Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử phonon quang) (toàn văn)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.46 MB, 71 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------²------
NGUYỄN THỊ HƯƠNG
ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2012
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------²------
NGUYỄN THỊ HƯƠNG
ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Đinh Quốc Vương
2
Hà Nội – 2012
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS.Đinh Quốc
Vương. Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình thực hiện
luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn vật lý lý thuyết – Khoa Vật Lý – trường Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học
tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ
nhiệm khoa Vật Lý, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 01 tháng 11 năm 2012
Học viên
Nguyễn Thị Hương
3
MỤC LỤC
MỤC LỤC....................................................................................................................4
MỞ ĐẦU......................................................................................................................5
Lý do chọn đề tài...................................................................................................5
Về phương pháp nghiên cứu...................................................................................7
Bố cục luận văn.......................................................................................................7
CHƯƠNG 1..................................................................................................................8
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN................................8
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG................8
BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH....................................8
1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần.....................................................................9
1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần............................................................9
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần............................................................................................................9
2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang).........12
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối........................12
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.12
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện
từ mạnh...........................................................................................................16
CHƯƠNG 2................................................................................................................20
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH
4
HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM
CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG).........20
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu mạng hợp
phần.......................................................................................................................20
2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
có kể đến sự giam cầm của phonon......................................................................21
3. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ
điện tử-phonon quang)..........................................................................................39
Chương 3.....................................................................................................................52
TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG.......................................................................52
HỢP PHẦN GaAs - Al0.3Ga0.7As VÀ BÀN LUẬN...............................................52
1. Tính toán số......................................................................................................52
Sử dụng công cụ toán học matlab chúng tôi thu được các kết quả sau:..............52
2. Bàn luận............................................................................................................55
KẾT LUẬN.................................................................................................................57
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................58
PHỤ LỤC...................................................................................................................60
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong một thế kỷ mà trên thế giới đang tích cực nghiên cứu
và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lấp đầy mọi nhu cầu
trong cuộc sống của con người, đó là công nghệ nanô. Chính xu hướng này làm cho vật
lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu.
5
Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp chiều đã
làm thay đổi hầu hết tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối các điện tử chuyển động
trong toàn mạng tinh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp chiều chuyển động
của điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục toạ độ. Phổ năng
lượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này. Chính sự lượng tử hoá phổ
năng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại lượng của hệ như: hàm phân bố, mật
độ trạng thái,…và do đó làm thay đổi tính chất của hệ điện tử. Nghiên cứu cấu trúc
cũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp
chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc thấp
chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba
chiều không có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các
linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện
đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện tử nói
riêng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệ
hiện đại, người ta đã chế tạo ra các cấu trúc hai chiều- hố lượng tử, các cấu trúc một
chiều- dây lượng tử, hay các cấu trúc không chiều- điểm lượng tử, với những thông
số phù hợp với mục đích sử dụng. Từ những cấu trúc này người ta lại có thể chế tạo
ra những cấu trúc thấp chiều khác. Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu
trúc tuần hoàn các hố lượng tử trong đó khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ
để có thể xảy ra hiệu ứng đường hầm. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi
cơ bản phổ năng lượng của điện tử, làm cho siêu mạng có một số tính chất chú ý mà
bán dẫn khối thông thường không có [1-13].
Tính chất quang của bán dẫn khối cũng như trong các hệ thấp chiều đã được
nghiên cứu [14-18]. Loại bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser)
lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được
công bố khá nhiều. Tuy nhiên, trong các công trình này, các tác giả mới chỉ xem xét đến
ảnh hưởng của điện tử giam cầm trong các hệ thấp chiều, bỏ qua ảnh hưởng của phonon
giam cầm. Do đó trong luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và giải quyết
đề tài “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của
phonon (trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang)"
6
Về phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam
cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử -phonon quang) có thể sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau như phương pháp Kubo – Mori, phương pháp chiếu toán
tử, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử,
phương pháp hàm Green … kết hợp với việc sử dụng một số phần mềm hỗ trợ.
Trong đề tài nghiên cứu này, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến
hành như sau:
Sử dụng phương pháp Phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới
sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon.
- Sử dụng chương trình toán học Matlab để đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụ
thuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng hợp phần
GaAs/Al0.3Ga0.7As.
Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có
kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
Chương 3: Tính toán số cho siêu mạng hợp phần GaAs / Al0.3Ga0.7 As và bàn luận.
Kết quả chính thu được trong luận văn là:
Dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm thì hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ của hệ, các tham
số đặc trưng cho cấu trúc của siêu mạng hợp phần, biên độ, tần số của sóng điện từ yếu và
của bức xạ laser. Các tính toán cũng chỉ ra rằng các quang phổ của hệ số hấp thụ phi tuyến
trong trường hợp phonon bị giam cầm rất khác so với trường hợp phonon không bị giam
cầm. Phonon giam cầm gây ra sự thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng và xác suất xảy ra cộng
hưởng lớn hơn so với trường hợp phonon không bị giam cầm.
7
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
8
1. Tng quan v siờu mng hp phn
1.1. Khỏi nim v siờu mng hp phn
Siờu mng hp phn l vt liu bỏn dn m h in t cú cu trỳc chun hai
chiu, c cu to t mt lp mng bỏn dn vi dy d 1, ký hiu l A, rng
A
vựng cm hp g (vớ d nh GaAs) t tip xỳc vi lp bỏn dn mng cú dy d 2
B
ký hiu l B cú vựng cm rng g (vớ d AlAs). Cỏc lp mng ny xen k nhau vụ
hn dc theo trc siờu mng (hng vuụng gúc vi cỏc lp trờn). Trong thc t tn
ti nhiu lp mng k tip di dng B/A/B/A, v rng ro th hp cỏc
lp mng k tip nhau nh mt h tun hon b sung vo th mng tinh th. Khi ú,
in t cú th xuyờn qua hng ro th di chuyn t lp bỏn dn vựng cm hp ny
sang lp bỏn dn cú vựng cm hp khỏc. Do ú, in t ngoi vic chu nh hng
ca th tun hon ca tinh th nú cũn chu nh hng ca mt th ph. Th ph ny
c hỡnh thnh do s chờnh lch nng lng gia cỏc cn im ỏy vựng dn ca
hai bỏn dn siờu mng, v cng bin thiờn tun hon nhng vi chu k ln hn rt
nhiu so vi hng s mng. S cú mt ca th siờu mng ó lm thay i c bn
ph nng lng ca in t. H in t trong siờu mng hp phn khi ú l khớ in
t chun hai chiu.
1.2. Hm súng v ph nng lng ca in t giam cm trong siờu mng
hp phn
Cỏc tớnh cht vt lý ca siờu mng c xỏc nh bi ph in t ca chỳng
thụng qua vic gii phng trỡnh Schodinger vi th nng bao gm th tun hon
ca mng tinh th v th ph tun hon trong siờu mng. Ph nng lng ca in
t trong siờu mng hp phn cú dng
r
n k = 2 ( cos k x d + cos k y d )
( )
(1.1)
Trong biu thc (1.1), l rng ca vựng mini; d=d 1+d2 l chu k siờu
mng; kx, ky l cỏc vộc t xung lng ca in t theo hai trc ta x,y trong mt
phng siờu mng. Ph nng lng ca mini vựng cú dng:
r
n k = n n cos k z d
( )
(1.2)
n là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức:
9
∆ n = −4 ( −1)
n
d0
εn
d − d0
{
exp − 2m∗ ( d − d 0 ) U 0 / h2
2
}
2m ( d − d 0 ) U 0 / h
∗
2
(1.3)
2
Trong công thức (1.3), d0 là độ rộng của hố thế biệt lập; U 0 = ∆ε c + ∆ε v là độ
A
B
sâu của hố thế biệt lập; ∆ε c = ε c − ε c là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử được
A
B
xác định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B; ∆ε v = ε v − ε v là
độ sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe
h2π 2 2
năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng; ε n =
n là các
2m∗d 2
mức năng lượng trong hố thế biệt lập.
k12 − k22
cos ( k z d ) = cos ( k1a ) sinh ( k2b ) −
sin ( k1a ) sinh ( k2b )
2k1k2
k1 =
(
1
∗2
2 m ( ) Es ( k z )
h
)
1/ 2
; k2 =
1/ 2
1
2m∗ ( ∆ ( r ) − ε s ( k z ) )
h
Từ đó ta có:
r
h2 k⊥2 h2π 2 n 2
εn k =
+
− ∆ n cos ( k z d )
2 m ∗ 2 m∗ d 2
( )
(1.4)
∆ ( r ) = ∆ε c + ∆ε v là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng
hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các
vùng dẫn ∆ε c và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị ∆ε v của hai lớp bán dẫn
kế tiếp. Vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên
độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể . Do đó,
ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng.
Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ
năng lượng có thể tìm thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng
năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:
h2 2
− ∗ ∆ ψ ( r ) + ∆ ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
2m
10
Vì ∆ ( r ) là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử ψ ( r ) có dạng hàm Block
thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng
tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng
liên kết mạnh) có dạng.
r
ψ r =
( )
Nd
1
exp i ( k x x + k y y ) ∑ exp ( ik z md )ψ s ( z − md )
Lx Ly N
m =1
(1.5)
Trong đó, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N d là chu kỳ và
số chu kỳ siêu mạng hợp phần; ψ s ( z ) là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần
Phonon bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần thì phổ năng lượng của
phonon chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, chuyển động của phonon bị giới
hạn theo trục z làm ảnh hưởng đến thừa số dạng và hằng số tương tác điện tử phonon. So với trường hợp phonon không bị giam cầm thì trường hợp giam cầm bị
lượng tử hóa và thêm chỉ số giam cầm của phonon m khi đó thừa số dạng và hằng
số tương tác được biểu diễn bằng biểu thức:
+ I nm,n ' (
mπ
N .d
i
z
mπ
) = ∫ ψ n∗' ( z − jd )ψ n ( z − jd )e L dz : Thừa số dạng điện tử
0
L
trong siêu mạng hợp phần, d: chu kỳ của siêu mạng.
+
C
r
q
2
=
2π e 2 hω0
2 mπ 2
ε q⊥ +
÷ VO
L
1
1
− ÷
χ∞ χ0 :
Hằng số tương tác điện tử-
phonon cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang.
VO : Thể tích chuẩn hóa (chọn VO = 1 )
ε : Hằng số điện.
χ ∞ : Độ điện thẩm cao tần
χ 0 : Độ điện thẩm tĩnh.
11
2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường
hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
H = H e + H ph + H e − ph
(1.6)
Với:
+ He =
e
∑ε p − c A(t ) a
p
+
p
ap
+
H ph = ∑ ωqbq+bq
+
H e − ph = ∑ Cq a +p + q a p bq + b−+q
q
(
q, p
)
au+pr , aupr lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
+
{aupr , au+pr '} = {aupr ' , au+pr }=δ upr ,upur' ; [au+pr , au+pur' ]=[aupr , aupr ' ] = 0
bqr+ , bqr lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
+
[bupr , bup+ur' ] = δ upr ,upur' ; [bup+r , bup+ur' ]=[bupr , bupr ' ] = 0
+
Cqr : hằng số tương tác điện tử - phonon.
+
ur e ur
ε p − A(t ) ÷ là hàm năng lượng theo biến
hc
ur e ur
A(t ) ÷
p−
hc
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
i
∂n p (t )
∂t
[
= a +p a p , Hˆ
]
(1.7)
t
Hay
ih
∂n pr (t )
∂t
r r
r r
e r r r
r r r r
r
= a p+r a pr , ∑ ε p′ − A(t ) ÷a p+r ′a pr ′ + ∑ hωqrbqr+bqr + ∑ Cqr a p+r ′+qr a pr ′ (bqr + b−+qr )
r
r
r r
hc
p′
q
q , p′
Vế phải của phương trình trên có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
12
t
-
Số hạng thứ nhất:
r e ur +
+
uu
u
r
u
r
st1 t = a p a p ; ∑
ε p ' − A(t ) ÷aupur'aupr '
uu
r
hc
p'
-
=0
t
Số hạng thứ hai:
+
r br br
sh2 t = au+pr aupr ; ∑
h
ω
q q q
r
q
-
=0
t
Số hạng thứ ba:
+
+
r auu
r r auu
r br + b r
sh3 t = au+pr aupr ; ∑
C
q
−q
r uu
r q p '+ q p '
q, p '
(
∑C
sh3 t =
=∑
Cqr
r
q
r uu
r
q, p '
r
q
( aa
(a a δ
+
ur ur ur uu
r r
p p ' p , p '+ q
+
ur ur r r
p p−q q t
b
)
=
t
∑C
r uu
r
q, p '
r
q
(
au+r aur ; au+ur r auur br + b +r
p p p '+ q p ' q − q
)(
− au+pr '+ qr auprδ upr ,upur' bqr + b−+qr
+ au+pr aupr − qr b−+qr
t
− au+pr + qr aupr bqr
t
)
t
− au+pr + qr auprb−+qr
t
)
t
)
=∑
Cqr Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr +qr ,upr ,qr (t ) − Fupr*,upr +qr ,− qr (t )
r
q
Với Fp
1 , p2 , q
(t ) = a +p a p bq
1
2
t
Vậy phương trình (1.7) trở thành:
ih
∂nupr (t )
∂t
=∑
Cqr Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr , upr ,− qr (t ) − Fupr +qr ,upr ,qr (t ) − Fupr*, upr +qr ,− qr (t )
r
q
Hay
∂nupr (t )
∂t
=−
i
Cqr Fupr , upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr +qr ,upr ,qr (t ) − Fupr*,upr + qr ,− qr (t )
∑
r
h q
(1.8)
Để giải (1.8) ta đi tính Fp , p , q (t ) bằng cách sử dụng phương trình động lượng
1
2
tử cho nó:
i
∂Fp , p , q (t )
1
2
∂t
[
= a +p a p bq ; H
1
2
]
(1.9)
t
Tính toán các số hạng trong vế phải của (1.9) rồi tiến hành giải phương trình
vi phân ta thu được:
13
ih
∂Fupur, upur ,qr (t )
1
2
∂t
uu
r
r ur
he uur uu
uur
= ε ( p2 ) − ε ( p1 ) − * p2 − p1 A(t ) + hωqr Fupur,upur ,qr (t ) +
mc
1 2
(
(
+∑
Cquur au+puraupur −qr bqr bquur + b−+quur
uu
r
q1
1
1
2
1
1
1
)
t
)
(
)
−∑
Cquur au+pur+qr aupur bquur + b−+quur bqr
uu
r
1
q1
1
1
2
1
1
t
(1.10)
Giải (1.10) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được:
(
t
F
uur uur r
p1 , p2 , q
)
i
(t ) = ∑
Cquur ∫ au+pur+ quuraupur bquur + b−+uqur bqr
uu
r
1
h q1 1 −∞ 1 1 2 1
(
− au+puraupur −quurbqr bquur + b−+quur
1
t2
2
1
1
1
)
×
t2
t u
u
r uur ur
i
ie
× exp ε upur − ε upur − hωqr ( t − t2 ) − * ∫ p1 − p2 A(t1 )dt1 dt2
1
2
m c t2
h
(
)
(
)
(1.11)
Thay (1.11) vào (1.8) và thực hiện một vài phép biến đổi ta thu được:
∂nupr (t )
=
∂t
1
2
r | ×
|
C
2 ∑
q
h qr
t
t
i
ie rur
× ∫ dt ' nupr −qr (t ') N qr − nupr (t ')( N qr + 1) × exp ε upr − ε upr −qr − hωqr ( t − t ' ) −
q A(t1 )dt1 +
∫
mc t '
−∞
h
t ru
r
i
ie
+ nupr −qr (t ')( N qr + 1) − nupr (t ') N qr × exp ε upr − ε upr −qr + hωqr ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
1
1 −
mc ∫t '
h
t
i
ie r ur
− nupr (t ') N qr − nupr +qr (t ')( N qr + 1) × exp ε upr + qr − ε upr − hωqr ( t − t ' ) −
q A(t1 )dt1 −
∫
mc t '
h
t
i
ie r ur
u
r
r
u
r
r
r
u
r
r
u
r
r
− n p (t ')( N q + 1) − n p + q (t ') N q × exp ε p + q − ε p + hωq ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
1
1
mc ∫t '
h
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(1.12)
+
+
Với: N qr = bqr bqr ; N qr + 1 = bqrbqr
Thay: A(t ) =
Eo1c
E c
cos Ω1t + o 2 cos Ω 2 t
Ω1
Ω2
và áp dụng khai triển: exp(±iz sin ϕ ) =
14
+∞
∑ J α ( z ) exp(±iαϕ ) ta có:
α = −∞
uuu
rr
uuur r
−ie t r ur
ieEo1 q
ieEo 2 q
exp
q A(t1 )dt1 ÷ = exp
sin Ω1t '− sin Ω1t ) +
sin Ω 2t '− sin Ω 2t )
2 (
2 (
∫
mΩ 2
mc t '
mΩ1
uuu
rr
uuu
rr
+∞
eE q eE q
= ∑ J l o1 2 ÷J s o12 ÷exp(isΩ1t ')exp(−ilΩ1t ) ×
l , s =−∞
mΩ1 mΩ2
uuurr
uuur r
+∞
eEo 2 q eEo 2 q
× ∑ Jf
J
exp(imΩ 2t ')exp( −if Ω 2t )
2 ÷ m
2 ÷
f ,m =−∞
mΩ1 mΩ2
Đặt: a1 =
e Eo1
;
mΩ12
a2 =
e Eo 2
thì:
mΩ 22
+∞
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
−ie t r ur
exp
q
A
(
t
)
dt
=
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑, f =−∞ l 1 s 1 m 2 f 2 q ×
1
1÷
∫
mc
l
,
s
,
m
t'
× exp{ i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t} exp { −i ( sΩ1 + mΩ 2 )(t − t ')}
( ) ( ) ( ) ( )
Thay kết quả này vào (1.5) và đưa vào thừa số: e-δ(t-t’) (δ→+0) xuất hiện do giả
đoạn nhiệt của tương tác ta có:
∂nupr (t )
∂t
t
+∞
ur r
urr
uu
rr
uurr
1
2
r
= 2∑
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑
l
1
s
1
m
2
f
2 q × exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f ) Ω 2 ] t }
h qr q l ,s ,m, f =−∞
( ) ( ) ( ) ( )
{
(
)
i
× ∫ dt ' nupr − qr (t ') N qr − nupr (t ')( N qr + 1) × exp ε upr − ε upr − qr − hω qr − shΩ 1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ' ) +
h
−∞
(
)
i
+ nupr − qr (t ')( N qr + 1) − nupr (t ') N qr × exp ε upr − ε upr − qr + hω qr − shΩ 1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ' ) −
h
(
)
(
)
i
− nupr (t ') N qr − nupr +qr (t ')( N qr + 1) × exp ε upr +qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ' ) −
h
i
− nupr (t ')( N qr + 1) − nupr +qr (t ') N qr × exp ε upr +qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ' )
h
(1.13)
(1.13) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của
điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E 1 (t ) và E 2 (t ) . Ta giải
(1.13) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t ) ≈ n p , ta được:
15
nupr (t ) =
+∞
ur r
urr
uu
rr
uu
r r exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t}
2
1
r |
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
×
∑
∑
l
1
s
1
m
2
f
2q ×
q
h qr
[ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ]
l , s ,m , f =−∞
( ) ( ) ( ) ( )
n upr −qr N r − n upr ( N r + 1)
n upr −qr ( N r + 1) − n upr N r
q
q
q
q
×
+
−
ur − ε ur r − hω r − shΩ − mhΩ + ihδ
ur − ε ur r + hω r − shΩ − mhΩ + ihδ
ε
ε
1
2
1
2
p
p −q
q
p
p −q
q
n upr N r − n upr + qr ( N r + 1)
n upr ( N r + 1) − n upr +qr N r
q
q
q
q
−
−
ε upr + qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ
(1.14)
+ Mật độ dòng hạt tải:
ur
eh ur e ur ur
J (t ) = * ∑
p − A(t ) ÷n p (t )
m upr
hc
ur
−e2 ur ur
eh ur ur
−e2 no ur
eh ur ur
J
(
t
)
=
A
(
t
)
n
(
t
)
+
pn
(
t
)
=
A
(
t
)
+
hay:
∑
∑ p
∑ pn p (t )
p
m*c upr
m* upr
m*c
m* upr
với
∑n
p
p
(t ) = no
Thực hiện các phép biến đổi và tính toán ta được:
[
] ( ) ( )
+∞
n p+q N q − n p ( N q + 1)
− e 2 no
e
2
J (t ) =
A(t ) +
| Cq | ∑ q
J s a1 q J m a2 q ×
∑
mc
m * q, p
[ kΩ1 + rΩ 2 ]
k , s ,m ,r = −∞
ρ cos[ (kΩ1 + rΩ 2 )t ]
× J k + s a1 q J r +m a2 q − J s−k a1 q J m−r a2 q
−
ε
−
ε
+
ω
−
s
Ω
−
m
Ω
1
2
p +q
p
q
[ ( ) ( )
( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
× δ (ε − ε + ω − s Ω − m Ω )
− J k +s a1 q J r +m a2 q + J s −k a1 q J m−r a2 q π sin[ (kΩ1 + rΩ 2 )t ] ×
p +q
p
q
1
2
(1.15)
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng
điện từ mạnh
+ Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả
thiết Ω 2 < Ω1 như sau:
α=
8π
J (t ) E o 2 sin Ω 2t
c χ ∞ Eo22
(1.16)
t
16
+ Thay (9) vào (10) và tính toán ta thu được:
8π 2Ω 2
α=
c χ ∞ E o22
+∞
∑∑
r ur
q , p s ,m =−∞
ur r
uu
rr
|Cqr | n upr ( N qr + 1) − n upr + qr N qr mJ s2 a1 q J m2 a2 q ×
2
( ) ( )
(
×δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2
)
(1.17)
+ Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có: ωqr ≈ ω0
2π hωo e2 1
1
=
−
÷
ε oq2 χ∞ χo
2
C
r
q
+ Hạn chế trong gần đúng bậc hai của hàm Bessel suy ra:
r r 2
16π 3e 2 hω0Ω2 1
1
1 a 2 q ur r
ur r
α=
− ÷∑
r2
÷ n p ( N q + 1) − n p + q N qr ×
2
r
cε 0 χ ∞ E02 χ ∞ χ 0 q q 2
r r 2
a
1q
÷× δ ε r r − ε r + hω r − hΩ − δ ε ur r − ε ur + hω r + hΩ +
× 1 −
p
2
2
p+q
q
p+q
p
q
2 ÷
÷
( )
r r
( a q)
+
1
4
2
(
) (
(
)
) (
)
× δ ε upr + qr − ε upr + hωqr + hΩ1 − hΩ 2 − δ ε upr + qr − ε upr + hωqr + hΩ1 + hΩ 2 +
(
)}
) (
+δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − hΩ1 − hΩ 2 − δ ε upr +qr − ε upr + hωqr − hΩ1 + hΩ 2
(1.18)
+ Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn
shΩ1 + mhΩ 2 − hωqr << ε
Với:
ξ s ,m = hωqr − shΩ1 − mhΩ2 ; ∆
s ,m
Hệ số hấp thụ có dạng:
17
r2
hq
= ξ s ,m +
2 m∗
2
uu
rr 2
16hπ 3e 2Ω2ωo 1
1
1 a2 q ur r r
ur
α=
− ÷∑
÷ n p +q N q − n p ( N qr + 1) ×
2
2
ur r
c χ ∞ E o ε o χ ∞ χ o p ,q q 2
r r 2
ur r 2
ur r
urr
2
2
a1 q
aq
δ ∆ + h pq − δ ∆ + h pq + 1
× 1 −
×
0,−1
∗ ÷
∗ ÷
0,1
2
m
m
4
( )
( )
ur r
ur r
ur r
ur r
h2 pq
h2 pq
h2 pq
h2 pq
× δ ∆ −1,1 +
− δ ∆ −1,−1 +
+ δ ∆1,1 +
− δ ∆1,−1 +
÷
∗ ÷
∗ ÷
∗ ÷
m
m
m
m∗
(1.19)
+ Ta xét tổng sau:
Ds ,m
uu
rr 2
ur r
2
1 a2 q ur r r
h
pq
ur
r + 1) ×δ ∆
=∑
n
N
−
n
(
N
+
p
+
q
p
÷
s
,
m
2
∗
q
q
ur r
m
p, q q 2
(1.20)
Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của (1.20) ta được:
Ds ,m =
ξ s ,m | ξ s , m |
ξ s ,m
1 m*n0 a2 2 r
K
(1.21)
÷
N q − N qr + 1 exp
× exp −
6
2
÷ 0 2k T ÷
÷
(2π ) h 4
k BT
2
k
T
β
β
(
+
)
Tính toán tương tự như trên ta được:
H s ,m
r r 2
ur r
2
ur r 2
a 2 q uur
1
h
pq
uu
r ur
r + 1 − nq+ p N r
=∑
n
N
a
q
δ
∆
+
p
÷
s ,m
÷
1
q
q 2
uu
r ur
q
m*
p, q 2
(
)
( )
12
ξ s ,m 4m*2ξ s2,m
ξ s ,m
| ξ s ,m |
1 m*n0 a2 2 r 2 r
r + 1 exp
=
a
N
−
N
×
exp
1
−
÷
÷ K1
÷ (1.22)
q
6
2
4
q
÷
(2π ) h 4
k BT
2k BT
2k β T h
(
+
)
Sử dụng (1.21) và (1.22) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta được:
16hπ 3e 2Ω 2ωo 1
1
1
α=
−
D
−
D
−
(
)
( H 0,1 − H 0,−1 ) +
÷
0,1
0, −1
2
c χ ∞ E o2ε o χ ∞ χ o
+
1
H −1,1 − H −1,−1 + H1,1 − H1,−1 )
(
4
18
(1.23)
Biểu thức (1.23) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối.
Kết quả này sẽ được sử dụng để so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần được nghiên cứu trong các chương tiếp theo.
19
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG
HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG
HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu
mạng hợp phần
Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lượng tử hoá. Gọi z
là trục lượng tử hoá. Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng
hợp phần có dạng:
H = H e + H ph + H e− ph
(2.1)
Với:
e ur + ur ur
ur
H
=
ε
p
−
A(t ) ÷an , p an , p
+ e ∑
ur
n ⊥ hc
⊥
⊥
n, p ⊥
H =
+ ph
∑ hω b
r
m ,q ⊥
+ H e− ph =
r
q
+
r
r
m ,q ⊥ m , q ⊥
∑ ∑
r
ur
m , q ⊥ n ,n ' , p ⊥
b
Cm ,qr I nm,n ' (
⊥
mπ +
)a ' ur r a n , upr (bm ,qr + bm+ ,− qr )
⊥
⊥
L n , p ⊥ + q⊥ ⊥
ur
+
a
a
ur
u
r
n
,
p⊥ .
+ n , p , n , p ⊥ : Toán tử sinh, hủy điện tử giam cầm ở trạng thái
⊥
r
+
+ bm ,qr ⊥ , bm ,qr⊥ : Toán tử sinh hủy phonon giam cầm ở trạng thái m, q ⊥
ur
+ p ⊥ : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu
mạng hợp phần.
+
ω r : Tần số của phonon quang.
q
+
ε n,upuur : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng phợp phần.
⊥
ur
+ A(t ) : Thế vectơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện
ur
ur
từ E1 (t ) và E 2 (t ) .
20
ur
ur
ur
ur
ur
ur
1 ∂ A(t )
E (t ) = E1 (t ) + E 2 (t ) = E 01 sin ( Ω1t ) + E 02 sin ( Ω 2t ) = −
c ∂t
ur
ur
ur
E 01c
E 02c
cos ( Ω1t ) +
cos ( Ω 2t )
Suy ra: A(t ) =
Ω1
Ω2
2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần có kể đến sự giam cầm của phonon
+
Gọi nn ,upu⊥ur (t ) = an, upr ⊥ an, upr ⊥
t
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
ih
∂nn ,upuur (t )
⊥
∂t
Hay
ih
= an+,upuuran ,upr , H
⊥ ⊥
∂nn ,upuur (t )
⊥
∂t
+∑
hω qr bm+ ,qr bm,qr +
r
⊥
m ,q ⊥
⊥
+
uuu
r
ur
n , p⊥ n , p ⊥
= a
∑∑
r
ur
m ,q ⊥ n ,n' , p ⊥
(2.2)
t
a
e ur +
ur '
,∑
ε n' p − A(t ) ÷a ' ur' a ' ur' +
ur
⊥ hc
n , p⊥ n , p⊥
n' , p '⊥
Cm,qr I nm,n ' (
⊥
mπ +
)a ' ur r a n , upr (bm,qr + bm+ ,− qr )
⊥
⊥
L n , p ⊥ +q⊥ ⊥
t
Vế phải của phương trình trên có 3 số hạng, ta lần lượt tính từng số hạng:
Số hạng thứ nhất:
+
e ur +
ur '
sh1 = a n ,upr a n ,upr , ∑
ε n' p − A(t ) ÷a ' ur' a ' ur'
ur
'
⊥
⊥
⊥ hc
n , p ⊥ n , p⊥
n , p '⊥
t
Ta có:
+
e ur +
ur'
u
r
u
r
ε n' p ⊥ − A(t ) ÷a ' ur' a ' ur' =
an, p an , p , ∑
ur
⊥
hc
n , p⊥ n , p ⊥
⊥
n' , p '⊥
e ur + ur ur +
ur
= ∑ ε n' p ' −
A(t ) ÷ an , p an , p , a ' ur' a ' ur' =
n , p⊥ n , p⊥
r
⊥
⊥ hc
⊥
n ', p⊥'
e ur + ur
ur '
= ∑
ε ' p − A(t ) ÷ an, p a ' ur' δ n ,n'δ ur ur' − a +' ur' an,upr δ n,n'δ ur ur' =
u
r
p⊥ , p⊥
n , p⊥
p⊥ , p⊥
⊥
n ⊥ hc
⊥ n , p⊥
n' , p '⊥
21
r
e
r
e
= ε n ( p⊥ −
A(t )) an+, pr⊥ an , pr⊥ − ε n ( p⊥ − A(t ))an+, pr⊥ an , pr⊥ = 0
hc
hc
Vậy:
sh1 t = 0
(2.3)
Số hạng thứ 2:
+
+
u
r
u
r
r
r
sh 2 t = an , p an , p , ∑
hω r bm ,q bm ,q
r
⊥ ⊥ m ,q⊥ q ⊥ ⊥
=0
(2.4)
t
Số hạng thứ 3:
+
mπ +
m
+
u
r
u
r
r
r
r
sh3 = an , p an , p , ∑
∑uuurCm,q I n1 ,n2 ( L )a n2 ,upr'⊥ +qr⊥ a n1 ,upr'⊥ (bm,q⊥ + bm,−q⊥ )
r
⊥ ⊥ m,q ⊥ n1 ,n2 , p⊥'
Ta có:
+
mπ +
m
+
rI
r +b
r ) =
C
(
)
a
a
(
b
an ,upr an,upr , ∑
∑uuur m,q n1 ,n2 L n2 ,upr'⊥ +qr ⊥ n1 ,upr'⊥ m,q⊥ m,−q⊥
r
⊥ ⊥ m ,q⊥ n1 ,n2 , p⊥'
=
=
∑ ∑
m
rI
C
(
n
m
,
q
1 , n2
uuu
r
r
m ,q ⊥ n1 , n2 , p⊥'
∑C
uu
r
n1 ,q ,m
m
r
m ,q n ,n1
I
(
mπ + ur
)an , p an ,upr −qr (bm,qr + bm+ ,− qr ) −
1 ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
L
m
rI
−∑
C
(
n
m ,q , n2
uu
r
n2 ,q ,m
Chuyển
mπ + ur ur +
) an , p an , p , a n , upr ' + qr a n ,upr ' (bm ,qr + bm+ ,− qr ) =
⊥
⊥
L ⊥ ⊥ 2 ⊥ ⊥ 1 ⊥
mπ +
)a n , upr + qr an ,upr (bm ,qr + bm+ ,− qr )
⊥
⊥
⊥
L 2 ⊥ ⊥
n2 → n1 :
+
mπ +
m
+
rI
r +b
r ) =
C
(
)
a
a
(
b
an ,upr an,upr , ∑
∑uuur m,q n1 ,n2 L n2 ,upr'⊥ +qr ⊥ n1 ,upr'⊥ m,q⊥ m,− q⊥
r
⊥
⊥
m ,q ⊥ n1 , n2 , p⊥'
=
∑C
uu
r
n1 , q ,m
m
r
m , q n ,n1
I
(
m
rI
−∑
C
n
, n1 (
m
,
q
uu
r
n1 ,q ,m
mπ + ur
)an , p an ,upr −qr (bm ,qr + bm+ ,− qr ) −
1 ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
L
mπ +
)a n , upr + qr an ,upr (bm ,qr + bm+ ,− qr )
⊥
⊥
⊥
L 1 ⊥ ⊥
22
t
n1 → n ' ta có:
Tiếp tục chuyển
sh3 t =
∑C
uu
r
n ', q ,m
m
r
m ,q n ,n '
I
{(
)
(
mπ
(
) an+, upr an' ,upr − qr bm,qr + a +' ur r an,upr bm ,− qr
⊥
⊥
⊥
⊥
n , p⊥ −q ⊥
t
L
)−
)
(
∗
+
+
u
r
r
u
r
u
r
r
r
− a ' ur r an , p bm ,q ÷ − an , p an' , p +q bm,− q
⊥
⊥
⊥
⊥
t
n , p ⊥ +q ⊥
t
∗
t
(2.5)
Thay (2.3), (2.4),(2.5) vào (2.2) ta được:
ih
∂nn ,upr (t )
m
rI
=−∑
C
n
,n ' (
m
,
q
uu
r
⊥
∂t
Fn∗,upr
n ',q ,m
ur r
r
'
⊥ ,n , p ⊥ + q ⊥ ,− q ,m
(t ) − Fn ,upr
{
mπ
) × Fn' ,upr +qr ,n ,upr ,qr ,m (t ) +
⊥
⊥
⊥
L
ur r r
'
⊥ , n , p ⊥ − q ⊥ ,q , m
(t ) − Fn∗' ,upr
r
ur
r
⊥ − q ⊥ ,n , p ⊥ , − q ,m
}
(t )
Hay
∂nn ,upr (t )
∂t
+ Fn∗,upr
{
i
mπ
m
rI
C
(
) Fn' ,upr + qr ,n ,upr ,qr ,m (t ) +
∑
m , q n ,n '
uu
r
⊥
⊥
⊥
h n ',q ,m
L
=
⊥
ur r
r
⊥ ,n , p ⊥ + q ⊥ ,− q , m
'
(t ) − Fn ,upr
ur r r
⊥ ,n , p ⊥ − q ⊥ , q , m
'
(t ) − Fn∗' ,upr
r
ur
r
⊥ − q ⊥ ,n , p ⊥ , − q , m
}
(t )
(2.6)
Với :
Fn ,upr ,n , upr
1
2
1
r
2 ,q ,m
(t ) = an+ , upr an ,upr bm,qr .
1 1
2
2
t
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động
lượng tử cho nó:
ih
∂Fn , upr ,n ,upr
1
2
1
r
2 ,q , m
(t )
∂t
= an+ ,upr an ,upr bm ,qr , H
1 1 2 2
(2.7)
t
Hay
ih
∂Fn ,upr ,n ,upr
1
1
2
r
2 ,q ,m
∂t
+ ∑r hω qr bm+ ,qr bm ,qr +
m ,q1
1
1
1
(t )
e ur + ur ur
ur
= an+ ,upr an ,upr bm ,qr , ∑
ε
p
−
A(t ) ÷an , p an , p +
ur
n ⊥ hc
⊥
⊥
n, p ⊥
1 1 2 2
∑
ur r
n3 ,n4 , p ⊥ ,q1 , m
Cm ,qr I nm3 ,n4 (
1
mπ +
)a n , upr + qr an ,upr (bm ,qr + bm+ ,− qr )
3
1
1
4 ⊥
⊥
⊥
L
t
Vế phải của phương trình trên có 3 số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng:
23
-Số hạng thứ nhất:
e ur + ur ur
ur
sht1 t = an+ ,upr an ,upr bm ,qr , ∑
ε
p
−
A(t ) ÷an , p an , p
⊥
ur
1 1
2
2
n
⊥
⊥
h
c
n, p ⊥
=
t
)
(
ur ur
he ur
sht1 t = ε n ,upr − ε n ,upr −
p − p A(t ) Fn ,upr ,n ,upr ,qr ,m (t )
2
1 1
1 1 2
2
1
2
m∗c 2
-
(2.8)
Số hạng thứ hai:
+
r b r
sht 2 t = an+ ,upr an , upr bm ,qr , ∑
h
ω
r b
r
q1 m , q1 m , q1
1 1
2
2
q1 ,m
sht 2 t = hω qr Fn ,upr ,n ,upr
1
-
2
1
r
2 ,q ,m
=
t
(t )
(2.9)
Số hạng thứ ba:
sht 3 t = an+ ,upr an ,upr bm ,qr ,
1 1 2 2
mπ +
m
+
r I
ur (b r + b
r )
C
(
)
a
ur
r a
∑
n
,
n
m
,
q
n
,
p
m
,
q
m
,− q1
3
4
ur r
n4 , p + q ⊥
3
1
1
⊥
⊥
L
n3 ,n4 , p ⊥ ,q1 ,m
sht 3 t =
−
∑
r
n3 ,q1 ,m
∑
r
n4 ,q1 ,m
Cm,qr I nm2 ,n3 (
1
Cm,qr I nm1 ,n4 (
1
(
n4 ,m
+
Do an4 ,upr
r
−q⊥
⊥
(
mπ
) an+ ,upr an ,upr −qr bm,qr bm ,qr + bm+ ,− qr
1 1
3 2
1
1
⊥
L
mπ
) an+ ,upr −qr an ,upr an+ ,upr an ,upr
4
1 1
1 1
2
⊥
2
⊥
L
an ,upr an+ ,upr an ,upr
1
)
mπ
) an+ ,upr + qr an ,upr bm ,qr + bm+ ,− qr bm ,qr
4 1
2 2
⊥
1
1
L
+ ∑ C− qr ,m I nm1 ,n4 (−
1
t
1
1
2
2
t
t
)
t
−
+
t
≈ n 2 pr <<1 nên ta bỏ qua số hạng này
Suy ra:
sht 3 t =
−
∑
r
n4 ,q1 ,m
∑
r
n3 ,q1 ,m
Cm ,qr I nm2 ,n3 (
Cm,qr I nm1 ,n4 (
1
1
(
mπ
) an+ ,upr an ,upr −qr bm,qr bm ,qr + bm+ ,− qr
1 1
3 2
1
1
⊥
L
(
)
mπ
) an+ ,upr + qr an ,upr bm,qr + bm+ ,− qr bm ,qr
4 1
2
⊥
2
1
1
L
24
t
)
t
−
(2.10)
Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.7) ta được:
ih
+
−
∂Fn ,upr ,n ,upr
1
2
1
r
2 ,q ,m
(t )
∂t
)
(
ur ur
he ur
= ε n ,upr − ε n ,upr −
p − p A(t ) + hω qr Fn ,upr ,n ,upr ,qr ,m (t ) +
2
1 1
1 1 2
2
2
1
m∗c 2
(
)
∑
Cm,qr I nm2 ,n3 (
mπ
) an+ ,upr an ,upr −qr bm,qr bm,qr + bm+ ,− qr
1 1
3 2
1
1
⊥
L
∑
Cm ,qr I nm1 ,n4 (
mπ
) an+ ,upr + qr an ,upr bm ,qr + bm+ ,− qr bm ,qr
4 1
2
⊥
2
1
1
L
r
n3 ,q1 ,m
r
n4 ,q1 ,m
1
1
(
−
t
)
(2.11)
t
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
ih
∂Fn0,upr ,n , upr
1
1
2
r
2 ,q ,m
(t )
∂t
(
)
ur ur
he ur
= ε n ,upr − ε n ,upr −
p − p A(t ) + hω qr Fn0,upr ,n ,upr ,qr ,m (t )
2
1 1
1 1 2
2
2
1
m∗c 2
(2.12)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln Fn1 ,upr1 ,n2 , upr 2 ,qr ,m (t )
t =−∞
= 0 , dễ dàng tính được
nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:
0
ur
ur r
n1 , p1 , n2 , p 2 , q ,m
F
(
)
ur ur
-i t
he ur
(t ) = exp ∫ ε n ,upr − ε n ,upr −
p − p A(t1 ) + hω qr dt1
1 1
1
h −∞ 2 2
m∗c 2
(2.13)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp
biến thiên hằng số. Đặt:
Fn ,upr ,n ,upr
1
1
2
r
2 ,q ,m
(t ) = M ( t ) Fn0,upr ,n ,upur ,qr ,m (t )
1
1
2
(2.14)
2
Suy ra:
ih
Fn ,upr ,n ,upr
1
1
2
r
2 , q ,m
∂t
(t )
0
=F
0
ur
ur r
n1 , p1 ,n2 , p 2 ,q ,m
Fn ,upr ,n ,upr ,qr ,m (t )
∂M (t )
1 1 2
2
(t ) ih
÷+ M (t )ih
∂t
∂t
(2.15)
Thay (12), (13) vào (15) rồi so sánh với (11) ta được kết quả sau:
∂M (t ) i
mπ
m
r I
= ∑
C
(
) an+ ,upr +qr an ,upr bm,qr + bm+ ,− qr bm ,qr
n
,
n
m ,q1 1 4
r
4
2
⊥
2
1
1
1
∂t
h n4 ,q1 ,m
L
(
25
)
t
−
