MÔMEN từ dị THƯỜNG của ELECTRON và PHƯƠNG PHÁP điều CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG điện ĐỘNG lực học LƯỢNG tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2012

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2012

2


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa h ọc này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể
cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ,
dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý
báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa Vật
lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành Bản luận văn này .

Hà Nội, 1 tháng 10 năm 2012
Học viên

Phạm Thị Thuận

3


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................….4

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON ......….7
1.1.Phương trình Pauli........................................................................................... …7
1.2. Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối
tính.........................................................................................................................….8
1.3. Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli .................................. ….11
CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ
THƯỜNG CỦA ELECTRON ………………………………………………………..20
2.1. S-ma trận ..................................................................................................... …..20
2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường .................. …..24
2.3. Hệ số dạng điện từ....................................................................................... ......25
CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG ................................ …..29
3.1. Bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng .............................…..29
3.2. Mômen từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử ................................. …..36

KẾT LUẬN.............................................................................................................. …..38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... …..39
PHỤ LỤC A............................................................................................................. …..40
PHỤ LỤC B ............................................................................................................. …..49
PHỤ LUC C ............................................................................................................. …..50

4


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1. Chương I……………………………………………………………………...21
Hình 2. Phụ luc A……………………………………………………………………...43
Hình 3. Phụ lục A……………………………………………………………………...45

5

MỞ ĐẦU
Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện
động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của
QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa
vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối
lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý
qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb
của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dị thường của
electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính
xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron
với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ của tương
tác
µ=

này

được

mô

tả

e0 h
e
= µ0
= 0
| h = c = 1 2m0
2m0 c

bằng

mômen

từ

electron

µ,

và

nó

bằng

( m0 và e0 là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của

electron, µ0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi
tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ
electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron ( m0 → mR ) và điện tích electron

( e0 → eR ) sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường.
Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng µ = 1, 003875 µ0 ,
giá trị này được gọi là mômen từ dị thường của electron. J. Schwinger /13/ là người
đầu tiên tính bổ chính cho mômen từ dị thường của electron vào năm 1948 và ông
thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi

6


tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng
10 −10 % ). Biểu thức giải tích của mômen từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã

thu được
µly thuyet

 α
α2
α3 
= µ0 1 +
− 0,32748 2 + 1,184175 3  =
π
π 
 2π

(0.1)

= 1, 001159652236 ( 28 ) .µ0

µ R = 1, 00115965241( 20 ) .µ0

(0.2)

Ở đây về cơ bản các giá trị mômen được tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu
loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
mômen từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình

tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đang
được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết
luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục.
Chương 1. Phương trình Pauli và mômen từ của electron. Phương trình Pauli
và mômen từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ
phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình
Pauli với số hạng tương tác của mômen từ electron với trường ngoài /1/. Mục 1.2
dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính

( )

phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng v c , v – là vận tốc của
hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phương

( )

trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi
Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3.
Chương 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường của
electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu vắn tắt

7


các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ
ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng
góp cho mômen từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật
lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính.
Chương 3. Mômen từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng. Trong

mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và phần
phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính
cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2. Lưu ý,
việc tính mômen từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này
bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc bỏ qua
phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối
lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liên quan
tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu
nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường của electron.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát
hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự.
Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và
metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :
r
x µ = x 0 = t , x1 = x, x 2 = y , x 3 = z = ( t , x )

(

)

r

thì các véctơ tọa độ hiệp biến : xµ = g µν xν = ( x0 = t , x1 = − x, x2 = − y, x3 = − z ) = ( t , − x ) ,

trong đó

g µν = g µν

1 0 0 0 



0 −1 0 0 
=
 0 0 −1 0 


 0 0 0 −1 

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON

8


Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trường
điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger
bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài được
giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực

( )

hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc v c ta có phương trình Pauli
cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình
Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen.
1.1 Phương trình Pauli
Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ
ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình Pauli
có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song ψ trong
r

phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần ψ ( r , t ) phụ thuộc
vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là sz . Kết quả
r

để cho hàm sóng ψ ( r , sz , t ) là một spinor hai thành phần
  r h 
ψ 1  r , + 2 , t  
r


ψ = ψ ( r , sz , t ) = 
  r h 
ψ 2  r , − , t  
2 
 

(1.1)

Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của
hạt với spin bằng h 2 .
r

r

(1.2)

µ = µ0σ ,
r

µ0 - là magneton Bohr, còn σ là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài,

ta có thêm năng lượng tương tác phụ.
rr
e r  e0 h r r
r
∆U = − µ H =  µ =
s =
sH
mc  2m0 c


( )

Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng

9

(1.3)


r
p2
H=
+ U (r )
2m0

(1.4)

Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây
trong phương trình Schrodinger

r
r e r
p→ p− 0 A
c
E → E − e0ϕ

(1.5)

Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ
rr
eh rr
∆U = − µ H = 0 sH . Kết quả ta thu được phương trình
2m0 c

( )

ih

r
∂ψ ( r , s z , t )
∂t

 1  r e0 r  2
e0h r r  r
ϕ
=
p
−
A
+

e
r
+
U
r
+
sH ψ ( r , s z , t )
(
)
(
)
0


c 
2m0c
 2m0 


(1.6)

r

ở đây ϕ ( r ) , A( r ) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình (1.6) là
phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann.
1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương
đối tính
Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có:
ih


∂ψ ( x)  r  r e0 r 
= cα  p − A  + e0 A0 + β m0 c 2 ψ ( x)
∂t
c 
 


(1.7)

Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các
spinor hai thành phần
ψ 
ψ 
ψu =  1 , ψ d =  3 ,
ψ 2 
ψ 4 

ψ 
ψ = u 
ψ d 

(1.8)

Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình

∂ψ u
r r e r
= cσ  p − 0 A ψ d + e0 A0 + m0c 2 ψ u 
∂t

c 



r
∂ψ d
r e 
ih
= cσ  p − 9 A ψ u + e0 A0 + m0c 2 ψ d 

∂t
c 


ih

(

(

10

)

)

(1.9)


Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần

dưới). Kể thêm

 v2  (±)
 ∂
0  (±)
2
i
e
A
ψ
m
c
1
O
h
−
=
±
+

 2  ψ u , d
0
0

 u ,d
 ∂t

 c 


(1.10)

Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)
(+)

ψd

r
 v2 
σ  r e0 r  ( + )
=
 p − A ψ u + O  2 
2m0c 

c



(1.11)

c 

Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-)
ψ

( −)
u

r
 v2 

σ  r e0 r  ( − )
=
 p − A ψ d + O  2 
2m0c 



c

(1.12)

c 

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor ψ d liên hệ với
ψ u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor ψ u liên hệ với ψ d thừa số

( v c ) . Thay

(1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có
1





ψ =
ψ u
 O (v / c ) 
∂ψ d  1
ih

=
∂t
 2m0

 r r e
σ  p − c
 

r  2
 v3  
A   + m0 c 2 + eA0 + O  3  ψ u

 c  

(1.13)

Và để cho nghiệm âm
 O (v / c ) 
ψ d
1



ψ =
 1
∂ψ
ih u = −
∂t
 2m0

 r r e
σ  p − c
 

r 2
 v3  
A   − m0 c 2 + eA0 + O  3  ψ d

 c  

(1.14)

Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau
r

r

rr

r

r

(σr A) (σr B ) = ( AB) + iσr ( A × B) ,
r e
 p−
c


r  r e r

eh r
A×  p − A = − B
c 
ic
 

Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac

11

(1.15)


∂ψ

= H nrψ

∂t

2

 v 3  
eh r r 
1  r e r
2
0
σˆ B  + O  3  , 
= β  m0c +
 p − A  + eA −
2m0 

c 
2m0c


c  

r  σr 0 

σˆ = 
r
0 σ

ih

H nr

đúng đến bậc

( v c ) cùng với toán tử và tự liên hợp H
2

2

nr

(1.16)

. Nếu chúng ta giới hạn ở

nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác

m0 c 2 trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật

đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình
rr

Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác − MB giữa mômen từ (hay
spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số
từ hồi chuyển đúng đắn
M (e) =

eh
eg
σ=
S,
2m0 c
2m0 c

g=2

(thừa số Lande)

(1.17)

Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện
tượng luận – “đưa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạn
r

r

trên dẫn đến các kết quả sai M ( p ) = −eS / ( m p c ) . Rõ ràng trong những trường hợp này
liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những
hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với các mômen từ
đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem
them bài tập 11 và 22)
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác
suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác

(v c ) .
2

2

12


ρ = ψ †ψ , j =

h  †
2ie

ψ β ∇ψ − ∇ψ † βψ −
Aψ † βψ 

2im 
hc


(

)

(1.18)

Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục ∂ρ / ∂t + ∇j = 0 và trong trường hợp
nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính.
1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường

( c ) và sai sót trong Hamilton ở

2
điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v

( c ) . Trong giới hạn này H

3
bậc v

3

nr

2

là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn

toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì
ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –
Wouthuyen cho phương trình Dirac.

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc ( v / c ) và phương trình Dirac ở dạng
m0 c 2 Kψ = 0,

K = β +ε +ω

(1.19)

cùng với
ε =−

 v2 
 v2 
1  ∂
0
i
h
eA
O
O
β
ε
O
−
=
(1)
+
,
+
=
 2

 2


m0 c 2  ∂t

c 
c 

(1.20)

và
ω=

ở đây ε và

cα 
e 
v
p − A = O  
2 
m0 c 
c 
c

(1.21)

( β + ε ) là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc

chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp U = eiS , U ′ = eiS ′ , . . . với mục đích là
thay đổi các biểu diễn mới trong đó ω cao hơn và cao hơn bậc

( v / c ) sao cho không

động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc ( v / c ) . Như
vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được
m0 c 2 K ′ψ ′ = 0,

ψ ′ = Uψ ,

13

K ′ = UKU −1

(1.22)


 v2 
,
2 
c 

K ′′ = β + ε ′ + ω ′,

 v3 
(hay cao hơn)
3 
c 

β +ε′ = O

ω′ = O 

(1.23)

Và phép biến đổi thứ hai ta có
m0 c 2 K ′′ψ ′′ = 0,

K ′′ = U ′K ′U ′−1

ψ ′′ = U ′ψ ,
 v2 
′′
β + ε = O 2 ,
c 

K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′,

 v5 
′′
ω = O  5  (hay cao hơn)
c 

(1.24)
(1.25)

và tiếp tục..Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là
U = eiS ′ ,

S′ = −

i βω ′
2

(1.26)

Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng như công
thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán τ 3 → β cho việc tính toán kết quả
K. Điều này sẽ dẫn đến
(1.27)

K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′

Cùng với
 v2 
O 2 
c 
↓

ε ′′ = ε ′
ω ′′ = −

+

ω ′3
3

 v6 
O 6 
c 
↓

βω ′2
2

+

β
2

 v12 
O  12 
c 
↓

 v8 
O 8 
c 
↓

βω ′4

1
−
− ω ′, [ω ′, ε ′] + ...
8
8

[ω ′, ε ′] +

 v2 

= O 2 
c 

 v5 
ω ′, ω ′, [ω ′, ε ′]  + ... = O  5 

48 
c 

β

(1.28)
(1.29)

Như ta đã thấy ω ′ bây giờ đã nâng lên hai bậc ( v / c ) Từ đây chúng ta nhận được toán tử

( c ) , đúng trong phương trình Pauli (1.16)

3
K ′ = β + ε đúng đến bậc v

3

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép
biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K ′ cùng

14


U ′ = eiS ′ , S ′ = −

i βω ′
2

(1.30)

Từ đây suy ra
(1.31)

K ′′ = β + ε ′′ + ω ′′

cùng với
 v2 
O 2 
c 
↓

ε ′′ = ε ′

 v6 
O 6 
c 
↓
+

 v12 
O  12 
c 
↓

βω ′2

−

2

 v8 
O 8 
c 
↓

(1.32)
 v2 
= O 2 
c 

βω ′4

1
− ω ′, [ω ′, ε ′] + ...
8
8

và
ω ′′ = −

ω ′3
3

+

β
2

[ω ′, ε ′] +

 v5 
ω ′, ω ′, [ω ′, ε ′]  + ... = O  5 

48 
c 

β

(1.33)

( c ) (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn

5
Bỏ qua tất cả các số hạng O v

K ′′ = β + ε +

βω 2

−

2

5

 v5 
1
− ω , [ω , ε ] + O  5 
8
8
c 

βω 4

(1.34)

Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac
ih

∂ψ ′′
= H ′′ψ ′′
∂t

(1.35)

Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau
ω2 =

=

=

i
2 2

m0 c

1
m02 c 2

1
m02 c 2

 
e   
e 
α  p − c A   α  p − c A  
  

 

∑α α
i

i, j




e

j

e 
e 


 pi − Ai   p j − Aj 
c 
c 





e




1 

0

e 


∑ ε ijkσˆ k  pi − c Ai  p j − c Aj  + m2c 2  p − c A 

i , j ,k

15

2

ie
1 
e 
=−
σˆ ( p × A ) + 2 2  p − A 
3
m0 c
m0 c 
c 

eh
1 
e 
=−
σˆ B + 2 2  p − A 
3
m0 c
m0 c 
c 

2

2

(1.36)

Tiếp theo ta tính giao hoán tử

[ω , ε ] = −

=

 
e 
∂
0
α  p − c A  , ih ∂t − eA 

 


1
m02 c3

1 
ieh  ∂  
e α p, A0  +
A,

2 3  
m0 c 
c  ∂t  

=−

ieh  0 1  ieh
α  ∇A + A  = 2 3 α E
m02 c3 
c  m0 c
 

e 

α  p − c A  , α E 

 


ieh
ω , [ω , ε ] = 3 4
m0 c

ieh
[α p,α E ]
m03c 4

=
=
=

=

ieh
m03c 4

ieh
m03c 4

∑α α ( p E
i

j

i

j

i, j

− Ei p j )

∑ {α α ( p E ) + α , α
i

j

i

j

i, j

i

j

 E j pi

}



ieh 
iε σˆ + δ ij )( pi E j ) + ∑ 2iε ijkσˆ k E j pi 
3 4  ∑ ( ijk k
m0 c i , j ,k
i, j

=

ieh 2
eh 2
2eh
ˆ
σ
∇
×
E
+
(
) 3 4 ∇E + 3 4 σˆ ( E × p )
3 4
m0 c
m0 c
m0 c

(1.37)

Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau
)
α i , α j  = 2iε i j kσ k

α iα j = iε i j kα k ,

16

(1.38)


( c ) với việc chéo hóa Hamilton

4
Đúng đắn đến bậc O v

4

2


 1 
1 
e 
eh
e
2
H ′′ = β  m0 c +
σˆ B  + eA0 − β  3 2  p −
 p − A −
2m0 
c  2m0 c
c



 8m0 c 

4

e2 h2

A  + 3 4 B2 
 8m0 c


 v5 
eh 2
ieh 2
eh
− 2 2 ∇E − 2 2 σˆ ( ∇ × E ) −
σˆ ( E × p ) + O  5 
8m0 c
8m0 c
4m02 c 2
c 

(1.39)

Và ta có hàm sóng
ψ ′′ ( x ) = e − iβω ′/ 2e −iβω /2ψ ( x )

(1.40)

Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những

bậc cao hơn có thể thực hiện ( v / c ) Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây
- Khi các S , S ′, . . . là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
U , U ′, . . . cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung

bình như phép biến đổi U [.]U −1.
- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa ∂A / ∂t = 0 khi sự biến đổi
Kψ = 0 → K ′ψ ′ = 0,

K ′ = UKU −1 = UKU † ,

ψ ′ = Uψ

(1.41)

tương đương với
ih

∂ψ
∂ψ ′
= Hψ → ih
= H ′ψ ′,
∂t
∂t

∂

H ′ = U  H − ih  U †
∂t 


(1.42)

- Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến đổi
cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phương pháp
Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng với kích
thước so với bước sóng Compton của hạt.
- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng
đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy –
Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn
nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng.

17


m0 c 2 K (0)ψ (0) = 0,

K (0) = β + ε (0) + ω (0)

(1.43)

Cùng với các toán tử chẵn ε ( 0) , β + ε (0) = O ( v 2 / c 2 ) và toán tử lẻ ω ( 0) = O ( v / c ) lặp lại
các hệ thức này theo
K ( n ) = β + ε ( n ) + ω ( n ) = U ( n −1) K ( n −1)U ( n −1)†

ψ ( n ) ( x ) = U ( n −1)ψ ( n −1) ( x )
 i βω ( n ) 
U ( n ) = exp  −

2 



(1.44)
(1.45)
(1.46)

Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó
 v2 
,
2 
c 

 v 2 n +1 
2 n +1 
c


β + ε (n) = O 

ω (n) = O 

(1.47)

Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và

(

2 n −1
phản hạt và đúng cho bậc O v

c 2 n −1

).

-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98).
Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp
electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện
eA0 = V ( x ) = V ( r ) , A = 0

(1.48)

Trong trường hợp này ta có
B = 0,

E = −∇A0 = −

1 x ∂V
,
e r ∂r

∇× E = 0

(1.49)

Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng
H u′′ = m0 c 2 +

p2
p4
h2

h 1 ∂V
+ V ( r ) − 3 2 + 2 2 ∇ 2V +
σL
2m0
8m0 c 8m0 c
4m02 c 2 r ∂r

(1.50)

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần thứ
năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể
gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác
giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng

18


trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1. Trong
trường hợp của thế Coulomb

V ( r ) = − Ze 2 / r hai thành phần cuối cùng là

π Ze 2 h 2
2m02 c 2

δ ( r ) và

Ze 2 h r r
σL
4m02 c 2 r 3

(1.51)

Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái.
Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của
phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây suy
ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho phương
trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là
gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn

( v / c ) . Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là
đúng đắn đến bậc được nghiên cứu ( v / c ) , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để
cho hạt và cho phản hạt.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars, là
phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so
sánh với bước sóng Compton.
- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép
khai triển ( v / c ) là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.
Hamiltonian của phương trình có dạng
H =−

r 2
1 r
rr
p − eA + eϕ − µ H
2m

(

)

Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau: Ltrong
hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với spin của nó.
Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét thì số hạng
này quá lớn và lớn hơn 2.
1

19


rr

r

r

µ H mô tả tương tác của moment từ riêng µ với từ trường ngoai H . Hạt có spin bằng

½ có điện tích e, sẽ có mômen từ
r

r

µ = µ0σ =

eh r eh r
σ=

S
2mc
mc

- Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng
µ0 =

eh
- magneton Bohr
2mc

Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thường của electron
µ = µ0 (1 + a )
µ0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới đây
là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân
không vật lý.

20


CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ
DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON
Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-matrận
tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Aµext ( x ) .
Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng
góp vào mômet từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật
lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

2.1 S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài. Nếu trường ngoài là
rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về nguyên tắc ta
có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận
/1/

(

)

S = T exp ∫ Lint ( x ) d 4 x ;

(

(

)

Lint ( x ) = ieN ψγ µψ Aµext ;

)

(

(

)

S0 = 1; S1 = T ∫ Lint ( x ) d x = T ie ∫ N ψγ µψ Aµ
4

trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ

21

ext

( x) d

4

)

x ;

(2.1)


∞
Z2 Z3
Zn
e = 1+ Z +
+
+ ... = ∑ ,
2! 3!
n =0 n !
Z

(2.2)

Z = ie ∫ N (ψγ µψ ) Aµext ( x ) d 4 x

Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
có thể viết:

p2 | S | p1 = p2 | S0 | p1 + p2 | S1 | p1 + p2 | S 2 | p1 + ...

(

)

= p2 | p1 + ieT p2 | ∫ N ψγ µψ Aµext ( x ) d 4 x | p1 + .........

(2.3)

trong đó p1 , p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e,
và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này
(xem Hình 1).

(a)

(b1)

(b3)

(b2)

(b4)

22


Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đường electron
trường điện từ ngoài
đường photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng p1 bay vào vùng có
trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp nhất. Các giản
đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật lý- chân
không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho
đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4)
liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron,
các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ
qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp
chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b1) cho mômen từ dị thường của
electron
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản
đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
∞

p2 | S1 | p1 = −e0 ∫ d 4 xb p2 | N (ψ ( x )γ µψ ( x ) ) Aµext ( x ) | p1 .
−∞

23

(2.4)


Vì trường ngoài

Aµext ( x ) không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta có

thể bỏ ra ngoài N-tích và p2 | ... | p1 , đồng thời khai triển các toán tử ψ ( x ) và ψ ( x )
thành các toán tử sinh hủy hạt.

N (ψ ( x)γ µψ ( x ) ) = N ψ ( + )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( − ) + ψ ( + )γ µψ ( − )  ,
với: ψ ( + ) ( x ) :toán tử hủy e + ; ψ ( + ) ( x ) :toán tử hủy e− ;
ψ ( −) ( x ) :toán tử sinh e− ;

Vì

(

ψ ( −) ( x ) :toán tử sinh e + .

)

N (ψ ( + )γ µψ ( − ) ) = N ψ α+ ( γ µ ) ψ β− = −ψ β(

(

αβ

−)

(γ µ )βα ψ α( + ) = −ψ

( −)

γ%µψ ( + )

)

nên N ψ ( x )γ µψ ( x ) = N ψ ( + )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( − ) + ψ ( + )γ µψ ( − ) 
+
+
−
+
−
−
−
+
= ψ ( )γ µψ ( ) + ψ ( )γ µψ ( ) + ψ ( )γ µψ ( ) −ψ ( )γ%µψ ( ) .

(2.5)

Xét yếu tố ma trận:

〈 p2 | N (ψγ µψ ) | p1 〉 = 〈 0 | c ( p2 ) N (ψγ µψ ) c + ( p1 ) | 0〉

{| p〉 = c + ( p ) | 0〉;

| p2 〉 = c + ( p2 ) | 0〉}

= −〈 0 | c ( p2 )ψ ( + )γ µψ ( + )c + ( p1 ) | 0〉 + 〈 0 | c ( p2 )ψ ( + )γ µψ ( − ) c + ( p1 ) | 0〉

+〈0| c( p2 )ψ (

−)

γ µψ

( −)

−
+
c+ ( p1 ) | 0〉 −〈0| c( p2 )ψ ( )γ%µψ ( ) c+ ( p1 ) | 0〉

Khi chuyển các toán tử sinh electron
hủy electron

(2.6a)

c + ( p1 ) từ phải sang trái và chuyển các toán tử

c ( p2 ) từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư của (2.6)

bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.

24


〈 p2 | N (ψγ µψ ) | p1 〉 = 〈 0 | c ( p2 )ψ ( − )γ µψ ( + )c + ( p1 ) | 0〉
= 〈 p2 | ψ ( − )γ µψ ( + ) | p1 〉 = 〈 p2 | ψ ( − ) ( x ) | 0〉γ µ 〈 0 | ψ ( + ) ( x ) | p1 〉

1

=




2π

3
2



( )
m
p20

1
2

u ( p2 ) e

)

(

2
= 1 3 pmp
 2π 

10 20





1
2

− ip x

2

( )

γ µ 1 3 pm
10
 2π  2





u ( p2 ) γ µ u ( p1 ) e

1
2

u ( p1 ) e

−i  p − p  x


2

1

ip x

1

(2.6b)

.

Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :
1

m2 2
p2 | S1 | p1 = −e0  p 0p  u ( p2 ) γ µ u ( p1 ) Aµext ( p2 − p1 ) ,
 10 20 

(2.7)

+
trong đó: u ( p1 ) : spinor của electron ở trạng thái đầu ; u ( p2 ) = u ( ) ( p2 ) .γ 4 ;

ext

Aµ

( p2 − p1 ) = ∫ e

− i  p − p  x


2

1

Aµext ( x ) d 4 x

là thế điện từ ngoài.
Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:

p2 S1 p1 = δ ( p20 − p10 ) R fi

(2.8)

trong đó R fi được xác định bằng công thức:
1/ 2

 m0 2 
R fi = −2π e0 .

 p10 p20 

u ( p2 ) γ µ u ( p1 ) Aµext ( p2 − p1 )

25

(2.9)