BÀI TẬP TOÁN 11

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Năm học 2016 - 2017

CHƯƠNG I:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1

Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặt biệt


0

π
6

0

1
2

π
4

π
3

π
2

2π
3

Tăng và dương
sin

2
2

3π
4

1

3
2

3
2

1

3
2

0

1
2

-

0

1
3

1

3

Không
có
nghĩa

3
-

2

Không
có
nghĩa

3

1

1
3

1
3

0

3
2

-1

Tăng và âm

1
3

-1

0

-

-1

3
-

Không
có
nghĩa

GTLG của các góc có liên quan đặc biệt

a/ Hai góc đối nhau
sin ( −α ) = − sin α
cos ( −α ) = cos α
tan ( −α ) = − tan α
cot ( −α ) = − cot α
b/ Hai góc bù nhau

sin ( π − α ) = sin α
cos ( π − α ) = − cos α
tan ( π − α ) = − tan α
cot ( π − α ) = − cot α
c/ Hai góc phụ nhau

1
1

0

Giảm và âm

Giảm và dương
cot

2
2
-

Tăng và dương
tan

1
2

2
2

Giảm và âm

1
2

2
2

π

Giảm và dương

Giảm và dương
cos

5π
6

THPT TÂN BÌNH

π


sin  − α ÷ = cos α
2

π

cos  − α ÷ = sin α
2

π

tan  − α ÷ = cot α
2



ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Năm học 2016 - 2017

π

cot  − α ÷ = tan α
2


π

cos  α + ÷ = − sin α
2



π
2

;
3
Các công thức lượng giác
Công thức lượng giác cơ bản

cot ( α + π ) = cot α

;

;
.

tan α =

2

sin α
cos α

cot α =

;
1
= 1 + tan 2 α
2

cos α

tan α .cot α = 1

;
Công thức cộng
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

;

cos α
sin α

;
1
= 1 + cot 2 α
2
sin α

;
tan ( α − β ) =

;

cos 2α = 2 cos 2 α − 1

;

2
2
cos 2α = cos α − sin α

2tanα
tan2α =
.
1 − tan 2 α

;

2

;

Công thức hạ bậc

2
THPT TÂN BÌNH

;

tan α − tan β
1 + tan α tan β

tan α + tan β
tan ( α + β ) =
1 − tan α tan β

Công thức nhân đôi

sin 2α = 2sin α cos α

2

.

cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

;

cos 2α = 1 − 2sin α

tan ( α + π ) = tan α

cos ( α + k 2π ) = cos α
;
cot ( α + kπ ) = cot α

sin α + cos α = 1

cos ( α + π ) = − cos α

π

cot  α + ÷ = − tan α
2


k ∈¢
f/ Với mọi

, ta có
sin ( α + k 2π ) = sin α

2

e/ Góc hơn
sin ( α + π ) = − sin α

π

tan  α + ÷ = − cot α
2


d/ Góc hơn
π

sin  α + ÷ = cos α
2


tan ( α + kπ ) = tan α

π

;

;

.

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

cos 2 α =
sin 2 α =

Năm học 2016 - 2017

1 + cos 2α
;
2
1 − cos 2α
2

tan 2 α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α

.

;

Công thức nhân ba
cos 3α = 4 cos 3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin α

Công thức hạ bậc
4 cos3 α = 3cos α + cos 3α

;

;

3

.

4sin α = 3sin α − sin 3α
3

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 
2

Công thức biến đổi tổng thành tích
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
;
α +β
α −β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2

2
;
α +β
α −β
sin α + sin β = 2sin
cos
2
2
;

;

1
sin α sin β = − cos ( α + β ) − cos ( α − β ) 
2
1
=  cos ( α − β ) − cos ( α + β )  ;
2
sin α cos β =

1
sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 
2

.

3
3

THPT TÂN BÌNH

§ 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.
1

f ( x ) = cos x

Hàm số sin :

2

D=¡

Tập xác định

.

Hàm số côsin :
Tập xác định

[ −1;1]
Tập giá trị

D=¡

.

[ −1;1]
.

Tập giá trị

Nhận xét

.

Nhận xét

sin x = 1 ⇔ x =

cos x = 1 ⇔ x = k 2π

π
+ k 2π
2

sin x = −1 ⇔ x = −

cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π

π
+ k 2π
2

cos x = 0 ⇔ x =

sin x = 0 ⇔ x = kπ

π
+ kπ
2

f ( x ) = tan x
Hàm số tang :

3

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
Điều kiện xác định :

Tập xác định :
Tập giá trị :
Nhận xét

π
+ kπ
2

π

D = ¡ \  + kπ 
2


f ( x ) = cot x
4
.

Hàm số côtang :
Điều kiện xác định :

sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

D = ¡ \ { kπ }
.

¡

Tập xác định
Tập giá trị

¡

.
.

cot x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

tan x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
Nhận xét

π
+ kπ
2

.

II.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây :
f ( x) =
a/
f ( x) =
c/

sin x + 1
sin x − 1
cot x
sin x + 1

f ( x) =
;

b/

;

d/

2 tan x + 2
cos x − 1

π

y = tan  x + ÷
3



;

.

Bài 2: Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây :
a/

c/

y = 1 − cos x

cos x
y=
sin ( x − π )

;

b/

;

d/

y = 3 − sin x

1 − cos x
y=
1 + sin x

;

.

Bài 3 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a/

c/

y = 3cos x + 2

;

b/

π

y = 4 cos  2 x + ÷+ 9
5


;

f ( x ) = sin x + cos x
;

d/

f ( x ) = cos x − 3 sin x

e/

y = 5sin 3 x − 1

;
y = 5 + sin x − cos x

;

f/

;.

Bài 4: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

f ( x) =
a/
c/

sin x
cos x + 2

f ( x ) = sin x + cos x
;

b/
d/

y = 3cos 2 x − 5sin x

Bài 5 Cho hàm số

y = 3cos 2 x

.

a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ
c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho.

T =π

.

;
y = x cos x

.


Bài 6Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a/
c/

f ( x ) = sin11 x + cos11 x
f ( x ) = sin 6 x + cos6 x

;

;

A.Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Bài 1.
2 − sin x
y=
cos x
a)
y=
c)

e)
g)

y=
b)

d)
1
sin 2 x

1 + sin x
y=
cos x − cos 3x

B.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bài 1.
a) y = 2sinx + 1
2π 


y = − sin  x +
÷+ 7
3 

c)
y = 3 sin x + 2
e)
2
y=
+4
sin 2 3 x
g)
Bài 2
π

y = cos x + cos  x + ÷
3

a)
c) y = sinx ± cosx
e)

d/

y = cos 2 x + 2 cos 2 x

;

f ( x ) = sin 2 n x + cos 2 n x

y=

1
sin 2 x

y = tan x +

b/

f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x

f)

, với

n∈¥ *

sin 3 x − 2
sin x
1 + cos x
π

cos  2 x − ÷
3


π

tan  x − ÷
4


y=
2
sin x − cos 2 x

.

b) y = 1 – 3cos2x
π

y = − sin  5 x + ÷+ 8
2

d)
f) y = 5 – 2|cosx|

b) y = sin2xcos2x
3
y = sin 2 x + cos 2 x + 5
2
d)
y = 5 − 2sin 2 x cos 2 x

f)

.


Bài 2.
a) y = tanx

π

y = tan  x − ÷
4

c)
Bài 3.
1 − sin x
y=
1 + cos x
a)

b) y = cotx
π

y = cot  x + ÷
3

d)
y=
b)
y=

y = tan x + cot x
c)

d)
y=

e)

y=

sin 2 x
sin x − cos2 x
2

f)

tan x + cot x
y=
sin 2 x − 1

g)

h)

Bài 3
y = sin 2 x + sin x + 2
a)

b)

C.Xác định tính chẵn lẻ của hàm số
Bài 1.
a) y = sinx
c) y = tanx + cotx
e) y = sin|x|
g) y = x – 2sinx
y = tan x + 1

k)

j)

π

y = 2 cos3  2 x + ÷
3


l)

3

m)

y=

n)

cos x + 2 + cot x
sin 4 x

o)
D.Chứng minh

2

2 − cos x

π

1 + tan  x + ÷
4


y = tan x sin 2 x

y = −2 cos 2 x + cos x + 1

π

y = cos 2 x sin  x − ÷
4

y=

y = cos x − tan x

1
tan x

b) y = cosx
d) y = xsinx
f) y = |sinx|
cos 2x
y=
x2
h)

2

i)

1 + sin x
1 − sin x cos x

cos 2 x
− cot x
tan 2 x

y = 1 − sin 3 x


Bài 1.
sin 2 ( x + kπ ) = sin 2 x
a)

c)

kπ

tan 2  x +
2

cot

e)

b)


÷ = tan 2 x


k 2π

cos3  x +
3

sin

d)

1
x
( x + k 4π ) = sin
2
2

1
x
( x + k 2π ) = cot
2
2

E.Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1. Những hàm số nào sau đây sẽ đồng biến trên khoảng (– π; 0)
1) y = sinx
2) y = cosx
3) y = tanx

y = sin
4) y = – cotx

5) y = cos2x

6) y =


÷ = cos 3x


x
2


§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.
1

Phương trình sinx = m
Xét phương trình

sin x = m

m Ï [ - 1;1]

* Với

, phương trình
m Î [ - 1;1]

* Với

, tồn tại số

a

sin x = m

sao cho

vô nghiệm.

sin a = b

.

éx = a + k 2p
sin x = m Û sin x = sin a Û ê
ê
ëx = p - a + k 2p.

(

kÎ ¢

)

m ≤1

Chú ý Với mỗi m cho trước mà
 −π π 
 2 ; 2 

, phương trình sinx = m có đúng một nghiệm trong đoạn

. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là

arcsin m

. Khi đó

 x = arcsin m + k 2π
sin x = m ⇔ 
 x = π − arcsin m + k 2π .
2

Phương trình cosx = m
m Ï [ - 1;1]

* Với

, phương trình
m Î [ - 1;1]

* Với

, tồn tại số

a

cos x = m

sao cho

vô nghiệm.

cos a = m

.

éx = a + k 2p
cos x = m Û cos x = cos a Û ê
ê
ëx = - a + k 2p.

(

kÎ ¢

)

[ 0; π ]

m ≤1

Chú ý Với mỗi m cho trước mà

, phương trình cosx = m có đúng một nghiệm trong đoạn

Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là

arccos m

. Khi đó

 x = arccos m + k 2π
cos x = m ⇔ 
 x = − arccos m + k 2π .

.


3

Phương trình tanx = m, cotx = m
Các phương trình trên luôn có nghiệm.
α
Với mọi số thực , ta có
tan x = tan a Û x = a + k p
cot x = cot a Û x = a + k p

.

(

.

(

kÎ ¢
kÎ ¢

)
)

Chú ý
 π π
− ; ÷
 2 2
tan x = m
i) Với mọi số m cho trước, phương trình
có duy nhất một nghiệm trong khoảng
.
Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là

arctan m

. Khi đó

tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ

ii) Với mọi số m cho trước, phương trình
Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là

cot x = m

arc cot m

.

( 0; π )
có duy nhất một nghiệm trong khoảng

. Khi đó

cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ

.

Công thức ngiệm của phương trình lượng giác
u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π

u = v + k 2π
cos u = cos v ⇔ 
u = −v + k 2π

tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

k ∈¢
với
(trong điều kiện biểu thức có nghĩa)

Một số trường hợp đặc biệt

sin u = 1 ⇔ u =

π
+ k 2π
2

sin u = −1 ⇔ u = −

π
+ k 2π
2

.


sin u = 0 ⇔ u = kπ
cos u = 1 ⇔ u = k 2π

cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π

cos u = 0 ⇔ u =

π
+ kπ
2

tan u = 0 ⇔ u = kπ

cot u = 0 ⇔ u =

π
+ kπ
2

II.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:

sin x = sin
a/

d/

π
6

;

sin ( x + 20o ) = sin 60o

cos ( 2 x + 15o ) = −
g/
j/

b/

2
2

tan ( 2 x + 10o ) = tan 60o

2 sin x + 2 = 0

cos x = cos
;

e/
t an3 x = −

;

π
4

k/

;

c/

;

f/

1
3

h/
;

sin ( x − 2 ) =

2 cos 2 x + 1 = 0

i/

1.

2.
3.

4.

π
π


cos  x + ÷+ cos  x − ÷ = 1
3
3



5.

tan 2 x.tan x = −1

6.

cot ( x + 2 ) = 1

;

l/

sin 2 x + sin 2 x.tan 2 x = 3

5cos 2 x + sin 2 x = 4
3 sin x + cos x =

7.

;

;

Bài 2: Giải các phương trình sau:

π

cos  x + ÷+ sin 2 x = 0
3


;

tan ( 4 x + 2 ) = 3

;

cot 4 x = 3

2
3

1
cos x

cos 4 2 x = sin 3 x − sin 4 2 x

.


8.

π

tan  x − ÷ = 1 − tan x
4

sin 3 x cos x =

9.

cos x cos 2 x cos 4 x =
14.

1
+ cos3 x sin x

4

15.

sin x + cos x = cos 4 x
4

4

10.
11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x)
12. sin + cos =
13.

16.

sin 2 5 x + cos 2 3 x = 1

17.
18.

sin ( π sin x ) = 1
cos 2 x
sin 2 x
=
1 − sin x 1 − cos x
1
1
2
+

=
cos x sin 2 x sin 4 x

4sin 3 2 x + 6sin 2 x = 3

tan ( π cos x ) = cot ( π sin x )

Bài 3 : Cho phương trình
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

[ −3π ;π ]

2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn
Bài 4 : Cho phương trình sin6x + cos6x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.

của phương trình.

2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng
Bài 5: Giải và biện luận phương trình

sin ( 3 x + 1) =
7)

10)

1
2

π


1
cos  − 2 x ÷ = −
2
6


π
tan  3 x + ÷ = −1
6


(

)

cos x − 150 =
8)

11)

π

cos  − x ÷ = −1
5


6)
2
2

tan ( 2 x − 1) = 3

π
cot  2 x − ÷ = 1
3


13)
14)
Bài 7: Giải các phương trình sau:

( 0;π )

( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin 2 x + 3m − 2 = 0

Bài 6: Giải các phương trình sau:


π
π
cos  2 x + ÷ = 0
cos  4 x − ÷ = 1
6
3


1)
2)


x π
π
sin  3 x + ÷ = 0
sin  − ÷ = 1
3

2 4
4)
5)

− 2
16

9)

3)
π

sin  + 2 x ÷ = −1
6


x π
3
sin  − ÷ = −
2
2 3

(

)

cot 3 x + 10 0 =
12)

3
3
−

15) cos(2x + 250) =

2
2


1)

sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 )

2)

4)



π
π
cos  2 x + ÷+ cos  x − ÷ = 0
3
3




5)



π
π
tan  3 x − ÷ = tan  x + ÷
4
6



7)

tan ( 2 x + 1) + cot x = 0

9)

(

(

)

6)

8)

π x 
sin 3 x + sin  − ÷ = 0
 4 2


π
π
cot  2 x − ÷ = cot  x + ÷
4
3



10)
12)

15)

(

sin 2 x =

cot x = 1
cos x =

)

)

tan x 2 + 2 x + 3 = tan 2

2

13)

(

cos x 2 + x = 0

sin x 2 − 2 x = 0
11)

)

sin x − 1200 + cos2 x = 0

cos3 x = sin 2 x

3)



π
π
cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷
3
6



14)

1
2

16)

1
2


π
sin2  x − ÷ = cos2 x
4


4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ

§

LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.

Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác gồm các dạng sau đây.

a sin 2 u + b sin u + c = 0
a cos 2 u + b cos u + c = 0

a tan u + b tan u + c = 0
2

a cot 2 u + b tan u + c = 0
Cách giải

;a ≠ 0


sin u = t 
 t ≤1
cos u = t 
tan u = t
cot u = t
Đặt
II.

BÀI TẬP ÁP DỤNG



1. 1

Giải phương trình :
a/
c/

1. 2

c/

2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0

b/

;

d/

;

cot 2 3 x − cot 3 x − 2 = 0

;

2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0

cos 2 x − 5sin x − 3 = 0

;

b/

;

d/

cos 2 x + cos x + 1 = 0

;

5 tan x − 2 cot x − 3 = 0

.

Giải các phương trình lượng giác sau :

a/
c/
1. 4

;

cos 2 x + sin x + 1 = 0

Giải phương trình :
a/

1. 3

2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0

x
x
sin 2 - 2 cos + 2 = 0
2
2
cos 4 x - sin 2 x - 1 = 0

;

b/

;

d/

x
cos x + 5sin − 3 = 0
2

;

cos 6 x − 3cos 3x − 1 = 0

.

Giải các phương trình :
tan 2 x +
a/

(

)

3 − 1 tan x − 3 = 0

(

)

3 tan 2 x − 1 − 3 tan x − 1 = 0
;

b/

;


2 cos 2 x − 2
c/

(

)

3 + 1 cos x + 2 + 3 = 0
;

d/

1
− ( 2 + 3 ) tan x − 1 + 2 3 = 0
cos 2 x

.

Giải các phương trình sau :

1. 5

a/

c/

cos 5 x cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1
4 sin 2 2 x + 6sin 2 x − 9 − 3cos 2 x
=0
cos x

;

b/

2 cos6 x + sin 4 x + cos 2 x = 0

2 cos 2 x + cos 2
;

d/

;

x
 5π
 7 1
− 10cos 
− x ÷+ = cos x
2
 2

 2 2

Giải các phương trình :

1. 6

3 tan 2 x −
a/
c/

5
+1= 0
cos x

cos 2 x +
;

5sin 2 x + sin x + cos x + 6 = 0

b/

1
1
= cos x +
2
cos x
cos x

tan 2 x + cot 2 x + 2 ( tan x + cot x ) = 6

;

d/

.

2 ( tan x − sin x ) + 3 ( cot x − cos x ) + 5 = 0

Giải phương trình

1. 7

.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ
COS
I.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

;

.


II.

BÀI TẬP ÁP DỤNG]

1. 8

Giải các phương trình sau :
a/

c/
1. 9

sin x + 3 cos x = 2

;

b/

π
π


cos  x − ÷+ sin  x − ÷ = 1
6
6



;

d/

2sin17 x + 3 cos 5 x + sin 5 x = 0

;

π
π


2 cos  x + ÷− 6 sin  x + ÷ = 2
4
4



Giải các phương trình sau :

a/

1 − cos x = 3 sin x

;

b/

sin 4 x − cos 2 x = 3 ( sin 2 x + cos 4 x )

c/

;

d/

π

cos x − 3 sin x = 2 cos  − x ÷
3


( sin x − cos x )

2

;

+ 3 sin 2 x = 2

.

1. 10 Giải các phương trình sau :

a/

c/

π 1

cos 4 x + sin 4  x + ÷ =
4 4


b/

π

3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin  2 x − ÷ = 2 2
6

3cos x − 4sin x +

e/

;

2
=3
3cos x − 4sin x − 6

;

sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x

;

tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
;

d/

;

.

f/
1. 11

π  π


8sin x sin 2 x + 6sin  x + ÷cos  − 2 x ÷ = 5 + 7 cos x
4

4


.

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm :
m sin x − ( m + 1) cos x = 2

a/

;

y=

b/

sin x + 1
cos x + 2

π

m sin  x − ÷+ sin x = 2 − cos x
4


1. 12

Tìm x sao cho biểu thức

1. 13

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

nhận giá trị nguyên.

a sin x + b cos x

a/

.

(a, b là các hằng số và
sin x + sin x cos x + 3cos 2 x
b/
.

a 2 + b2 ≠ 0

);

2

1. 14

Giải các phương trình sau :

3sin 2 x + 8sin x cos x + 4 cos 2 x = 0

a/
c/
1. 15

sin 3 x + 2sin x.cos 2 x + 3cos 3 x = 0

;

b/

;

d/

4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4
6sin x − 7 cos 3 x = 5sin 2 x cos x

;

.

Giải các phương trình sau :
a/

5 ( 1 + cos x ) + cos 4 x − sin 4 = 2

1 + 3 tan x = 2sin 2 x

;

b/

sin x cos 4 x − sin 2 2 x + 2sin x +
c/

sin 5 x cos 5 x
−
=0
sin x cos x

e/

sin 8 x + cos8 x =
g/
i/

3
=0
2

;

f/

17
cos 2 2 x
16

cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0

h/
;

;
x
x π
cos 2 = tan 2 x.sin 2  − ÷
2
2 4

;
cos x + cos 3 x − sin 2 x = 0 trên [ 0; π ]
2

j/

;

l/

2

.

;

2
sin 2 x

2

( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + 12 sin 2 x
2

m/

d/

tan x + cot 4 x =

;
(1 + sin x + 2 cos x ) cos 2 x − sin 2 x = 1

k/

;

;
π



1 + sin x sin 2 x − cos x sin 2 x = 2 cos 2  − x ÷
4


;
sin 5 x = 5sin x

;


sin x +

( 0;2π )
1. 16

I.

Tìm các nghiệm thuộc khoảng

của phương trình

cos 3 x + sin 3 x
= cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SIN VÀ
COS
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

.

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:

1) sin2x = sin23x

2) sin2x + sin22x + sin23x =

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1
Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau:

1) sin6x + cos6x =

1
4

3
2

4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

2) sin8x + cos8x =

3
2

1
8

1

3) cos4x + 2sin6x = cos2x
Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx

4) sin4x + cos4x – cos2x +

4sin 2 2x

–1=0

2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0

2
3) sin3x + cos3x = cos2x
4) sin2x = 1 +
cosx + cos2x
2
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos x
6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x
2
8) sinx + sin2x + sin3x =
(cosx + cos2x + cos3x)
Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0

3) 3cosx + cos2x cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
Baứi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0
2) cos7x + sin8x = cos3x sin2x
3) cos2x cos8x + cos6x = 1
4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx
Baứi 6. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1



sin 2 x.sin x + ữ

4
2

1) sin3x + cos3x +
= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

ễN TP CHNG I

Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:

2


x = + k 2 ; x = + k ( k  )
3

8
2

a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x ( s:


k
x = k ; x = + k ; x =
(k  )
2
2
5
b) sin2x + sin22x = sin23x + sin24x
( s:

k
k
x = + k ; x = +
;x = +
(k  )
2
10 5
4 2
c) sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 ( s:
3



cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x =
x = + k ; x = + k ( k  )

2
3
8
4
d)
( s:


x = k ; x = + k ( k  )
4
2
e) sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x
( s:


1

sin x ữsin + x ữ =
x = + k ;(k  )
3
3
2
6
f)
( s:



1

sin + x ữcos + x ữ =
x = + k ; x = + k ( k  )
4
12
2




12
4
g)
( s:

x = k (k  )
4
h) cosx. cos4x - cos5x=0
( s:

x = k ; x = k (k  )
3
i) sin6x.sin2x = sin5x.sin3x
( s:
x = k ; ( k  )
j) 2 + sinx.sin3x = 2 cox 2x
( s:
Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau: