Nguyên lý quy nạp toán học Môn cơ sở số học

NGUYÊN LÍ QUY NẠP
I.
Nguyên lí quy nạp:
Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N và thỏa mãn hai điều kiện sau:
1)
2)
Khi đó ta có
II.
Phép chứng minh bằng quy nạp:
1. Định lí:
Giả sử hàm mệnh đề P(n) với biến tự nhiên n, thỏa mãn điều kiện:
1) P(0) đúng:
2) Nếu P(n) đúng thì P(n’) đúng.
Khi đó P(n) đúng với mọi số tự nhiên.
2. Phép chứng minh quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n N*, ta thường dùng phương
pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:
Bước cơ sở: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề P(n) => P(n’).
Để chứng minh mệnh đề kéo theo này, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự
nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng
đúng với n = k’ (k’= k+1).
3. Một số dạng khác của phép chứng minh quy nạp:
a. Với , khi đó:
Bước cơ sở: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
Bước quy nạp: Ta giả sử P(n) đúng với và chứng minh P(k’) đúng.
Ví dụ 1: Với chứng minh rằng:
12 + 2 2 + ... + n 2 =

Với n=1, ta có:

1(1 + 1)(2 + 1)
12 =
6

12 + 22 + ... + k 2 =

k (k + 1)(2k + 1)
6

Ta chứng minh (1) đúng với

.

(1)

.

12 + 22 + ... + n 2 =

Vậy
Giả sử (1) đúng với , tức là:

n(n + 1)(2n + 1)
6

n(n + 1)(2n + 1)
6

đúng với n=1.

12 + 22 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =

k (k + 1)(2k + 1)
+ ( k + 1) 2
6

 k (2k + 1)
 (k + 1)(2k + 7 k + 6) ( k + 1)( k + 2)(2k + 3)
= (k + 1) 
+ (k + 1) ÷ =
=
6
6
6


2

12 + 22 + ... + n 2 =

Vậy

n(n + 1)(2n + 1)
6

đúng với .
b. Trong một số bài toán phức tạp, ta phải chứng minh quy nạp theo các
bước sau:
Bước cơ sở: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=0.

Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề
III.
Bài tập:
∗

−
−
−

n≥a

Cách giải: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên
,
người ta thường dùng phương pháp chứng minh qui nạp toán học. Phương
pháp này được tiến hành theo ba bước như sau:
Bước 1: Chứng minh P(n) là đúng.
Bước 2: Giả sử P(k) là đúng với số tự nhiên tùy ý , ta chứng minh P(k+1) là
đúng.
Bước 3: Kết luận P(n) là đúng với mọi số tự nhiên .

Dạng I. Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi ta có:
(2)
Hướng dẫn giải:
Xét với n=1, ta có: VT =1; VP = =1⇒ VT=VP
Vậy (2) đúng với n=1.
Giả sử (2) đúng với n=k (k ≥1), khi đó ta có:
(2*)

(giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:
(2**)
Ta có: VT(2**)
=

(theo (2*))

= VP(2**)
Vậy (2) đúng với n=k+1.
Vậy với mọi ta có:

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi ta có:
(3)
Hướng dẫn giải:
Xét với n=1, ta có: VT ; VP ⇒VT= VP
Vậy (3) đúng với n=1.


Giả sử (3) đúng với n=k (k≥1), khi đó ta có:
(3*)

(giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (3) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:
(3**)
Ta có: VT(3**) =
=

(theo(3*))

= VP(3**)
Vậy (3) đúng với n=k+1
Vậy với mọi ta có:

Bài tập tự luyện: Chứng minh rằng với mọi ta có:
a.
b.


c.
d.
Dạng II. Chứng minh bất đẳng thức
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có (3)
Giải
Với , ta có VT =8; VP=7, nên (3) đúng với.
Giả sử (3) đúng với n=k, tức là ,
Ta chứng minh (3) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có

Vậy (3) đúng với mọi số nguyên .
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có (4)
Giải
Với n=2, ta có VT =9; VP=7 , nên (4) đúng với n=2.
Giả sử (4) đúng với n=k, tức là
Ta chứng minh (4) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy (4) đúng với mọi số nguyên

Bài tập tương tự.
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:


c. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Dạng III. Chứng minh sự chia hết
Bài 5: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:
(1)
Hướng dẫn giải:
Xét với n=1 ta có: A = 9 ⋮ 3. Vậy (1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là :

(2) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
Ta có:
(ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên
(hiển nhiên)
Vậy (1) đúng với n=k+1
Kết luận: Vậy với n là một số nguyên dương.
Bài 6: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: (1)
Hướng dẫn giải:
Xét với n=1 ta có:. Vậy (1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là:

(2) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
Ta có:
(ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)


Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên:

⋮9

9(5k−2) ⋮ 9 (hiển nhiên)
Vậy (1) đúng với n=k+1
Vậy với n là một số nguyên dương.
Bài tập tự luyện: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:
a.
b.
c.
d.