Free Bài tập Nguyên hàm tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (646.2 KB, 21 trang )
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +
1
x
2x 4 3
x2
x 1
. f(x) = 2
x
( x 2 1) 2
4. f(x) =
x2
2. f(x) =
5. f(x) = x 3 x 4 x
6. f(x) =
1
3
2
3
5
4
2x
3x
4x
C
3
4
5
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
5
3
2
3
ĐS. F(x) = x x C
x
9. f(x) = 2 sin 2
ĐS. F(x) =
4
3
3
2
ĐS. F(x) = 2 x 33 x 2 C
x
x
( x 1) 2
7. f(x) =
x
x 1
8. f(x) =
x 3 3x 2
ln x C
3
2
2x 3 3
ĐS. F(x) =
C
3
x
1
ĐS. F(x) = lnx + + C
x
3
x
1
ĐS. F(x) =
2x C
3
x
ĐS. F(x) =
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
13. f(x) =
2
15. f(x) = sin3x
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
3
1
ĐS. F(x) = cos 5 x cos x C
5
1
ĐS. F(x) = e 2 x e x C
2
ĐS. F(x) = cos 3x C
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 +
1
1
x sin 2 x C
2
4
ex
)
cos 2 x
19. f(x) = 2ax + 3x
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x 3 x
C
ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x 1 C
3
ĐS. F(x) =
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) = 2 x
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
x3
1
3
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>8 x x x 2 40
3
2
3
2
x
1
3
ĐS. f(x) =
2x
2 x
2
3. f’(x) = 4 x x và f(4) = 0
4. f’(x) = x -
ĐS. f(x) =
1
2 và f(1) = 2
x2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) 2
x
x2 1 5
ĐS. f(x) =
2 x 2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u' ( x)dx
I = f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. (5x 1)dx
5.
9.
(2 x
1) 7 xdx
2
3x 2
dx
(3 2 x)
2.
dx
(x
6.
10.
3
5) 4 x 2 dx
x (1 x )
sin x
13. sin 4 x cos xdx 14. 5 dx
cos x
dx
dx
17.
18.
sin x
cos x
5 2x 3
e x dx
21.
25.
2
2
x 1 x .dx
29.
cos
e 3
x
3
x sin 2 xdx
5 2 x dx
7.
dx
3.
5
11.
2
15.
12.
cot gxdx
16.
19.
tgxdx
e tgx
cos 2 x dx
23.
26.
dx
1 x2
27.
30.
x
22.
x 1.dx
x.e
x 2 1
dx
tgxdx
2
x
cos
20.
1 x 2 .dx
e
x
x
dx
dx
24.
x
x 2 1.dx
4 x2
dx
28. 2
x x 1
x 2 dx
1 x2
dx
31. x
e 1
dx
2x 1
x
8. 2
dx
x 5
x 2 1.xdx
ln 3 x
x dx
4.
32.
3
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx,
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3.
5.
x sin 2 xdx
6.
9.
x ln xdx
10.
x cos 2 xdx
ln
2
xdx
(x
2
5) sin xdx
x.e dx
ln xdx
11.
x
7.
x
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
dv = v’(x)dx)
4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
8.
ln xdx
12.
e
0973.74.93.73
x
dx
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
13.
x
cos
x
x
17. e . cos xdx
21.
xtg
14.
dx
2
18.
x lg xdx
22.
2
/>
x e
3
sin
15.
xdx
x2
dx
19.
2 x ln(1 x)dx
23.
x ln(1 x
ln( x
16.
x dx
2
20.
)dx
ln(1 x)
x dx
TÍCH PHÂN
2
24.
x
2
2
2
1)dx
x
xdx
cos 2 xdx
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1. ( x x 1)dx
3
2.
0
3
x 2 dx
1
e
2. ( x
3.
1
2
1 1
2 x 2 )dx
x x
x 1dx
1
2
4. (2sin x 3cosx x)dx
3
1
6. ( x3 x x )dx
0
1
5. (e x x)dx
0
2
7. ( x 1)( x x 1)dx
1
2
1
8. (3sin x 2cosx )dx
x
1
9. (e x x 2 1)dx
0
3
2
10. ( x 2 x x 3 x )dx
1
2
11. ( x 1)( x x 1)dx
1
3
12. ( x 1).dx
3
2
13.
x.dx
2
2
x
1
-1
e2
5
7x 2 x 5
dx
14.
x
1
15.
( x 1).dx
16. 2
x x ln x
1
cos3 x.dx
17. 3
sin x
2
2
2
dx
x2 x2
6
4
18.
tgx .dx
cos2 x
0
1
20.
e x .dx
e x e x
0
ln 3
22.
0
1
.dx
e e x
x
24. (2 x 2 x 1)dx
1
e x e x
0 ex e x dx
1
19.
2
21.
1
2
22.
dx
4x 2 8x
dx
1 sin x
0
2
2
3
25. (2 x 3 x )dx
0
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
2
x( x 3)dx
26.
2
1
1
28. 2 3 dx
x
1 x
2
/>4
27. ( x 2 4)dx
3
x 2 2x
29.
dx
x3
1
2
1
e
30.
1
e
16
dx
x
31.
x .dx
1
e2
32.
2 x 5 7x
dx
1
x
8
1
33. 4 x 3 2 dx
1
3 x
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
1. sin 3 xcos 2 xdx
2
2. sin 2 xcos 3 xdx
3
3
3.
2
sin x
0 1 3cosx dx
4
3. tgxdx
0
4
4. cot gxdx
5.
6.
8.
x 1dx
2
0
1
3
2
x x 1dx
0
7.
9.
1
x
1
1
1 x
0
1
14.
0
2
x3 1
1
dx
x
dx
x3 1
1
1
13. 2
dx
x
2
x
2
1
11.
1
0
12.
x2
0
3
2
x 1 x dx
1 x 2 dx
0
1
1
10.
1 4sin xcosxdx
0
6
1
x
6
2
dx
1
1
x 1
2
dx
15.
1
(1 3x ) dx
2 2
0
2
16. esin x cosxdx
4
2
17. ecosx sin xdx
4
1
18. e
x2 2
2
xdx
19. sin 3 xcos 2 xdx
0
3
2
20. esin x cosxdx
4
2
21. ecosx sin xdx
4
1
22. e
0
x 2
2
2
xdx
23. sin 3 xcos 2 xdx
3
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
2
2
24. sin 2 xcos 3 xdx
25.
sin x
1 3cosx dx
0
3
4
4
26. tgxdx
27. cot gxdx
0
6
1
6
28.
30.
32.
1 4sin xcosxdx
0
1
x
1 x 2 dx
0
1
x
x 1
3
0
34.
2
2
dx
dx
x3 1
sin(ln x)
dx
36.
x
1
1
e
38.
e
e
2ln x 1
x
1
e
dx
1
0
44.
47.
49.
35.
37.
39.
1
dx
x 1 x
45.
x 1
dx
x
3
1
e
sin(ln x)
dx
x
1
e
e
1
41.
43.
1
2ln x 1
x
x 2 1dx
0
1
x
3
x 2 1dx
3
1 x 2 dx
0
1
x
dx
1 ln x
dx
x
e
1
e
1 3ln x ln x
dx
x
1
x
dx
2x 1
0
46.
33.
2
1
dx
40.
2
cos (1 ln x)
e
42.
31.
x
0
1
x
29.
e2
1 ln 2 x
e x ln x dx
2
1
1
1
x
x
dx
x 1
x 1dx
0
1
1
dx
x 1 x
0
e
46.
1
48.
1 3ln x ln x
dx
x
e
1
50.
1 ln x
dx
x
e2
1 ln 2 x
e x ln x dx
1
e2
1
dx
51.
2
cos (1 ln x)
e
52.
x 2 x 3 5dx
0
2
53.
sin
4
x 1 cos xdx
4
54.
0
1
0
4
55.
0
4 x 2 dx
4 x 2 dx
56.
dx
2
1
x
0
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
1
0
58. e x dx
57. e 2 x 3 dx
1
1
59.
/>
x
(2x 1) dx
3
0
1
60.
0
0
1
61. x 1 xdx
1
62.
0
1
63.
2x 5
0 x2 4x 4dx
6
65. (sin6 x cos6 x)dx
0
4
1 sin 2x
dx
cos2 x
0
67.
2
69.
1 sin 2x cos 2x
sin x cos x dx
x
0
3
2
4 sin3 x
dx
1
cos
x
0
66.
2
68. cos4 2xdx
0
1
1
dx .
e
1
0
70.
x
4
71. (cos 4 x sin 4 x)dx
cos 2 x
dx
0 1 2 sin 2 x
4
72.
0
sin 3x
dx
73.
0 2 cos 3 x 1
2
0
2
2
2x 2
dx
2
x 2x 3
77. cos3 x sin 2 xdx
cos x
dx
0 5 2 sin x
2
74.
1
76.
1
4
sin 4x
0 1 cos2 xdx
cos
78.
83.
1
e
85.
1 ln x
dx
x
1 ln x
dx
x
1
2
1
0
4
82.
cos x
0 6 5sin x sin2 xdx
cos x sin x
0 3 sin 2 x dx
4
89.
1
cos
0
4
84.
4
x
dx
1
cos xdx
0
1
86. x5 (1 x3 )6 dx
0
6
87.
xdx
80. x3 1 x2 dx
0
e
5
0
2
81. sin 2x(1 sin2 x)3dx
dx
x 2x 5
2
2
0
79.
4x 11
dx
5x 6
2
x3
0 x2 2x 1dx
64.
6
75.
x
dx
2x 1
3
88.
0
tg4 x
dx
cos 2x
2
90.
0
sin 2 x
cos x 4 sin 2 x
2
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
dx
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
dx
91. x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
sin 2 x
dx
2
0 ( 2 sin x )
2
92.
ln(tgx )
dx
sin 2 x
4
3
94. (1 tg 8 x)dx
93.
0
4
2
95.
sin x cos x
1 sin 2 x
dx
sin 2 x sin x
2
96.
1 3 cos x
0
dx
4
sin 2 x cos x
dx
0 1 cos x
2
x
99.
dx
11
x 1
2
97.
2
98. (e sin x cos x) cos xdx
0
1
1 2 sin 2 x
dx
101.
0 1 sin 2 x
4
1
103.
105.
1
2
0
102.
1
dx
x 1
1
dx
107.
1 cos x sin x
0
2
2
108.
110.
1
9 3x2
dx
x2
1
2
3
1
1
x x2 1
dx
1 x4
dx
115.
1 x6
0
0
dx
117. 2
1 x 2x 2
x x 1
dx
1 x5
2
119.
7
121.
0
ln 2
123.
0
1 x2
x
2
1
112.
0
dx
1
x2 1
1 x
(1 x )5
dx
dx
2
113.
x2
0
2
3
2
109. x2 4 x2 dx
1
dx
4 x2
x
106. 4 2 dx
x x 1
0
2
3
1 x 2 dx
0
1
101.
0
104.
2
x
1
1
1 x dx
0
1
1 3 ln x ln x
dx
x
e
100.
x3
3
1 x
2
1
ex 2
dx
cos x
dx
7 cos 2 x
2
114.
0
116.
0
1
118.
0
cos x
1 cos2 x
dx
1 1 3x
8
120.
3
3
122.
dx
1
x x2 1
x
5
dx
1 x 2 dx
0
dx
7
3
124.
0
x 1
dx
3
3x 1
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
2
dx
2 3
125. x 2 x 3 1dx
126.
0
5
x x2 4
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b
b
Công thức tích phân từng phần : u( x)v'(x)dx u( x)v( x) a v( x)u '( x)dx
b
a
a
sin ax
@ Dạng 1
f ( x) cosax dx
eax
u f ( x)
du f '( x)dx
sin ax
sin ax
dv cos ax dx v cosax dx
eax
eax
@ Dạng 2:
f ( x) ln(ax)dx
dx
u ln(ax)
du x
Đặt
dv f ( x)dx v f ( x)dx
sin ax
@ Dạng 3: eax .
dx
cosax
í dụ 1: tính các tích phân sau
u x5
u x 2 e x
3
1
8
2 x
x
dx
xe
dx đặt
a/
b/ 4
đặt
dx
x3dx
3
2
dv
(
x
1)
(
x
1)
dv
2
0
( x 1) 2
( x 4 1)3
1
1
1
1
dx
1 x2 x2
dx
x 2 dx
dx
c/
0 1 x2 0 (1 x2 )2 I1 I 2
(1 x 2 )2 0 (1 x 2 )2
0
1
dx
bằng ph
1 x2
0
ính I1
1
ng pháp đ i biến số
x 2 dx
ính I2 =
bằng ph
(1 x 2 ) 2
0
u x
ng pháp từng phần : đặt
x
dv (1 x 2 ) 2 dx
Bài tập
e
1.
ln x
dx
3
x
1
e
3
2.
1
e
1
3.
x ln( x
0
2
1)dx
x ln xdx
4.
x
2
ln xdx
1
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
e
e
ln 3 x
5. 3 dx
x
1
6.
1
e
1
7.
x ln( x
1)dx
2
x ln xdx
8.
0
x
2
ln xdx
1
e
2
9. ( x cosx) s inxdx
1
(
x
1 x ) ln xdx
10.
0
3
2
ln( x
11.
2
x)dx
x tan
12.
1
2
xdx
4
2
13.
1
2
ln x
dx
x5
14.
x cos xdx
0
1
15.
2
x
xe dx
16.
0
e x cos xdx
0
Tính các tích phân sau
1
1) x.e 3 x dx
2)
0
2
6
( x 1) cos xdx
(1 x
6)
1
4) x. sin 2 xdx
0
e
x ln xdx
5)
2
(2 x) sin 3xdx
3)
0
e
0
1
3
2
4 x. ln x.dx
7)
). ln x.dx
1
(x
1).e .dx
x
10)
x
11)
2
ln x
13) 5 dx
x
1
e
x ln
2
2
14) x cos xdx
18)
2
ln(1 x)
dx
x2
1
x sin x
dx
cos2 x
0
x
0
19) x sin x cos2 xdx
0
1
e
0
1
22) (x 1)2 e2x dx 23) (x ln x)2 dx
ln x
( x 1)
1
e
. cos x.dx
15) e sin xdx
0
1
e
1
2
3
xdx
2
2
2
dx
12)
0
0
1
25)
2
x. cos x.dx
1
26) xtg2 xdx
(x
2
2 x). sin x.dx
0
2
16) sin xdx
4
20) x(2 cos2 x 1)dx
ln x
1
x
2
dx 30) ( x cos 3 x) sin xdx
0
21)
0
2
24) cos x.ln(1 cos x)dx
1
0
1
28) x ln(1 x 2 )dx
0
0
e
17)
0
27) ( x 2)e 2 x dx
0
9)
).dx
2
2
0
1
2
x. ln(3 x
8)
2
3
0
2
31) (2 x 7) ln( x 1)dx 32) ln( x 2 x)dx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
29)
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
2x 1
3 x 2 3x 2 dx
/>b
5
1.
2.
a
x x 1
dx
3.
x 1
0
1
x3 x 1
dx
4.
x2 1
0
1
3
1
1
5.
x2
0 (3x 1) 3 dx
6.
( x 2)
0
1 x
7.
dx
2008
)
1 x (1 x
2
2x3 6x 2 9x 9
8.
dx
x 2 3x 2
1
10.
x2 3
1 x( x 4 3x 2 2) dx
2
2
13.
1
4 x
2
dx
2
12.
14.
1
1
0 x 2 2 x 2dx
16.
1
17. 3
dx
2
2 x 2x x
1 x2
1 1 x 4 dx
20.
x6 x5 x4 2
dx
0
x6 1
22.
x
(1 x
1
1
1 x
24.
dx
x2 x 1
3
26.
1
3x 1
x 1dx
29.
x2
x x 1
2 x 1dx
x 1
1
0
2
31.
1
33.
x
0
2
dx
4 x 11
dx
x2 5x 6
x2
x 1 dx
0
x2
28.
2 x 1dx
1
2
0
3
2
2x 2
3 dx
27.
x 1
dx
2 x4
0 1 x 2 dx
0
0
)
1
1
1 x4
dx
23.
6
0 1 x
0
2 3
0
1
dx
3x 2 3x 3
18. 3
dx
2 x 3x 2
1
25.
dx
)
3
2
1
4
0
4
21.
x
1 x
4
0
2
19.
1
x(1 x
1
1
0
15.
x 2 n 3
0 (1 x 2 ) n dx
1
x4
2 ( x 2 1) 2 dx
11.
1
dx
( x 3) 2
2
0
2008
3
9.
1
( x a)( x b) dx
1
30.
0
2x 1
x 2x 3
dx
x3
2
2x 2 x 2
x 1dx
x 1
0
1
32.
dx
4x 3
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
2
2
1. sin 2 x cos 4 xdx
2. sin 2 x cos 3 xdx
0
0
2
2
3. sin 4 x cos 5 xdx
4. (sin 3 x cos 3 )dx
0
0
2
2
0
5. cos 2 x(sin 4 x cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x sin x cos x cos 2 x)dx
0
2
2
7.
1
sin x dx
8. (sin 10 x cos 10 x cos 4 x sin 4 x)dx
0
3
2
9.
2
dx
0 2 cos x
10.
0
sin 3 x
0 1 cos 2 x dx
3
2
11.
1
2 sin x dx
12.
sin
4
dx
x. cos x
6
4
13.
2
16.
sin x
2 sin x dx
0
cos 3 x
0 1 cos x dx
2
2
18.
1
sin x cos x 1 dx
0
2
19.
cos x
1 cos x dx
0
2
cos x
0 2 cos x dx
17.
14.
15.
2
dx
0 sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x
2
cos xdx
(1 cos x) 2
20.
3
sin x cos x 1
sin x 2 cos x 3 dx
2
4
4
0
cot g
21. tg 3 xdx
22.
3
xdx
6
3
4
23. tg 4 xdx
24.
1
1 tgx dx
0
4
4
25.
0
2
dx
cos x cos( x
4
26.
)
sin x 7 cos x 6
4 sin x 5 cos x 5 dx
0
2
27.
0
1 sin x dx
4
28.
dx
2 sin x 3 cos x
0
13
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
29.
1 cos 2 x sin 2 x
dx
sin
x
cos
x
0
3
4
2
4 sin x
0 1 cos 4 x dx
30.
2
31.
2
sin 3x
0 1 cos x dx
dx
sin 2 x sin x
32.
4
sin 3 x
0 cos 2 x dx
4
33.
2
34. sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx
0
35.
3 3
cos x sin xdx
36.
0
sin 3 x sin x
dx
sin 3 xtgx
4
2
37.
dx
0 1 sin x cos x
2
dx
2 sin x 1
38.
0
4
2
39. cos 3 x sin 5 xdx
sin 4 xdx
2
x
1 cos
40.
0
4
2
6
dx
41.
5 sin x 3
0
2.
sin
4
dx
x cos x
6
3
43.
6
3
dx
sin x sin( x
6
4.
)
4
45.
sin x cos( x
4
)
3
dx
2
sin xdx
cos 6 x
3
46. tgxtg ( x )dx
6
4
6
0
3
47.
4 sin xdx
0 (sin x cos x) 3
48.
50.
x
0
0
2
2
cos xdx
1 sin x
2
0
1 cos x e
52.
sin 3x sin 4 x
tgx cot g 2 x dx
x
dx
0
2
4
53.
2
2
2
51. sin 2 x.e 2 x 1 dx
2
49. sin 3 x dx
sin 2 x
(2 sin x)
54.
sin
0
2
sin 2 xdx
x 5 sin x 6
6
2
55. cos(ln x)dx
1
56.
3
ln(sin x)
dx
cos 2 x
6
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
2
57. (2 x 1) cos 2 xdx
58.
x sin x cos
0
2
xdx
0
4
59.
60. e 2 x sin 2 xdx
2
xtg xdx
0
0
2
4
61. e sin x sin x cos 3 xdx
2
62.
0
4
63.
65.
ln(1 tgx )dx
0
64.
(1 sin x)(2 cos
2
2
sin 2 x sin 7 xdx
66.
x)
dx
cos x(sin 4 x cos 4 x)dx
0
2
2
4sin 3 x
dx
1 cos x
0
2
2
4
2
sin 7 x. sin 2 xdx
cos 5x. cos 3xdx
68.
69.
2
0
67.
(1 sin x) cos x
2
dx
0 (sin x 2 cos x) 2
x
2
70. sin cos xdx
0
2
4
71. sin 2 xdx
0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
R( x, f ( x))dx
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
a
ax
) §Æt x = a cos2t, t [0; ]
ax
2
+) R(x,
+) R(x, a 2 x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t
+) R(x,
n
ax b
) §Æt t =
cx d
+) R(x, f(x)) =
n
ax b
cx d
1
(ax b) x x
2
Víi ( x 2 x )’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t = x 2 x , hoÆc ®Æt t =
1
ax b
+) R(x, a 2 x 2 ) §Æt x = a tgt , t [ ; ]
2 2
+) R(x, x 2 a 2 ) §Æt x =
a
cos x
, t [0; ] \ { }
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
2
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
+) R
n1
/>
n
n
x ; 2 x ;...; i x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
§Æt x = tk
2 3
1.
2
dx
x x 4
5
dx
2.
2
x x2 1
2
3
1
2
(2 x 3)
3.
2
dx
4 x 12 x 5
2
1
2
4.
2
x 2008dx
2
6.
1
1
1
7. x 2 1 x 2 dx
8.
x
1
(1 x 2 ) 3 dx
2
2
x 1
2
2
1
11.
x 2008
2
0
0
3
dx
1
9.
x2 1
10.
dx
0
12.
(1 x 2 ) 3
2
2
1 x dx
2
14.
0
2
2
cos xdx
16. sin x cos x cos 2 x dx
7 cos 2 x
0
0
2
17.
0
3
22.
x
x 3 dx
0
x2 1
1
24. x15 1 3x 8 dx
2x 1 1
2
dx
0
1
dx
1 3 cos x
20. x 3 10 x 2 dx
2
2x 1
7
sin 2 x sin x
3
xdx
0
23.
1 x
0
x 3 dx
1
21.
18.
2 cos 2 x
7
2
cos xdx
0
19.
x 2 dx
1 x2
0
15.
dx
(1 x 2 ) 3
0
1
1 x
dx
1 x
2
2
dx
0
13.
x3 1
1
2
5.
dx
x
0
ln 3
2
25.
6
1 cos x sin x cos xdx
3
5
26.
0
1
27.
0
1 x
1
ln 2
dx
x2 1
1
29.
5
4
28.
0
e
12 x 4 x 8dx
2
30.
1
dx
ex 1
e 2 x dx
ex 1
1 3 ln x ln x
dx
x
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thy Giỏo : H Thc Thun
3
31.
x5 x3
1 x
0
2
/>4
32.
dx
ln 3
33. x(e 2 x 3 x 1)dx
34.
1
cos 2 x
2 3tgx
cos 2 x
dx
cos 2 x
3
0
2
38.
2 cos 2 x
0
x2
7
0
dx
e x dx
(e x 1) 3
0
cos xdx
x ln x 1
3
39.
ln 2 x
ln 2
36.
37.
ln 2
x 3 2 x 2 x dx
0
0
35.
3
x3
0
cos xdx
1 cos 2 x
2a
40.
dx
x 2 a 2 dx
0
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
a
a
a
0
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
3 3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
;
2 2
2 2 cos 2 x ,
3
2
Tính:
f ( x)dx
3
2
x 4 sin x
dx
2
1 1 x
1
+) Tính
a
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
f ( x)dx
= 0.
a
1
Ví dụ: Tính: ln( x 1 x 2 )dx
1
2
cos x ln( x
1 x 2 )dx
2
a
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
f ( x)dx
a
a
= 2 f ( x)dx
0
2
1
Ví dụ: Tính
x
x dx
4
1
x 1
2
x cos x
dx
4 sin 2 x
2
a
a
f ( x)
dx f ( x)dx (1 b>0,
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
x
a1 b
0
a)
x 1
dx
Ví dụ: Tính:
x
1
2
3
3
2
2
sin x sin 3x cos 5 x
dx
1 ex
2
Chuyờn luyn thi i hc mụn TON & Lí
0973.74.93.73
Thy Giỏo : H Thc Thun
/>
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
], thì
2
2
2
f (sin x) f (cos x)dx
0
0
sin 2009 x
0 sin 2009 x cos 2009 x dx
2
2
Ví dụ: Tính
0
sin x
sin x cos x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx
0
x
0 1 sin x dx
Ví dụ: Tính
Bài toán 6:
b
b
a
a
f (a b x)dx f ( x)dx
dx
2 0
f (sin x)dx
x sin x
2 cos x dx
0
b
b
0
0
f (b x)dx f ( x)dx
Ví dụ: Tính
4
x sin x
0 1 cos 2 x dx
sin 4 x ln(1 tgx )dx
0
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a T
T
a
0
f ( x)dx f ( x)dx
2008
Ví dụ: Tính
nT
T
0
0
f ( x)dx n f ( x)dx
1 cos 2 x dx
0
Các bài tập áp dụng:
1 x
dx
1 2x
1
1.
2
1
4
2.
x7 x5 x3 x 1
dx
cos 4 x
4
1
3.
dx
1 (1 e x )(1 x 2 )
1
2
1 x
)dx
5. cos 2 x ln(
1 x
1
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
2
6. sin(sin x nx)dx
0
2
sin 5 x
2
7.
2
4.
1 cos x
2
dx
tga
cot ga
e
1
e
xdx
8.
2
1 1 x
dx
1 (tga>0)
x(1 x 2 )
VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I:
3
1.
x
2
2
1dx
2.
3
x
2
4 x 3 dx
0
1
3. x x m dx
2
4.
0
sin x dx
2
5.
1 sin x dx
3
6.
tg 2 x cot g 2 x 2dx
6
Chuyờn luyn thi i hc mụn TON & Lí
0973.74.93.73
Thy Giỏo : H Thc Thun
/>
3
4
sin 2 x dx
7.
2
8.
1 cos x dx
0
4
5
9. ( x 2 x 2 )dx
2
3
10. 2 x 4 dx
0
4
3
11.
3
cos x cos x cos xdx
12.
x
2
3x 2dx
1
2
5
13. ( x 2 x 2 )dx
2
14.
3
15. 2x 4dx
0
2
0
1 sin xdx
16.
1
2dx
x2
x2
1 cos2xdx
1
2
3
17.
2)
0
2
18. x 2 x dx
0
VIII. NG DNG CA TCH PHN:
TNH DIN TCH HèNH PHNG
Vớ d 1 : ớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1
b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1
c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Vớ d 2 : ớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1
b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1
c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới
hạn bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên
0x và phía d-ới 0x bằng nhau
x x 3
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y o x 1
y 0
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
x 2 2ax 3a 2
y
1 a4
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Tìm a để diện tích lớn
2
a
ax
y
1 a4
nhất
Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:
Chuyờn luyn thi i hc mụn TON & Lí
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
x2
y 4
4
1) (H1):
2
y x
4 2
7)
2
y x 4x 3
2) (H2) :
y x 3
y x
y x 2
4) (H4):
/>
x y
ln x
y 2 x
(H7): y 0
x e
x 1
2
5) (H5):
y 2 x
2
y x 2 2x
8) (H8) :
2
y x 4x
(C ) : y x
y 2y x 0
10) (H10):
11) (d ) : y 2 x
x y 0
(Ox)
2
y 2 2x 1
13)
y x 1
y 4 x2
14) 2
x 3 y 0
3x 1
y x 1
3) (H3): y 0
x 0
y 2 x 5 0
6) (H6):
x y 3 0
3
3
2
y x x
2
2
9) (H9):
y x
(C ) : y e x
12) (d ) : y 2
() : x 1
15)
y x
x y 2 0
y 0
x2
y ln x, y 0
y
y 2 2x
2
16
17
18) 1
y x, y 0, y 3
y 1
x e , x e
2
1 x
1
1
y sin 2 x ; y cos 2 x
19.
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
x ; x
6
3
y x
2
2
y x 6x 5
y x 4x 5
y 1
2
21) y 2 x 4
22) y x 4 x 3
23)
x
y 3 x 15
y 4 x 11
y 0
x e
y / x 2 1/
24)
y / x / 5
y x 2
27)
y 4 x
2
y x3
30) y 0
x 2; x 1
y x 3
25) 2
y x
y x 2 2x 2
28) y x 2 4 x 5
y 1
y sin x 2 cos x
31) y 3
x 0; x
y 3x 2 / x / 2
26)
y 0
y / x 2 1 /
29)
y x 2 7
2
y x 3
32)
x
y 0
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thy Giỏo : H Thc Thun
y 2x 2 2x
34) y x 2 3x 6
x 0; x 4
y x 2x
2
33)
y x 2
y 2x 2
36) y x 2 2 x 1
y 2
y / x 2 5x 6 /
38)
y x 1
y eẽ
41) y e x
x 1
y 2x 2
44) y x 2 4 x 4
y 8
y ( x 1)
/> y / x 2 5x 6 /
y 6
35)
y / x 2 3x 2 /
37)
y 2
y / x 2 3x 2 /
y / x 2 4x 3 /
y 3
39)
40)
x2
y
42)
x2 x6
x 0; x 1
43)
y 2 2x
45) 2 x 2 y 1 0
y 0
y 2 x 2 (a 2 x 2 )
46)
a 0
2
y x
y sin/ x /
y / x /
x ( y 1) 2
x / y 1/
49)
32) y sin x 33)
x 2
x 0
y / x 1/
x 2
2
2
2
48)
47)
x sin y
x
x 0;
y 4
1
4
34)
x
2
2
y x
x
4 2
;y 0
y
1 x4
2
y 5
35) y 0
36)
x 0; y 3 x
x2
ax y 2
40)
(a>0)
ay x 2
y 2 6 x
2
x y 2 16
y
37) y
y
x2
x2
27
27
x
y / log x /
y 2 (4 x) 3
38) 2
39) y 0
y 4 x
1
x , x 10
10
y x
y 2 2x
41) y sin 2 x x 42) 2
43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến
2
0 x
27 y 8( x 1)
đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k để diện
tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
y x3 2x 2 4x 3
45)
y 0
TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY
Cụng thc:
y
y
xb
x luyn
a
b
(C )mụn
: y TON
f ( x)
Chuyờn
thi i hc
& Lí
x0
yb
0973.74.93.73
(C ) : x f ( y )
ya
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
/>
2
b
2
V f ( y ) dy
V f ( x) dx
b
a
a
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng : y x;y 2 x;y 0
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : y (x 2)2 và y = 4
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh:
a) rục Ox
b) rục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : y 4 x 2 ; y x 2 2 .
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
1
x2
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng : y 2 ; y
x 1
2
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = 2x2 và y = 2x + 4
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = y2 = 4x và y = x
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
1
x
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = x ln(1 x 3 ) ; y = 0 ; x = 1
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
y ( x 2) 2
1)
y 4
y x 2 , y 4x 2
2)
y 4
1
y 2
3)
x 1
y 0, x 0, x 1
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
y 2x x 2
4)
y 0
y x. ln x
5) y 0
x 1; x e
y x 2 ( x 0)
6) (D) y 3x 10
y 1
y x 2
7)
y x
/>
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x;
quay quanh trôc a) 0x;
( H) n»m ngoµi y = x2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E):
x2 y2
1
9
4
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y xe Ï
10) y 0
quay quanh trôc 0x;
x 1, ;0 x 1
y cos 4 x sin 4 x
11) y 0
quay quanh trôc 0x;
x ; x
2
y x2
12)
quay quanh trôc 0x;
y
10
3
x
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4
14) y
x4
x 0; x 2
y x 1
15) y 2
x 0; y 0
quay quanh trôc 0x;
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
Chuyên luyện thi đại học môn TOÁN & LÝ
0973.74.93.73
