Đề thi tuyển sinh môn toán chuyên lê hồng phong nam định đề 1(toán chung tự nhiên) năm học 2016 2017(có đáp án)

HƯỚNG DẪN

Câu 3.

2x 2 − y 2 − xy + x − y = 0 ( 1)
2. Giải hệ phương trình: 
 2x + y − 2 + 2 − 2x = 0 ( 2 )
Từ (1) ⇔ ( x − y ) ( 2x + y + 1) = 0 ⇔ x = y hoặc y = -2x – 1
*) Nếu x = y thay vào (2) ta có: 3x − 2 = 2x − 2 . Giải phương trình ta được x = 2
suy ra y = 2
*) Nếu y = - 2x – 1 hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (2;2)
Câu 4.

a) Chứng minh I là trực tâm tam giác ABK.
Ta có tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
Suy ra I là trung điểm của AH suy ra IK là đường trung bình của tam giác ADH suy
ra IK//AD, mà AD vuông góc với AB suy ra IK vuông góc với AB. Lại có AH vuông
góc với BK nên I là trực tâm tam giác ABK.
b) Tứ giác ABMK nội tiếp.
Vì IK là đường trung bình của tam giác ADH nên IK // AD và IK = ½ AD do đó
IK // BC, IK = MC nên tứ giác BMKI là hình bình hành suy ra BI//KM
Lại có I là trực tâm tam giác ABK nên BI vuông góc với AK do vậy KM vuông góc
với AK suy ra tứ giác ABMK nội tiếp.
c) AH 3 = BE.BD.DF
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD, đường cao AH ta có:
(1)
AH 2 = DH.BH
BE BH
BE.BD

=
⇒ BH =
Ta có tam giác BEH đồng dạng với tam giác BAD suy ra
AB BD
AB
DH.BE.BD
Kết hợp (1) ta được AH 2 =
(2)
AB
Chứng minh được tam giác DFH đồng dạng với tam giác AHB suy ra:
DF DH
DF.AB
=
⇒ AH =
(3)
AH AB
DH


DH.BE.BD DF.AB
.
= BE.BD.DF .
AB
DH
ac 2 ab 2 bc
2
Câu 5. Đặt xy = a, yz = b, zx = c, ta có a + b + c = 1, x = ; y = ;z =
b
c
a

2
4ac
4ac + 2ab + b + 2bc ( 2a + b ) ( 2c + b )
− b + 2( a + b + c) =
=
Nên 4x 2 − yz + 2 =
b
b
b
1
b
1
c
=
=
suy ra :
,
tương
tự:
;
4x 2 − yz + 2 ( 2a + b ) ( 2c + b )
4y 2 − zx + 2 ( 2b + c ) ( 2a + c )
1
a
=
4z 2 − xy + 2 ( 2c + a ) ( 2b + a )
b
c
a
+

+
Do đó P =
( 2a + b ) ( 2c + b ) ( 2b + c ) ( 2a + c ) ( 2c + a ) ( 2b + a )
Từ (2) và (3) suy ra AH 3 =

Mặt khác ta có 4xy ≤ ( x + y ) nên 4 ( 2a + b ) ( 2c + b ) ≤ ( 2a + 2b + 2c ) suy ra
b
4b
c
4c
≥
≥
2 , tương tự
( 2a + b ) ( 2c + b ) ( 2a + 2b + 2c )
( 2b + c ) ( 2a + c ) ( 2a + 2b + 2c ) 2 ;
2

2

4a
4( a + b + c)
1
≥
=1
2 suy ra P
2 =
( 2c + a ) ( 2b + a ) ( 2a + 2b + 2c )
( 2a + 2b + 2c ) a + b + c
1
1

Dấu = xảy ra khi a = b = c = khi đó x = y = z =
3
3
a

≥