Luận văn thạc sĩ điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN TUYÊN

ĐIỀU KIỆN cực TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH
TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ Tự SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGUYỄN VĂN TUYÊN

ĐIỀU KIỆN cực TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH

HÀ NỘI - 2016


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ Tự SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN Sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI - 2016

Lời cam đoan
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy.
Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong bất kỳ công
trình khoa học nào của ai khác.
Tác giả luận án

Nguyễn Văn Tuyên


Tóm tắt
Luận án trình bày một số kết quả mới về điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy
rộng.
Luận án gồm 3 chương. Chương 1 nghiên cứu một số đặc trưng của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng
như: mối quan hệ của khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển, sự tồn tại nghiệm và một số
tính chất tôpô của tập nghiệm. Chương 2 nghiên cứu về các điều kiện cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng.
Chương 3 nghiên cứu tính chất ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối.
Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo
thứ tự suy rộng. 2) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng. 3) Thiết lập các
điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các
điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ lồi. 4) Một số tính
chất tôpô như tính đóng, tính trù mật của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho
sự hội tụ trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painleve của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho
tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối.

Abstract

This thesis presents some new results on the optimality conditions and the stability analysis in vector
optimization with generalized order.
The thesis consists of three chapters. Chapter 1 investigates some characterizations of the optimal

solution with generalized order optimality such as: compares this notion with the traditional notions, the existence solution and some topological properties of solution set. Chapter 2 establishes some optimality conditions
for vector optimization problems with generalized order. The goal of Chapter 3 is to deal with the stability
analysis of a vector optimization problem using the notion of relative Pareto efficiency.
The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized order
optimality. 2) Existence theorems in vector optimization with generalized order. 3) Some criteria for the
closedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optimality
conditions in convex vector optimization problems. 4) Some topological properties of the relative Pareto
efficient set. 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence in the sense of
Kuratowski-Painleve of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense
of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction.


Mục lục

6


Một số ký hiệu
N
R

tập các số tự nhiên
tập các số thực

1 := Ru {±00}
R

n

tập các số thực mở rộng không gian Euclide n-chiều
tập các véctơ không âm của Rn tập các véctơ không

Rn_
X*

dương của Rn
không gian đối ngẫu tôpô của không gian X

(x\x)

cặp đối ngẫu giữa X * và X

\\x 1

chuẩn của véctơ X

oo

Rn+

véctơ 0 trong không gian X
số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước

F :X =ĩY

ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F

miền xác định của F

gph F { x n } ,

đồ thị của F

(xn) Mx B

dãy số thực, hoặc dãy véctơ hình cầu đơn vị đóng trong X
hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho
trước

®p(z), B( x , p )

hình cầu đóng tâm X , bán kính p hình cầu mở tâm X ,

Bp{x), B(x,p)

bán kính p là tập tất cả các lân cận của điểm X là tập

J\í(x)

tất cả các lân cận cân của điểm X

NB{X)
3


Lim

giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

sup
N(x]
iï)
Ñ{x,n)

giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé - Kuratowski
nón pháp tuyến Mordukhovich của íĩ tại X

V/Or)

nón pháp tuyến Fréchet của íĩ tại X
đạo hàm Fréchet của / tại X
dưới vi phân Mordukhovich của / tại X

df(x)

dưới vi phân suy biến của / tại X

d°°f(

dưới vi phân Fréchet của / tại X

x)

đối đạo hàm Fréchet của F tại ( x , ỹ )

df(x)

đối đạo hàm Mordukhovich của F tại ( x , ỹ )

D ' F ( x , s)(-)
ß^Oi.SX-)
ÍÍ _
X —aị ãAc B

X — > X và X G
X — > X và f ( x ) — > f ( x )

An B

giao của hai tập hợp A và B

Au B

hợp của hai tập A và B

Ax B

tích Descartes của hai tập A và B

a — > ã và a ^ ã A là tập con của B

hiệu của hai tập A và B tổng véctơ của hai tập A

A\B A + B
int A

và B
phần trong của tập hợp A

ri A

phần trong tương đối của tập hợp A

A , cl A bd

bao đóng của tập hợp A biên của tập hợp A

(A) Ac

phần bù của tập hợp A

aff { A ) conv
(Ẩ) cone (Ẩ)
□

Mở đầu

bao aphin của tập hợp A bao lồi của tập hợp A
bao nón của tập hợp A kết thúc chứng minh


Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục tiêu
(Multicriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý
thuyết giá trị của F. Edgeworth (1881) và V. Pareto (1906). Cơ sở toán học của lý
thuyết này là những không gian có thứ tự được G. Cantor đưa ra năm 1897, F.
Hausdorff năm 1906 và những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không

gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó. Từ những năm 1950 trở lại đây, sau
những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H. w. Kuhn và A. w. Tucker
năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G. Debreu năm 1954, lý thuyết tối
ưu véctơ mới thực sự được công nhận là một ngành toán học quan trọng và có nhiều
ứng dụng trong thực tế.
Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ
đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác mà thứ tự
trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương. Sau đó người ta mở rộng cho
các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón lồi bất kì. Khái
niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian có thứ tự sinh bởi
nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất
tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý
tưởng, hữu hiệu thực sự... Nhiều nhà toán học có tên tuổi như J. M. Borwein,
M. I. Henig, J. Jahn, D. T. Luc... đã có những đóng góp quan trọng về sự tồn
tại của các điểm hữu hiệu loại này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các
lớp bài toán tối ưu khác


nhau.
Sau đó lý thuyết này được phát triển cho những bài toán liên quan tới ánh xạ đa
trị trong không gian vô hạn chiều. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được nhiều người đưa
ra từ những năm của nửa đầu thế kỷ 20 do nhu cầu phát triển của chính bản thân toán
học và nhiều lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị
dần dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị.

c.

Berge đã đưa ra các khái niệm khác nhau

về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Tương tự như vậy các

khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitz dưới cũng được đưa ra. Tiếp
theo là tính khả dưới vi phân của hàm số, dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của
hàm Lipschitz địa phương theo nghĩa của F. H. Clarke... Từ các khái niệm này người ta
tìm được những điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưu khác
nhau.
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quan trọng nhất khi
nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bài toán tối ưu véctơ. Sự tồn nghiệm
của bài toán tối ưu véctơ trong các không gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quan
tâm và nghiên cứu (xem [2,19,26-28,37,41,42,61,64,71,73] và các tài liệu trích dẫn
được trích dẫn trong đó). Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả về sự tồn tại
nghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các không gian véctơ tôpô với thứ tự sinh
bởi một nón lồi. Một kết quả cổ điển (xem, p. L. Yu [71]) chỉ ra rằng tập các điểm hữu
hiệu Min ( A \ , C ) khác rỗng nếu c là nón lồi đóng và A là tập compact. Tuy nhiên,
giả thiết về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn chiều.
Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểm hữu hiệu đã loại bỏ
được hạn chế về tính compact. Chẳng hạn, Định lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C - đ ầ y
đ ủ ( C - c o m p ỉ e t e ) để thay cho tính compact.
Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc nghiên cứu các
điều kiện cần và đủ cực trị. Để đưa ra các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu véctơ
không trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng. Chẳng hạn, M.
Pappalardo và w. Stõcklin [54] đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini - Hadamard để
đưa ra một số điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều

1
0


với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng. Với các khái niệm cơ bản như
n ó n p h á p t u y ế n không lồi của các tập hợp trong không gian Banach, dưới vi
phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm

Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát triển, lý thuyết vi phân suy rộng do
Giáo sư B. s. Mordukhovich khởi xướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứng
dụng quan trọng. Bộ sách [49,50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm
2006, đã nhanh chóng trở thành một tài liệu quan trọng, được nhiều người sử dụng. Bộ
sách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích không trơn, Giải tích đa trị, Lý
thuyết tối ưu, và ứng dụng.
Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị, tính ổn định
cũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưu véctơ và được nhiều nhà toán
học quan tâm. Trong các tài liệu, có hai hướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổn
định của bài toán tối ưu véctơ. Hướng thứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữu
hiệu của các tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước. Hướng thứ hai khi nghiên cứu
tính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm. Chẳng hạn, tính
nửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot
và Sterna-Karwat [55]. Luc, Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu tính sự hội tụ của
tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát.
Miglierina và Molho [47, 48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập các điểm
hữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài toán tối ưu véctơ lồi. Đối với hướng nghiên
cứu tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kết
quả trong [41,45]. Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệm
hữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trình bày trong các sách chuyên khảo [41,57]
và các bài báo (xem [11-15,23,24,55]). Bằng cách sử dụng các tính chất như tính chất
trội (domination property), tính chất bao hàm (containment property) và tính chất bao
hàm liên hợp (dual containment property) Bednarczuk [11-15] đã nghiên cứu các tính
chất nửa liên tục trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục
dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hữu hiệu. Gần
đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11,13] và đề xuất các khái niệm

1
1

mới tính chất bao hàm địa phương (local containment property), tính chất K- trội địa
phương (K- local domination property) và tính chất đóng địa phương đều (uniformly
local closedness) của một ánh xạ đa trị, Chuông, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết
quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian véctơ tôpô
Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk.
Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối ưu véctơ qua
các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều khái niệm nghiệm tối ưu
(nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm tối ưu xấp xỉ, ...) dưới một quan điểm
thống nhất nhờ tập hoàn thiện (xem [22,30]). Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện
đòi hỏi không gian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường.
Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu tương ứng với một
tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn là một vấn đề mở (xem [22,
Section 5]).
Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toán
quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A. Y.
Kruger và

B.s. Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu trích dẫn

được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng (hay
nghiệm (/; 0)-tối ưu địa phương), ở đó f : X —> z là một ánh xạ đơn trị giữa các
không gian Banach và tập sinh thứ tự 0 là một tập bất kì chứa gốc. Một điểm X
một nghiệm (/; 0)-tối ưu địa phương nếu tồn tại một

£

X được

gọi là

lân cận

u của X

và một dãy {Zfc} với ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa mãn:
f ( x ) ị f ( x ) — 0 — zk với mọi X £ u và k

£ N.

Nếu 0 là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì khái niệm nghiệm
tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ như nghiệm
Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50,67]).
Cần nhấn mạnh rằng, tập sinh thứ tự 0 không nhất thiết là tập lồi hay là nón.
Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế và cả trong lý thuyết áp dụng

1
2


của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các mô hình kinh tế (xem [62]).
Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm, nghiệm
tối ưu theo thứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích để nghiên cứu các bài toán
minimax (minimax problem) trên một tập compact (xem [50, Example 5.54]). Giả s ử

X

ỉà một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán minimax
minimize g>(x) := max {(z*, f { x ) ) I z* £ A}, X £ X ,
với f : X z và A c z * ỉà một tập compact yếu* theo dãy (weak* sequentially

compact) của z * sao cho: tồn tại zữ E z với { z * , z ữ ) > 0 với mọi z* £ A. Để cho đơn
giản, ta giả sử rằng ụ>(x) = 0. Khi đó, X là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự
suy rộng của hàm f ứng với tập sinh thứ tự
© : = { z e Z \ ự , z ) <0 M z * £ A}.
Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của một bài toán tối ưu
véctơ theo thứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơn khi nghiên cứu các điều kiện
cần tối ưu cho các bài toán này (xem [50, Subsections 5.3.1, 5.5.19]).
Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm
tối ưu theo thứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ có một ý nghĩa rất quan trọng.
Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi mới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiện
cần cực trị (xem [9,50] và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem
[34]) của lớp bài toán này.
Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, các tính chất tôpô
của tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ với
thứ tự suy rộng. Luận án bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.1 phân tích
khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng. Mục 1.2 trình bày một
số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một số
tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ
theo thứ tự suy rộng.

1
3


Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự
suy rộng. Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích biến phân. Các kiến
thức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưu trong các mục tiếp theo của chương
này. Trong Mục 2.2, bằng cách tiếp cận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một

số điều kiện cần, điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng. Các kết quả về điều
kiện cần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9,50]. Tuy nhiên kết
quả về điều kiện đủ là mới. Trong mục cuối của chương này, chúng tôi trình bày một số
điều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tính
lồi.
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bài toán tối ưu
véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối. Bằng cách sử dụng cách tiếp cận
của Luc [44] chúng tôi nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Pareto
tương đối. Các kết quả này mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition
3.1] từ tập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Để nhận
được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối của
bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự được sinh bởi một nón lồi có phần trong
tương đối khác rỗng, chúng tôi đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao
hàm tương đối (relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối
(relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối theo nghĩa
Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một ánh xạ đa trị. Các kết quả
nhận được mở rộng và làm mạnh hơn các kết quả tương ứng trong [11,12]. Trong Mục
3.1, chúng tôi trình bày một số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục
3.2 trình bày các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm
hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội tụ dưới theo nghĩa
Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Trong mục cuối chúng
tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu
Pareto tương đối.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
-

Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2).

1
4

-

Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện Toán học).

- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu
cao cấp về toán).
-

The 8th Vietnam-Korea Workshop “Mathematical optimization theory and
applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Vietnam).

-

Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Viện Toán học - Trường ĐHSP Hà Nội 2 (Trường
ĐHSP Hà Nội 2, 25 -26/10/2014).

-

Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12 (Ba Vì, 23-25/04/2014),
lần thứ 13 (Ba Vì, 23-25/04/2015).
Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được đăng ở

Nonlinear Analysis [67], Acta Mathematica Vietnamica [68] và gửi đăng ở Vietnam
Journal of Mathematics [35], Taiwanese Journal of Mathematics [69].
Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tác giả xin chân
thành cám ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để có được những
kết quả trong luận án.
Xin chân thành cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, PGS. TS. Nguyễn Năng

Tâm, PGS. TS. Khuất Văn Ninh, TS. Trần Văn Bằng và các thành viên của Xêmina
Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá
trình nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấm luận án cấp cơ
sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng
Sau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên của Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn
động viên giúp đỡ tác giả.
Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luôn khuyến
khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu.

1
5


Chương 1
Tính chất tôpô của tập nghiệm trong tối ưu
véctơ với thứ tự suy rộng
Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toán
quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, Kruger và Mordukhovich (xem [50,
Subsection 5.5.18] và các tài liệu trích dẫn được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái
niệm nghiệm (/; 0)-tối ưu địa phương (hay còn gọi là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy
rộng), ở đó / là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự 0 là
một tập bất kì chứa gốc. Mục đích của chương này là trình bày một số đặc trưng của
nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng.
Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng và
mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu
véctơ. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy
rộng. Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập
nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng.

Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35,68].


1.1. Khái niệm nghiệm
Cho z là một không gian Banach. Với mỗi tập o c z, kí hiệu ¿(0) là tập hợp 0 n
(—0).
Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z là một tập chứa Oz.
Một điểm

Z

£ A được gọi là một điểm, hữu hiệu suy rộng (generalized efficient point)

của A tương ứng với 0, nếu tồn tại một dãy

{Zfc} c z

với

ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa

mãn
A n ( z - G - z k ) = Q V k e N.

(1.1)

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0 được kí hiệu
là GMin ( A I 0).
Nhận xét 1.1. (i) (1.1) 4=> Z — z k ệ A + 0 \ / k £ N.
(ii) Nếu tồn tại một lân cận u của Z và một dãy {Tfc} c z với ll^fcll — > 0 khi

k — > 00 thỏa mãn
U r \ A r \ ( z - G - z k ) = $ V k £ N,
thì

Z

(1.2)

được gọi là một điểm hữu hiệu địa phương suy rộng (local generalized efficient

point) của A tương ứng với 0.
Định lý 1.1. Cho A ỉà một tập con khác rỗng trong z và 0 c z chứa Oz. Khi đó
GMin (A I 0) = A n bd (A + 0).
Hơn nữa, GMin (A I 0) ỉà đóng nếu A đóng trong z.

1
7

(1.3)


Chứng minh. Giả sử Z là một điểm hữu hiệu suy rộng bất kì của A tương ứng với 0. Khi
đó, tồn tại một dãy {zk} c z với ||zfc|| —» 0 khi k oo sao cho Z — zk Ệ (A + 0) với mọi
k £ N. Vì vậy, Z — zk £ (A + 0)c với mọi k £ N. Lấy u là một lân cận tùy ý của Z . Vì Z
£ A và Oz £ 0 nênta suy ra Z G { A + 0). Do đó, U n { A + 0) Ỷ 0- Từ lim (z —
Zk) = ta

CÓ

Z — Zk G U với k đủ lớn. Vì vậy, Z — Zk G U

n {A

Z

+ 0)c với k đủ

lớn. Suy ra U n { A + 0)c Ỷ 0- Vì vậy Z G bd (Ẩ + 0). Điều này kéo theo GMin ( A I
0) c A n bd ( A + 0). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại lấy Z G A n bd ( A + 0)
tùy ý. Từ Z G bd ( A + 0) ta có

B ị z , n ( A + 0)c Ỷ 0 VfceN.
Với mỗi k G N, chọn Xk £ B (z, ị) n ( A + 0)c. Ta có lim Xk = z và
—y 00

{Xfc} c { A + 0) . Đặt Zk = Z — Xk, với k = 1, 2,... Suy ra
c

lim Zfc = 0 và
k—>00

Z — Zk = Xk £ {A -\-

0)c VA; G N,

hay là
Z - Zk ị { A + 0) VfeeN.
Điều này chỉ ra rằng Z là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0. Vì vậy,
GMin ( A I 0) = A n bd ( A + 0).
Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của z , từ tính đóng của bd (Ẩ+0), ta suy ra

GMin ( A I 0) đóng. Định lý được chứng minh.

□

Nhận xét 1.2. (i) Từ Định lý 1.1, ta có GMin(j4|0) c bdA Thật vậy, giả sử tồn tại một
điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0 không là điểm biên của A. Từ Z E A ta
suy ra Z E int A. Vì vậy, tồn tại một lân cận u của Z sao cho u c A. Từ A c A + Q ta. có
U c 1 + 0. Do đó, Z E int (A + 0), mâu thuẫn với (1.3).
(ii) Nếu A mở hoặc Ẩ+0 mở thì GMin (A I 0) = 0. Thật vậy, nếu A mở, thì từ A
c Ẩ+0 ta suy ral c int (Ẩ+0). Do đó, Ẩnbd (Ẩ+0) = 0, hay là GMin (A I 0) = 0. Nếu A +
0 mở, thì bd (A + 0) = 0. Theo Định lý 1.1 ta cũng suy ra GMin (A I 0) = 0.

1
8


Ví dụ 1.1. Lấy z = R2,,4 = {x = ( x i , X 2) £ R2 \ x 2 = — X i , 0 < X \ < 1}, và 0 = { x
£ R2 I x2 = 2!i}u{x E K2 \ x 2 = — X ị } u { x £ R2 I X 2 > |xi|}. Dễ thấy rằng 0 là
một nón không lồi và

A + 0 = { x £ R2 I x 2 > \ x i 1} u { x £ R2 I X ị — 2 < x 2 < X ị }
u { x £ R2 I x 2 = — X i , X ị > 1}.
Từ đó ta có

bd ( A + 0) = { x G R 2 I x 2 = — X i , X \ < 0 hoặc X ị >
1} u { x G R 2 I X 2 = X ị , X i <0} u { x G R 2
I x 2 = X ị — 2}.
Vì vậy
GMin ( A I 0) = A n bd ( A + 0) = {(0,0), (1, -1)}.
Tiếp theo, chúng ta thiết lập một số quan hệ giữa các điểm hữu hiệu suy rộng và

các điểm tựa của tập A . Nhắc lại rằng, z G cl A được gọi là một điểm, tựa (supporting
point) của A nếu tồn tại z* e z * \ {0} thỏa mãn
( z * , z ) = sup{(2:*, z ) \ z € A}.
Khi đó, 2* được gọi là một hàm tựa (supporting functional) của A tại

Z.

Kí hiệu 0* là

tập cực (polar set) của 0:

0* = {z* £ z* I {z*, ớ) < 0 Vớ G 0}.
Mệnh đề 1.1. Cho A ỉà một tập con khác rỗng trong không gian Banach z và 0 c z
chứa 0z ■ Nếu z G A là một điểm tựa của A tương ứng với hàm tựa z* £ 0*, thì

Z

£

GMin (A I 0). Do đó, ta có
\ J { A ũ ự ) ị z * £ G * , z * ¿ 0 } c GMin ( A I 0),
ỏ đó A°(z*) = {z0 £ A I ( z * , z ữ ) = sup(2;!|<, z ) , z £ A } .
Chứng minh. Giả sử phản chứng, Z ị GMin (A |0). Theo Định lý 1.1, Z ị bd (Ẩ + O). Vì
Z

G A c A + 0 và 2 ị bd (A + 0) nên Z G int (A + 0). Do đó, z không là điểm tựa của A +

1
9

0. Vì vậy, tồn tại 2 G A và 0 G 0 thỏa mãn
ự,z)<ự,z + Q).

(1.4)

Vì 2* G 0* nên ( z * , 6 ) < 0. Điều này và (1.4) suy ra
(z\z) < ự,z),
trái với định nghĩa của Z . Mệnh đề đã được chứng minh.

□

Mệnh đề sau chỉ ra rằng, nếu A + 0 là một tập lồi với phần trong khác rỗng, thì
mọi điểm hữu hiệu suy rộng của tập A cũng là điểm tựa của tập hợp này.
Mệnh đề 1.2. Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach z, và 0 c z
chứa 0z■ Giả sử rằng, A + 0 là một tập lồi và có phần trong khác rỗng. Khi đó,
GMin (A I 0) = 1J{^°(^) I z* e Q * , z * ỹé 0}.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1, để chứng minh mệnh đề trên ta chỉ cần chỉ ra rằng
GMin (A I 0) c |J{Ẩ°(^) I G 0*, Ỷ 0}Thật vậy, lấy 2 G GMin (A I 0) tùy ý. Theo Định lý 1.1, 2 là một điểm biên của A + 0.
Do A + 0 là một tập lồi có phần trong khác rỗng nên cl (A + 0) cũng có các tính chất
này. Vì vậy, tồn tại một hàm tựa z* của cl (A + 0) tại 2 (xem [18]). Từ { z * , z ) >
{ z * , z ) với mọi 2: G cl ( A + 0), ta suy ra
(z*, z)

>

(z*,

2
0

Z +

0)


với mọi 0 £ 0. Do đó, { z * , ô ) < 0 với mọi 0 £ 0. Điều này có nghĩa là z* £ 0*. Từ A c
A + 0 c cl ( A + 0) ta suy ra là một hàm tựa của A tại z , hay là z £ A°(z*). Do đó, ta có
GMin (A I 0) c |J{,40(z*) I £ 0 w 0}.

□

Chứng minh kết thúc.

Nếu z là một không gian Banach hữu hạn chiều, thì điều kiện 11A + 0 có phần
trong khác rỗnậ’ trong Mệnh đề 1.2 có thể bỏ được.
Hệ quả 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong Rm rà0c Rm là một tập bất kì chứa
gốc. Nếu A + 0 lồi, thì
GMin (A I 0) = \ J { A ữ ự ) I € 0*, z * Ỷ 0}Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng 0 phải là một nón với 0 \ ¿(0) Ỷ
0- Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từ điểm hữu hiệu (xem Định nghĩa
1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suy rộng.
Ví dụ 1.2. Trong R2, cho

A = Aị u A2 u A3 u A4,
0 = R X {0}.
Bằng các tính toán đơn giản ta có 0* = {0} X R và
j [0,1] X {1}

nếu z* E {0} X (0, +oo)

^ [0,1] X {0}

nếu z* £ {0} X (—00, 0).

2
1


Vì vậy,
GMin ( A \ G ) =

I 3* G 0*, Ỷ 0}
= [0,1] X {0,1}.

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của điểm hữu hiệu suy rộng.
Mệnh đề 1.3. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z là một tập chứa 0zNếu 0 D 0, thì

Từ (1.9) và A c A + 0 ta suy ra
A n GMin (A + 0 I 0) = A n [(A + 0) n bd (A + 0)]
= A n bd (A + 0)
= GMin (A I 0).
Mệnh đề được chứng minh.

□

Trong Định nghĩa 1.1 chúng ta không đòi hỏi 0 là một nón lồi và cũng không
đòi hỏi 0 phải có phần trong khác rỗng. Nếu 0 là một nón lồi với với riO / 05 thì khái
niệm điểm hữu hiệu suy rộng bao phủ các khái niệm điểm hữu hiệu cổ điển trong tối ưu
véctơ.
Định nghĩa 1.2. Giả sử 0 là một nón lồi với riO / 0- Một điểm Z G A được gọi là một

điểm, hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater (relative Pareto efficient
point/Slater efficient point) của A tương ứng với 0, nếu
A n (z — riO) = 0.

(1.10)

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu tương đối của A tương ứng với 0 được kí hiệu bởi
RMin (A I 0).
Nếu

0 là một nón lồi trong z, thì 0 sinh ra một quan hệ thứ tự trên z như sau:

Z ị , z 2 G z , z2 > Zị nếu z2 — Z1 G 0. Ta viết

2
2

X

> y nếu

X

> y và không có y >

X,


hoặc là, X G y + 0 \ ¿(0). Một nón 0 được gọi là nhọn nếu ¿(0) = {0^}.
Định nghĩa 1.3. Cho 0 là một nón lồi trong Z, A c z là một tập con khác rỗng.

(i) Một điểm Z G A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto yếu/điểm hữu hiệu yếu (weak
Pareto efficient point/weak efficient point) của A tương ứng với 0, nếu
A n {z — int 0) = 0 và int 0 / 0 .
Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu Pareto yếu của A tương ứng với 0 được kí hiệu là
WMin (A I 0).
(ii) Một điểm Z E A được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto/điểm hữu hiệu (Pareto
efficient point/efficient point) của A tương ứng với 0, nếu
(z > y, với y E A nào đó ) => (y > z).
Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0 được kí hiệu bởi Min
(A I 0).
Mệnh đề 1.5. Nếu 0 là một nón lồi thì các phát biểu sau đây đúng
(i) Nếu int 0^0, thì GMin (A I 0) c WMin (A I 0).
(ii) Nếu int 0^0, thì WMin (A I 0) c RMin (A I 0).
(iii)

Nếu ri o ^ 0, thì RMin (A I 0) c GMin (A I 0).

Vì vậy, nếu 0 là một nón lồi với phần trong khác rỗng, thì
WMin ( A \ G ) = RMin ( A I 0) = GMin ( A I 0).

(1.11)

Chứng minh, (i) Giả sử, int 0^0. Lấy Z G GMin (A I 0) tùy ý. Theo định nghĩa của điểm
hữu hiệu suy rộng, tồn tại một dãy {Tfc} c z với ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa mãn

2
3


A n (z - 0 - zk) = 0 VfeeN.

(1.12)

Từ (1.12) ta có
Z — Z + Zk

ệ. (—0) Vfc G N, Vz G A.

(1.13)

Từ (1.13) và —into c (—0) ta suy ra
Z

—Z

+

zk G (—int 0)c Vk G N, Vz G A.

(1.14)

Từ (1.14) và tính đóng của (— int 0)c ta có
z — Z G (—int 0)c \/z G A,

(1.15)

hay là
A n (z — int 0) = 0.
Suy ra Z G WMin (A 1 0).
(ii) Nếu into Ỷ 0J thì ri© = int© và (ii) là hiển nhiên.

(iii)

Giả sử ri© Ỷ

0-

Lấy Z G RMin (A 1
A n {z — ri © )

2
4

=

0.

©)

tùy ý. Suy ra
(1.16)


[Zfcll
—>•
0 khi
Mặtđặtkhác,
Từ
ri o Ỷ
05 lấy
Z Qk G—>

ri 00.
O và
Z k =ta có
0
0 + Zk —
k

+

k + 1 với mỗi G N. Dễ thấy
Zo

k + 1 c ri O.
Từ điều này và (1.16) ta suy ra
ri n (z - 0 - zk) = 0 VA; G N,
tức là £ G GMin (ri I 0).

□

Mệnh đề 1.6. (xem [41, Proposition 2.3]) Một điểm Z G Min (ri I 0) khi và chỉ khi A
n (z — 0) c Z + ỉ(0), hoặc là, không có y G ri nồỡ thỏa mãn Z > y. Đặc biệt, khi 0
là một nón nhọn, Z G Min (ri I 0) khi và chỉ khi A n (z — 0) = {z}.
Mệnh đề 1.7. Giả sử 0 c z là một nón lồi thỏa mãn 0 \ ¿(0) khác rỗng và A là một tập
con khác rỗng trong z . Nếu Z là một điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0, thì
Z

là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng vói 0, hay là
Min (ri I 0) c GMin (ri I 0).

(1.17)

Chứng minh. Giả sử phản chứng, tồn tại z G Min (ri I 0) nhưng z không thuộc GMin (ri
I 0). Theo Định lý 1.1, z ị bd (ri + 0). Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận u của z
sao cho

u n (ri + 0) = 0 hoặc u n (ri + 0)c = 0.
Rõ ràng, z G ri c ri + 0. Vì vậy, u

n (ri +

0) Ỷ 0- Điều này kéo theo

u n (ri + 0)c = 0,

2
5