Chuyên đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C),
một điểm

cố định thuộc (C) có

y

T

f(x,u)

hoành độ
Với mỗi điểm
ta ký hiệu

thuộc (C) , khác

f()

là hoành độ ,

là hệ số góc của cát tuyến
.Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn
O

Coi

đi qua

và có hệ số góc

là vị trí giới hạn của cát tuyến

, khi

di

chuyển dọc theo (C) dần đến
 Đường thẳng

được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm

, còn

được gọi là

tiếp điểm
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại điểm
hàm số tại điểm

(

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

)

3. Định lý về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

*Định lý 1.
Đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T
của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) .
Chứng minh:
Giả sử M( x0 +Vx; f ( x0 +Vx ) ) là điểm di chuyển trên (C). Ta có ;


M 0 H =Vx, HM =Vy .

Hệ số góc của cát tuyến M 0 M là tan ϕ , trong đó ϕ là góc tạo bởi trục Ox và vectơ

uuuuuu
r
HM
Vy
=
M 0 M . Ta có tan ϕ =
.
Vx

M0H

Khi M dần tới M 0 ( M → M 0 ) thì Vx → 0 và ngược lại.
Theo giả thiết, f ( x) có đạo hàm tại x0 nên tồn tại giới hạn

Vy
= lim tan ϕ .
Vx →0 Vx
M →M 0

f '( x0 ) = lim

Vậy khi M → M 0 thì cát tuyến M 0 M dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng M 0 T, có hệ số

tan ϕ = f '( x0 ) .
góc bằng Mlim
→M 0
Đường thẳng M 0T là tiếp tuyến tại M 0 của (C).
Vậy f '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 của đồ thị (C).
*Định lý 2:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) cảu hàm số y=f(x) tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) là
y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) , trong đó y0 = f ( x0 ) .

4. Ghi nhớ
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm
điểm

(

thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

) có phương trình :

y=

(

+

II. Hệ thống bài tập

"BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN


1. Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại một điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) .
∗ Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 15 x + 12 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
f '( x ) = 3 x + 4 x − 15
⇒ f '(2) = 5
2

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y + 2 = 5( x − 2)
⇒ y = 5 x − 12

⇒ Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố
còn lại và làm tương tự như trên.
Bài 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
1
4

1

2

Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C ) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng

7
.
4

Giải
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có

7 1 4 1 2
= x0 + x0 + 1 ⇔ xo = ±1 .
4 4
2

7

Với xo = 1 ⇒ f ' (1) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 1  − 1;  là:


y−

4

7
1
= 2( x − 1) ⇔ y = 2 x −
4

4

7

Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  − 1;  là:


y−

7
1
= −2( x + 1) ⇔ y = −2 x −
4
4

4


Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) =

x2 − 2x − 2
có đồ thị là (C).
x +1

(C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B.
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
x2 − 2x − 2
= 0 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3

x +1

⇒ (C) cắt Ox tại điểm A (1 + 3; 0) và B(1 − 3; 0) .

x 2 + 2x
y' =
⇒ y ' = (1 + 3) = 2 3 (2 − 3 )
( x + 1) 2
y ' = (1 − 3 ) = −2 3 (2 + 3 )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y = 2 3 (2 − 3 ) ( x − 1 − 3 )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
y = −2 3 (2 + 3 ) ( x − 1 + 3 )

* Nhận xét: Qua bài 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình
tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1
nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu vào
bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên.
Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng
phương trình tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 12 (trước phân
ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip.
Bài 4: Cho (E) có phương trình:

x2
y2
+
= 1.
100 64

Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm M (5; 4 3 ) .
Giải
Nhận xét điểm M (5; 4 3 ) ∈ ( E ) .
100 − x 2
4
4
x
y =
64 ⇔ y = ± 100 − x 2 ⇒ y ' = ±
.
100
5
5 100 − x 2
2


⇒ y ' (5) = ±

4
5 3

vì M (5; 4 3) thuộc phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ dương nên
y=

4
4
100 − x 2 ⇒ y ' (5) = −
.
5

5 3

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M (5; 4 3 ) là: 5 3 y + 4 x − 80 = 0
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
điểm của nó với trục tung
Giải
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là nghiệm hệ:

x 2 + ax − 1
x = 0
y =
⇒ M (0,1)
x −1 ⇔ 

y =1


x=0


Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (0,1) có dạng:
y − 1 = y '(0).( x − 0)

Ta có y ' =

x2 − 2x − a + 1
; y'(0) = 1 − a
( x − 1) 2

Do đó phương trình của tiếp tuyến cần tìm là:

y − 1 = (1 − a) x ⇔ y = (1 − a ) x + 1

Bài 6: Cho hàm số

y=

1 4 1 2
x − x (C)
2
2

Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ tới đồ thị hàm số
Giải
Đường thẳng (d) đi qua O với hệ số góc K có pt: y = kx
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau có nghiệm

tại giao


1 4 1 2
 x − x = kx(1)
2
4
2 x 3 − x = k (2)

x = 0

Thay (2) vào (1) ta được x 2 (3x 2 − 1) = 0 ⇔ 

 x = ±1

• Với

x=0

• Với x =

thay vào (2) ⇒ k = 0 . Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = 0
1

1
1
thay vào (2) ⇒ k =
.
3
3

Phương trình tiếp tuyến: ( d 2 ) : y =
• Với x =

3

−1
x
3 3

−1
−1
thay vào (2) ⇒ k =
3

3

Phương trình tiếp tuyến: ( d3 ) : y =

1
3 3

x

Vậy qua O kẻ được 3 tiếp tuyến (d1 ) : y = 0 ; ( d 2 ) : y =

−1
1
x ; ( d3 ) : y =
x
3 3
3 3

2. Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước:
∗ Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.
⇒ xo là nghiệm phương trình f ' ( xo ) = k .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y − yo k ( x − xo ) .
Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc là k1.
đường thẳng D2 có hệ số góc là k2.
Thì D1 // D2 ⇔ k1 = k2.
D1 ⊥ D2 ⇔ k1 . k2 = - 1
D1 cắt D2 ⇔ k1 ≠ k2

Bài 1: Cho hàm số y =

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm
x−2

số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)
Giải
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm ( xo ; yo ) .
−5

x = 1

o
⇒ xo là nghiệm phương trình y ' ( xo ) = −5 ⇔ ( x − 2) 2 = −5 ⇔  x = 3
 o
o

Với xo = 1 ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 2 .
Với xo = 3 ⇒ yo = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 22 .
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) =

3x − 2
có đồ thị (C).
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường

thẳng y = 4 x + 10 .
Giải
−1

D = R \ {1}; y ' = ( x − 1) 2 .
Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4 x + 10 , có hệ
1
4

số góc k: k . 4 = −1 ⇒ k = − .
5

xo =

x
=
−
1

−1
1
o
2
⇒ xo là nghiệm phương trình ( x − 1) 2 = 4 ⇔  y = 3 ⇔ 
 o
o
y = 7
o

2

5
1
9

Tại M 1  − 1;  có tiếp tuyến là y = − x + .


2

4

4

1
17
 7
Tại M 2  3;  có tiếp tuyến là y = − x + .


2

4

4

* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp
tuyến dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác. Vì
vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách
liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau.
Bài 3: Cho hàm số y =

4 + mx − 3 x 2
.
4x + m


Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ

vuông

góc với tiệm cận đứng
Giải
Ta có:

y'=

−12 x 2 − 6mx + m − 16
(4 x + m) 2

lim y = ∞

Tiệm cận đứng 4 x + m = 0 vì

x→

−m
4

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại x0 = 0 là k = y '(0) =
Tiếp tuyến vuông góc với tiện cận đứng thì k = 0 ⇔

Vậy tiếp tuyến tại

m 2 − 16
m2

m 2 − 16
= 0 ⇔ m = ±4
m2

vuông góc với tiện cận đứng khi m = ±4

Bài 4: Cho hàm số y =

x2 + 2x + 2
.
x +1

Tìm trên đồ thị (C) các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với
tiệm cận xiên của nó.
Giải
1

Ta có y ' = 1 − ( x + 1)2

.

y − x − 1) = 0
Tiệm cận xiên y = x + 1 vì lim(
x →∞

M là điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a = −1
a 2 + 2a
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '(a ) =
.
(a + 1)2

Tiếp tuyến (d) vuông góc với tiệm cận xiên
a 2 + 2a
2
= −1 ⇔ a = − 1 ±
2
(a + 1)
2


Vậy tồn tại hai điểm có hoành độ tương ứng là : −1 +

2
2
, −1 −
trên đồ thị thỏa
2
2

mãn điều kiện
Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + 3x + 5 .
Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
đường thẳng y = kx
Giải
Điểm M ( x0 , y0 ) thuộc đồ thị ,ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là y '( x0 )
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx
⇔ k . y '(x 0 ) = −1 ⇔ k (3 x0 2 + 6 x0 + 3) = −1 ⇔ 3k ( x0 + 1) 2 = −1

(1)

Để tồn tại ít nhất 1 điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài thì phương trình (1) có
nghiệm ⇔ 3k ≤ 0 ⇔ k ≤ 0
3. Dạng 3:
a) Bài toán: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm A ( x A ; y A ) cho trước.
b) Cách giải:
* Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
⇒ d có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1)
- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương
trình:
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A

 f ' ( x) = k

Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.
* Cách 2:
- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm M o ( xo ; yo ) ⇒ d
có phương trình: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) .
- Vì A (xA; yA) ∈ d ⇒ y A − yo = f ' ( xo )( x − xo )
⇒ y A − f ( xo ) = f ' ( xo )( x A − xo )

(2)

 yo = f ( x0 )
.
 f ' ( xo )

- Giải phương trình (2) tìm xo ⇒ 

- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:
y − yo = f ' ( x0 )( x − xo )

Bài 1: Cho hàm số y =

3x − 2
(C ) .
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
Giải
TXĐ: D = R \ {1}.
y' =

−1
( x − 1) 2

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là
y = k ( x − 2).

- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương
 x = 0
 3x − 2


 x − 1 = k ( x − 2)
  k = −1

 f ( x) = k ( x − x A ) xy A
⇔ 1
⇔ 
trình: 
4 .
=k
f '( x ) = k
2
 x =

 ( x − 1)
3



 k = −9
 x ≠ 1
 y = −x + 2
.
 y = −9 x + 18

- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là 
1
2

3

2

Bài 2: Cho hàm số y = x 4 − 3x 2 + (C ) . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 3/2).
Giải
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là
y = kx +

3
.
2

- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương
trình:
3
3
1 4
2
x = 0x
k = 0
 x − 3 x + = kx +
⇒
2
2 Có nghiệm ⇔ 
2
 x = ±2 2 k = ±2 2

2x3 − 6x = k


Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:


y=

3
2

y = −2 2 x +

;

3
2

;

y = 2 2x +

3
2

x 2 − 3x + 1
(C ) .
x−2

Bài 3: Cho hàm số: y =

CMR không có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.
Giải

Có x = 2
Là tiệm cận đứng
y=x-x
Là tiệm cận xiên
Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận ⇒ I (2; 1).
xo2 − 3xo + 1
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ⇒ yo =
.
xo − 2

Và y ' ( xo ) =

xo2 − 4 xo + 5
.
( xo − 2) 2

Phương trình tiếp tuyến tại (xo; yo) dạng.
y−

xo2 − 3xo + 1 xo2 − 4 xo + 5
=
( x − xo )
xo − 2
( xo − 2) 2

Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:
xo2 − 3 xo + 1 xo2 − 4 xo + 5
1−
=
( 2 − xo )

xo − 2
( xo − 2) 2

(2) phải có nghiệm

( xo − 2) 2 − ( xo2 − 3 xo + 1)( xo − 2) = ( xo2 − 4 xo + 5)(2 − xo )
⇔
(2) 
vô nghiệm
xo ≠ 2


Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của
các đường tiệm cận.
Bài 4: Cho hàm số (C) y = 1 +

2
.
x +1

Tìm những điểm trên trục tung mà cứ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số
Giải
Các điểm thuộc Ox có dạng A(0, b)
Phương trình đường thẳng đi qua A(0, b) có dạng (d ) : y = kx + b
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:


2
2



k + b −1
 1
=
1 + x + 1 = kx + b
1 + x + 1 = k ( x − 1) + k + b

 x −1
4
⇔
⇔
(*)

− 2 2 = k
− 2 2 = k
−2( k + b − 1) 2 = k

 ( x − 1)
 ( x − 1)
4

Phương trình (*)  f ( x) = k 2 + 2(b + 3)k + b 2 − 2b + 1 = 0 . (1)
Từ A có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số khi phương trình (1)
có nghiệm kép khác 1 − b hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 − b

® Một số bài tập khác
Bài 1: Cho hàm số y =

x2 + 2x + 2

x +1

a) M là điểm trên đồ thị có hoành độ xM = a .Viết phương trinh tiếp tuyến

ta

của

đồ thị tại M
b) Xác định a để

ta

đi qua điểm (0,1). Chứng tỏ rằng có 2 giá trị của a thỏa mãn

điều kiện của bài toán và 2 tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau.
Giải
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ
(ta ) : y − ya = y '(a)( x − a )
a 2 + 2a + 2
;
a +1
Ta lần lượt có:
x2 + 2 x
a 2 + 2a
y'=
⇒
y
'(
a

)
=
( x + 1) 2
(a + 1) 2
y ( a) =

Do đó phương trình của tiếp tuyến (d) là
(t a ) : y −

a 2 + 2a + 2 a 2 + 2a
=
( x − a)
a +1
(a + 1) 2

⇔ (ta ) : y =

a 2 + 2a
a 2 + 4a + 2
x
+
(a + 1) 2
(a + 1) 2

có dạng:


b) Tiếp tuyến

ta đi qua điểm (1,0) khi:

a 2 + 2a a 2 + 2a + 2
−3 ± 5
+
= 0 ⇔ a 2 + 3a + 1 = 0 ⇔ a1,2 =
2
( a + 1)
a +1
2

Và theo Viet ta có: a1 + a2 =

−3
; a1a2 = 1
2

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn điều kiện bài toán
Các tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng: k1 =
Và ta có: k1k2 =

a12 + 2a1
a2 2 + 2a2
;
k
=
2
(a1 + 1) 2
( a2 + 1) 2

a12 + 2a1 a2 2 + 2a2 a12 a2 2 + 2a1a2 (a1a2 ) + 4a1a2

.
=
= −1
(a1 + 1) 2 (a2 + 1) 2
(a1a2 + a1 + a2 + 1) 2

Chứng tỏ rằng 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
1
2

Bài 2: Cho hàm số x = x 4 − 3x 2 +
có hoành độ

5
. Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M
2

.

Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các
nghiệm của phương trình: ( x − a)2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0
Giải
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ

có dạng:

y − y (a ) = y '(a )( x − a)
1
2

5
2

Ta lần lượt có: y (a) = a 4 − 3a 2 + ; y ' = 2 x 3 − 6 x ⇒ y '(a) = 2a 3 − 6a
Do đó phương trình của tiếp tuyến (d) là:
1
5
3
5
(d) : y − ( a 4 − 3a 2 + ) = (2a 3 − 6a)( x − a) ⇔ ( d ) : y = (2a 3 − 6a) x − a 4 + 3a 2 +
2
2
2
2

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm phương trình:
1 4
5
3
5
a − 3a 2 + = (2a 3 − 6a) x − a 4 + 3a 2 + ⇔ x 4 − 6 x 2 − (2a 3 − 6a ) x + 3a 4 − 6a 2 = 0
2
2
2
2


⇔ ( x − a ) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0 (đpcm)

Bài 3: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 3 + 3 . Chứng minh rằng:

Tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt
khi phương trình x 4 − 3x3 + 3 = kx + m có 2 nghiệm phân biệt
x 4 − 3 x3 + 3 − kx − m = ( x − a ) 2 ( x − b) 2 ∀x(a ≠ b)
x 4 − 3 x3 + 3 − kx − m = ( x − a ) 2 ( x − b) 2 EMBED Equation.DSMT4 ∀x(a ≠ b)
⇔ x 4 − 3 x3 + 3 − kx − m = x 4 − 2(a + b) x 3 + (a 2 + b 2 + 4ab) x 2 − 2ab(a + b) x + a 2 + b 2 ∀x(a ≠ b)
a = 1 − 3
 −2(a + b) = −4

 −2ab(a + b) = − k

b = 1 + 3
⇔
 2
2
a
+
b
+
4
ab
=
0

 k = −8
2
2
 a + b = 3 − m
 m = −1


Vậy có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt: (d ) : y = −8 x − 1
Hoành độ 2 tiếp điểm là: x1 = 1 − 3; x2 = 1 + 3
Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 1(C ) . Cho điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến với (C)
tại A cắt (C) tại điểm B khác A. Tìm hoành độ điểm B theo x0
Giải
Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng: y − yx = y '( x0 )( x − x0 )
0

(1)

Ta có: y ( x0 ) = x03 − 3x0 2 + 1; y ' = 3x 2 − 6 x ⇒ y '( x0 ) = 3x0 2 − 6 x0
Do đó phương trình của tiếp tuyến là:
(d ) : y − ( x03 − 3 x0 2 + 1) = (3 x0 2 − 6 x0 )( x − x0 )
⇔ (d ) : y = (3x0 2 − 6 x0 ) x − 2 x 3 = 3 x0 2 + 1

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C) là nghiệm phương trình:
x 3 − 3 x 2 + 1 = (3x0 2 − 6 x0 ) x − 2 x 3 = 3 x0 2 + 1 ⇔ ( x − x0 ) 2 ( x − 3 − 2 x0 ) = 0
 x = x0
⇔
 x = 3 − 2 x0


Vậy hoành độ điểm là xB = 3 − 2 x0
Bài 5: Hãy tìm phương trình tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =

x3 + 1
x

biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn 1 tam giác
có diện tích bằng

1
2

Giải
Ta có y ' =

2 x3 − 1
x2

M là điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a 0, khi đó
trình tiếp tuyến tại M có dạng:
2a 3 − 1
2 − a3
(d ) : y − y (a ) = y '(a )( x − a) ⇔ (d ) : y =
x+
(1)
a2
a

Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm hệ:
x=0

2 − a3

3
3 ⇒ A(0,
)

2a − 1

2−a
a
y
=
x
+

a2
a


Tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm hệ
y=0

a (a 3 − 2)

3
3 ⇒ B(
, 0)

2a − 1
2−a
3
2
a
−
1
y
=
x

+

a2
a


Diện tích tam giác OAB được cho bởi:
S=

1
1 (a 3 − 2) 2
| y A | . | xB |=
2
2 2a 3 − 1

Suy ra
Với

 a =1
1 (a 3 − 2)2 1
(a 3 − 2) 2
=
⇔
=
1
⇔

3
2 2a 3 − 1
2

2a 3 − 1
a = 5

, thay vào (1) ta được (d1 ) : y = x + 1

và phương


Với a = 3 5 , thay vào (1) được (d 2 ) : y =

3

9
3
x− 3
25
5

Vậy tồn tại 2 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài 6. Cho hàm số (C): y =

2x2 − x + 1
.
x −1

Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có
thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc

π
4

Giải
Các điểm trên đường thẳng y = 7 có dạng A(a, 7) .
Phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, 7) có dạng (d ) : y = k ( x − a) + 7
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm
2
2


 2 x + 1 + x − 1 = k ( x − a) + 7
 2 x + 1 + x − 1 = k ( x − 1) + k − ka + 7
⇔

2 − 2 2 = k
2 − 2 2 = k
 ( x − 1)
 ( x − 1)

2
2

4 − (a − 1)k
 1
=
 2 x + 1 + x − 1 = 2( x − 1) − x − 1 − (a − 1)k + 7
 x − 1
4
⇔

2

4
−
(
a
−
1)k 2
2 −
 2 − 2(
=k
) = k (*)
2

 ( x − 1)
4

Phương trình (*) f (k ) = (a − 1) 2 k 2 − 8(a − 2)k = 0(1) . Từ A có thể kẻ đến đồ thị (C)
hai tiếp tuyến với nhau một góc

π
4
khi (1) có hai nghiệm phân biệt k1 , k2 khác
4
a −1

thỏa mãn

k1 − k2
π
= tg 
1 + k1k2

4

a − 1 ≠ 0

2
16(a − 2) > 0
a ≠ 1, a ≠ 2
a = 5 ± 8

4

⇔
⇔
f
(
)
≠
0
8(
a
−
2)



 a −1
 (a − 1) 2 = ±1  a = −3 ± 24

 8(a − 2)
=1


2
(
a
−
1)



Vậy có bốn điểm A1 (5 + 8, 7); A 2 (5 − 8, 7); A 3 ( −3 + 24, 7); A 4 ( −3 − 24, 7)
Bài 7. Cho hàm số (C) : y = x + 1 +

1
x −1

Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
Giải
Ta có

y ' = 1−

1
( x − 1) 2

y=∞
• Tiệm cận đứng x = 1 vì lim
x →1
y − x − 1) = 0
• Tiệm cận xiên: y = x + 1 vì lim(

x →∞

• Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận là I(1,2)
M (a, y (a )) ∈ (C) với a > 1 , khi đó pt tiếp tuyến tại M có dạng:

( d ) : y − y (a ) = y '(a )( x − a )
a 2 − 2a
a2
( x − a) +
 (d): y =
(a − 1) 2
a −1
Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ pt
x = 1
x = 1
2a


2
2
)
a − 2a
a ⇔
2a ⇒ A(1,

a −1
 y = (a − 1) 2 ( x − a ) + a − 1
 y = a − 1


Tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến (d) và tiệm cận xiên là nghiệm của hệ
 y = x −1
 x = 2a − 1

⇒ B (2a − 1, 2a )
a 2 − 2a
a2 ⇔ 

 y = 2a
 y = (a − 1) 2 ( x − a ) + a − 1


Ta có

AI = x A − xI =

2a
2
−2 =
a −1
a −1


BI 2 = (x B − xI ) 2 + ( y B − yI ) 2 = (2a − 2) 2 + (2a − 2) 2 = 8(a − 1) 2
⇒ BI = 2 2 a − 1
AI .BI = 4 2
AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI .cos

π
= AI 2 + BI 2 − 2. AI .BI

4

Chu vi ∆ABI được cho bởi
P∆ABI = AI + BI + AB 2 = AI + BI + AI 2 + BI 2 − 2.AI .BI
≥ 2 AI .BI + 2 AI .BI − 2 AI .BI = 4 4 2 + 2 2( 2 − 1)

Vậy ( P∆ABC )Min = 4 4 2 + 2 2( 2 − 1)
2
1
Dấu “=” xảy ra khi AI=BI ⇔ a − 1 = 2 2 a − 1 ⇔ a = 1 + 4
2

Vậy điểm M cần tìm là M (1 +

1
1
;2 + 4 2 + 4 )
2
2

4

Bài 8: Cho hàm số y = x 3 − 3x .
Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị,
biết các điểm thuộc đường thẳng y = 2 có dạng A(a,2)
Giải
Đường thẳng (d) đi qua A(a,2) với hệ số góc k có pt: y = k ( x − a ) + 2 (*)
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm
3


 x − 3 x = k ( x − a ) + 2(1)
 2

3 x − 3 = k (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

x3 − 3 x = (3x 2 − 3)( x − a ) + 2 ⇔ ( x + 1)[2 x 2 − (3a + 2) x + 3a + 2] = 0
x +1 = 0
⇔ 2
 2 x − (3a + 2) x + 3a + 2 = 0(3) = g ( x)


Để qua A kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì pt(3) có 2 nghiệm phân biệt
khác -1
a > 2
a > 2

∆ g > 0
(3a + 2) − 8(3a + 2) > 0
−2

⇔
⇔
⇔ a<
⇔
−2 (4)

−
1

≠
a
<
3

2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0
 g (−1) ≠ 0

3

a ≠ −1
2

Vậy những điểm A(a,2) trên đt y=2 có a thỏa mãn hệ (4) từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới
đồ thị
Bài 9. Cho hàm số y= x3+3x2+mx+1
Xác định m để đường thẳng (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt
C(0,1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 + 3 x 2 + m + 1 = 1

⇔ x 3 + 3x 2 + mx = 0 ⇔ x( x 2 + 3 x + m) = 0
Để (Cm) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì phương trình x 2 + 3 x + m = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác 0
9

 ∆ = 9 − 4m > 0
m <
⇔
4


x ≠ 0
m ≠ 0

Ta có y 'D . y 'E = −1
Mà y ' = 3 x 2 + 6 x + m
y ' D = 3 x D 2 + 6 xD + m
y 'E = 3 xE 2 + 6 xE + m
⇒ (3 xD 2 + 6 xD + m)(3xE 2 + 6 xE + m) = −1
⇔ 9 xD 2 xE 2 + 18 xD xE ( xD xE ) + 3m( xD 2 + xE 2 ) + 6m( xD + xE ) + 36 xD xE + m 2 = −1

Mà


 xD xE = m
⇒ 9m 2 + 18m( −3) + 3m(9 − 2m) + 6m(−3) + 36m + m 2 = −1

 x D + x E = −3
⇔ 4m 2 − 9m + 1 = 0
⇔m=

9 ± 65
(t / m)
8

PHẦN 2: KẾT LUẬN
1. Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn giữa dạng 1 và dạng 3 nên
trong quá trình giảng dạy cần phân biệt cho học sinh:
- Tại mỗi điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong đó.
- Qua một điểm có thể có ít nhất một tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp

tuyến).
1
2

Chẳng hạn như ở ví dụ 2 dạng 3 là hàm số y = x 4 − 3x 2 +

3
(C ) mà phải viết
2

 3
phương trình tiếp tuyến đi qua A  0;  .


2

- Lời giải đúng: (Đã trình bày).
- Lời giải chưa chính xác như sau:
Dễ dàng nhận thấy
y−

 3
A  0;  ∈ (C )
 2

⇒ phương trình tiếp tuyến tại A:

3
3
= 0( x − 0) ⇔ y = .

2
2

Lời giải này không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến
3
3
y = −2 2 x + ; y = 2 2 x + .
2
2


2. Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong cần phân
tích rõ các yếu tố cần thiết.
- Tọa độ tiếp điểm (xo; yo).
- Hệ số góc k = f'(xo).