Luận văn thạc sĩ một số ứng dụng của các phép đo yếu và giá trị yếu

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HIỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP ĐO YEU
VÀ GIÁ TRỊ YẾU

Chuyên ngành:
Vật lý lý thuyết và Vật lý
toán
Mã số:
60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHAT

Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Thái Hoa

HÀ NỘI, 06 - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo T.s Trần Thái
Hoa, thầy đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn em trong suốt thời gian em thực
hiện đề tài này.
Qua đây, cho phép em được bày tỏ sự biết ơn chân thành đến những thầy cô
giáo đã giảng dạy em trong suốt những năm học tập tại trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2,các thầy cô Phòng Sau đại học, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Vật
lí đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập để em

hoàn thành tốt đề tài này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn đến những người thân trong gia đình,
bạn bè đã luôn giúp đỡ động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày tháng 08 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Hiền
LỜI CAM ĐOAN

Luận vãn tốt nghiệp “ Một số ứng dụng của các phép đo yếu và giá trị
yếu” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo
T.s Trần Thái Hoa.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin


trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày tháng 08 năm 2015
Tác giả

MỤC LỤC

Phạm Thị Hiền

Lời cảm ơn...............................................................................................................
Lời cam đoan..........................................................................................................

4
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay trên thế giới và Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lí lý
thuyết đang gặp không ít khó khăn về nhân lực và vật lực cũng như hướng
nghiên cứu. Khoa học thông tin lượng tử đã và đang trở thành một trong những
lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học vật chất. Đề
tài nghiên cứu của tôi về “Một số ứng dụng của các phép đo yếu và giá trị
yếu” là một vấn đề mới hứa hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lí lượng tử và
vạch ra những lý thuyết mới làm nền tảng cho vật lí thực nghiệm.
Đề tài nghiên cứu mang tính chất lượng tử sâu sắc,kết luận về lý thuyết
cũng như ứng dụng của đề tài sẽ đưa đến giá trị thực tiễn về việc đo đạc.

2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc tìm hiểu các phép đo
yếu, các giá trị yếu áp dụng chúng trong một số vấn đề vật lí và đề ra các ứng
dụng của chúng trong vật lí lượng tử.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Vật lý lượng tử và các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử.

4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý
toán.
5. Dự kiến đóng góp mới
Trên cơ sở tìm hiểu về các phép đo yếu, các giá trị yếu có thể đề xuất các ứng
dụng trong đo đạc các đại lượng vật lí.

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU

.

Phép đo yếu

Trong cơ học lượng tử, phép đo yếu là một loại đo lường, trong đó đại lượng cần đo thể hiện yếu, hệ lượng tử
cần đo liên kết hoặc tương tác yếu với máy đo. Sau khi đo, số đo con trỏ của thiết bị đo được dịch chuyển bởi cái
gọi là “giá trị yếu”. Vì vậy, một con trỏ ban đầu chỉ tại số 0 trước khi đo sẽ chỉ vào giá trị yếu sau khi đo. Hệ thống
hầu như không bị nhiễu loạn bởi cách đo. Mặc dù điều này có vẻ mâu thuẫn với bất kì khái niệm cơ bản nào, đặc
biệt là nguyên lý bất định của Heisenberg.
Lí thuyết “đo yếu” lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà vật lí Yakir Ahanorov cùng nhóm cộng sự của ông tại
trường Đại học Tel Aviv, Israel năm 1988. Lí thuyết trên phát biểu rằng người ta có thể đo “yếu” một hệ và từ đó
thu được một số thông tin về một tính chất mà không gây nhiễu đáng kể với tính chất bo sung và do đó không gây
nhiễu đối với sự phát triển tương lai của toàn bộ hệ. Mặc dù thông tin thu được đối với mỗi phép đo là tối thiểu,
nhưng nếu lấy trung bình nhiều phép đo sẽ mang lại một ước tính chính xác của số đo của tính chất đó mà không
gây nhiễu đối với kết cục của nó [2].
Năm 2011, các nhà Vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia (NRC) ở Ottawa- Canada, khẳng định họ đã có
thể sử dụng phép đo yếu để tái hiện trực tiếp hàm sóng của một hệ lượng tử, mô tả một hệ lượng tử diễn biến như
thế nào theo thời gian [9].
Cũng trong năm 2011 một nhóm gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập được bản đồ quỹ đạo hoàn chỉnh của
những photon đơn lẻ trong thí nghiệm hai khe Young noi tiếng. Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng
đến việc đo các thông
Số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay được xem là không thể, theo hệ quả của nguyên lí bất định
Heisenberg [9].
Theo định nghĩa phép đo yếu đôi khi được sử dụng để đo một hệ lượng tử với mục đích thông tin phản hồi và

kiểm soát. Ví dụ, phép đo yếu liên tục được sử dụng để hướng một chất khí nguyên tử cực mạnh vào một trạng thái
lượng tử đã được chọn. Định nghĩa mở rộng cũng bao gồm một loại đo lường mà được xem là một phép đo, một
quan sát vĩ mô gồm các quan sát bằng kính hiển vi của nhiều hệ con giống hệt nhau, mỗi một hệ trong số đó chỉ


tương tác một cách tối thiểu với thiết bị đo. Việc đo từ tính của một tập hợp lớn spin là một ví dụ tự nhiên. Một ví
dụ phổ biến khác là phép đo tần số vô tuyến ở trạng thái lỏng các thí nghiệm cộng hưởng hạt nhân.
Trong điều kiện của post-selectedban đầu, phép đo yếu được ứng dụng vào hai lĩnh vực: Đầu tiên là phân tích
một cách đơn giản hóa hiện tượng hoặc các thí nghiệm tồn tại trước trong đó nó được nhận thấy rằng một phép đo
yếu đã thực sự tồn tại. Lĩnh vực thứ hai của ứng dụng là nghiên cứu hiện tượng một cách hàn lâm không giống với
phép đo chuẩn. Các nghiên cứu này có nhiều kết quả mà bao gồm việc đưa đến một quan điểm thống nhất mới thể
hiện qua cách giải quyết nghịch lí Hardy [7,8].
Quá trình của phép đo yếu được mô tả lần đầu bởi Aharonov và nhóm cộng sự sử dụng mô hình đo lường Von
Neumann. Điều này dẫn đến sự chỉ trích rằng kết luận của họ không phổ quát cho tất cả các loại phép đo và đặc
biệt, các dự đoán của họ chỉ đơn giản là được tạo ra từ mô hình đơn giản Von Neumann. Kể từ những ngày đầu,
phép đo yếu đã được mở rộng đa dạng hóa hơn các loại phép đo khác, nên bây giờ nó có sức thuyết phục, mặc dù
không kết luận, nhưng bằng chứng cho thấy phép đo yếu thật sự phổ quát [3].

.

Giá trị yếu

1.

Giá trị yếu

Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu, không chỉ đặc biệt vì chúng rất khác các kết quả của phép đo chuẩn mà
là một phần tử của cấu trúc mới đơn giản và phong phú tồn tại trong thế giới lượng tử.Giá trị yếu giúp giải thích
các hiện tượng lượng tử kỳ lạ và tìm kiếm những hiệu ứng mới mà có thể ứng dụng thực tế. Các giá trị yếu được
xác định cho tất cả các biến và cho tất cả các tiền sử có thể có của hệ lượng tử. Chúng tự xuất hiện trong tất cả các

liên kết coi như là đủ yếu.


Nếu |ỉ>i) và |ỉ>2) là các trạng thái cơ học lượng tử pre-selected và post-selected,giá trị yếu của toán tử A có
thể quan sát được định nghĩa là [4]:

($1 1^1*2)

($1 I *2)
(1.
Khi áp dụng phương trình (1.1), các trạng thái đầu và cuối được cho là tương đương với hệ lượng tử ngay
trước và ngay sau phép đo yếu. Bất kỳ sự phát triển của hệ giữa phép đo yếu thực tại (tại thời điểm t 0 ) và preselected (tại thời điểm ti) hoặc post-selected (tại thời điểm t 2 ) phải nằm trong các trạng thái.
Khi trạng thái post - selected |ỉ>2) và trạng thái pre - selected 1$!) tới trực giao tức là ($! I $2) = 0, không thể
đo được giá trị yếu A w . Giá trị yếu của các phép đo trở nên lớn khi trạng thái tiến tới gần trực giao với trạng thái và
không phụ thuộc vào giá trị của đại lượng cần đo. Trong cách này, bằng việc lựa chọn trạng thái, giá trị yếu của
toán tử được thực hiện lớn tùy ý và các hiệu ứng nhỏ khác có thể được khuếch đại.
Tính chất của giá trị yếu

2.

Giá trị yếu có một số tính chất chung với các tính chất của giá trị trung bình chuẩn [2],
a.

Nếu không có post - selected, giá trị yếu bằng với giá trị trung bình chuẩn của quan sát được đo yếu:

Vì trạng thái đầu không bị nhiễu loạn bởi phép đo yếu và không có post-selected 1*1) = 1*2).
b. Nếu pre-selected hoặc (nếu) post-selected
($1 I *1) là một giá trị riêng của kết quả phép đo yếu thì giá trị yếu bằng với
=
(1.

Aw
giá trị riêng tương ứng:
Một phép đo thông thường (a.
củaẦtoán tử A sau pre-selection trong trạng thái Idị) sẽ chắc chắn trở thành dị, bất
(flj \aj\
<E>x)
ke post-selected đượcA„
thực hiện sau. Tương tự như= vậy, nếu trạng thái là(1.
post-selected trong Idị) thì một phép
{dị I
$1)
đo thông thường trước của toán tử A phải trở thành dị và rút gọn trạng thái thành Idị). Do đó, giá trị yếu bằng
giá trị trung bình chuẩn của toán tử A trong trạng thái này.


.

c.

Các giá trị yếu có quan hệ tuyến tính trong các hình thức tương tự như toán tử mô tả các phép đo
Giá trị trung bình chuẩn liên quan trong cách thức tương tự.

d.

Như giá trị trung bình chuẩn, giá trị yếu(<E>!
của tích
I aAhai
+ quan sát không nhất thiết phải bằng với tích của các giá
C w — (aA + /
(1.

trị yếu cho hai quan sát
PB\Ị E> 2 )
$2)tính chất trong bốn tính$2)
($1này
B $không
Thực hiện một cách($riêng,
chất
là điều ngạc nhiên vì chúng phù hợp
2)
Ầ mỗi
1
với giá trị trung bình chuẩn. Tuy
nhiên, vì các phép đo yêu không nhiễu(1.loạn hệ được đo, tất cả các tính chất
($1 I ($1
($1 I <E> 2 )
này phải được giữ đồng thời (không giống như phép đo mạnh sử dụng để đogiá trị trung bình chuẩn). Ví dụ,
nếu |ỉ>2) = b và 1$!) = a thì A w = a và B w = b (tính chất b ) và C w = a + b trong đó c = A + B (tính chất c).
Điều ngạc nhiên, vì A và B giao hoán, nói chung a + b sẽ nằm ngoài phạm vi của giá trị riêng của. Hơn nữa
A,B và c có thể được đo yếu đồng thời mặc dù chúng không giao hoán. Vì vậy, ta có tính chất thứ 5 tách từ các
tính chất của giá trị trung bình chuẩn.

Giá trị yếu tồn tại trong mặt phẳng phức

Tử số và mẫu số là các số phức.

.

(1.

($1 Ằ $2)

($1 I *2)

Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu
Với quá trình đo chuẩn Von Neumann, Hamilton mô tả tương tác với một thiết bị đo là:
H = -g(t)qA

(1.7)

Trong đó g{t) là hàm chuẩn hóa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo lường, và q là một biến chuẩn (chính tắc) của
thiết bị đo với momen liên hợp p. Sau sự tương tác (1.7) trên, có thể xác định giá trị của A từ giá trị cuối của p [3].
(1.

A = Pf - Pin = õp


Với P ị ứng với trạng thái sau, p i n ứng với trạng thái trước khi đo.
Phép đo chính xác bất kì của A làm nhiễu loạn cần thiết trong một cách không thể kiểm soát các giá trị quan
sát không thể giao hoán với A, đây là do thực tế phép đo chính xác của A yêu cầu giá trị của p cố định xác định
trong khoảng thời gian của phép đo. Do đó, sự bất định trong q trong suốt tương tác phép đo mô tả trong phương
trình (1.7) lớn tùy ý [6].
Có thể sửa đổi các quá trình đo Von Neumann bởi sự yếu tương tác (1.7). Điều này có thể làm được bằng
cách chuẩn bị một trạng thái đầu của thiết bị đo mà xác suất tìm thấy q lớn là đủ nhỏ. Bây giờ chứng minh rằng
“phép đo yếu” của A biểu diễn trên tập hợp hệ pre-selected trong trạng thái 1$!) và hệ post-selected trong trạng
thái |$ 2 )j sẽ mang lại kết quả mà gọi là “giá trị yếu” của A.
Để kết thúc vấn đề này xét một tập hợp hệ bao gồm cả pre-selected và post- selected. Tất cả các phần tử của
tập hợp được mô tả bởi cùng một cặp hàm sóng 1$!) và |ỉ>2) biểu diễn cùng phép đo trong mỗi một hệ với một
thiết bị đo riêng biệt. HamiltonA wtương tác là:
(1.
($1 I
Hị = -g (t) qịAị

(1.1
Trong đó chỉ số i đề cập cho hệ thứ i trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ i. Để thuận tiện, đưa trạng thái đầu
của từng thiết bị đo tới hệ Gaussian.
(1.11

4(Aạ)2J

Thực hiện đo P i với mỗi thiết bị đo sau tương tác. Sau đó thực hiện đo trạng thái cuối, phép đo post-selected
trong hệ tập hợp và thu thập các kết quả P ị chỉ của hệ đó mà trạng thái cuối là |ỉ>2) .
Đe đơn giản hóa các bằng chứng sau, cần lưu ý rằng sự thay đoi trật tự thời gian giữa các phép đo P ị và phép
đo post-selected sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của chúng. Thật vậy, sau tương tác phép đo trên, không có tương
tác hơn nữa giữa các hệ của tập hợp và thiết bị đo tương ứng, và do đó, bất kì tương tác trên hệ không ảnh hưởng
tới kết quả của các phép đo được thực hiện trên bất kì hệ khác.
Chuỗi các sự kiện này, trong đó đo P i ở post-selected để phân tích đơn giản hơn. Nó cũng phù hợp với một
phương pháp thực tế để thực hiện các phép đo loại này. Trạng thái của mỗi thiết bị đo đã được chọn sau được đưa
ra đến yếu tố chuẩn hóa,


bởi hàm sóng sau (bỏ qua chỉ số i đề cập đến mỗi hệ
riêng).
exp
V
($2 |

4
(

(1

e

4(A?)
exp

x
Trong đó {A n ) = ($2 \A n \
$i )/($2 I $i) (như định
nghĩa ở phương trình
(1.9)).
Các
o
biểu thức cuối có thể
o

4(A?)

4(A

=

(1.13)

$
2

®
i
)
Quan tâm đến biểu diễn
trạng thái p của thiết bị

đo, bằng cách lấy A q
(2Ag)
(1.14)
(n-2)!
Bỏ qua sự đóng góp của các điều chỉnh trong biến
đoi Fourier (1.12) và do đó
hàm sóng cuối của thiết bị đo trong các biểu diễn p là
gần đúng
exp tốt -(A
(1.15)
(4*2 I 3>i)
Phân bố xác suất của p
là hệ Gaussian với
khoảng rộng Ap = (2A q)
tâm tại p =
Re (J4 w ) .
exp

[q +
2(

(1.16)



Do đó, phân bố xác suất của q là hệ Gausian với khoảng rộng A q tâm
tại q = — 2(Ag) 2 Im (Ẩ w ). Sự bất định ở p và q sẽ không cho phép kết luận
Re(A w ) hoặc Im(A w ) từ một phép đo duy nhất. Tuy nhiên, thực hiện phép đo
trên một tập hợp N hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố
đủ lớn ^2AqVN ^

với độ
chính xác mong muốn bất kì.
Yêu cầu (1.14) đảm bảo rằng kết quả của phép đo là A w được xác định
bởi phương trình (1.9). Đặc biệt,nếu trạng thái đầu hoặc cuối là trạng thái riêng
của A, thì (1.14) được thỏa mãn. Trong trường hợp này có thể như vậy bởi vì
đó là giá trị yếu, trong trường hợp đặc biệt này, cũng là giá trị “ mạnh” của A.
Có thể lập luận rằng một giá trị yếu thu được sau một vài thao tác toán
học trên tập hợp và không có ý nghĩa vật lí. Để nhấn mạnh “ thực tế” của giá
trị yếu, lưu ý rằng sau tương tác (1.10) của một tập hợp các thông số vật lí của
hệ giống hệt nhau với một tập hợp các thiết bị đo có một biến vật lí của các
thiết bị đo mà loại bỏ giá trị yếu của các biến đo. Thực tế quan sát có 1 giá trị
trung bình bằng A w , trong khi sự bất định có thể bỏ qua khi số lượng các phần
tử trong tập hợp lớn.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, luận văn này đã trình bày tổng quan lý thuyết về phép
đo yếu và giá trị yếu, đồng thời giới thiệu một số tính chất của giá trị yếu. Tiếp
theo, luận văn sẽ trình bày về một vài hướng nghiên cứu mới trong vật lí lượng
tử.


Chương 2

MỘT VÀI HƯỚNG NGHIÊN cứu MỚI TRONG VẬT LÍ LƯỢNG TỬ

2.1.

Hướng của dòng thời gian

Cuộc sống hàng ngày trải qua “mũi tên thời gian”, đây cũng là một trong
những vấn đề đầy thách thức của vật lí lý thuyết. Các định luật vật lí “vi mô”

bao giờ cũng đề ra nghiêm túc và được công nhận rộng rãi là đối xứng với
hướng của thời gian, đây là hình thức bất biến với nghịch đảo thời gian [3].
Trên thực tế, qua các báo cáo của các định luật của các nguyên lí tự nhiên
trong 2 lĩnh vực là nhiệt động lực học và nghiên cứu vũ trụ cho thấy rằng
không có đối xứng trong thời gian tự nhiên. Theo nguyên lý thứ hai nhiệt động
lực học thì entropi của hệ cô lập chỉ có thể tăng theo thời gian, tức tăng hướng
tới tương lai. Một lĩnh vực khác là nghiên cứu vũ trụ, cũ trụ đang mở rộng
hướng tới tương lai. Chúa cho rằng hai hiện tượng không đối xứng cũng có thể
có quan hệ nhân quả, có liên quan tới nhau. Một tác động thời gian không đối
xứng thứ ba, ưu thế của bức xạ ra trong tự nhiên qua bức xạ tới, có thể được
coi là một khía cạnh đặc biệt của định luật thứ hai [3].


Trong lý thuyết lượng tử định luật động học của chuyển động, hoặc
phương trình Schrödinger hoặc phương trình Heisenberg, là đối xứng thời gian
giống bản sao co điển của chúng, phương trình chuyển động Hamilton. Mặc dù
nói đã được cho rằng sự bất đối xứng trong hướng của thời gian, và thậm chí
nhiệt động lực học không thể nghịch đảo, đi vào lý thuyết lượng tử thông qua
lý thuyết của phép đo. Lý thuyết lượng tử thông thường của phép đo liên quan
đến dự đoán xác suất kết quả cụ thể của phép đo tương lai trên cơ sở kết quả
quan sát trước đó. Trong phần này không đi sâu vào nghiên cứu quá trình đo
lường mà xem xét tính chất của sự đối xứng về thời gian tronglý thuyết lượng
tử của phép đo, trong đó sự tương tác đặc biệt giữa hệ thống nguyên tử và thiết
bị vĩ mô cho ta biểu thức chuẩn của xác suất các giá trị được cung cấp bởi lý
thuyết thông thường. Lý thuyết liên quan đến chính là tập hợp được chọn đối
xứng (“lý thuyết đối xứng thời gian”) chỉ chứa biểu thức đối xứng thời gian
với xác suất của các quan sát.
2.1.1.

Chuyển động lượng tử là đối xứng thời gian

Trong cơ học lượng tử chuyển động lượng tử QM được mô tả bởi phương
trình Schrodinger

(2.1)

(2.2)
Nhận xét từ hai phương trình (2.1) và (2.2) thấy rằng thời gian - đối xứng:
2.1.2.

Thời gian - không đối xứng là do MP(MP - tiên đề phép đo)

Theo cơ học lượng tử thời gian- không đối xứng xuất hiện thông qua
Measurement Postulate (tiên đề phép đo - định đề đo lường)(MP): một phép đo


trên một hệ thay đoi trạng thái của nó trong một phương pháp gián đoạn, điều
đó không thể mô tả bằng phương trình Schrodinger
Giả sử |a„) = a n |a„)^ được đo trên |\k). Nếu kết quả a n được biết, với xác
suất
Pn = | ( o „ I (2.
*)| 2
thì |\k) được rút gọn như |\k) —)• |a„) (|a„) = |n) là biểu diễn của |\k) trong A biểu diễn) Độc lập với những gì là |\k). Quá trình ngược lại |a„) —)• |\k) là
hoàn toàn không chắc chắn: thời gian là không đối xứng.


2.2.

Dãy phép đo

2.2.1.

Dãy phép đo theo quy ưổc MP

Xét hai phép đo (trên |\k)) của A tại t ỵ và B tại t 2 > t ỵ . Xác suất thu
được b tại t 2 tùy thuộc vào kết quả đo A tại t ỵ . Nếu a được thu tại t i , thì |\k)
=> |a). Vì vậy xác suất thu được b tại t 2 và a tại t ỵ là:
(2.

p ( b / a ) = 1(5 I a)|2 = { b I a ) { a I b )
= T r { \ b ) ( b I a ) (o|) = T r { D b D a )
trong đó D a biểu thị toán tử lũy đẳng với D a = ID a ) {D aI Giả sử thực hiện một
chuỗi các phép đo A , . . . , B mang lại kết quả a , . . . , b . Thì xác suất mà
kết quả tiếp theo của c mang lại c là
p { c / a , . . . , b ) = \ { c I b ) I 2 = T r ( D c(2.
D b)
Kết quả này độc lập trạng thái tiên nghiệm phép đo b .
Xét phép đo A , . . . , B , c , D , nếu phép đo A , . .. , B mang lại a , ... , b , thì
xác suất để kết quả của c , D 1 ằ c , d là:
P(c, d/a,...,b) =p(c/a,...,b)p(d/a,...,b,c)
= |(c I b ) \ 2 \ ( d I c)|2 = (c I b ) ( b I c) ( d I c) (c
I d ) = ( d I c) (c I b ) (b I c) (c I d )
= T r { \ d ) { d I c) (c I b ) (b I c) (c|)
p (c, d / a ,.... b ) = T r { D d D c D b D c )

(2.6)

Điều này cũng độc lập với trạng thái tiên nghiệm phép đo b và không phụ
thuộc vào kết quả của thành phần của tập hợp sau đó để thực hiện các phép đo
cụ thể. Kết luận: quy ước MP cho phép dự đoán xác suất của kết quả tương lai

(c, d ) dựa trên kết quả hiện tại (6), không phụ thuộc vào quá khứ ( a , . . .).


Từ kết luận trên cho nhận xét về sự cần thiết trong lý thuyết lượng tử để
xây dựng tập hợp với đặc tính xác suất được xác định rõ ràng. Nếu trong cơ
học cổ điển ta phải giải quyết một hệ không gian pha có thể tích hữu hạn íì,
thì ta có thể xác định mật độ xác suất tiên nghiệm trong 1không gian pha đó là
bất biến với biến đổi chính tắc, mật độ xác suất là không đổi íì~ l . Mật độ này
có thể thay đổi với bất kì hạn chế nào áp đặt lên hệ, và bằng phương pháp suy
luận có được xác suất ngẫu nhiên. Nói cách khác, trong một không gian pha
hữu hạn người có thể xây dựng lý thuyết thống kê. Bởi vì trong hệ vật lí thực
tế không gian pha có thể tích vô hạn, mật độ xác suất chuẩn chuyển đổi - bất
biến là không tồn tại, từ đây người ta dẫn đến xây dựng phân bố xác suất để
phù hợp với điều kiện khác nhau của tập hợp.
Trong lý thuyết lượng tử cũng tương tự như vậy, đối với không gian
Hilbert là hữu hạn, mật độ ma trận bất biến được chuẩn hóa từ ma trận đơn vị,
các ma trận khác được rút ra để đáp ứng tất cả các trường hợp khác. Cho hệ
vật lí thực, không gian Hilbert là vô hạn, nên không có tập hợp chuẩn tồn tại
độc lập với bất kì thông tin về hệ vật lí. Vậy cần xây dựng các tập hợp của hệ
có tính chất hạn chế nhất định, dẫn đến tập hợp với đặc điểm xác suất không
rõ ràng, đây cũng là mâu thuẫn nội bộ có thể loại trừ một số giả thiết. Rõ ràng
các giả thuyết về lý thuyết thông thường hợp lí với phép đo lượng tử và được
chấp nhận.
2.2.2.

Dãy phép đo không quy ưổc MP

Bây giờ xét dãy phép âo A, B, ,c, D, điều thú vị là trong tập hợp hệ với
trạng thái đầu và trạng thái cuối cố định tương ứng với các giá trị riêng đặc
biệt a và b, yêu cầu xác suất p(d\b, . . . , c|a) =? mà kết quả của các phép đo

trung gian B, ..., c chắc chắn là b, ..., c. Xác suất này tìm được là
P ( b ,...,
...,cc,|a)d/a
Phương trình (2.8) thỏa mãn Y^ b p (d\b,
= )1 cho cố định a, d. Điều
p (d\b, c\a)
(2.
T, b > t Clý> thuyết
p
thú vị là không những quá khứ (a), như trong
quy ước, mà còn tương
lai
hiện tại
(b, ra
c. công
. .): tương
lai bay lùi trở lại kết hợp với quá khứ
Từ ảnh
cônghưởng
thức (2.6)
ta suy
thức quan
Tr(D d D c ...D b D a D b D
trọng
để mang lạip kết
quả...,của
hai
(d\b,
c | hiện tại, tức, dòng thời gian tiến triển trong cả(2.8
a)

=
hướng (tiến và lùi).
Xác suất của vết xoay tròn:


Suy ra tình huống với pre-selected và post-selected là hiển nhiên là đối xứng
thời gian: quá khứ và tương lai quan trọng tương tự với hiện tại.

2.3.

Phép đo Von Neumann

2.3.1.

Phép đo thông thường (“mạnh”)
Xét các phép đo thực hiện trên một tập hợp pre-selected, muốn đo ồ ^ồ

Ib n ) = b n Ib b của trạng thái lượng tử l^i) tại tỵ.
Cho
|*i) = x>n

KI 2 = 1

(2.10)

Ví dụ: tại thời điểm tỵ chuẩn bị một thiết bị trong trạng thái 1$!) mà tương tác
với l^i) qua Hamilton tương tác
H ( T ) = - g ỗ { T - t)Pè

(2.11)

Với g là độ lớn liên kết p, Q thiết bị momem có hình thức giống toán tử
Q \q) = q I ? ) ,
(2.12)
p \p) = p Ip) ■
xác định rõ |$i) như sau
f / dp&i (p) \p) p — represe ntation 1 * 1 ) = !
( / dq^i(q) |ạ) q — represe ntation

(2.13)

ỉ>i(p) là biến đoi Fourier ngược của ỉ*i(p)
$i(p) = (p I $1) = Ị dq (p \¿1 {q) |ạ)

(2.14)

¿1 (p) = (q \ ®i) = J dq (ạ| <E>x(p) Ip)
(2.15)
đưa |<ĩ>1(p)) hệ Gaussian tâm tại 0 với chiều rộng Ap = 2A trong không gian p
$i(p)
=
--------------- ỰTĨ1
7==

-

*.<«) = (^)''VAV
(2.
(2.1

Mà chiều rộng A q = ^ trong không gian q Cho t > tỵ
IU IU -+ \T) = e-i/‘iií(r)dr 1*1)1$!)
\T) = e^ ê 1*0 1*0 = e^ p ỗ Y. «- u / dp
*2'iA2 [

J

e-

1

■>

(AV2TT) '

= Y, *ne i s P Ồ Iu / dp ỵ L xl/2 e- p2/4A 2 I p) n
(AV2TT)

J

= £ a/' 9Í ‘" IU / rip ỵ L xl/2 e- p2/4A2 |p) n
(AV2TT)

J

= E «- / u

(2.
18)

(2.
19)

.— !/2 e Ì 9 p b n e~ p 2 / i A 2 \p) IM

= E «» / u
— !/2 e igpi>n e~ p2 / 4A 2 |p) IM
7
„
(AV2TT)
Làm thế nào biến đổi biểu diễn p sang biểu diễn q, đưa vào / dq
|g) (q\ =
IT) = £ «. í dq\q) (q\ Ị dp—^—e^e-r 2 ^ 2 Ip> IM „
J
(Av^ 1/2

1

J

= S a » / U?) / d p ( í | - ----------.^ 1/2 e ÌgPÌ,n e~ p2/4A 2 |p) u
7
7
»
(AVM) '
(ĩ 1 ) = ^l a n Ị dqế 2 {q) I?) u
n
Với *2 (?) biến đổi Fourier

(A

1

aigpK e ~p 2 /4A 2 '

t ứCj

í” hàm
điểm

sau tương
¿2 (?)

(2.
20)

AVM

A>/2
U?) - ^
>/ 7T

MV2^-^2

(2.2



Giải thích vật lý

Thông thường A, = 1/A = gA 1, tương ứng g rộng hoặc / và A lớn (tức, A q nhỏ ) —)■ Pp' 3 > l {p) bao
Ay/2 2
quanh gb n với khối lượng —j=-\a n \ . Giới hạn A —)■ 00 (A, —¥ 0) phản ánh
phép đo
V TT
chính xác phù hợp với MP trong QM theo nghĩa
(i) Pp > l {q) luôn chỉ vào một trong gb n , tức, kết quả đo B luôn là một giá trị riêng
b n của B.
(ii)

P;» l (B = b n ) = \a n |2 (nhớ 1*0 = £n a n I b n ) ).

(iii) nếu
2.3.2.

kết quả là B = b n thì hệ sụp đổ khi trước Ib n )
Các phép đo thông thường không làm việc
Điều gì sẽ xảy ra nếu X = gA p;"{Q) =

71
=
'y \a ị2e-2A2(q2-2gbn+g2bị)
>/ 7T71
^
AA/2
,2 2AV
n
« —7=- /. \an\

e e a4A2gỉ>n
V

V

(2.23)

= ^¿e2AV (1 + 4A2ỔS)
(2-24)
V
V 7T
V ^ A^ ^2A 2 q 2 c 4A 2 gẺ = A ^_ 2 c~ 2A 2 (g2 +
2Bã )
V
\/ lĩ
\flĩ
V
~
2A2(,-9ã)2
V
yjn
V


trong đó B = J2 n \a n \ 2 b n = (èỴ Do vậy
P x ^ l {q) ~ Av ^- 2 c~ 2A 2(9 ~ gg)2
p

(2.

V Trong

chế độ tương tác yếu X đơn đạt tới giá trị trung bình B = X) \a n \ 2 b n và người ta không thể xác định giá
trị riêng của b n . Thậm chí phép đo B là không dễ dàng thực hiện. Trong trường
hợp g < 1 và A = 0(1) sự thay đổi của con trỏ là không quan sát được. Trong
trường hợp g = 0(1) và A nhất hầu như không nhận được thông tin nên sự lặp lại phép đo nhiều lần là
điều cần thiết.
2.3.3.

Phép đo Von Neumann trong trường hỢp đặc biệt - phép đo “yếu”
V Phép

đo thực hiện trên một tập hợp cả pre-selected và post-selected.
Bây giờ, tại t 2 > t đo một vài c Ỷ B và post-select của hệ trong một trạng thái
nhất định * 2> = \ C = c ) = E m l m \ b m ) .
Trạng thái chưa chuẩn hóa thiết bị tương ứng với pre-selected và postselected là :
V
trạng thái chuẩn hóa thiết bị là i tf
tl
(2.
V
(2.27)
V

V

Với |(í ), 2 I 3,,2)|2 xác suất của post-selected. Xét |$'2) trong chi tiết

V

(2.28)

V

(2.29)


Biến đổi sang biểu diễn q
Phép đo trên một tập hợp cả pre-selected và post-selected là đặc
A(q- xét |trường hợp này từ(2.3
> =1E(g nhỏ hoặc—A,// lớn).-AHãy
biệt quan trọng choI*'2
X %>
\Jlĩ
(2.30)
W2
l $, 2>
=
Ỵ2
-A (qV
« ] Ị Ị d q eS/—
AVI/ Ỵ 2 7>n(l
+ 2A\2 g b n ) |g)
7n'
V
n
Av E7>» 6 " A Ỉ(, " 9M

(2.3
P p p ( q ) oJc |d'loin
(9|
Ay
A2q2
,
A
V
= ]Ị n Ị dqe~
( ^ 2 \7>n + 2A2g J] 7>nM I?)
y
V
nn
J
AV
l $, 2> = ] Ị Ị d qdn eq -JA2 2~q/ 2 { Y 1-A7n(qn -+ 2A2 g \Ỵ 2 7n
7 m a m^m
V
n
n
)|
n
V
7 ; Om
W2
— A q
J
|
dqJ2~/n
V

V

2

2

2

2

n

VKí

V
V

a:
l*'
2>

(
n

■ 51 7>„ J d q e ~ A 2 q 2 (1 + 2A 2 g B w )
|ạ)
n
W2

V
V

2

n

V
V

2

E m 7^Q!
m

V
VCho

a

'zW
2

(2.

■$I7X J
n
dqe-

l*'a> = ]Ị^ £ 7>„ / dqe-*2^-2*3^ \q)
Vn

V
V

Cho a: 4; 1
if'2>^v/Ws7x;
V

V

Chú ý rằng:
ETX = (tf21 *!)

V

E^“A = <*2|Ổ|*2)
V
n
Khi đó phương trình trên viết lại
V
(g 2 |â|gi)
V
”
<*21*1)
V

V

V

1^2) = (*2 I Ỹ i ) ^Ị dqe~ A 2 ( q ~ 9 B - ) 2 |g)

Từ ($'2 I $'2) = (*! I * 2 )
-+ |*'2> = \ị^í / dqe-^-o^ 2 \q)
PM =

V
V

w>-

V

V

n

=>

» ^e-“
V 7T V 7T

(2.
33)

(2.
34)

(2.
35)
(2.
36)

-»

p^\l)

=

1(9

I

<& 2 )| 2

(2.
9B 2
^Ị e - 2 A 2 ^-37)
^

=

(2.
38)

(2.40)

, N A^2
Mà đươc so
sánh với p x 4 í l (q) = I (q I <Ê> 2 )| 2 = — 7A^2
^e~ 2A ( q ~ g B '“'> trong
Pp p (9) oc /
7> n e -A2(,—
-A (q1 (
2


Kết luận: Để thực hiện được các phép đo yếu cần hai điều
kiện (ỉ) a:
1 (hàm chuẩn hóa g rất nhỏ hoặc chiều rộng phân bố
là rất nhỏ)
V
(ii) thực hiện đồng thời cả pre-selected và post-selected.
V

2.4.

Một số tính chất của hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai

phép đo
Khái quát

2.4.1.

Một mô tả của các hệ lưởng tử trong khoảng thời gian giữa hai
phép đo liên tiếp đã được thực hiện. Với hai hàm sóng, trước pre-selected
(được chọn trước) bởi phép đo đầu và thứ hai post-selected (được chọn sau)

bởi phép đo cuối, mô tả hệ lượng tử tại một thời điểm duy nhất. Nó chỉ ra rằng
làm thế nào phương pháp này đưa đến một khái niệm mới: giá trị yếu của một
quan sát. Các giá trị yếu này là kết quả của một đặc điểm mới của hệ lượng tử
giữa hai phép đo. Chúng là kết quả của một quá trình đo chuẩn mà thực hiện
một số yêu cầu của “sự yếu”, gọi đó là phép đo yếu. Ý nghĩa vật lý, nhờ công
thức toán học và sự thành công của việc sử dụng thực tế của phép đo yếu đã
được khám phá [2],
V
Gần đây các nhà nghiên cứu phát triển một hệ lượng tử trong
khoảng thời gian giữa hai phép đo. Mô tả này đã khám phá ra một số khía cạnh
mới của lý thuyết lượng tử.
V
Trong cách tiếp cận mới, chỉ định một hệ lượng tử tại một thời
điểm cho hai hàm sóng (thay vì một hàm sóng). Ngoài ra cùng với hàm sóng
chuẩn, chúng tôi xét một hàm sóng khác, phát triển từ tương lai đến quá khứ.
về hình thức hai hàm sóng được giới thiệu bởi Ahanorov, Bergman và Lebonitz
để đơn giản hóa phép tính toán xác suất trong việc tìm kiếm kết quả đưa ra
trong một phép đo được thực hiện trong thời gian trung gian giữa hai phép đo
khác [2].
V
Kết quả quan trọng nhất trong cách tiếp cận này là khả năng định
nghĩa một khái niệm mới: giá trị yếu của một biến lượng tử. Nó là một đặc tính
vật lý của một hệ lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một hệ lượng
tử thuộc một tập hợp là cả pre-selected and post-selected. Đặc tính này có thể
biểu thị chính nó thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu”.
Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào
V