ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

--------------------------

VŨ THỊ HƯƠNG SẮC

ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG
NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội-2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

--------------------------

VŨ THỊ HƯƠNG SẮC

ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG
NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học
Mã số:

60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội-2013

2


Mục lục
Giới thiệu ............................................................................................................ 5
Kiến thức chuẩn bị .............................................................................................. 7
1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính ................................................ 7
1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên ...................................................................... 9
1.2.1 Quá trình Markov ............................................................................... 9
1.2.2 Martingale ........................................................................................ 10
1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng .......................................... 10
1.3.1 Các hàm đặc trưng ............................................................................ 10
1.3.2 Các tham số đặc trưng ...................................................................... 12
1.4 Chuyển động Brown ................................................................................ 14
1.4.1 Phân bố chuẩn .................................................................................. 14
1.4.2 Chuyển động Brown ......................................................................... 15
1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) ................................................... 18
1.5.1 Bổ đề Itô ........................................................................................... 18
1.5.2 Chuyển động Brown hình học........................................................... 19
Chương 2 .......................................................................................................... 22
Mô hình Black – Scholes và các hạn chế ........................................................... 22
2.1 Mô hình Black – Scholes ......................................................................... 22
2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes ............................................... 23
2.2.1 Độ biến động nụ cười ....................................................................... 23

2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường ............................................... 24
Chương 3 .......................................................................................................... 26
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ............................................... 26
3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên ..................................................... 26
3.2 Các quá trình bước nhảy .......................................................................... 28
3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ...................................... 32
3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn ................................................ 32

3


3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên ................... 33
3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ
nhảy .......................................................................................................... 33
Chương 4 .......................................................................................................... 34
Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ....................... 34
4.1 Chuyển động hình học Brown.............................................................. 34
4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy ........................... 40
4.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy .................................. 43
Kết luận ............................................................................................................ 59
Tài liệu tham khảo............................................................................................. 60
Phụ lục .............................................................................................................. 62

4


Giới thiệu
Từ khi Black và Scholes công bố bài báo của họ về định giá quyền chọn vào năm
1973, nó đã trở thành một phát kiến bùng nổ về lý thuyết và thực nghiệm trên
vấn đề tài chính này. Tuy nhiên, qua hơn ba mươi năm trở lại đây, một số lượng

lớn các mô hình khác đã được đưa ra để thay thế cho tiếp cận cổ điển của Black –
Scholes, cách tiếp cận mà ta phải giả định cổ phiếu có phân bố log – chuẩn với
độ biến động không đổi và càng ngày nó càng thể hiện nhiều thiếu sót trong thực
tiễn.
Do đó, các mở rộng để hiệu chỉnh mô hình Black – Scholes trong đó độ biến
động là ngẫu nhiên và mô hình có bước nhảy là hết sức cần thiết.
Luận văn “Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy”
trình bày về việc điều chỉnh mô hình Black – Scholes thành những mô hình ước
lượng tham số chính xác hơn, gồm 4 chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức quan trọng về các quá trình ngẫu nhiên,
chuyển động Brown.
Chương 2: Trình bày về mô hình Black – Scholes và các hạn chế, từ đó cần thiết
phải đưa ra các mô hình độ biến động ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên có
bước nhảy được trình bày trong chương 3.
Chương 4: Ước lượng cho các mô hình GBM, GBM có thêm bước nhảy và mô
hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy và so sánh các kết quả bằng bảng
ước lượng các tham số qua hai ví dụ thực nghiệm.
Hoàn thành được luận văn trên, trước tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến Tiến sĩ Nguyễn Thịnh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt
quá trình tôi thực hiện luận văn.

5


Tôi cũng muốn được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ tin
học, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN và các
thầy cô từ Viện Toán học đã giảng dạy và hết lòng chỉ bảo tôi trong thời gian
được đào tạo tại trường.
Luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong nhận được sự hướng
dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2013
Học viên
Vũ Thị Hương Sắc

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính
Định nghĩa 1.1 (Đại số) Cho  là tập không rỗng và cho F bao gồm các tập
con của  . Ta nói rằng F là một đại số thỏa mãn:
(i)

F và 0 F ,

(ii)

A  F  Ac   \ A  F ,

(iii)

A, B  F  A  B  F .

Định nghĩa 2 (  - đại số) Một đại số F của các tập con của  được gọi là một


 - đại số trên  nếu với bất kỳ dãy  An  n  F , ta có

 A F.
n

n 1

Mỗi một cặp   , F  như vậy được gọi là một không gian đo được.
Do đó, một  - đại số sinh bởi tập tất cả các tập con mở của  được gọi là  đại số Borel: B E  .
Định nghĩa 1.3 (Xác suất) Cho  là một tập không rỗng, và cho F là một  đại số các tập con của  . Một độ đo xác suất  là một hàm số sao cho đối với
mỗi tập AF xác định một số trong đoạn [0,1] được gọi là xác suất của A và
viết là   A  . Trong đó các tính chất sau phải thỏa mãn:
(i)

    1 ,

(ii)

(tính cộng tính đếm được) với A1 , A2 ,... là dãy các tập rời nhau trong

F thì
  
   An      An 
 n1  n 1

7

(1.1)


  , F,   được gọi là một không gian xác suất.
Một không gian xác suất  là đầy đủ nếu với mỗi B  A F sao cho   A   0 ,

ta có B F .
Trong tình huống khi mà thời gian biến đổi, nhiều thông tin được tiếp nhận hơn,
ta phải thêm thành phần phụ thuộc thời gian vào không gian xác suất   , F ,   .
Định nghĩa 1.4 (Lọc) Một lọc (hay dòng thông tin) trên   , F,   là một họ tăng
các  - đại số  Ft t[0,T ] :

Fs  Ft  FT  F với 0  s  t  T .
Ft biểu diễn thông tin nhận được tại thời gian t, và lọc  Ft t[0,T ] biểu diễn dòng
thông tin diễn tiến theo thời gian.
Một không gian xác suất   , F,   trang bị một lọc được gọi là không gian xác
suất lọc

 , F, , F 

t t[0,T ]

.

Định nghĩa 1.5 (Các điều kiện thông thường) Ta nói rằng một không gian xác





suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] thỏa mãn các “điều kiện thông thường” nếu:
(i)

F là  - đầy đủ.

(ii)

F0 chứa tất cả các tập  - không của  . Nghĩa là ta biết biến cố nào là
có thể và biến cố nào là không.

(iii)

 Ft t[0,T ] là liên tục phải, tức là Ft  Ft   st Fs .

Định nghĩa 1.6 (Các quá trình ngẫu nhiên)Một quá trình ngẫu nhiên  X t t[0,T ]
là một họ các biến ngẫu nhiên được đặt chỉ số theo thời gian, xác định trên





không gian xác suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] .

8


Tham số thời gian t có thể hoặc là rời rạc hoặc là liên tục. Với mỗi biễn ngẫu
nhiên w , quỹ đạo X  w  : t  X t  w  xác định một hàm số của thời gian gọi là
quỹ đạo mẫu của quá trình. Do đó các quá trình ngẫu nhiên có thể cũng được
hiểu như là các hàm số ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.7 (Các quá trình tương thích) Một quá trình ngẫu nhiên

 X t t[0,T ] được gọi là Ft - tương thích (hay không đoán trước được theo cấu trúc
thông tin  Ft t[0,T ] ) nếu với mỗi t [0,T ] , giá trị của X t là được xác định tại thời
gian t: biến ngẫu nhiên X t là Ft - đo được.
Định nghĩa 1.8 (Thời gian dừng) Một thời gian ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên

dương T  0 biểu diễn thời gian mà tại đó biến cố nào đó là đang xảy ra. Nếu
cho trước dòng thông tin Ft thì ta có thể xác định liệu biến cố có xảy ra   t 
hay không   t  , thời gian ngẫu nhiên  được gọi là thời gian dừng (hay thời
gian ngẫu nhiên không đoán trước). Nói cách khác,  là thời gian ngẫu nhiên
không đoán trước (  Ft  - thời gian dừng) nếu  t  0,   t  Ft .
1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên
1.2.1 Quá trình Markov
Một quá trình Markov là một dạng quá trình ngẫu nhiên trong đó chỉ giá trị hiện
tại của biến là thích hợp để dự đoán tương lai. Quá khứ của biến và cách thức mà
hiện tại xuất hiện từ quá khứ là không liên quan (nôm na là quá khứ được hợp
nhất trong giá trị hiện tại).
Định nghĩa 1.9 (quá trình Markov) Cho   , F,   là một không gian xác suất,
cho T là một số dương xác định, và cho  Ft t[0,T ] là một lọc. Xét một quá trình
tương thích  X t t[0,T ] . Nếu với hàm Borel – đo được
f : E  f  X t  | Fs   E  f  X t  | X s 

9

(1.2)


quá trình  X t t[0,T ] được gọi là quá trình Markov.
1.2.2 Martingale
Định nghĩa 1.10 (Martingale) Một quá trình ngẫu nhiên X   X t t[0,T ] được gọi
là martingale theo  , Ft  nếu
(i)

X là Ft - tương thích,

(ii)

E  X t    với mọi t [0,T ] ,

(iii)

s  t , E  X t | Fs   X s

(1.3)

X là martingale trên nếu (iii) được thay bởi
E  X t | Fs   X s , s  t

(1.4)

X là martingale dưới nếu (iii) được thay bởi
E  X t | Fs   X s , s  t

(1.5)

Nói cách khác, dự báo tốt nhất cho giá trị tương lai của martingale là giá trị hiện
tại của nó. Martingale biểu diễn các tình huống mà trong đó không có độ lệch
hay xu hướng, mặc dù có thể có rất nhiều tính chất ngẫu nhiên. Trong thống kê ta
có dữ liệu = dấu hiệu + nhiễu (data = signal + noise), martingale được sử dụng
để mô hình thành phần nhiễu.
Một ví dụ gần gũi của martingale là quá trình Weiner Wt .
1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng
1.3.1 Các hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là một biến đổi Fourier của phân bố của
nó. Nhiều tính chất xác suất của các biến ngẫu nhiên dựa vào các tính chất giải
tích của các hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm này rất hữu ích trong việc

nghiên cứu các biến ngẫu nhiên.

10


Định nghĩa 1.11 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là
hàm  X :  d   xác định bởi
 X  t   E  eitX   E cos  tX   iE sin  tX 

(1.6)

Cho FX là hàm phân bố xác suất của X . Khi đó


 X  t   E  eitX    eitx dF  x 

(1.7)



do đó  là một biến đổi Fourier của F , nhưng không nhân với hằng số như

 2 

 1/ 2

như thường được dùng trong phân tích Fourier.

Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên xác định phân phối xác suất: hai biến với
cùng hàm đặc trưng là có cùng phân phối. Một hàm đặc trưng thì luôn luôn liên

tục và thỏa mãn
 X  0   1 ,  X  t   1,  aX  b  t   e itb  X  at  .

Định lý 1.12 Nếu  X là khả tích thì X có hàm mật độ được cho bởi

f X  x 

1
2







eiux X  u  du .

Ví dụ 1.13 ( Hàm đặc trưng Gauss) Đối với phân bố chuẩn N   ,  2  , ta có thể
định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau:
1  x 


1
f  x 
e 2
 2

2

2

X  z  e

,

1
i z   2 z 2
2

(1.8)

Ví dụ 1.14 ( Hàm đặc trưng Poisson) Đối với phân bố Poisson P    , ta có thể
định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau:
f k     X  k  

e  k
,
k!

X z  e

11



  1 eiz



(1.9)


1.3.2 Các tham số đặc trưng
Các tham số đặc trưng là những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến
ngẫu nhiên.
Kỳ vọng toán (Expected Value)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x1 , x2 ,..., xn
với các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn . Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc
X ký hiệu là E  X  là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên

với các xác suất tương ứng:
n

E  X    xi pi .

(1.10)

i 1

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f  x  thì kỳ vọng
toán E  X  được xác định bằng biểu thức
EX   





xf  x  dx .

(1.11)

Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình (Mean)
x

1 n
 xi của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung
n i 1

tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Các tính chất của kỳ vọng
1. Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó E  C   C .
2. Kỳ vọng toán của tích một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng tích của
hằng số với kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó E  CX   CE  X  .
3. Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán
thành phần E  X  Y   E  X   E Y  .

12


Phương sai (Variance)
Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là Var  X  là kỳ vọng toán của bình
phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó
2

Var  X   E  X  E  X   .

(1.12)

Có thể thấy, phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch

giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá
trị đó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên
xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán.
Các tính chất của phương sai
1. Phương sai của hằng số bằng 0: Var  C   0
2. Phương sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên:
Var  CX   C 2Var  X  .

3. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương
sai thành phần: Var  X  Y   Var  X   Var Y  .
Độ lệch chuẩn (Standard deviation – Std)
Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là  X , là căn bậc hai của phương
sai  X  Var  X  , dùng để đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo
đơn vị đo của nó.
Hệ số bất đối xứng - Skewness
Mức độ đối xứng của một phân phối có thể quan sát qua đồ thị của nó, song để
đo lường mức độ bất đối xứng người ta dùng hệ số bất đối xứng
Skewness 

3
3

13

(1.13)


3

trong đó 3  E  X  E  X   và  3 là lập phương của độ lệch chuẩn. Giá trị

Skewness cho ta các kết luận sau
- Nếu Skewness  0 thì phân phối là bất đối xứng và độ thị sẽ xuôi về bên trái
nhiều hơn.
- Nếu Skewness  0 thì phân phối là đối xứng.
- Nếu Skewness  0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên phải
nhiều hơn.
Hệ số nhọn – Kurtosis
Hệ số nhọn cho phép nhận xét về dạng của một phân phối và bổ sung thêm thông
tin về phương sai. Phương sai của biến ngẫu nhiên có thể được xem là nhỏ, lớn,
hay trung bình. Lúc đó đồ thị của phân phối sẽ rất tập trung, ít tập trung hay tập
trung ở mức bình thường. Hệ số nhọn được xác định bằng công thức sau
Kurtosis 

4
4

(1.14)

4

trong đó  4  E  X  E  X  và  4 là bình phương của phương sai.
Khi phân phối xác suất được tập trung ở mức chuẩn thì Kurtosis  3 . Phân phối
xác suất sẽ có độ thị càng nhọn nếu Kurtosis càng lớn hơn 3, và đồ thị sẽ càng
bẹt nếu Kurtosis càng nhỏ hơn 3.
1.4 Chuyển động Brown
1.4.1 Phân bố chuẩn
Phân bố chuẩn N   ,  2  là một trong nhưng phân bố xác suất quan trọng nhất.
Như đã trình bày ở trên, hàm đặc trưng của phân bố chuẩn được cho bởi công
thức sau:

14


 Normal  z ;  , 

2

e

1
i z   2 z 2
2

(1.15)

Và hàm mật độ xác suất như sau:
1  x 


1
f Normal  x;  ,   
e 2
 2



2

2

(1.16)

Tính chất chuẩn theo định nghĩa là tính đối xứng quanh giá trị trung bình, có độ
lệch (skewness) bằng 0 và độ nhọn (kurtosis) bằng 3.
1.4.2 Chuyển động Brown
Chuyển động Brown là bản sao biến động từng phần – tức là – tại mỗi nơi mà ta
làm việc với tiến trình theo thời gian – thì phân bố đều là chuẩn. Chuyển động
Brown bắt đầu được mô tả lần đầu bởi nhà thực vật học Robert Brown vào năm
1828. Nó được giới thiệu lần đầu tiên đến giới tài chính bởi Louis Bachelier vào
năm 1900, và được phát triển trong vật lý bởi Albert Einstein vào năm 1905.
Chuyển động Brown lần đầu tiên được chứng minh bằng công thức toán học bởi
Norbert Weiner vào năm 1923. Để ghi nhớ công sức của Weiner, chuyển động
Brown cũng được gọi là quá trình Weiner.
Định nghĩa 1.15 (Chuyển động Brown) Một quá trình ngẫu nhiên X   X t t 0 là
chuyển động Brown chuẩn (một chiều) W trên không gian xác suất   , F,   nếu
(i)

X  0   0 hầu khắp nơi,

(ii)

X có số gia độc lập: X  t  u   X  t  là độc lập của   X  s  : s  t 
với u  0 ,

(iii)

X có số gia dừng: quy luật của X  t  u   X  t  chỉ phụ thuộc vào u
,

(iv)

X có số gia Gauss: X  t  u   X  t  có phân bố chuẩn với trung bình
0 và phương sai u , tức là X  t  u   X  t   N  0, u  ,

15


(v)

X có các quỹ đạo liên tục: X  t  là hàm liên tục của t , tức là
t  X  t ,   là liên tục theo t với mọi   .

Lọc đối với chuyển động Brown
Định nghĩa 1.16 Cho   , F,   là không gian xác suất trên đó xác định chuyển
động Brown Wt , t  0 . Một lọc đối với chuyển động Brown là một tập hợp các

 - đại số Ft , t  0 thỏa mãn:
(i)

(tính tích tụ thông tin) Với 0  s  t , mỗi tập trong Fs cũng nằm trong

Ft . Nói cách khác, có ít nhất là những thông tin tại thời điểm sau Ft
như là tại thời điểm Fs trước đó.
(ii)

(tính tương thích) Với mỗi t  0 , chuyển động Brown Wt tại thời điểm
t là Ft đo được. Nói cách khác, thông tin tại thời gian t là đủ để ước
lượng chuyển động Brown Wt tại thời điểm đó.

(iii)

(tính độc lập của các số gia tương lai) Với 0  t  u , số gia Wu  Wt
là độc lập theo Ft . Nói cách khác, bất kỳ số gia nào của chuyển động
Brown sau thời điểm t đều độc lập với thông tin sẵn có tại thời điểm t .

Để hình dung rõ hơn về chuyển động Brown, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ Đồ thị quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn

16


Hình 1.1 Quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn

Các tính chất của chuyển động Brown
Định nghĩa 1.17 (Tính chất martingale) Chuyển động Brown là một
martingale.

E Wt | Fs  

E Wt  Ws   Ws | Fs 

 E Wt  Ws | Fs   E Ws | Fs 
 E Wt  Ws   Ws
 Ws

(1.17)

Mệnh đề 1.18 (các tính chất của quỹ đạo) Chuyển động Brown có các quỹ
đạo liên tục, tức là Wt là hàm liên tục của t . Tuy nhiên, các quỹ đạo của
chuyển động Brown rất bất thường; chúng không khả vi tại bất cứ đâu. Các

quỹ đạo của chuyển động Brown cũng biến thiên vô hạn, tức là biến thiên của
chúng là vô hạn trên mỗi đoạn.
Định nghĩa 1.19 (cân đối chuyển động Brown)
Nếu Wt là một chuyển động Brown, với bất kỳ c  0 ,

17


~

W t  cWt / c2 , t  0

(1.18)

cũng là một chuyển động Brown.
Định nghĩa 1.20 (Các martingale chuyển động Brown) Mỗi quá trình sau
là một martingale liên tục theo lọc chuyển động Brown chuẩn:
1. X t  Wt
2. X t  Wt 2  t
1
2

Wt   2t

3. X t  e

1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô)
Tích phân ngẫu nhiên được đưa ra vào năm 1944 bởi K.Itô, do đó mang tên là
tích phân Itô. Tích phân này có công thức là



t

0

X t dYt trong đó quá trình ngẫu

nhiên X   X t , t  0  và Y  Yt , t  0  là hàm lấy tích phân và biến lấy tích
phân. Vì ta sẽ lấy các quá trình biến tích phân có biến thiên vô hạn (không bị
chặn) trên mọi đoạn (ví dụ chuyển động Brown, Yt  Wt ), tích phân ngẫu
nhiên có thể khá khác so với các tích phân xác định thông thường.
1.5.1 Bổ đề Itô
t

Giả sử rằng b là tương thích và khả tích địa phương (  b  s  ds được định
0

nghĩa như tích phân ban đầu), và  là tương thích và đo được sao cho
t

   s  dW  s  được xác định như tích phân ngẫu nhiên. Khi đó
0

t

t

0

0

X  t   x0   b  s  ds     s  dW  s 

(1.19)

xác định một quá trình ngẫu nhiên (hay quá trình Itô) X với X  0   x0 . Ta
thường biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX t  b  t  dt    s  dWt ,

X  0   x0

18

(1.20)


Giả sử f :  2   là một hàm số, khả vi liên tục bậc một trong argument
đầu tiên (ký hiệu thời gian) và bậc hai trong thành phần thứ hai (không gian):
f  C1,2 . Vấn đề đặt ra là tìm hiểu ý nghĩa của vi phân ngẫu nhiên df  X t 

của quá trình f  X t  và tìm nó.
Định lý 1.21 (Bổ đề Itô) Nếu quá trình ngẫu nhiên X  t  có vi phân ngẫu
nhiên được cho bởi dX t  b  t  dt    t  dWt , thì f  f  t , X t  có vi phân
ngẫu nhiên
df 

f
f
1 2 f

dt  dX t 
dX t dX t
t
x
2 x 2

(1.21)

hay rút gọn thành biểu diễn theo dt và dWt

 f
f 1  2 f
df    b   2 2
x 2
x
 t


f
 dt   dWt
x


(1.22)

vì dWt dWt  dt và dtdt  0 . Hay với f  0, x0  là giá trị ban đầu của f
t  f
t f
f
1 2 f 2 

f  f  0, x0      b 
  dt  
 dWt
2
0 t
0 x
x
2 x



(1.23)

Mệnh đề 1.22
t
 f f
1 2 f 2 
E  f  t , X t    f  0, x0    E   b 
  dt
0
2 x 2
 t x


(1.24)

1.5.2 Chuyển động Brown hình học
Giờ ta làm việc với cả chuyển động Brown và Bổ đề Itô, chúng ta sẽ trình bày
một quá trình ngẫu nhiên rất quan trọng – chuyển động Brown hình học.
Giả sử ta muốn mô hình hóa tiến trình theo thời gian của giá cổ phiếu S  t  .

Xem xét việc làm thế nào mà S biến đổi trong khoảng thời gian nhỏ nào đó

19


từ thời điểm hiện tại t tới thời điểm t  dt trong thời gian gần. Ta viết dS  t 
đối với sự thay đổi S  t  dt   S  t  trong S , hay lợi tức của S trong khoảng
này là

dS  t 
. Để dễ cho phân tích kinh tế, ta sẽ chia lợi tức này thành hai
S t 

phần, một phần hệ thống và một phần ngẫu nhiên.Phần hệ thống có thể được
mô hình bởi  dt trong đó  là tham số nào đó thể hiện tốc độ trung bình của
lợi tức của cổ phiếu.Phần ngẫu nhiên có thể được mô hình bởi  dW  t  trong
đó dW  t  biểu diễn phần nhiễu làm cho giá cổ phiếu biến động, và  là
tham số thứ hai cho biết nhiễu ảnh hưởng thế nào (do đó  được gọi là độ
biến động của cổ phiếu).
Kết hợp lại ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên
dSt  St   dt   dWt  , S  0   0

(1.25)

Phương trình vi phân này có nghiệm duy nhất
St  S  0  e

1 2

    t  dWt

2 


(1.26)

Giá tài sản S t có tốc độ trung bình tức thời của lợi tức   t  và độ biến động
  t  . Cả tốc độ trung bình của lợi tức và độ biến động đều cho phép biến đổi

theo thời gian và ngẫu nhiên. Ví dụ này bao gồm tất cả các mô hình dương
của một quá trình giá tài sản luôn luôn dương, không có bước nhảy và có xu
thế theo chuyển động Brown đơn giản. Mặc dù mô hình là mang xu thế
chuyển động Brown, phân bố của S  t  không cần là dạng log – chuẩn vì
  t  và   t  có thể biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên.

Nếu  và  là hằng số, ta có mô hình chuyển động Brown hình học thông
thường dS t  S t  dt   dWt  và phân bố của St là log – chuẩn

20



1 

St  S  0  exp     2  t   Wt 
2 



21

(1.27)


Chương 2
Mô hình Black – Scholes và các hạn chế
2.1 Mô hình Black – Scholes
Lý thuyết toán tài chính bắt đầu từ năm 1900 khi nhà toán học người Pháp
Louis Bachelier, trong luận văn của ông Théorie de la spéculation (Lý thuyết
đầu cơ), đề xuất mô hình sau nhằm mô tả giá S của một tài sản tại Paris
Bourse:

St  S0  Wt
trong đó Wt là chuyển động Brown.
Tuy nhiên, mô hình này có nhiều khiếm khuyết, bao gồm, ví dụ, giá cổ phiếu
có thể âm. Một mô hình phù hợp hơn được đề xuất bởi Samuelson vào năm
1965: chuyển động Brown hình học trong đó log – giá tuân theo chuyển động
Brown.
Vào năm 1973, Black, Scholes và Merton, trong các bài báo nổi tiếng của
mình, đã giải thích làm thế nào để định giá một cuộc gọi kiểu châu Âu dựa
trên mô hình này. Thật vậy, họ giả sử giá cổ phiếu tuân theo chuyển động
Brown hình học và đưa ra một số điều kiện để nhận được công thức định giá
quyền chọn:
1. Không có chi phí hay thuế, thương mại diễn ra liên tục theo thời gian và
được phép vay và bán khống (thị trường là không có ma sát).
2. Lãi suất ngắn hạn (lãi suất không rủi ro r ) đã biết và là hằng số trong suốt
thời gian tính toán.
3. Cổ phiếu không phải trả lãi cổ phần trong suốt thời gian của quyền chọn.
4. Quyền chọn kiểu châu Âu (chỉ có thể thực hiện tại thời điểm đáo hạn).

22

5. Giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học trong suốt thời gian
đưa ra phân phối log – chuẩn đối với giá cổ phiếu giữa hai điểm bất kỳ
theo thời gian.
6. Độ biến động là hằng số đối với bất kỳ giá thực thi và kỳ hạn nào.
Người ta đã chỉ ra rằng mô hình có thể được sửa đổi dễ dàng khi lãi suất là
ngẫu nhiên hay là một hàm của t , khi cổ phiếu trả lãi cổ phần hay khi quyền
chọn theo kiểu Mỹ.
Nhờ tính đơn giản và tính độc lập của phát minh về việc định giá tài sản
tương lai mà công thức Black – Scholes được sử dụng rộng rãi trong thực
hành để định giá và bảo hộ các quyền chọn.
Trong công thức Black – Scholes, giá cổ phiếu S tuân theo chuyển động
Brown hình học,

dSt   St dt   St dWt

(2.1)

trong đó  và  là các hằng số chưa biết, Wt là chuyển động Brown chuẩn.
Có thể chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân này là

St  S 0 e

 1 2
    t  Wt
2 


(2.2)

2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes
2.2.1 Độ biến động nụ cười
Mặc dù công thức Black – Scholes là rất mạnh để định giá cổ phiếu và dễ
dàng sử dụng, rất nhiều các kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng nó có thể định
giá không đúng một cách hệ thống nhiều giá cổ phiếu. Hiện tượng được biết
đến nhiều nhất liên quan đến các sai chệch của mô hình Black – Scholes được
gọi là độ biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười bắt nguồn từ các độ biến
động tiềm ẩn.

23


Biến động tiềm ẩn là biến động được sử dụng trong mô hình Black – Scholes
như giá thị trường được quan sát của quyền chọn bằng giá mô hình
c BS    c market

(2.3)

Để sử dụng mô hình Black – Scholes, ta mong đợi rằng các biến động tiềm ẩn
là đồng nhất vì biến động hằng số là một trong những giả thiết của mô hình
Black – Scholes. Tuy nhiên, điều này có vẻ như không xảy ra trong thực tế.
Hầu hết các thị trường đều biểu lộ các biến động không là hằng số. Trong một
số thị trường, các biến động tiềm ẩn tạo thành một dạng hình chữ U nên được
gọi là biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười. Nói chung, hình dáng của biến
động nụ cười là không đối xứng mà là đường cong chữ U thường bị lệch về
một phía nhiều hơn. Thông thường, hình dáng nụ cười sẽ rõ ràng hơn đối với
các quyền chọn kỳ hạn ngắn và trở nên bẹt/phẳng đối với các quyền chọn kỳ
hạn dài.

Hình 2.1 Độ biến động nụ cười. Các biến động tiềm ẩn đối với giá cổ phiếu
Hiển nhiên, hiện tượng độ biến động nụ cười là không phù hợp với mô hình
Black – Scholes.
2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường
Mô hình Black – Scholes giả sử rằng thị trường là đầy đủ, tức là bất kỳ quyền
phái sinh nào cũng cho phép một danh mục đầu tư đáp ứng, do đó nó có thể

24


được bảo hộ hoàn toàn. Tuy nhiên, trong khi hầu hết các mô hình ngẫu nhiên
sử dụng trong định giá quyền chọn là không chênh lệch thị giá, chỉ một số ít
là đầy đủ. Chúng ta đều biết rằng bảo hộ hoàn toàn không thể tồn tại trong
thực tế: tất cả các rủi ro không thể bị giới hạn. Thị trường “không ma sát”
(không có chi phí, lợi suất thương mại có thể diễn ra liên tục, …) có vẻ như
không phải là một khái niệm chặt chẽ trong thực tế nhưng đặc tính này chỉ thể
hiện một phần nhỏ của rủi ro mà người ta không chấp nhận với mô hình
khuếch tán. Động cơ thúc đẩy việc sử dụng các bước nhảy trong mô hình là
các thị trường chứng khoán phá sản và trong suốt một phá sản không có một
cơ hội nào để thực hiện một bảo hộ Delta thay đổi liên tục. Hệ quả của điều
này là tính không khả thi của bảo hộ hoàn toàn: tại một thời gian cho trước
giá chứng khoán có thể tăng nhẹ hoặc giảm nhẹ hoặc rơi giá rất nhiều. Nó
không thể được bảo hộ chống lại tất cả rủi ro một cách đồng thời.Tính không
khả thi của bảo hộ hoàn toàn có nghĩa là thị trường là không đầy đủ, tức là
không phải mọi quyền chọn đều có thể tự đáp ứng bởi một danh mục đầu tư
tự tài trợ. Do đó, nó khiến cho việc dùng các mô hình thị trường không đầy
đủ có ý nghĩa hơn, trong đó rủi ro của bảo hộ có thể được định lượng hơn là
gắn vào các mô hình thị trường đầy đủ trong đó rủi ro của bảo hộ theo định
nghĩa bằng không.

25