CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10

CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10
A. CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

D.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
a

- Với số dương a, số
được gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
x ≥ 0
x= a ⇔ 2
x = a

- Một cách tổng quát:
b. So sánh các căn bậc hai số học

- Với hai số a và b không âm ta có:

aA2 = A

A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi

A

là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức

lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

-

A

xác định (hay có nghĩa)

⇔

A

≥

0

A = A
2

b. Hằng đẳng thức
A2 = A

- Như vậy: +

- Với mọi A ta có
A.1.3. Liờn hệ giữa phộp nhõn và phộp khai phương
≥

a. Định lí: + Với A 0 và B

≥

0 ta có:

+

nếu A

A2 = − A

≥

0

nếu A < 0

A.B = A. B
( A ) 2 = A2 = A

≥

A.1.4.

-

A2 = A

+ Đặc biệt với A 0 ta có
a. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai
phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

b. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các
số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó
A.1.5. Liờn hệ giữa phộp chia và phộp khai phương
A
=
B

≥

A
B

a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:
b. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b
dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể
chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
A.1.6. Biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B

≥

A2 B = A

0, ta có

B

, tức là


A.1.7.

+ Nếu A

≥

0 và B

A.1.8.

+ Nếu A < 0 và B
a. Đưa thừa số vào trong dấu căn

A.1.9.

+ Nếu A

≥

0 và B

A.1.10.

+ Nếu A < 0 và B
a. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

≥

≥

≥
≥

A2 B = A B

0 thì

A2 B = − A B

0 thì

0 thì
0 thì

A.1.11. - Với các biểu thức A, B mà A.B

A B = A2 B
A B = − A2 B

≥

0 và B

≠

A
=
B

AB
B

0, ta có

a. Trục căn thức ở mẫu
A.1.12. - Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B
=
B
B

A.1.13. - Với các biểu thức A, B, C mà

A≥0

và

A ≠ B2

, ta có

C
C ( A ± B)
=
A − B2
A±B

A.1.14. - Với các biểu thức A, B, C mà

A ≥ 0, B ≥ 0

và

A≠ B

, ta có

C ( A ± B)
C
=
A− B
A± B

A.1.15. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì
b. Tính chất

( 3 a )3 = 3 a3 = a

3

- Với a < b thì

a<3b
3

- Với mọi a, b thì
A.2. Kiến thức bổ sung
1.
Căn bậc n

ab = 3 a . 3 b

- Với mọi a và

b≠0

3

thì

a 3a
=
b 3b

2 ≤ n∈N

1. Căn bậc n (
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
1. Mọi số đều có một và chỉ
3. Căn bậc lẻ của số âm là số
một căn bậc lẻ
2. Căn bậc lẻ của số dương là
số dương

3. Căn bậc chẵn (n = 2k )
1. Số âm không có căn bậc chẵn
2. Căn bậc chẵn của số 0 là số 0

âm
4. Căn bậc lẻ của số 0 là số 0


2k

a

3. Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

− 2k a

và

4. Các phép biến đổi căn thức.
2 k +1

1.
2k

A.

xác định với

A.

∀A

2k

∀A ≥ 0

A

2k

= A

∀

với
2 k +1

3.

A.B =

2 k +1

2 k +1

A.

A
B

với

B

∀

2k

A, B
2k

A.B =

B mà
2 k +1

4.

A

2k

A.

B

2k

với

A.B ≥ 0

2 k +1

∀

A,

B

.B = A.

B

với

∀

6.
A,

A
2 k +1
B

2k

A

2k

B

0,

với

A = mn A

với

với

∀

f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x ) ≤ f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x )

(

f i ( x ) i = 1, n

.

)

Đẳng thức xảy ra khi
cùng dấu
• Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an

n

Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = … = an
• Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) và (b1, b2, …, bn ) là hai bộ số bất kì, khi đó
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )
a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

Đẳng thức xảy ra khi
(quy ước bi == 0 thì ai = 0)
• Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
f ( x) ≤ α (α ≥ 0) ⇔ −α ≤ f ( x) ≤ α


f ( x) ≥ α (α ≥ 0) ⇔ f ( x ) ≤ −α

f ( x) ≥ α

hoặc
Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai

1. Cho nhị thức f(x) = ax + b (a
4.

5. x

∀

A, B mà

∀

A, B mà

A, mà

m

An = A n

Bất đẳng thức và bất phương trỡnh
• Bất đẳng thức
• Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì

3.

∀

A.B ≥ 0

A≥0
m

7.



A, B

0

A
=
B
≠

∀

2 k +1

với

B

2.

≠

m n
2 k +1

A
=
B

2 k +1

5.

với

B≥0

mà

xác định với
2 k +1 2 k +1
A
=A
∀
2.
với A
2k

A2 k .B = A .2 k B

6. -

≠

∞

0). Khi đó ta có.
-b/a

A, mà

A≥0


+

7. f(x) =

∞

8. Trái dấu với a

9. Cùng dấu với a

ax + b
≠

1. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a
∆≤0

 Nếu
10. x

11. +

12.f(x) = ax + bx

∞

-b/2a

∞

13.

2

0). Khi đó ta có

Cùng dấu với a

0

Cùng dấu với a

+c

 Nếu
14.

∆>0

15. -

x

+

16.

x1

∞

17.

f(

18.

∞

Cùng dấu a

x2

0

Trái dấu a

0

Cùng

dấu a
Biến đổi tam thức bậc hai

19. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a
f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x −
f ( x) ≥

1. Nếu a > 0 thì
f ( x) ≤

2. Nếu a < 0 thì
A=

20. * Chú ý. Nếu
1. Amin

⇔

k
A'

−∆
4a
−∆
4a

b 2 ∆
) −
2a
4a

≠

với

0). Khi đó ta có

∆ = b 2 − 4ac

min f ( x) =

−∆
−b
⇔x=
4a
2a

max f ( x) =

−∆
−b
⇔x=
4a
2a

x∈R

nên
x∈R

nên

(k là hằng số dương) khi đó ta có

2.

A’max

3.

Amax

⇔

A’min

B. HỆ PHƯƠNG TRèNH

B.1. Kiến thức cơ bản
b.1.1. Hệ phương trỡnh bậc nhất một ẩn
a. Phương trình bậc nhất hai ẩn

∈

≠

• Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0)
• Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:
4. Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó
được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
≠

≠

- Nếu a 0, b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số
≠

y=−

a
c
x+
b
b

- Nếu a 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc
trùng với trục tung


≠

- Nếu a = 0, b 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc
trùng với trục hoành
b. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
 ax + by = c

a ' x + b ' y = c '

• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
trong đó a, b, c, a’, b’, c’
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1.
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
 (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
 (d)
 (d)

∩
≡

∈

R

{ A}

(d’) =

thì hệ có nghiệm duy nhất

(d’) thì hệ có vô số nghiệm
• Hệ phương trình tương đương
2.
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Quy tắc thế
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
 Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó
có một phương trình một ẩn
 Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
• Quy tắc cộng
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
 Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn
nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
 áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ

số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
 Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
b.1.2. Hệ phương trỡnh đưa về phương trỡnh bậc 2
≥

3.

- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm
của phương trình: x2 + SX + P = 0
B.2. Kiến thức bổ sung
b.2.1. Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì
từng phương trình của hệ không đổi
b. Cách giải
≥

• Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
• Giải hệ để tìm S và P
• Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:

t2 – St + P = 0
c. Ví dụ
• Giải hệ phương trình

4.

 x + y + xy = 7
 2
2

 x + y + xy = 13

 x + y + xy + 1 = 0
 2
2
 x + y − x − y = 22

b.2.2. Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2
a. Định nghĩa

x + y + x2 + y2 = 8

 xy ( x + 1)( y + 1) = 12


5.

Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y
thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
b. Cách giải
• Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
• Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
• Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
• Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
• Giải hệ phương trình
 2 x = y 2 − 4 y + 5

2

 2 y = x − 4 x + 5

 x 3 = 13x − 6 y
 3
 y = 13 y − 6 x

6.
b.2.3. Hệ phương trỡnh đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa

2
2
ax + bxy + cy = 0
 2
2
a ' x + b ' xy + c ' y = 0

7.
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
b. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
≠

-

Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
1. * Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự

c. Ví dụ
2.
Giải hệ phương trình
2
2
 x − 4 xy + y = 1
 2
 y − 3xy = 4

3.

2
2
2 x − 3xy + y = 3
 2
2
 x + 2 xy − 2 y = 6

4.

C. PHƯƠNG TRèNH
C.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
C.1.1. Phương trỡnh bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa
5.
- Phương trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phương trình có VSN
≠

1.

+b

≠

∈

R và a

≠

0

0 thì phưong trình VN

- Nếu a 0. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C.1.2. Phương trỡnh bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa

∈

≠

1.
- Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó a, b, c R và a 0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc nhất

≠

- Nếu a 0. Khi đó
1. +
2. +
3. +

∆<0

∆=0
∆>0

(hoặc
(hoặc
(hoặc

∆ = b 2 − 4ac
∆' < 0

∆' = 0
∆' > 0

x1,2 =

4.

(hoặc

∆ ' = b '2 − ac

)

): Pt vô nghiệm
x1 = x2 = −

): Pt có nghiệm kép

b
2a

x1 = x2 = −

(hoặc

b'
a

)

): Pt có hai nghiệm phận biệt
−b ' ± ∆ '
a

x1,2 =

−b ± ∆
2a

(hoặc
)

• Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể viết
5.
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2)
6. Định lý Viet
a. Định lí thuận
7.
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là
2

S = x1 + x2 = −

b
a

b. Định lí đảo
8.

P = x1.x2 =

và

c
a
x1 + x2 = S

x1.x2 = P

S 2 ≥ 4P

- Nếu hai số x và y có tổng

và tích
thỏa mãn
thì hai số x và y là
hai nghiệm của phương trình t2 - St + P = 0
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
D. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
20. Kiến thức cơ bản
21.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là
biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
1.
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ
thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
2.
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.
* Tổng quát


2.

+

3.

f ( x2 ) − f ( x1 )
> 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 ≠ x2 ⇒
x2 − x1
f ( x2 ) − f ( x1 )
< 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 ≠ x2 ⇒
x2 − x1

Hàm số f(x) đồng biến trên D

+
Hàm số f(x) nghịch biến trên D
4. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
5.
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho
≠

trước và a 0

b. Tính chất
6.
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0

c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

≠

0)

≠

1.
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
≠

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
≠

1.
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
2.
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
3.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
4.
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
5.
6.
7.
8.

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a
+
a = a '
d // d ' ⇔ 
b ≠ b '
d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a '

+

≠

≠

0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó

9.

+

10.

+

a = a '

d ≡d'⇔ 
b = b '
d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1


≠

e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
f. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao
điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ
dương
• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
g. - Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b
h. Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0
≠

- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là
i. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa

x
y
+ =1
x0 y0

≠

j. - Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)

b. Tính chất
≠

k. - Hàm số y = ax (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
l. + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
m.
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
2

≠

c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
≠

n. - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
o.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
p.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
q. Kiến thức bổ sung
r. Cụng thức tớnh tọa độ trung ddiemr của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
s.
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2

t.
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
xM =

u.

x A + xB
y + yB
; yM = A
2
2
≠

≠

v. Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
≠

w.
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình

x.

 y = ax 2

 y = mx + n

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
y.
ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
z. + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
aa. + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

ab. + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
ac. Một số phộp biến đổi đồ thị
ad.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)


- Đồ thị (C1): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị
- Đồ thị (C2): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị
- Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần
ae. + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
af. + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy
- Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần
ag. + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox
ah. + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox
ai. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
d. Hàm số chẵn, Hàm số lẻ
- Hàm số y = f(x) được gọi là chẵn nếu
aj.

+

∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

∀x ∈ D

ak.

-

+ f(-x) = f(x)

Hàm số y = f(x) được gọi là lẻ nếu

∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

al.

+

am.

+ f(-x) = - f(x)

∀x ∈ D

e. Chú ý
- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ

≠

an. Sơ lược về hàm số bậc hai tổng quỏt y = ax2 + bx + c (a 0)
1. Tính chất
ao.

Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a

≠

0) xác định với mọi giá trị x thuộc R

∀x ∈ ( −∞; −

- Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến
∀x ∈ (−∞; −

- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến
1. Đồ thị
ap.

b
]
2a

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a
x=−

b
]
2a

≠

∀x ∈ [ −

b
; +∞)
2a

∀x ∈ [ −

b
; +∞)
2a

, đồng biến

, nghịch biến

S (−

0) là một Parabol có đỉnh

b
∆
;− )
2 a 4a

có trục đối

b
2a

xứng
- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên trên nhận S làm điểm thấp nhất
- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống dưới nhận S làm điểm cao nhất nhất
1. Chú ý
≠

- Tọa độ giao điểm của (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm của hệ
 y = ax 2 + bx + c


 y = mx + n
≠

- Hoành độ giao điểm của (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm của phương
trình: ax2 + bx + c = mx + n

≠

- Giao điểm của (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và trục hoành là nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c = 0
aq.


ar.
Phần 1: cỏc loại bài tập về biểu thức
as. Bài 1: Cho biểu thức :
P=

a +2
a +3

−

at.
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1

5
a+ a −6

+

1
2− a

au.

av. Bài 2: Cho biểu thức:

1 −



aw.
P=
ax. a) Rút gọn P
ay. b)Tìm giá trị của x để P<0

x   x + 3
x +2
x + 2 
:
+
+
x + 1   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

az.

ba. Bài 3: Cho biểu thức:

bb.
P=
a) Rút gọn P

 x −1
1
8 x   3 x − 2 

−
+
 3 x − 1 3 x + 1 9 x − 1  : 1 − 3 x + 1 

 


b) Tìm các giá trị của x để P=

6
5

bc.

bd.Bài 4: Cho biểu thức :

 

2 a
1 + a  :  1 −


 a + 1  a −1 a a + a − a −1

 


be.
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu

a = 19 − 8 3

bf.

bg.Bài 5: Cho biểu thức;

bh.
P=
a) Rút gọn P

  1 + a3

a (1 − a ) 2  1 − a 3
:
+ a .
− a 
  1+ a

1+ a

 1 − a



1
2

b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- )
bi.

bj. Bài 6: Cho biểu thức:

bk.
a) Rút gọn P

P=

 x +1
 
2x + x
x +1
2x + x 

 : 1 +

+
−
1
−
 2x + 1

 

2
x
−
1
2
x
+
1
2
x
−
1

 


b) Tính giá trị của P khi x

(

1
= .3+ 2 2
2

)


bl.

bm.

Bài 7: Cho biểu thức:

bn.
P=
a) Rút gọn P


2 x

 x x + x − x −1 −


1  
x 
:
1
+
x + 1 
x − 1  

≤

b) Tìm x để P 0
bo.

bp. Bài 8: Cho biểu thức:

bq.
P=
a) Rút gọn P


 2a + 1
  1 + a3
a


.
−
−
a
 a3
  1+ a

a
+
a
+
1




b) Xét dấu của biểu thức P.

1− a

br.

bs. Bài 9: Cho biểu thức:
1
 1
P=
−
x
 1− x

bt.

  2x + x − 1 2x x + x − x 
+
÷
÷:  1 − x
÷
1+ x x
 


1. Rút gọn P
x = 7−4 3

2. Tính giá trị của P với
3. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
bu.
bv.

bw.

Bài 10: Cho biểu thức :

bx.
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<

1− a a
 1+ a a


.

+
a
−
a
 1− a
  1+ a





7−4 3

by.

bz. Bài 11: Cho biểu thức:

ca.
P=
a) Rút gọn P

 2 x

 x +3 +


x
3 x + 3   2 x − 2 
−
:
− 1
x − 3 x − 9   x − 3


1
2

b) Tìm x để P<
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
cb.

cc. Bài 12: Cho biểu thức :

cd.
P=
a) Rút gọn P

 x−3 x
  9− x
x −3

:
−
1
−
 x−9
 x+ x −6 2− x −

 

x − 2

x + 3 


b) Tìm giá trị của x để P<1
ce.

cf. Bài 13: Cho biểu thức :
cg.
P=
a) Rút gọn P

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−

x + 2 x − 3 1− x
x +3

b) Tìm các giá trị của x để P=
≤

c) Chứng minh P

1
2

2
3

ch.

ci. Bài 14: Cho biểu thức:
x
m2
−
x − m 4 x − 4m 2

2 x
+
x +m

cj.
P=
với m>0
a) Rút gọn P

b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
ck.

cl. Bài 15: Cho biểu thức :
cm.
a) Rút gọn P

P=

a2 + a
2a + a
−
+1
a − a +1
a

P

P

b) Biết a>1 Hãy so sánh với
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
cn.

co. Bài 16: Cho biểu thức

cp.
P=

a) Rút gọn P

 a +1
  a +1

ab + a
ab + a

:

+
−
1
−
+
1
 ab + 1
  ab + 1

ab
−
1
ab
−
1

 


3 −1

b) Tính giá trị của P nếu a=

2− 3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu

và b=

1+ 3

a+ b=4

cq.

cr. Bài 17: Cho biểu thức :
a a −1 a a +1 
1  a + 1
a − 1 
−
+ a −
+

a− a
a+ a 
a  a − 1
a + 1 

cs.
P=

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6


ct. Bài 18: Cho biểu thức:
 a
1 

 2 −2 a



2

 a −1
a + 1 

 a +1 − a −1



cu.
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
cv.

cw.

Bài 19: Cho biểu thức:

(

)

2

a − b + 4 ab a b − b a
.
a+ b
ab

cx.
P=
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
2 3

c) Tính giá trị của P khi a=
cy. Bài 20: Cho biểu thức :

cz.
P=
a) Rút gọn P

b) Tính

P

3

 x+2
x
1 

+
+
 x x −1 x + x +1 1− x  :



∀

b) Chứng minh rằng P>0
x
da. Bài 21: Cho biểu thức :

db.
P=
a) Rút gọn P

và b=

2 x + x

 x x −1 −


khi x=

x −1
2

≠1

1  
x + 2 
: 1 −

x − 1   x + x + 1 

5+ 2 3

dc.

dd.Bài 22: Cho biểu thức:
3x


 1

2
1
:
1: 
+ 2 −
2+ x 4− x 4−2 x  4−2 x






de.
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
df. Bài 23: Cho biểu thức :

dg.
a) Rút gọn P

P=

 x− y

+
 x− y


≥0

b) Chứng minh P
dh.Bài 24: Cho biểu thức :

x3 − y 3
y−x



:



(

)

2

x − y + xy
x+ y



1
3 ab  
1
3 ab 
a −b 

+
.
−
:

 a + b a a + b b   a − b a a − b b  a + ab + b 

 




di.
P=
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
dj.

dk.Bài 25: Cho biểu thức:

dl.
P=
a) Rút gọn P

 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
.
1 + 
−
 2 a −1
1
−
a
1
−
a
a



6

b) Cho P=

1+ 6

tìm giá trị của a
2
3

c) Chứng minh rằng P>
dm.
Bài 26: Cho biểu thức:
 x−5 x
 
25 − x

:
−
1
 x − 25
  x + 2 x − 15 −

 

x − 5 
x − 3 

x +3
+
x +5

dn.
P=
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
do. Bài 27: Cho biểu thức:

(

)


 ( a − 1). a − b
3 a
3a
1

:
−
+
 a + ab + b a a − b b
 2a + 2 ab + 2b
a
−
b



dp.
P=

a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
dq.Bài 28: Cho biểu thức:

dr.
a) Rút gọn P

P=

1   a + 1
a + 2 
 1
−
−

:
a   a −2
a − 1 
 a −1
1
6

b) Tìm giá trị của a để P>
ds. Bài 29: Cho biểu thức:
 1
1 
2
1
+
.

+ +


y x+ y x
 x

1
:
y 

x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3

dt.
P=
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
du.Bài 30: Cho biểu thức :
x3
2x
1− x
−
.
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x

dv.
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2

dw.

dx.Phần 2: cỏc bài tập về hệ phương trỡnh bậc 2
dy. Bài 31: Cho phương trình :
m 2x −

dz.
a) Giải phương trình khi

(

)

2

2 − 1 = 2 − x + m2

m = 2 +1
x = 3− 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
ea. Bài 32: Cho phương trình :

( m − 4) x 2 − 2mx + m − 2 = 0

eb.

(x là ẩn )

x= 2

a) Tìm m để phương trình có nghiệm
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính

x12 + x22

theo m

ec.

ed. Bài 33: Cho phương trình :

x 2 − 2( m + 1) x + m − 4 = 0

ee.
(x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=

x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 )

không phụ thuộc vào m.

ef.

eg. Bài 34: Tìm m để phương trình :
eh. a)

x 2 − x + 2( m − 1) = 0

4x + 2x + m − 1 = 0

có hai nghiệm dương phân biệt

2

ei.
ej.

b)
c)

(m

2

)

có hai nghiệm âm phân biệt

+ 1 x − 2( m + 1) x + 2m − 1 = 0
2

có hai nghiệm trái dấu

ek.

el. Bài 35: Cho phương trình :

x 2 − ( a − 1) x − a 2 + a − 2 = 0

em.
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để
en. Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:

x12 + x22

đạt giá trị nhỏ nhất

1 1 1
+ =
b c 2
x 2 + bx + c = 0

eo. CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm

x 2 + cx + b = 0

ep.

eq. Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2 x 2 − ( 3m + 2 ) x + 12 = 0(1)

er.

4 x 2 − ( 9m − 2 ) x + 36 = 0(2)


es. Bài 38: Cho phương trình :
2 x 2 − 2mx + m 2 − 2 = 0

et.
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình
eu. Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m :
x2 + 4x + m + 1 = 0

ev.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện
ew.
ex. Bài 40: Cho phương trình

x12 + x22 = 10
x 2 − 2( m − 1) x + 2m − 5 = 0

ey.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
ez. Bài 41: Cho phương trình
x 2 − 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0

fa.
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

(với m là tham số )

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là
x1; x2

; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa

mà không phụ thuộc vào m
10 x1 x2 + x12 + x22

c) Tìm giá trị của m để
fb. Bài 42: Cho phương trình

đạt giá trị nhỏ nhất

( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0

fc.

x1; x2

với m là tham số
∀m ≠ 1

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của
phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm

x1; x2

thoả mãn hệ thức:

x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2

fd.
fe.

ff. Bài 43: A) Cho phương trình :
x 2 − mx + m − 1 = 0

fg.

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm
và giá trị của m tương ứng

b) Đặt

A = x12 + x22 − 6 x1 x2

A = m 2 − 8m + 8

• Chứng minh
• Tìm m để A=8

(m là tham số)
x1; x2

với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình


• Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
fh.
B) Cho phương trình
x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0

fi.
fj.

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm

fk.

b) Đặt A=

x1; x2

với mọi m.

2( x + x ) − 5 x1 x2
2
1

2
2

8m 2 − 18m + 9

• CMR A=
• Tìm m sao cho A=27

fl.

c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.

fm.

fn. Bài 44: Giả sử phương trình

a.x 2 + bx + c = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x1; x2

.Đặt

S n = x1n + x2n

(n

nguyên dương)

a) CMR

a.S n + 2 + bS n +1 + cS n = 0
5

b) áp dụng Tính giá trị của : A=

1 + 5  1 − 5 

 

 2  + 2 

 


5

fo.

fp. Bài 45: Cho
fq.
f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f (x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn
2

fr. Bài 46: Cho phương trình :

x 2 − 2( m + 1) x + m 2 − 4m + 5 = 0

fs.
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi

x1; x2

là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính

x12 + x22

theo m

ft.
fu.

fv. Bài 47: Cho phương trình

x2 − 4x 3 + 8 = 0
M =

tính giá trị của biểu thức :

có hai nghiệm là

6 x + 10 x1 x2 + 6 x
5 x1 x23 + 5 x13 x2
2

1

2
2

fw.

fx. Bài 48: Cho phương trình
fy.

x x − 2( m + 2) x + m + 1 = 0
1
2

a) Giải phương trình khi m=
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

x1; x2

. Không giải phương trình , hãy


x1; x2

c) Gọi

là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :
x1 (1 − 2 x2 ) + x2 (1 − 2 x1 ) = m 2

fz.

ga.

gb.Bài 49: Cho phương trình
gc.

x 2 + mx + n − 3 = 0

(1) (n , m là tham số)
• Cho n=0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

• Tìm m và n để hai nghiệm

x1; x2

của phương trình (1) thoả mãn hệ :

 x1 − x2 = 1
 2
2
 x1 − x2 = 7

gd.
ge.

gf. Bài 50: Cho phương trình:

x 2 − 2( k − 2 ) x − 2 k − 5 = 0

gg.
( k là tham số)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi

x1; x2

là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho
x12 + x22 = 18

gh.
gi.

gj. Bài 51: Cho phương trình

( 2m − 1) x 2 − 4mx + 4 = 0

gk.
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m=1
b) Giải phương trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
gl.

gm.

Bài 52:Cho phương trình :

x 2 − ( 2m − 3) x + m 2 − 3m = 0

gn.
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
go.

x1 , x2

thoả mãn

1 < x1 < x2 < 6

gp. Phần 3: Hệ phương trỡnh
gq.

gr. Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ;
( m + 1) x − y = m + 1

 x + ( m − 1) y = 2

gs.
gt.
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
gu.Bài 54: Giải hệ phươnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị

gv. a)
gw.

 x +1 = y

2 y − 5 = x

b)

x − y = 2

x y
+ =1

4 4

c)

 y +1 = x −1

 y = 3 x − 12


gx.Bài 55: Cho hệ phương trình :

2 x + by = −4

bx − ay = −5

a= b

gy. a)Giải hệ phương trình khi
gz. b)Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm :
ha.
* (1;-2)
2 − 1; 2

hb.

*(
)
hc.
*Để hệ có vô số nghiệm
hd.Bài 56:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:
 mx − y = 2m

4 x − my = 6 + m

he.
hf. Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình :
 x + ay = 1

ax·+ y = 2

hg.
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
hh.Bài 58 :Giải hệ phương trình sau:
 x 2 + xy + y 2 = 19

 x − xy + y = −1

hi.
hj. Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:

x −1 + y − 2 = 1

2
( x − y ) + m( x − y − 1) − x + y = 0

hk.
hl. Bài 60 :GiảI hệ phương trình:

 2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13
 2
2
 x − 4 xy − 2 y = −6

hm.
hn.Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :
a 3 + 2b 2 − 4b + 3 = 0
 2
2 2
 a + a b − 2b = 0

ho.
hp. Bài 61:Cho hệ phương trình :
hq.

.Tính

a2 + b2

(a + 1) x − y = 3

 a.x + y = a
2

a) Giải hệ phương rình khi a=b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

hr. Phần 4: Hàm số và đồ thị
hs. Bài 62: Cho hàm số :
ht.
y= (m-2)x+n
(d)
hu.
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)


b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1c) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1

2

và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+

2

.

y = 2x 2

hv. Bài 63: Cho hàm số :
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

y = mx − 1

c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d)
theo m
d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
y = 2x + m

y = x2

hw.
Bài 64 : Cho (P)
và đường thẳng (d)
hx. 1.Xác định m để hai đường đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm
còn lại . Tìm toạ độ A và B
hy. 2.Trong trường hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
hz. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
2(m − 1) x + (m − 2) y = 2
ia. Bài 65: Cho đường thẳng (d)

a)
b)
c)
d)

y = x2

Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P)
tại hai điểm phân biệt A và B
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max

Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
y = − x2

ib. Bài 66: Cho (P)
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và
tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
y=

3
x−3
4

ic. Bài 6: Cho đường thẳng (d)
a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
y = x −1

id. Bài 68: Cho hàm số
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
x −1 = m

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phương trình
ie. Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng :
if.

(d)

y = (m − 1) x + 2
y = 3x − 1

ig.
(d')
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
ih. Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng :

2


(d1 ) y = 2 x − 5
(d 2 ) y = x + 2
(d 3 ) y = a.x − 12

ii.

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

ij.

ik. Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
il.
y=

im.

1 2
x
2

Bài 72: Cho (P)
và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d) đI
qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

in.
y = x −1 + x + 2

io. Bài 73: Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
x −1 + x + 2 = m

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình
ip.
y = x2

iq. Bài 74: Cho (P)
và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
y=−

x2
4

ir. Bài 75: Cho (P)
và (d) y=x+m

a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ
bằng -4
d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
y = x2

is. Bài 76: Cho hàm số
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa
hai điểm A và B bằng

3 2
d1

it. Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( ) y=-2(x+1)
d1

a) Điểm A có thuộc ( ) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số

y = a.x 2

(P) đi qua A
d2

d1

c) Xác định phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và vuông góc với ( )
d2

d1

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( ) ; C là giao điểm của ( ) với trục tung . Tìm toạ độ của B và
C . Tính diện tích tam giác ABC
y=

iu. Bài 78: Cho (P)
-2 và 4

1 2
x
4

và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ
tích lớn nhất.

iv.

(Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ
y A; ; y B
tính
)

y=−

x ∈ [ − 2;4]

x ∈ [ − 2;4]

sao cho tam giác MAB có diện

có nghĩa là A(-2;

yA

) và B(4;

yB

)⇒

x2
4

iw. Bài 79: Cho (P)
và điểm M (1;-2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi

x A ; xB

lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để

x A2 xB + x A xB2

đạt giá trị nhỏ nhất và tính

giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
ix.
*Tính S theo m

iy.

*Xác định m để S=

4(8 + m 2 m 2 + m + 2 )

y = x2

iz. Bài 80: Cho hàm số
(P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
ja.

jb. Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
jc.

và đường thẳng (d)

1
y = − x2
4

y = mx − 2m − 1

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
jd. Bài 82: Cho (P)

1
y = − x2
4

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m.

a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
y=−

x2
4

je. Bài 83: Cho (P)
và đường thẳng (d) đi qua điểm I(
a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
jf.

y=

jg. Bài 84: Cho (P)
a) Vẽ (P) và (d)

x2
4

và đường thẳng (d)

x
y =− +2
2

3
;1
2

∀m ∈ R

) có hệ số góc là m


b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d)
y = x2

jh. Bài 85: Cho (P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
y = 2x 2

ji. Bài 86: Cho (P)
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để
đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB

jj. Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình
một điểm trên (P)

y = −2x

(d1 ) x + y = m
(d 2 )mx + y = 1

cắt nhau tại

2

jk. Phần 5: Giải toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh
jl. 1. Chuyển động
jm.

Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một
xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe
máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận
tốc không đổi
jn. Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả
4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc

dòng nước là 4 km/h.
jo. Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về
A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B
biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h
jp. Bài 91: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một
đoạn đường dốc . Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và
20 km/h . Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó
đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
jq.
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận
tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó
tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
jr.
Bài 101: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một người đi
xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe
máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
js.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một
lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km . Tính vận tốc
dòng nước chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
jt.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính
vận tốc của tầu khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h.
ju. Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy
từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của
thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
jv.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km trong
một thời gian đã định . Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe
phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đường còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên

đường .


jw.

Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau
khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng
vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
jx.
Bài107: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km ,
người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhưng nếu tăng
vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã
đi lúc đầu.
jy. 2. Năng suất
jz.
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm
một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ
. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?

ka.
kb.

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhưng do cải
tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch
đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.

kc.

kd.

Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng đã
vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt
mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
ke.
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung
thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ?
Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
kf. Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn
2
3

thành được
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ
phải làm trong bao lâu ?
kg.
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công
việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
kh.
ki.
Bài 114: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm
3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc . Hỏi mỗi người làm công việc đó
trong mấy giờ thì xong .
kj.
1. Thể Tớch
kk.
Bài 115: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50
phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
kl.

km.
Bài 116: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ
48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
kn.
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì
1
3

mỗi giờ phải bơm được 10 m 3 . Sau khi bơm được
thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với
3
công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm được 15 m . Do vậy so với quy định , bể chứa được bơm đầy
trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa.