Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 1 lấy mẫu và khôi phục tín hiệu

10/1/2012

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
1

Chương 1:
Lấy mẫu v{ khôi phục tín hiệu.


KHÁI NIỆM
Tương tự

Lấy mẫu &
lượng tử hóa

100110010
Tín hiệu số

Xử lý số tín hiệu
DSP

110100010
Tín hiệu số

Khôi phục tín
hiệu tương tự

10/1/2012

Tín hiệu

Tín hiệu
Tương tự

Quá trình xử lý số các tín hiệu tương tự:





Số hóa các tín hiệu tương tự: lấy mẫu & lượng tử hóa các mẫu
này (A/D)
Dùng bộ xử lý số tín hiệu (DSP) để xử lý các mẫu thu được
Các mẫu sau khi xử lý sẽ được khôi phục lại dạng tương tự bằng
bộ khôi phục tín hiệu tương tự (D/A)

2


KHÁI NIỆM (TT)
Biến đổi Fourier của x(t) chính l{ phổ tần số của tín

hiệu n{y:

X ( ) 



Biến đổi Laplace:

 x(t )e




X (s) 


10/1/2012



Tổng qu|t X() l{ số phức



 jt

dt

x(t )e  st dt

  2 f

s  j



X   X  e j.arg( X  )





X : biên độ & arg(X()) l{ pha của X()

Đồ thị của X  theo : phổ biên độ
Đồ thị của arg(X()): phổ pha

3


KHÁI NIỆM (TT)
10/1/2012

Đ|p ứng hệ thống tuyến tính
Trong miền thời gian:
x(t)
Input
Trong

X()
Input

Hệ thống tuyến tính
h(t)

miền tần số
Hệ thống tuyến tính
H()


H     h(t )e  jt dt


y(t)
Output



y (t )  h(t ) * x(t )   h(t   ) x( )d


Y()
Output

Y() = H()X()
4


KHÁI NIỆM (TT)
10/1/2012



Xét tín hiệu v{o dạng sin: x(t)=ejΩt
Tín hiệu vào

x(t )  e

jt

Hệ thống
tuyến tính h(t)

Tín hiệu ra

y(t )  H ()e jt



H     h(t )e  jt dt




Sau bộ lọc tuyến tính, th{nh phần tín hiệu tần số Ω sẽ
bị suy hao (hoặc khuếch đại) một lượng H(Ω).

x(t )  e

jt

 y(t )  H ()e

jt

 H () e

jt  j arg( H (  ))
5

KHÁI NIỆM (TT)
10/1/2012



Chồng chập tín hiệu
Y ()

X( )
A1

A2

A11H ()

A 22H ()

H ()
1

2



x(t )  A1e j1t  A2e j2t


1

2



y(t )  A1H (1 )e j1t  A2 H 2 e j2t

Phổ tín hiệu v{o X(Ω) gồm 2 vạch phổ tại tần số Ω1,Ω2
X ()  2 A1 (  1 )  2 A2 (  2 )



Phổ tín hiệu ra Y(Ω) thu được
Y ()  H (). X ()  2 A1H (1 ) (  1 )  2 A2 H (2 ) (  2 )

6


1. LẤY MẪU
10/1/2012



Lấy mẫu l{ qu| trình rời rạc ho| tín hiệu trong miền
thời gian. Kết quả của qu| trình lấy mẫu l{ một tín
hiệu rời rạc được x|c định theo quan hệ:
 x (t ) t  nT ,  n  
xs (t )   c
t  nT
 0

xc(t)

xs(t)=xc(nT)

T

Bộ lấy mẫu
Tín hiệu tương tự

Tín hiệu lấy mẫu

7


1. LẤY MẪU (TT)
10/1/2012



Nhận xét: qu| trình lấy mẫu ph| vỡ ho{n to{n tín hiệu



C}u hỏi:

ban đầu, ta chỉ có gi| trị của tín hiệu ban đầu ngay tại
gi| trị lấy mẫu còn thông tin tại c|c gi| trị trung gian
giữa 2 mẫu liên tiếp thì bị mất đi.




Tín hiệu lấy mẫu có đại diện được cho tín hiệu liên tục ban
đầu hay không?
Tín hiệu đầu v{o v{ bộ lấy mẫu phải thoả m~n những điều
kiện gì?

8


1. LẤY MẪU (TT)
10/1/2012



Ví dụ: Lấy mẫu tín hiệu sin:
1

fs = 8f

0.5

0

-0.5

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
-3

1

x 10

fs = 4f

0.8
0.6

0.4
0.2
0
-0.2
-0.4

9

-0.6
-0.8
-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
-3

x 10


1. LẤY MẪU (TT)
Ví dụ: Lấy mẫu tín hiệu sin:

1

Nhận xét:

fs = 8f

0.5

0

-0.5

-1

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2
-3

fs = 4f

0.8

x 10

0.6
0.4

0
-0.2
-0.4

-0.6
-0.8
-1

_ tăng tần số lấy mẫu tín hiệu lấy
mẫu mô tả chính x|c hơn tín hiệu
liên tục ban đầu.
_ tăng tốc độ lấy mẫu  xử lý nhiều
mẫu hơn trên cùng một đơn vị thời
gian.
• Không gian lưu trữ nhiều hơn!
• Tốc độ xử lý phải nhanh hơn!
Mong muốn: tốc độ lấy mẫu nhỏ

nhất có thể để tín hiệu sau khi lấy
mẫu vẫn đại diện được cho tín hiệu
đầu v{o m{ số mẫu xử lý không qu|
lớn.

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8
-3

x 10

10/1/2012



10


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU
10/1/2012



Mô hình to|n cho qu| trình lấy mẫu: thay thế bộ lấy
mẫu bằng c|ch nh}n tín hiệu tương tự với chuỗi xung
dirac tuần ho{n.

xc(t)

xs(t)=xc(nT)

xc(t)

x

xs(t)

s(t)=Ʃб(t-nT)

T



s (t ) 

t

  (t  nT )

-T

0

T

t

2T

n  



xs (t )  xc (t ) s (t )  xc (t )   (t  nT )
n  





 x (nT ) (t  nT )

n  

c

11


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)
Phổ của tín hiệu lấy mẫu:

10/1/2012



(1)
X s ( f )  Xc ( f )* S( f )
 Tìm S(f): thực hiện khai triển chuỗi Fourier cho s(t)

s(t )  n sn e j 2nt / T


Trong đó:

Như vậy:

1 T /2
1 T /2
1 j 2n 0 / T 1
j 2nt / T
j 2nt / T
sn   s(t )e
dt    (t )e
dt  e


T
/
2

T
/
2
T
T

T
T
s(t )  n  (t  nT ) 


1 
1 
j 2f s nt
j 2nt / T
e

e


T n
T n

1 
 S ( f )  k   ( f  kfs )
T

12


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)



Thế S(f) vào (1):

1

X s ( f )  X c ( f ) * S ( f )  X c ( f ) * k   ( f  kfs )
T
1 
 k  X c ( f  kfs )
T

10/1/2012



Nhận xét:




Phổ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm phổ của tín hiệu ban
đầu Xc(f) và các bản sao của nó lặp đi lặp lại tuần hoàn
trên trục tần số.
2 bản sao liên tiếp cách nhau một khoảng bằng tần số lấy
mẫu fs.
13


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU. (TT)
10/1/2012

Xc(f)

1
f
-fc
1/T

-3fs

-2fs

-fs

fc
S(f)

Xs(f)

fs

2fs

1 
 ( f  kfs )

k  
T

f

S( f ) 

f

Xs( f ) 

3fs

1/T

-3fs

-2fs

-fs

-fc

fc

fs

2fs

3fs

1 
X c ( f  kfs )

k  
T

Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta chỉ cần cho tín hiệu lấy mẫu qua
bộ lọc thông thấp sao cho chỉ giữ lại c|c th{nh phần tần số từ [-fc,fc].
→ Tín hiệu lấy mẫu có thể mô tả được tín hiệu liên tục ban đầu!

14


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)
10/1/2012



Nếu như tốc độ lấy mẫu không đủ nhanh:
Xc(f)

f
-fc

fc
S(f)
f

-3fs -2fs

-fs

fs
Xs(f)

2fs

3fs

f

Khoảng c|ch giữa c|c bản sao
phổ X(f) c{ng gần v{ đến một
lúc n{o đó sẽ trùng lắp lẫn
nhau.
Khi đó phổ của tín hiệu ban
đầu chứa trong tín hiệu lấy
mẫu bị biến dạng v{ do đó ta
không thể khôi phục lại tín
hiệu ban đầu!

fs

Điều kiện để phổ tín hiệu lấy mẫu không trùng lắp:

f s  fc  fc  f s  2 fc

15


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)
Định lý lấy mẫu: có thể biểu diễn chính xác tín hiệu
x(t) bởi các mẫu x(nT) nếu như thoả mãn 2 điều kiện:

10/1/2012



Tín hiệu x(t) phải được giới hạn băng thông. Tức là phổ
của tín hiệu phải được giới hạn bởi một tần số cực đại fmax
và tín hiệu không tồn tại thành phần tần số nào lớn hơn
fmax.
 Tần số lấy mẫu phải được chọn lớn hơn ít nhất 2fmax.


fs=2fmax: tốc độ Nyquist.
N=[-fs/2, fs/2]: khoảng Nyquist.

16


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)
10/1/2012



Khôi phục tín hiệu lấy mẫu:
s(t)=Ʃб(t-nT)

xc(t)

X

xs(t)

1

Hr(f)

-fc

xr(t)

Hr(f)
Xc(f)

fc
Xs(f)

f

1/T

-fs

-fc
1

-fc

fc
Xr(f)

fc

fs

f

f

Bộ khôi phục lý tưởng l{ bộ lọc
thông thấp có đ|p ứng tần số:
_ Tần số cắt fc≤fcut-off≤fs-fc.
Thông thường, tần số n{y được
chọn l{ fs/2.
_ Độ lợi T.

17


2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT)
 f1=0, f2=0.5kHz, f3=1kHz, f4=1.5kHz


 fmax=1.5kHz

10/1/2012

VD: x(t)=4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt) [t]=ms
Tốc độ lấy mẫu không gây ra aliasing (tốc độ Nyquist):

2fmax=3kHz


Nếu x(t) được lấy mẫu với fs=1.5kHz  aliasing



Khoảng Nyquist [-0.75;0.75]kHz.





f1 & f2 thuộc khoảng Nyquist nên không bị chồng phổ,



f3 & f4 bị chồng phổ: f3a=f3mod(fs)=-0.5kHz, f4a=f4mod(fs)=0.

Tín hiệu bị chồng lấn xa(t) thu được:

xa(t)=4cos(2πf1at)+3cos(2πf2at)+2cos(2πf3at)+cos(2πf4at)
xa(t)=5+5cos(πt)

18


3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ





Trong c|c ứng dụng }m thanh Hi-fi: fmax≤20kHz.
Trong c|c ứng dụng thoại: fmax≤4kHz.

10/1/2012

Điều kiện của định lý lấy mẫu: phổ của tín hiệu tương tự
phải được giới hạn băng thông.
 Tuy nhiên, c|c tín hiệu trong thực tế thường không được
giới hạn băng thông hoặc băng thông của tín hiệu l{ rất
lớn
→ tốc độ lấy mẫu, tốc độ xử lý cao
→ chi phí lớn.
⇒ Cần phải giới hạn băng thông tín hiệu trước khi lấy
mẫu.
 Ví dụ:


19


3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ



Bộ tiền lọc

Tín hiệu giới
hạn băng

thông

Bộ lấy mẫu

Tín hiệu
thời gian rời
rạc

Bộ tiền lọc lý tưởng:

H(f)

1 | f | f c
H( f )  
0 | f | f c


10/1/2012

Tín hiệu
thời gian
liên tục

Bộ tiền lọc thực tế:
Nếu f≤fc: | H ( f ) | 1
Nếu f>fc: | H ( f ) | 10 Alog ( f / f ) / 20 | H ( f c ) |,
2

c

1

H(f)

fc

1

A db/octave

f

A : dB/octave.

| H ( f ) | 10 Alog10 ( f / f c ) / 20 | H ( f c ) |, A : dB/decade.

fc

20


3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ
10/1/2012

|H(f)|

bộ lọc lý tưởng

vùng
chuyển tiếp

Astop

-fstop
băng chắn

fs/2
-fpass

0
băng thông

fpass

fs/2

fstop

f

băng chắn
21

fstop = fs - fpass


4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ
xc(t)

X

xs(t)

1

Hr(f)

-fc

xr(t)

Hr(f)
Xc(f)

fc
Xs(f)

f

1/T

-fs

-fc
1

-fc

fc
Xr(f)

fc

fs

f

f

10/1/2012

s(t)=Ʃб(t-nT)

Bộ khôi phục l{m nhiệm
vụ khôi phục tín hiệu
tương tự từ tín hiệu lấy
mẫu.
 Về bản chất, bộ lọc khôi
phục l{ bộ lọc thông thấp,
giúp loại bỏ c|c th{nh
phần phổ lặp lại của tín
hiệu lấy mẫu chỉ giữ lại
phổ của tín hiệu ban đầu.


22


4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT)
Tín hiệu
tương tự x(t)

Khôi phục lý tưởng
Tín hiệu được
lấy mẫu x(nT)

Tín hiệu
tương tự xa(t)

10/1/2012

Lấy mẫu lý tưởng

-fs/2 fs/2
Tốc độ fs



Tần số cắt fs/2

Bộ khôi phục lý tưởng: l{ bộ lọc thông thấp lý tưởng
có tần số cắt l{ fs/2.
Đ|p ứng thời gian:

T | f | f s / 2
| H ( f ) | 
 0 | f | f s / 2

sin(f s t )
h(t )  TSa(f s t )  T
f s t

 Nhận xét: đ|p ứng thời gian của bộ khôi phục lý
tưởng l{ vô hạn.


23


4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT)
Bộ khôi phục bậc thang: bộ khôi phục bậc thang lấp
đầy khoảng trống giữa 2 mẫu liên tiếp bằng gi| trị của
mẫu trước đó.

xs(t)

Bộ khôi
phục bậc
thang

10/1/2012



xr(t)

24


4. CC B LC KHễI PHC THC T (TT)

|p ng thi gian ca b khụi phc bc thang:

h(t ) u(t ) u(t T )


Nhn xột:

|p ng tn s: H ( f ) T sin(fT ) e jfT
T

t

fT

|H(f)|
boọ khoõi phuùc
lyự tửụỷng

-2fs



-fs

T
4 dB

-fs/2

0

fs/2

fs

Suy hao ca b lc
H( f )
AX ( f ) 20 log10
H ( f0 )

2fs

10/1/2012

h(t)

f

_ B khụi phc bc thang n
gin, d thc hin.
_ Khụng loi b c ho{n
to{n c|c th{nh phn ph c|c
tn s kfs.
_ |p ng tn s trong khong
Nyquist ca b lc bc thang
khụng phng, suy hao n 4dB
tn s fs/2
ph tớn hiu khụi phc
khụng ho{n to{n ging ph tớn
hiu ban u.

25

(dB)