MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƯƠNG PHÁP PAULI VILLARS TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành :
Mã số

:

Vật lý lý thuyết và vật lý toán

60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập
thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp
đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học
quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa
Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này .

Hà Nội, 16 tháng 1 năm 2014
Học viên


MỤC LỤC

Mã số : 60.44.01..............................................................................................................................2

MỞ ĐẦU...........................................................................................................................................1
CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON...........................4
CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ
THƯỜNG CỦA ELECTRON.........................................................................................................19
CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG.....................................................28
KẾT LUẬN.....................................................................................................................................38
PHỤ LỤC A....................................................................................................................................39
PHỤ LỤC B....................................................................................................................................43
PHỤ LỤC C....................................................................................................................................45

Mã số : 60.44.01..............................................................................................................................2
MỞ ĐẦU...........................................................................................................................................1
CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON...........................4
CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ
THƯỜNG CỦA ELECTRON.........................................................................................................19
CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG.....................................................28
KẾT LUẬN.....................................................................................................................................38
PHỤ LỤC A....................................................................................................................................39
PHỤ LỤC B....................................................................................................................................43
PHỤ LỤC C....................................................................................................................................45


MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R.
Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc
tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành
công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví dụ

như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc
moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực
nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của
electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ
của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron µ , và nó bằng
µ=

e0 h
e
= µ0
= 0 ( m0 và e0 là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của
| h = c = 1 2m0
2m0c

electron, µ0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng tương tác của chân không vật
lý với electron – khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron ( m0 → mR ) và
điện tích electron ( e0 → eR ) sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là
moment từ dị thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng
µ = 1, 003875 µ0 , giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron.

J.Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của
electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ
chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

1

số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10−10 % ). Biểu thức giải tích của moment
từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được :
 α
α2
α3 
µly thuyet = µ0 1 +
− 0,32748 2 + 1,184175 3 
π
π 
 2π

(0.1)

= 1, 001159652236 ( 28 ) .µ0

µ R = 1, 00115965241( 20 ) .µ0

(0.2)

Ở đây về cơ bản các giá trị moment được tính bằng lý thuyết theo thuyết
nhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp
với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
moment từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli -Villars.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết
luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Phương trình Pauli và moment từ của electron. Phương trình
Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất

phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được
phương trình Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trường
ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng

( )

phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng v c

, v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tương đối tính tiếp

( )

theo cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu được bằng việc sử
dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen ở mục 1.3.

2


Chương 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị
thường của electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường
ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ
electron với trường điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman
trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron. Mục
2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong
gần đúng phi tương đối tính.
Chương 3. Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauli - Villars ta tách phần hữu hạn và phần
phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ
chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục
3.2.

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự. Trong bản luận văn này chúng
tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và metric Feynman. Các véctơ phản
biến là tọa độ:

(

)

r
x µ = x 0 = t , x1 = x, x 2 = y , x 3 = z = ( t , x )

thì các véctơ tọa độ hiệp biến:
r
xµ = g µν xν = ( x0 = t , x1 = − x, x2 = − y , x3 = − z ) = ( t , − x ) ,

trong đó:

g µν = g µν

1 0 0 0 

÷
0 −1 0 0 ÷

=
 0 0 −1 0 ÷

÷
 0 0 0 −1 

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

3


CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA
ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron với
trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của momen từ với
trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở
trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc

( vc)

ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ

chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng
phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen.
1.1 Phương trình Pauli
Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện
từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương
trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song
hàm sóng ψ trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành
r

phần ψ ( r , t ) phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số
r

spin của hạt là sz . Kết quả để cho hàm sóng ψ ( r , sz , t ) là một spinor hai thành
phần:
  r h 
 ψ 1  r , + 2 , t ÷÷
r

÷
ψ = ψ ( r , sz , t ) = 
  r h ÷
ψ 2  r , − , t ÷÷
2 
 

(1.1)

Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann
moment từ của hạt với spin bằng h2 .
r
r
µ = µ0σ ,

(1.2)

4


r
µ0 - là magneton Bohr, còn σ là các ma trận Pauli. Khi đặt hạt vào trường điện từ

ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.
r r  r e r  e0 h r r
∆U = − µ H =  µ =
s ÷=
sH
mc  2m0 c


(

)

(1.3)

Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng:
H=

r
p2
+ U (r )
2m0

(1.4)

Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế
dưới đây trong phương trình Schrodinger:
r
r e r
p→ p− 0 A
c

E → E − e0ϕ

(1.5)

Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng
rr

phụ ∆U = − ( µ H ) =

e0 h r r
sH .
2m0 c

Kết quả ta thu được phương trình:
ih

r
∂ψ ( r , sz , t )
∂t

 1  r e0 r  2
e h rr r
=
p − A ÷ + e0ϕ ( r ) + U ( r ) + 0 sH ψ ( r , s z , t )

c 
2m0c
 2m0 


(1.6)

r

ở đây ϕ ( r ) , A(r ) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình
(1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng
Zeemann.
1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi
tương đối tính
Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng
chính tắc ta có:
ih


∂ψ ( x)  r  r e0 r 
=  cα  p − A ÷+ e0 A0 + β m0c 2 ψ ( x )
∂t
c 
 


5

(1.7)


Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận
tiện ta viết các spinor hai thành phần:
ψ 
ψ 

ψ u =  1 ÷, ψ d =  3 ÷,
ψ 2 
ψ 4 

ψ 
ψ = u ÷
ψ d 

(1.8)

Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình:

∂ψ u
r  r e r
= cσ  p − 0 A ÷ψ d + e0 A0 + m0c 2 ψ u 
∂t
c 



∂ψ d
r  r e0 r 
0
2
ih
= cσ  p − A ÷ψ u + e0 A + m0c ψ d 

∂t
c 


(

ih

(

)

)

(1.9)

Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai
thành phần dưới). Kể thêm:

 v2  (±)
 ∂
0  (±)
2
 ih − e0 A ÷ψ u ,d = m0 c  ±1 + O  2 ÷ψ u ,d
 ∂t

 c 


(1.10)

Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+):
( +)

ψd

r
 v2 
σ  r e0 r  ( + )
=
p
−
A
ψ
+
O
 2÷
u
2m0 c 
c ÷

c 

(1.11)

Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-):
ψ

(−)
u

r
 v2 

σ  r e0 r  ( −)
=
p − A ÷ψ d + O  2 ÷
2m0 c 
c 
c 

(1.12)

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor ψ d
liên hệ với ψ u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor ψ u liên hệ với ψ d thừa
số

( v c ) . Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm

dương ta có:

6


 1 
ψ =
÷ψ u
 O (v / c) 
 1  r  r e
∂ψ
ih d = 
σ  p − c
∂t
 2m0  

r 2
 v 3  
2
0
A ÷ + m0c + eA + O  3 ÷ψ u

 c  

(1.13)

Và để cho nghiệm âm:
 1
∂ψ
ih u =  −
∂t
 2m0

2
 v3  
 r r e r
2
0
σ  p − c A ÷ − m0 c + eA + O  c3 ÷ψ d

 
  

 O (v / c ) 
ψ =

÷ψ d
 1 

(1.14)

Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau:
rr
rr rr
r r r
σ A σ B = ( AB ) + iσ ( A × B) ,

( )( )

eh r
 r e r  r e r
p
−
A
×
p
−
A
=
−
B

÷ 
÷
c  
c 

ic


(1.15)

Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac:
∂ψ

= H nrψ

∂t

2

 v3  
1  r e r
eh r r
2
0
= β  m0 c +
σˆ B  + O  3 ÷, 
 p − A ÷ + eA −
2
m
c
2
m
c



c  
0
0



r  σr 0 

σˆ = 
r÷
0
σ



ih

H nr

(

(1.16)

)

2
đúng đến bậc v c 2 cùng với toán tử và tự liên hợp H n r . Nếu chúng ta giới hạn ở

nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phương trình này với độ chính xác
m0 c 2 trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài.

Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của
rr

phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác − MB

7


giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có
moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn:
M (e) =

eh
eg
σ=
S,
2m0c
2m0c

g =2

(thừa số Lande)

(1.17)

Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo
kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình
r

r

( p)
giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M = −eS / ( m p c ) . Rõ ràng trong những

trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính
vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối
tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng
tay” các số hạng moment.
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật
độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ

(

)

2
chính xác v c 2 .

ρ = ψ †ψ , j =

h  †
2ie

ψ β∇ψ − ∇ψ † βψ −
Aψ † βψ 

2im 
hc



(

)

(1.18)

Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục ∂ρ / ∂t + ∇j = 0 và trong
trường hợp nghiệm dương, các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi
tương đối tính.
1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở

(

2
trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v c 2

)

và sai sót

( )

3
trong Hamilton ở bậc v c3 . Trong giới hạn này H n r là chéo nhưng các nghiệm

âm và dương là hoàn toàn “phân ly ”. Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao

8


hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách
sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phương trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc ( v / c ) và phương trình Dirac ở dạng:
m0 c 2 Kψ = 0,

K = β +ε +ω

(1.19)

 v2 
 v2 
1  ∂
0
ε =−
 ih − eA ÷ = O (1) + O  2 ÷, β + ε = O  2 ÷
m0 c 2  ∂t

c 
c 

(1.20)

cùng với:

Và:
ω=

cα 
e 
v
p − A÷= O  ÷
2 
m0 c 
c 
c

(1.21)

ở đây ε và ( β + ε ) là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo).
Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen thích hợp
U = eiS , U ′ = eiS ′ , . . . với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó ω cao hơn

và cao hơn bậc

( v / c ) điều đó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc

( v / c ) . Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được:
m0 c 2 K ′ψ ′ = 0,

ψ ′ = Uψ ,

K ′ = UKU −1

K ′′ = β + ε ′ + ω ′,

 v2 
β + ε ′ = O  2 ÷,

c 

(1.22)

 v3 
ω ′ = O  3 ÷ (hay cao hơn)
c 

(1.23)

K ′′ = U ′K ′U ′−1

(1.24)

Và phép biến đổi thứ hai ta có:
m0 c 2 K ′′ψ ′′ = 0,

ψ ′′ = U ′ψ ,

K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′,

 v2 
β + ε ′′ = O  2 ÷,
c 

 v5 
ω ′′ = O  5 ÷ (hay cao hơn)
c 

và tiếp tục...

Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là:

9

(1.25)


S′ = −

U = eiS ′ ,

i βω ′
2

(1.26)

Cuối cùng ta được:
K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′

(1.27)

Cùng với:
 v2 
O 2 ÷
c 
↓

ε ′′ = ε ′

ω ′′ = −

 v6 
 v12 
O  6 ÷ O  12 ÷
c 
c 
↓
↓

+

βω ′2
2

−

 v18 
O  18 ÷
c 
↓

βω ′4 1
− ω ′, [ ω ′, ε ′]  + ...
8
8

 v2 
= O 2 ÷
c 

 v5 
ω ′3 β
β
+ [ ω ′, ε ′] + ω ′, ω ′, [ ω ′, ε ′]   + ... = O  5 ÷
3
2
48
c 

(1.28)

(1.29)

Như ta đã thấy ω ′ bây giờ đã nâng lên hai bậc ( v / c ) . Từ đây chúng ta nhận

( )

3
được toán tử K ′ = β + ε đúng đến bậc v c3 , đúng trong phương trình Pauli (1.16)

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực
hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K ′ cùng :
U ′ = eiS ′ , S ′ = −

i βω ′
2

(1.30)

Từ đây suy ra:

K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′

cùng với:

10

(1.31)


 v2 
 v6 
 v12 
O  2 ÷ O  6 ÷ O  12 ÷
c 
c 
c 
↓
↓
↓

ε ′′ = ε ′

+

βω ′
2

2

−

 v18 
O  18 ÷
c 
↓

(1.32)

βω ′ 1
− ω ′, [ ω ′, ε ′]  + ...
8
8

v 
= O 2 ÷
c 

4

2

Và:
ω ′′ = −

 v5 
ω ′3 β
β
+ [ ω ′, ε ′] + ω ′, ω ′, [ ω ′, ε ′]   + ... = O  5 ÷
3
2

48
c 

(1.33)

( )

5
Bỏ qua tất cả các số hạng O v c5 (hay cao hơn) ta nhận được toán tử

chẵn:
K ′′ = β + ε +

 v5 
βω 2 βω 4 1
−
− ω , [ ω , ε ]  + O  5 ÷
2
8
8
c 

(1.34)

Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac:
ih

∂ψ ′′
= H ′′ψ ′′
∂t

(1.35)

Sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen ta tính một số công thức sau:
ω2 =

1
m02 c 2

 
e   
e 
α  p − c A ÷ α  p − c A ÷
  

 

=

1
m02 c 2

∑α α

i
= 2 2
m0 c

i

i, j

j

e 
e 

 pi − Ai ÷ p j − Aj ÷
c 
c 


2

e 
e 
1 
e 

ε ijk σˆ k  pi − Ai ÷ p j − Aj ÷+ 2 2  p − A ÷
∑
c 
c  m0 c 
c 

i , j ,k

2

=−

ie
1 
e 
σˆ ( p × A ) + 2 2  p − A ÷
3
m0 c
m0 c 
c 

11


2

eh
1 
e 
=−
σˆ B + 2 2  p − A ÷
3
m0 c
m0 c 
c 

(1.36)

Tiếp theo ta tính giao hoán tử:

[ ω, ε ] = −

=

1
m02 c3

 
e
α  p − c
 

∂


A ÷, ih − eA0 
 ∂t


1 
ieh  ∂  
e α p, A0  +
A,

2 3  
m0 c 
c  ∂t  
=−

ieh  0 1  ieh
α  ∇A + A ÷ = 2 3 α E

m02c3 
c  m0 c

ieh
ω , [ ω , ε ]  = 3 4
m0 c

 
e 

α  p − c A ÷, α E 

 


=

ieh
[ α p, α E ]
m03c 4

=

ieh
m03c 4

∑α α ( p E

ieh
m03c 4

∑ { α α ( p E ) + α ,α

=

=

i

j

i

i, j

i

j

i

j

− Ei p j )

j

i

i, j

j

 E j pi

}


ieh 
iε ijkσˆ k + δ ij ) ( pi E j ) + ∑ 2iε ijkσˆ k E j pi 
3 4 ∑ (
m0 c i , j , k
i, j


ieh2
eh2
2eh
ˆ
= 3 4 σ ( ∇ × E ) + 3 4 ∇E + 3 4 σˆ ( E × p )
m0 c
m0 c
m0 c

(1.37)

Khi tính các công thức (1.36), (1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau:
α iα j = iε i j kα k ,

( )

)
α i , α j  = 2iε i j kσ k

(1.38)

4
Đúng đắn đến bậc O v c 4 với việc chéo hóa Hamilton:
2
4


 1 
1 
e 
eh
e 
e 2 h2 2 
2
0
′′
H = β  m0 c +
σˆ B  + eA − β  3 2  p − A ÷ + 3 4 B 
 p − A÷ −
2m0 
c  2m0 c
c  8m0 c




 8m0 c 

12


−

 v5 
eh2
ieh2
eh
ˆ
ˆ
∇
E
−
σ
∇
×
E
−
σ
E
×
p
+
O
(
)
(

)  5÷
8m02 c 2
8m02 c 2
4m02 c 2
c 

(1.39)

Và ta có hàm sóng :
ψ ′′ ( x ) = e − iβω ′/2 e −iβω /2ψ ( x )

(1.40)

Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton
cho những bậc cao hơn có thể thực hiện ( v / c ) . Vậy ta đã giả thiết một số điểm
sau đây:
- Khi các S , S ′, . . . là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –
Wouthuyen U , U ′, . . . cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất
−1
biến của giá trị trung bình như phép biến đổi U [ .] U .

- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa ∂A / ∂t = 0 khi sự biến
đổi :
Kψ = 0 → K ′ψ ′ = 0,

K ′ = UKU −1 = UKU † ,

ψ ′ = Uψ

(1.41)

tương đương với :
ih

∂ψ
∂ψ ′
= Hψ → ih
= H ′ψ ′,
∂t
∂t

∂

H ′ = U  H − ih ÷U †
∂t 


(1.42)

- Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy – Wouthuyen theo
phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần
chéo. Phương pháp Fouldy – Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa
độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt.
- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý
trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen là hội
tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. Phép biến đổi
Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc
bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng:

13


m0 c 2 K (0)ψ (0) = 0,

K (0) = β + ε (0) + ω (0)

(1.43)

(0)
2
2
Cùng với các toán tử chẵn ε ( 0) , β + ε = O ( v / c ) và toán tử lẻ

ω ( 0) = O ( v / c ) lặp lại các hệ thức này theo:
K ( n ) = β + ε ( n ) + ω ( n ) = U ( n −1) K ( n −1)U ( n −1)†

(1.44)

ψ ( n ) ( x ) = U ( n −1)ψ ( n −1) ( x )

(1.45)

U

(n)

 i βω ( n ) 
= exp  −
÷

2 


(1.46)

Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó:
 v2 
β + ε ( n ) = O  2 ÷,
c 

 v 2 n +1 
ω ( n ) = O  2 n +1 ÷
c


(1.47)

Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho

)

(

2 n −1
hạt và phản hạt và đúng cho bậc O v c 2 n −1 .

- Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình
(1.16). Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét
trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện:
(1.48)

eA0 = V ( x ) = V ( r ) , A = 0

Trong trường hợp này ta có:
B = 0,

E = −∇A0 = −

1 x ∂V
,
e r ∂r

∇× E = 0

(1.49)

Giới hạn hai thành phần trên của spinor, toán tử Hamiltonian tương ứng:
H u′′ = m0 c 2 +

p2
p4
h2
h 1 ∂V
+ V ( r ) − 3 2 + 2 2 ∇ 2V +
σL
2m0
8m0 c 8m0 c
4m02 c 2 r ∂r

(1.50)

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành
phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin

14


term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa
năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc
quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng
2
thừa số 4 trong mẫu số1. Trong trường hợp của thế Coulomb V ( r ) = − Ze / r hai

thành phần cuối cùng là:
π Ze 2 h2
Ze 2h r r
δ ( r ) và
σL
2m02 c 2
4m02 c 2 r 3

(1.51)

Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s - trạng thái.

Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau: L
trong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với
spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do
xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
1

15


16


Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối
tính của phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp
Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng
nhất cho phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac – Hamilton là toán tử
chéo chỉ là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp
Fouldy – Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở
các bậc cao hơn ( v / c ) . Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử
Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu ( v / c ) , mà từ đây ta
thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.
- Phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach
- Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một
độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton.
- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ
nhất phép khai triển ( v / c ) là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp
nhận.
Hamiltonian của phương trình có dạng:
H =−

1 r r2
rr
p − eA + eϕ − µ H

2m

(

)

r
r
rr
µ H mô tả tương tác của moment từ riêng µ với từ trường ngoài H . Hạt có spin

bằng ½ có điện tích e, sẽ có moment từ:
r
r eh r eh r
µ = µ0σ =
σ=
S
2mc
mc

- Moment từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng:

17


µ0 =

eh
- magneton Bohr

2mc

Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron:
µ = µ0 ( 1 + a )
µ0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới
đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với
chân không vật lý.

18


CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO
MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-ma
trận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài
Aµext ( x ) . Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một

vòng cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc
thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương
đối tính
2.1 S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài. Nếu trường
ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng
về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ được
mô tả bằng S-ma trận /1/

(

)

S = T exp ∫ Lint ( x ) d 4 x ;

(

(

)

Lint ( x ) = ieN ψγ µψ Aµext ;

)

(

(

)

)

S0 = 1; S1 = T ∫ Lint ( x ) d 4 x = T ie ∫ N ψγ µψ Aµext ( x ) d 4 x ;

(2.1)

trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ
∞

Z2 Z3
Zn
e = 1+ Z +
+
+ ... = ∑ ,
2! 3!
n =0 n !
Z

(2.2)

ext
4
Với Z = ie ∫ N ( ψγ µψ ) Aµ ( x ) d x

Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến có thể viết:
p2 | S | p1 = p2 | S 0 | p1 + p2 | S1 | p1 + p2 | S 2 | p1 + ...

19


(

)

= p2 | p1 + ieT p2 | ∫ N ψγ µψ Aµext ( x ) d 4 x | p1 + .........

(2.3)

trong đó p1 , p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a)
theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính)
cho quá trình tán xạ này (xem Hình 2.1).

(a)

(b1)

(b3)

(b2)

(b4)

Hình 2. 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đường electron
trường điện từ ngoài
đường photon

20


Giải thích hình vẽ 2.1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng p1 bay vào
vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp
nhất. Các giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân
không vật lý - chân không của trường điện từ và chân không của trường electron
-pozitron.

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và
(b1) cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại
(b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa
điện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ
ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng
photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh
Feynman (b1) cho moment từ dị thường của electron
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với
giản đồ Hình 2. 1(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
∞

p2 | S1 | p1 = −e0 ∫ d 4 xb p2 | N ( ψ ( x )γ µψ ( x ) ) Aµext ( x ) | p1 .

(2.4)

−∞

Vì trường ngoài

Aµext ( x) không phải là toán tử mà là hàm số thông thường

nên ta có thể bỏ ra ngoài N-tích và

p2 | ... | p1 , đồng thời khai triển các toán tử

ψ ( x) và ψ ( x) thành các toán tử sinh hủy hạt.

N ( ψ ( x)γ µψ ( x) ) = N ψ ( + )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( + ) +ψ ( − )γ µψ ( −) +ψ ( + )γ µψ ( − )  ,
(+)
(+)

với: ψ ( x ) :toán tử hủy e + ; ψ ( x ) :toán tử hủy e − ;

ψ ( − ) ( x ) :toán tử sinh e − ;

ψ ( − ) ( x ) :toán tử sinh e + .

21