(0;1;0)
k=(0;0;1)

Vi : a ( a1 ; a2 , a3 ) v b (b1; b2 ; b3 ) , ta cú :


a.b a . b . cos( a, b)



a.b a1b1 a2b2 a3b3



r
a a12 a22 a32

a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0

Tớch cú hng ca hai vect

M(x;y;z)
k

j



i

M1
y

[ a, b ] (a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 )
r r
r
r r
r
a, b a ; a, b b


x

O

a cựng phng vi b [ a, b ] O

r r r
r r r
a, b, c ng phng a, b c 0


Mt s lu ý hi chn h tr c t Oxyz trong khụng gian

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
12
Ta cú : Ox, Oy, Oz vuụng gúc tng ụi mt. Do ú, nu trong mụ hỡnh cha cỏc cnh
vuụng gúc thỡ ta u tiờn chn cỏc ng ú ln lt thuc cỏc trc ta . C th :
Vi hỡnh l

h n hoc hỡnh h ch nht ABCD.A' B' C' D'

Vi hỡnh lp phng .

z

Chn h trc ta sao cho :
A'

D'

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)

C'

B'

A '(0;0; a) ; B '(a;0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0;a;a)

y
A

D

Vi hỡnh hp ch nht.
B

Chn h trc ta sao cho :

C

x

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; b;0) ; D(0;b;0)

A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)

Vi hỡnh h ỏy l hỡnh thoi ABCD.A' B' C' D'
z

Chn h trc ta sao cho :

A'

D'
O'
C'

B'

- Gc ta trựng vi giao im O ca
hai ng chộo ca hỡnh thoi ABCD

y
A

D
O

- Trc Oz i qua 2 tõm ca 2 ỏy

B

C

x

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014

13
Vi hỡnh chú t

iỏc u S.ABCD

Chn h trc ta nh hỡnh v

z

Gi s cnh hỡnh vuụng bng a v
ng cao SO h

S

Chn O(0;0;0) l tõm ca hỡnh vuụng
a 2
a 2

Khi ú : A
;0;0 ; C
;0;0


2



2

y

D

A


a 2 a 2
B 0;
;0 ; D 0;
;0 ; S (0;0; h)
2
2




O
B

C

x

Vi hỡnh chú t m iỏc u S.ABC
Chn h trc ta nh hỡnh v

z

Gi s cnh tam giỏc u bng a v

S

ng cao bng h . Gi I l trung im
ca BC
Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho I(0;0;0)

y

A

a



a



Khi ú : A ;0;0 ; B ;0;0
2
2

a 3
C 0;
;0 ;
2

a 3
S 0;
; h
6



C
I

H

B

x

Vi hỡnh chú S.ABCD cú ABCD l hỡnh ch nht v SA (ABCD)

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
14
ABCD l hỡnh ch nht AB a; AD b

z

chiu cao bng h

S

Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho A(0;0;0)
Khi ú : B a;0;0 ; C a; b;0

D

A

D 0; b;0 ; S (0;0; h)

y

O
B
C

x

Vi hỡnh chú S.ABC cú ABCD l hỡnh thoi v SA (ABCD)
z

ABCD l hỡnh thoi cnh a
chiu cao bng h

S

Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho O(0;0;0)
y
D

A
O
B

C

x

Vi hỡnh chú

S.ABC cú SA (ABC) v ABC vuụn ti A

Tam giỏc ABC vuụng ti A cú
AB a; AC b ng cao bng h .

z
S

Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho A(0;0;0)
Khi ú : B a;0;0 ; C 0; b;0
y

S 0;0; h

A

C

B

x

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
15
Vi hỡnh chú

S.ABC cú SA (ABC) v ABC vuụn ti B

Tam giỏc ABC vuụng ti B cú

S

BA a; BC b ng cao bng h .

z

Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho B(0;0;0)
Khi ú : A a;0;0 ; C 0; b;0

y

x

S a;0; h

C

A

B

Vi hỡnh chú S.ABC cú (SAB) (ABC), SAB cõn ti S v ABC vuụn ti C
ABC vuụng ti C, CA a; CB b

S

z

chiu cao bng h
H l trung im ca AB
Chn h trc ta nh hỡnh v sao

y

x

cho C(0;0;0)
A

B

H

a b
Khi ú : A a;0;0 ; B 0; b;0 ; S ( ; ; h)
2 2
C

Vi hỡnh chú S.ABC cú (SAB) (ABC), SAB cõn ti S v ABC vuụn ti A

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
16
ABC vuụng ti A AB a; AC b

z

chiu cao bng h
S

H l trung im ca AB
Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho A(0;0;0)
Khi ú : B a;0;0 ; C 0; b;0

a
S (0; ; h)
2

y
A

C
H
B

x

Vi hỡnh chú S.ABC cú (SAB) (ABC), SAB cõn ti S v ABC vuụn cõn ti C
Tam giỏc ABC vuụng cõn ti C cú

z

CA CB a ng cao bng h .

S

H l trung im ca AB
Chn h trc ta nh hỡnh v sao
cho H(0;0;0)

x

a

a

;0;0 ; A 0;
;0
2
2



Khi ú : C

a


B 0;
;0 ; S 0;0; h
2


A

B

H

C

y

II. BIN PHP THC HIN

2.1. Rốn luy n t nh nhun nhuyn c t duy sỏn to cho hc sinh tron dy hc
bi toỏn t nh ho n cỏch
Theo tụi, GV cn rốn luyn tớnh nhun nhuyn, thnh tho cho HS khi dy bi toỏn tớnh
khong cỏch theo cỏc dng sau:
- Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch t mt im n mt ng thng.
- Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng.
- Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
17
Khi thc hnh gii toỏn, rốn luyn tớnh nhun nhuyn, ta cn phõn tớch cho HS thy rừ
cỏc bc gii mt bi toỏn, tỡm s quan h gn g i gia bi toỏn ó cho vi cỏc bi
toỏn ó bit.... ua ú th hin c tớnh nhun nhuyn ca t duy, tớnh c lp trong suy
ngh ca HS.
2.1.1. Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch t mt im n mt ng thng
V d 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng ABCD tõm O cnh a, cnh SA
vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SA=a. Gi I l trung im ca cnh SC v M l
trung im ca cnh AB.
a) Chng minh rng ng thng IO vuụng gúc vi mt phng (ABCD).
b) Tớnh khong cỏch t im I n ng thng CM.
Gii
a) Ta cú SA (ABCD) m IO//SA

S

do ú IO (ABCD).
b) Trong mt phng (ABCD) dng H l hỡnh
chiu vuụng gúc ca O trờn CM, ta cú IH
I

CM v IH chớnh l khong cỏch t I n
A

ng thng CM.

D

M

O

Gi N l giao im ca MO vi cnh CD.

N
H
B
C

a a
.
OH OM
CN .OM 2 2
a

OH

Hai tam giỏc MHO v MNC ng dng nờn
.
CN MC
MC
a 5 2 5
2
Li cú OI

SA a
a 2 a 2 3a 2
v IH 2 IO 2 OH 2


.
2 2
4 20 10

Vy d I , CM IH

a 3 a 30
.

10
10

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
18
V d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, cnh bng 2a,
ã
ABC 600 ; SA 2a v SA (ABCD).

a) Tớnh khong cỏch t O n ng thng SC.
b) Tớnh khong cỏch t O n ng thng SB.
Gii
S

a) Trong mt phng (SAC), k ng thng d i
qua O v vuụng gúc vi SC ti I.
Ta cú d O, SC OI .
Do tam giỏc SAC vuụng cõn ti A

I

H

(SA=AC=2a) nờn tam giỏc OIC vuụng cõn ti I.

A

D

J
K

Vy OI

O

a 2
OC a 2

hay d O, SC
.
2
2
2

B

C

b) Trong mp (ABCD) k OJ AB.
Vỡ SA OJ nờn OJ (SAB) hay OJ SB.
Trong mt phng (SAB) k JH SB. Khi ú ta cú SB (OJH), suy ra SB OH ti H.
Vy d O, SB OH .
3
.2a
1
1 2a 3 a 3
BJ 4
3a 2

; JH

Trong mp (ABCD) k CK AB. Ta cú: OJ CK .
2
2 2
2
4
2
2
3a 2 9a 2 15a 2


Xột tam giỏc OJH vuụng ti J cú OH OJ JH
.
4
8
8
2

Vy d O, SB OH

2

2

a 30
.
4

i vi bi toỏn tớnh khong cỏch t im O n mt ng thng d, ta thc hin quỏ

trỡnh gii toỏn theo cỏc bc sau:
- Bc 1: Xỏc nh mt phng i qua O v vuụng gúc vi ng thng d (Hoc xỏc
nh ng thng i qua O, ng phng v vuụng gúc vi d).

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
19
- Bc 2: Xỏc nh giao im H ca mp v ng thng d (Hoc xỏc nh giao im
H ca hai ng thng v d). Suy ra d O, d OH .
- Bc 3: Tớnh di on OH (da vo cỏc h thc lng trong tam giỏc,....)
2.1.2. Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng
i vi bi toỏn tớnh khong cỏch t mt im M n mt mt phng (P), ta thng thc
hin vic gii theo cỏc bc sau:
- Bc 1: Tỡm mt phng ( ) qua M v vuụng gúc vi (P).
- Bc 2: Tỡm giao tuyn a ca (P) v (Q).
- Bc 3: Trong ( ), k MH vuụng gúc vi a. Khi ú d(M;(P)) = MH.
V d 3. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh l a. Tớnh khong cỏch t A n
mt phng (ABD).
Gii
Gi O l giao im ca AC v BD.

C'

B'

Vỡ AA (ABCD) nờn AA (ABCD) nờn AA BD.

Mt khỏc AO BD suy ra BD (OAA)
hay (ABD) (OAA).
Trong mt phng(OAA) k AH OA.

C

B

H

Khi ú AH (ABD) hay d A, A ' BD AH .
Xột OAA vuụng ti A cú:

A'

D'

O
D

A

1
1
1
2
1
3

2 2 2.
2
2
2
AH
AO
AA '
a
a
a

Vy d A, A ' BD

a 3
.
3

V d 4. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú tt c cỏc cnh u bng a. Gi O l tõm
ca ỏy. Tớnh khong cỏch t O n mt phng (SCD).
Gii

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
20
Vỡ hỡnh chúp S.ABCD u nờn SO (ABCD),

S

suy ra SO CD.
Gi I l trung im ca CD. Ta cú SI CD.
Do ú CD (SOI) hay (SOI) (SCD) theo
H

giao tuyn SI.

D

A

Trong mt phng (SOI) k OH SI, H SI.
Khi ú d O, SCD OH .
Xột SOI cú:

C

B

1
1
1
1
1
6

2 2 2 2.
2

2
a
a
OH
SO OI
a
2
4

Vy d O, SCD

I

O

a 6
.
6

2.1.3. Nhun nhuyn trong vic tớnh khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau
V d 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. cú cnh SA=h v
vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Tớnh khong cỏch gia cỏc cp ng thng chộo
nhau sau:
a) SB v CD

b) SC v BD

c) SC v AB.

Gii

a) Ta cú:

S

BC SA
BC ( SAB) BC SB

BC AB

K

Mt khỏc BC CD .
Vy BC l on vuụng gúc chung ca SB v

D

H

CD.

F

Khong cỏch gia SB v CD l BC=a.

BD SA
b) Ta cú:
BD SAC ti O.
BD AC

E

A

O
B
C

Trong mt phng (SAC) t O h OH CS ti H ta cú OH SC v OH BD v BD

(SAC). Vy OH l on vuụng gúc chung ca BD v SC.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
21
Ta cú

OH SA
OC.SA a 2
h

sin ã
ACS . Vy OH
.

.
OC SC

SC
2
h 2 2a 2

AB SA
c) Ta cú:
AB SAD .
AB AD
Trong mp (SAD) ta cú SD l hỡnh chiu vuụng gúc ca SC, ta v AK SD ti K. Trong
mt phng (SCD) v KE//CD vi E SC.
Trong mt phng (KE, AB) v EF//AK vi F AB. Ta cú AB v CD cựng vuụng gúc vi
mt phng (SAD) nờn AB AK v CD AK.

AK SD
Ta cú
AK ( SCD) AK SC .
AK CD
Vy Ak AB v AK SC. Vỡ EF//AK nờn EF AB v EF SC.
Do ú EF l on vuụng gúc chung ca AB v SC.
Ta cú EF AK

AS . AD

SD

ah
a 2 h2

.

V d 6. Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi nhau v
OA=OB=OC=a. Gi I l trung im ca BC. Tớnh khong cỏch gia cỏc cp ng thng
chộo nhau sau:

a) OA v BC

b) AI v OC

Gii

OA OI
a) Ta cú
BC OI

A

=> OI l on vuụng gúc chung ca OA v BC.

BC a 2

Ta cú OI
.
2
2

OC OA
OC OAB ti O.
b) Ta cú
OC

OB

T I v IK//OC thỡ IK (OAB) ti trung im K
ca OB. Ta cú AK l hỡnh chiu vuụng gúc ca AI
trờn mt phng (OAB).

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

a
E

H
F

a

C

O

a
I

K
B


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014

22
Trong mt phng (OAB) v OH AK. Dng HE//OC vi E AI v dng EF//OH vi
H OC. Khi ú EF l on vuụng gúc chung ca AI v OC.
Ta cú EF=OH.
Trong tam giỏc vuụng OAK ta cú:

Vy OH 2

1
1
1
1
1
5


2
2.
2
2
2
2
OH
OA OK
a a
a

2

a2

a 5
OH EF
.
5
5

Mt cỏch t ng quỏt , tớnh khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau ta cú
cỏc trng hp sau:
a) Gi s a v b l hai ng thng chộo nhau v
b

a b.

- Ta dng mt phng cha a v vuụng gúc vi b.
a

- Trong dng BA a ti A, ta c di on
AB l khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau

B

A



a v b.
b) Gi s a v b l hai ng thng chộo nhau nhng khụng vuụng gúc vi nhau.
Cỏch 1:
- Ta dng mt phng cha a v song song
vi b.

B

b

M

- Ly mt im M tựy ý trờn b dng MM

ti M.

a
b'

- T M dng b//b ct a ti A.
- T A dng AB//MM ct b ti B, di on
AB l khong cỏch gia hai ng thng chộo
nhau a v b.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

A



M'


Sáng kiến kinh nghiệm năm học

2013 - 2014
23

Cỏch 2:
- Ta dng mt phng a ti O,

a

ct b ti I.

b

A
B

- Dng hỡnh chiu vuụng gúc ca b l b
trờn .
- Trong mp , v OH b, H b.

b'
O



H
I

- T H dng ng thng song song vi a
ct b ti B.
- T B dng ng thng song song vi OH ct a ti A.

on AB l khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau a v b.
2.2. Rốn luy n t nh mm do c t duy sỏng to cho hc sinh tron dy hc bi
toỏn t nh ho n cỏch
Tớnh mm do ca t duy cú cỏc c trng ni bt sau õy:
+ D dng chuyn t hot ng trớ tu ny sang hot ng trớ tu khỏc, vn dng linh hot
cỏc hot ng phõn tớch, t ng hp, so sỏnh d dng chuyn t gii phỏp ny sang gii
phỏp khỏc. iu chnh kp thi hng suy ngh nu gp tr ngi....
+ Suy ngh khụng dp khuụn, khụng ỏp dng mt cỏch mỏy múc nhng kinh nghim,
kin thc, k nng ó cú vo hon cnh mi, iu kin mi trong ú ó cú nhng yu t
ó thay i. Cú kh nng thoỏt khi nh hng kỡm hóm ca nhng kinh nghim, nhng
phng phỏp, nhng cỏch ngh ó cú t trc.
+ Nhn ra vn mi trong iu kin quen thuc, nhỡn thy chc nng mi ca i tng
quen bit.
in phỏp:
+ Hng dn hc sinh thc hin nhiu hot ng trớ tu, m ra nhiu hng gii quyt
bi toỏn, yờu cu hc sinh gii bi toỏn bng nhiu cỏch khỏc nhau v t ú tỡm ra cỏch
gii ti u.

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào


Sáng kiến kinh nghiệm năm học
2013 - 2014
24
+ Kp thi iu chnh hng suy ngh ca hc sinh khi gp tr ngi, gi ý, dn dt hc
sinh thoỏt khi nhng kinh nghim s n cú gii quyt c vn t ra.
+ To c hi cho hc sinh tip cn vi nhng bi toỏn cú ni dung bin i, dng bi tp
khỏc kiu giỳp hc sinh thy c s a dng, phong phỳ ca toỏn hc ng thi chng
s rp khuụn, mỏy múc trong t duy.

+ To ra nhng tỡnh hung cú vn nhm kớch thớch úc tũ mũ khoa hc, to cho hc
sinh cú nhu cu, cú hng thỳ v cú quyt tõm huy ng nhng kin thc, kinh nghim v
nng lc sỏng to ca bn thõn gii quyt vn .
Sau õy chỳng ta s xột mt s bi toỏn c th thy rừ cỏc c trng ca tớnh
mm do trong t duy sỏng to.
2.2.1. Mm do trong vic tớnh khong cỏch gia mt im v mt mt phng
V d 7. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cú cnh bng a,
SA a 3 v vuụng gúc vi mt phng (ABCD).

a) Tớnh khong cỏch t O n (SBC).
b) Tớnh khong cỏch t trng tõm tam giỏc SAB n (SAC).
Phõn tớch: Do OA SBC C , nờn thay vỡ vic tớnh d O, SBC ta i tớnh
d A, SBC , tng t nh vy ta cú th quy vic tớnh d G, SAC thụng qua vic tớnh
d E, SAC hay d B, SAC .

Gii.
a) Ta cú: OA SBC C nờn:
d O, SBC
d A, SBC



S

OC 1

AC 2

1
d O, SBC d A, SBC

2

Gi H l hỡnh chiu ca A trờn SB ta

AH SB
cú:
AH SBC
AH BC

G

H

A
D

F
E
O
B

Giáo viên: L-u Thị Kim Tuyến
Tổ Toán - THPT Mĩ Hào

C