KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I

CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG


A.
PHẦN LÝ THUYẾT.
1. Phép tònhuutiế
n r
uuur
Tvr ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v

r

Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép tònh tiến theo v(a; b)
x ' = x + a

Khi đó:  y ' = y + b


r

Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua phép tònh tiến v( −2; −1) .
Giải.
r
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép tònh tiến theo v( −2; −1) , ta có:
 x ' = x + a  x ' = −2 − 2  x ' = −4
⇔
⇔

.
 y ' = y + b  y ' = 3 −1
 y' = 2

Vậy A ' ( −4; 2 ) .
2.
Phép đối xứng trục Ox
ĐOx ( M ) = M ' . Nghóa là M’ đối xứng với M qua trục tọa độ Ox
Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép đối xứng trục Ox
x ' = x

Khi đó:  y ' = − y


Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải.
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox, ta có:
 x' = x
 x ' = −2
⇔
. Vậy A ' ( −2; −3) .

 y ' = − y  y ' = −3

3.

Phép đối xứng trục Oy

ĐOy ( M ) = M ' . Nghóa là M’ đối xứng với M qua trục tọa độ Oy
Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép đối xứng trục Oy
x ' = −x

Khi đó:  y ' = y


Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua phép đối xứng trục Oy.
Giải.
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép đối xứng trục Oy, ta có:
x ' = −x x ' = 2
⇔
. Vậy A ' ( 2;3) .

y
'
=
y
y
'
=
3



4.

Phép vò tự u
tâ
m
O (tỉ
số k)
uuuu
r
uuuu
r

V(O , k ) ( M ) = M ' ⇔ OM ' = k .OM

Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép vò tự tâm O.
 x ' = k .x

Khi đó:  y ' = k . y

1
Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua phép vò tự tâm O với tỷ số k = .
2


Giải.
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép vò tự tâm O, ta có:
1

x ' = .(−2)
 x ' = −1

 x ' = kx 
3


2
⇔
⇔

3 . Vậy A '  −1; ÷.
2


 y ' = ky  y ' = 1 .3
 y ' = 2

2
( x H , y H ) bất kỳ (tỉ số k)
5.
Phép vò tự tâmuuuH
uu
r
uuuur
V( H , k ) ( M ) = M ' ⇔ HM ' = k .HM

Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép vò tự tâm H ( xH , yH )
 x ' = k .( x − xH ) + xH

Khi đó:  y ' = k .( y − y ) + x

H
H
Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua phép vò tự tâm H (−1;5) với tỷ số k = 2.
Giải.
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép vò tự tâm H, ta có:
 x ' = k ( x − xH ) + xH
 x ' = 2. ( −2 + 1) − 1  x ' = −3
⇔
⇔
. Vậy A ' ( −3;1) .

y

'
=
k
y
−
y
+
y
y
'
=
2
3
−
5
+
5
y
'
=
1
(
)
(
)

H
H



6.
Phép đối xứng tâm.
Cho điểm M ( x; y ) , M ' ( x '; y ' ) .
6.1
Đối xứng tâm u
Ouu.u
r
uuuur
D
M
=
M
'
⇔
OM
=
−
OM
'.
(
)
a.
O
uuuu
r
 DO ( M ) = M ' uuuuuur
⇒
M
'

N
'
=
−
MN
⇒ M ' N ' = MN .

b.
D
N
=
N
'
(
)
 O
c.
6.2
a.
b.

x ' = −x
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là : 
.
y' = −y
Đối xứng tâm I ( a; b ) .
uuur
uuuu
r
DI ( M ) = M ' ⇔ IM = − IM ' .

uuuu
r
 DI ( M ) = M ' uuuuuur
⇒ M ' N ' = − MN ⇒ M ' N ' = MN .

 DI ( N ) = N '

 x ' = 2a − x
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I là : 
.
 y ' = 2b − y
Ví dụ: Tìm ảnh của điểm A(−2,3) qua các phép sau:
a.
Phép đối xứng tâm O.
b.
Phép đối xứng tâm I(2; −3)
Giải.
Gọi A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua các phép trên.
a.
Ta có:
 x ' = −x
x ' = 2
⇔
. Vậy A ' ( 2;3) .

y' = −y y' = 3
c.

b.

Ta có:


 x ' = 2a − x
 x ' = 2.2 + 2
x ' = 6
⇔
⇔
. Vậy A ' ( 6; −9 ) .

 y ' = 2b − y
 y ' = 2.(−3) − 3
 y ' = −9
7.
Phép quay.
Trong mặt phẳng cho điểm I cố đònh và góc lượng giác α không đổi . Phép biến hình
biến điểm I thành điểm I, biến điểm M khác I thành điểm M’ sao cho IM=IM’và góc
(IM;IM’)= α . Được gọi là phép quay tâm I góc quay là α . kí hiệu Q( I , α )
Chiều quay dương ngược chiều quay của kim đồng hồ
Chiều quay âm trùng chiều quay của kim đồng hồ
*Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc
quay là α :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q (I, α ) , với I(a; b). Khi đó Q(I, α ) biến điểm M (x; y)
thành M’(x’; y’) xác đònh bởi:
 x' = a + ( x − a ) cos α − ( y − b) sin α
 x ' = x.cos α − y.sin α

hoặ
c
vớ

i
tâ
m
O

y
'
=
b
+
(
x
−
a
)
sin
α
+
(
y
−
b
)
cos
α
 y ' = x.sin α + y.cos α


B.
BÀI TẬP.

Bài tập 1. Cho điểm B ( 2, −9 ) , tìm ảnh của B qua các phép biến hình sau:
r
a.
Tònh tiến theo u ( −3;4 ) .
b.
c.

Đối xứng trục Ox, Oy.
Vò tự tâm O, tâm H ( −2; −6 ) với tỷ số k = 3.

Bài tập 2. Cho A( -2, 1) và ảnh của A là A’( 2, -4). Tìm véctơ mà A tònh tiến lên
véctơ đó để được ảnh A’.
r
Bài tập 3. Tìm tọa độ của điểm A biết ảnh của A qua phép tònh tiến v(2;1) là
A '(−3; −4) .
Bài tập 4. Cho hai điểm A ( −7; 2 ) , B ( 0; −3) , C ( 4;0 ) .
uuur
a.
Tìm ảnh của A qua phép tònh tiến BC.
uuur
b.
Tìm ảnh của B qua phép vò tự tâm C với tỷ số là k là độ dài AC.
Bài tập 5.
r
a.
Cho đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0 , tìm ảnh của d qua phép Tvr với v (1, −2) .
b.

Cho đường thẳng d : x − 3 y + 2 = 0 , tìm ảnh của d qua phép Tvr với

v(−1,2) .

c.
d.

Cho đường thẳng d : 2x + y – 4 = 0, tìm ảnh của d qua phép ĐOx và ĐOy.
Cho đường thẳng d : x + 5y + 3 = 0, tìm ảnh của d qua phép ĐOx và ĐOy.
Bài tập 6. Trên mp tọa độ Oxy cho 2 điểm A ( 1;2 ) , B ( 2;0 ) . Đường thẳng d đi qua A và
vuông góc với AB.
r
a.
Tìm ảnh của A ,B, d qua phép tònh tiến theo véc tơ v = ( 3; −2 )
b.
Tìm phương trình của đường thẳng d1 sao cho phép tònh tiến theo vectơ
r
v = ( 1; −2 ) biến d1 thành d.
Bài tập 7.
x2
+
a.
9
Bài tập 9.

Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
y2
x2 y2
= 1.
+
= 1.
b.

4
16 9
Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm


I(–1; 2).
x2 y 2
x 2 + 4 y 2 = 1.
b.
−
= 1.
a.
9
4
Bài tập 10. Trên mp tọa độ Oxy cho điểm A ( 1; −1) , đường thẳng d đi qua A và vuông
góc với đường thẳng d1 : 2 x + y + 1 = 0 .
a.
Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Ox.
b.
*Tìm ảnh của A qua phép đối xứng trục d1 .
Bài tập 11. Trong mp tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình là x2 + y2 - 2x +
4y - 4 = 0 .Tìm ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo v(−2,3) .
Bài tập 12. Trong mp Oxy, cho điểm M(1, 5) và đường thẳng
d: x - 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có pt là: x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0.
a.
Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox.
b.
Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d.
Bài tập 13. Cho hình vuông ABCD. Tìm ảnh của điểm A, C qua phép quay ± 900 tâm
B.

Bài tập 14. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆: 3x – 5y + 1= 0 và đường tròn
(C):( x- 3)2 + ( y+4)2 = 9. Xác đònh ảnh của ∆ và đường tròn qua phép quay tâm O
góc quay 900 .
Bài tập 15. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x 2 + y2 – 4x + 6y -1 =0. Xác
đònh ảnh của đường tròn qua :
a.
Phép vò tự tâm O tỉ số k = 2.
b.
Phép đồng dạng khi thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay 900 và phép

V(O , −3) .