MỘT số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG của THUẬT TOÁN và ỨNG DỤNG (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------

Bế Thị Hương

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

Bế Thị Hương

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Cơ sở Toán học cho Tin học
Mã số: 60460110

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINH

Hà Nội – Năm 2015

MỞ ĐẦU
Để đánh giá một thuật toán là tốt có rất nhiều tiêu chí
trong đó không thể bỏ qua tính đúng của thuật toán. Và đây
cũng là nội dung chính của luận văn này theo đề tài nghiên
cứu: “Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật
toán và ứng dụng”. Luận văn nhằm tìm hiểu, nghiên cứu,
tổng hợp phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương, nội dung chính như sau:
Chương 1. Tổng quan về phân tích thuật toán.
Chương này nhằm tổng hợp lại một số kiến thức
chung về bài toán, thuật toán, cấu trúc dữ liệu, chương trình
và kiến thức về phân tích thuật toán. Trong chương này còn
tổng hợp lại một số phương pháp thiết kế thuật toán thường
sử dụng trong thực tế. Như kỹ thuật đệ quy, phương pháp
chia để trị, phương pháp quay lui, phương pháp nhánh cận,
phương pháp quy hoạch động và phương pháp tham lam.
Chương 2. Một số phương pháp chứng minh tính đúng
của thuật toán.
Nội dung chương này gồm các chiến lược chứng minh
tính đúng của thuật toán; các phương pháp cụ thể để chứng
1


minh tính đúng của thuật toán như phương pháp quy nạp và
phương pháp bất biến vòng lặp.
Trong đó, phương pháp quy nạp chứng minh cho các
thuật toán đệ quy, phương pháp bất biến vòng lặp chứng
minh cho các thuật toán không đệ quy. Đối với mỗi phương

pháp trình bày về đặc điểm, phương pháp chung đồng thời
nêu một số ví dụ về thuật toán và chứng minh tính đúng của
các thuật toán đó.
Chương 3. Ứng dụng chứng minh tính đúng của một
số thuật toán.
Nghiên cứu một số bài toán có sử dụng các thuật toán
kinh điển, thường sử dụng và vận dụng lý thuyết của chương
2 để chứng minh tính đúng của các thuật toán đó. Như bài
toán dãy con đơn điệu tăng dài nhất; Chia kẹo; Cây bao trùm
nhỏ nhất.

2


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT
TOÁN
Để khẳng định được một thuật toán là tốt là một điều
không dễ dàng gì. Thật vậy, để đánh giá một thuật toán tốt ta
cần rất nhiều kỹ thuật từ thiết kế, phân tích đến đánh giá một
thuật toán. Ở chương này đề cập tổng quát đến các vấn đề
trong phân tích thuật toán và một số thuật toán cơ bản
thường dùng trong khoa học tính toán hiện đại.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1. Bài toán
Điểm quan trọng đầu tiên khi giải một bài toán trên
máy tính đó là cần xác định rõ những gì đã biết input (dữ liệu
vào) và kết quả cần thu được output (dữ liệu ra) và phân tích
mối quan hệ giữa hai yếu tố đó.
1.1.2. Thuật toán (Algorithm)
Để giải một bài toán trên máy tính sau khi đã xác định

rõ ràng về bài toán việc quan trọng nhất là phải đưa ra một
thuật toán tốt, thuật toán này có thể là một thiết kế mới hoặc

3


lựa chọn một thuật toán đã có. Thuật toán là để biểu diễn về
cách giải một bài toán trên máy tính.
Định nghĩa: Thuật toán (Algorithm) để giải một bài
toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một
trình tự xác định, sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,
từ dữ liệu vào có thể là một giá trị hoặc một tập giá trị (input)
của bài toán ta nhận được một giá trị hoặc một tập giá trị còn
gọi là dữ liệu ra (output) của bài toán đó.
1.1.3. Cấu trúc dữ liệu (Data Structure)
1.1.4. Chương trình (Program)
Chương trình = Thuật toán + Cấu trúc dữ liệu.
Chương trình là sự thể hiện bằng một ngôn ngữ lập trình cụ
thể một thuật toán đã cho được thể hiện trên một cấu trúc dữ
liệu xác định. Việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp với
thuật toán hoặc ngược lại lựa chọn thuật toán phù hợp với
cấu trúc dữ liệu cụ thể còn phụ thuộc vào mục đích của
chương trình, kỹ năng người lập trình và khả năng của ngôn
ngữ lập trình cụ thể.

4


1.2. Một số phương pháp thiết kế thuật toán
Ngày nay có nhiều phương pháp thiết kế thuật toán đã

được nghiên cứu và sử dụng trong công nghệ phần mềm. Có
những bài toán có thể giải được bằng thuật toán nhưng cũng
những bài toán chưa có thuật toán hoặc chỉ có thuật toán cho
lời giải tương đối chấp nhận được. Trong luận văn này
nghiên cứu về các phương pháp thiết kế thuật toán và ứng
dụng cho các bài toán có thuật toán để giải.
1.2.1. Kỹ thuật đệ quy
Đệ quy là một khái niệm cơ bản trong toán học và tin
học. Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa
qua chính nó hoặc một đối tượng cùng dạng với chính nó
bằng quy nạp. Ý tưởng của kỹ thuật đệ quy đó là chia bài
toán cần giải quyết thành nhiều bài toán nhỏ hơn, việc chia
này thực hiện cho đến khi bài toán con có lời giải và lời giải
này thường là tường minh và tương đối đơn giản.
Khái niệm giải thuật đệ quy: Một bài toán T được
thực hiện bằng giải thuật của một bài toán T’ có dạng giống
như T thì giải thuật đó gọi là giải thuật đệ quy.

5


Bài toán T’ tuy có dạng giống bài toán T nhưng T’
theo một nghĩa nào đó phải là bài toán nhỏ hơn T. Bài toán
T’ phải dễ giải hơn bài toán T và việc giải bài toán T’ không
cần dùng đến T.
1.2.2. Phương pháp chia để trị (Divide and Conquer)
Phương pháp chia để trị có tư tưởng là chia bài toán
ban đầu thành các bài toán con tương tự. Các bài toán con
tiếp tục được chia nhỏ hơn, cứ chia liên tiếp như vậy cho tới
khi gặp bài toán con đã có lời giải hoặc có thể dễ dàng đưa ra

lời giải. Sau đó lần lượt giải các bài toán con này và kết hợp
các kết quả lại với nhau ta thu được kết quả cần tìm của bài
toán ban đầu.
1.2.3. Phương pháp quay lui (Backtracking)
Tư tưởng của thuật toán quay lui đó là tìm nghiệm của
bài toán bằng cách xem xét tất cả các phương án có thể. Ta
có thể thử duyệt các phương án cho đến khi tìm thấy phương
án đúng còn gọi là phương pháp thử sai. Với tốc độ xử lí
nhanh của máy vi tính thì phương pháp này có thể giải quyết
được nhiều bài toán tuy nhiên nếu kích thước bài toán quá
lớn thì nó trở nên không phù hợp. Bởi vì nếu kích thước bài
6


toán lớn thì kéo theo thời gian duyệt các phương án và độ
phức tạp về mặt không gian cũng lớn và có thể lớn đến mức
nào đó không thể chấp nhận được. Do đó phương pháp này
thường chỉ hữu dụng với các bài toán có kích thước nhỏ.
1.2.4. Phương pháp nhánh cận
Tư tưởng của phương pháp nhánh cận như sau: Ta
xây dựng dần dần các thành phần của nghiệm. Giả sử ta đã
xây dựng được k thành phần của véc tơ nghiệm

( x1 , x 2 , ..., x k ) , nhiệm vụ tiếp theo là phải xây dựng được
thành phần thứ k+1 tức là tìm xk+1 cho phù hợp. Trong quá
trình mở rộng nghiệm như vậy nếu như bằng cách nào đó có
thể đánh giá được tất cả các nghiệm mở rộng của nó

( x1 , x 2 , ..., x k , x k+1 ,...)

đều không tốt bằng nghiệm tốt nhất

đã biết thì ta không mở rộng nghiệm theo nhánh này nữa.
Như vậy thuật toán nhánh cận sẽ nhanh hơn thuật toán quay
lui vét cạn vì nhánh cận không phải duyệt hết tất cả các
trường hợp của bài toán. Nói tóm lại, với phương pháp nhánh
cận ta có thể thu hẹp phạm vi tìm kiếm nghiệm bằng cách
đánh giá trong quá trình ta mở rộng các thành phần của
nghiệm để bỏ đi những nhánh chắc chắn không phải là
7


nghiệm của bài toán. Do đó phương pháp nhánh cận sẽ
nhanh hơn và bớt độ phức tạp về mặt không gian.
1.2.5. Phương pháp quy hoạch động (Dynamic
Programming )
Phương pháp quy hoạch động nhìn chung được áp
dụng cho lớp các bài toán tối ưu và cho kết quả đúng. Trong
thuật toán giải bài toán tối ưu thường phải giải quyết nhiều
trường hợp có thể quy về các bài toán con để giải và lựa chọn
giải pháp tối ưu nhất của bài toán.
Các bước để giải bài toán bằng quy hoạch động gồm
những công việc chính sau đây:
− Tìm nghiệm của bài toán con nhỏ nhất (Thường là
trường hợp suy biến);
− Tìm công thức (gọi là công thức truy hồi) xây dựng
nghiệm cho bài toán con thông qua nghiệm của bài
toán con nhỏ hơn;
− Tạo bảng phương án lưu trữ giá trị nghiệm của các bài
toán con;

− Từ bảng phương án suy ra nghiệm của bài toán ban
đầu cần giải.
8


1.2.6. Phương pháp tham lam (Greedy Method)
Tư tưởng của phương pháp tham lam như sau: Ta
xây dựng dần dần các thành phần của nghiệm. Giả sử ta đã
xây dựng được k thành phần của véc tơ nghiệm

( x1 , x 2 , ..., x k ) , nhiệm vụ tiếp theo là phải xây dựng được
thành phần thứ k+1 tức là tìm xk+1. Lúc này thành phần xk+1
được lựa chọn theo tiêu chí là tốt nhất theo hàm f(X) trong
tập các ứng cử viên Sk để được

( x1 , x 2 , ..., x k , x k+1 ) .

Cứ

tiếp tục xây dựng như vậy cho đến hết các thành phần của
nghiệm X.
Với cách làm như vậy có một số bài toán nếu xây
dựng được hàm f(X) thích hợp thì có thể tìm được nghiệm
tối ưu. Còn đối với phần nhiều bài toán ta chỉ tìm được
nghiệm gần đúng với nghiệm tối ưu khi sử dụng thuật toán
tham lam.
1.3. Phân tích thuật toán
Phân tích thuật toán gồm nhiều vấn đề như phân tích
tính đúng, tính hiệu quả, độ phức tạp của thuật toán.

9


1.3.1. Tính đúng đắn của thuật toán
Thiết kế xong một thuật toán câu hỏi luôn luôn phải
có đó là thuật toán được thiết kế đã đúng chưa? Cách đơn
giản nhất mà được sử dụng thông dụng đó là viết chương
trình cho thuật toán đã thiết kế và chạy thử chương trình với
nhiều bộ dữ liệu vào cụ thể (tests) để kiểm tra dữ liệu ra có
chuẩn xác hay chưa. Tuy nhiên, cách này cũng chỉ khẳng
định được thuật toán đúng với các trường hợp cụ thể mà thôi.
Có một cách khác chứng minh được thuật toán đúng đó là
chứng minh bằng toán học. Nhưng với cách chứng minh
thuật toán đúng bằng toán học thì phức tạp hơn nhiều và đòi
hỏi nhiều kiến thức tổng hợp cả về toán học và tin học cộng
với khả năng của người thực hiện việc chứng minh thuật
toán. Chúng ta sẽ nghiên cứu việc này cụ thể hơn ở các
chương sau.
1.3.2. Độ phức tạp thuật toán
a) Độ phức tạp về mặt thời gian
b) Độ phức tạp về mặt không gian

10


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN
Chúng ta đã biết thuật toán là vô cùng quan trọng và
có thể nói là thuật toán mang tính chất quyết định để giải một
bài toán trên máy tính. Nhưng một thuật toán vừa thiết kế

xong chưa thể khẳng định được ngay là thuật toán đó có
đúng hay không. Ở chương này nghiên cứu tổng quan về các
chiến lược chứng minh tính đúng của thuật toán. Nghiên cứu
chi tiết về chiến lược chứng minh tính đúng của thuật toán
một cách trực tiếp dựa vào toán học mà không cần chạy các
bộ test chương trình cụ thể.
2.1. Các chiến lược chứng minh tính đúng thuật toán
Để kiểm tra thuật toán có đúng hay không ta có nhiều
chiến lược như kiểm thử, chứng minh tính đúng hoặc kết hợp
cả kiểm thử và chứng minh tính đúng nhưng mỗi chiến lược
đều có ưu, nhược điểm riêng. Sau đây là một số đặc điểm sơ
lược về mỗi chiến lược.
a) Kiểm thử (Testing):
b) Chứng minh tính đúng (Correctness proof):

11


Với chiến lược chứng minh tính đúng của thuật toán
cần dùng các kiến thức toán học để chứng minh thuật toán
đúng. Cách này chứng minh được cho bài toán tổng quát
nhưng đòi hỏi tư duy trừu tượng và logic toán học chặt chẽ.
Có các phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán
như phương pháp quy nạp, phương pháp bất biến vòng lặp.
Đây cũng là nội dung nghiên cứu chủ yếu khi thực hiện luận
văn này.
c) Kết hợp kiểm thử và chứng minh tính đúng:
Để đảm bảo tính đúng của thuật toán một cách chặt
chẽ hơn nữa ta có thể kết hợp cả hai chiến lược kiểm thử và
chứng minh tính đúng đã nêu ở trên.

2.2. Các phương pháp chứng minh tính đúng (Correctness
proofs)
Làm thế nào để biết thuật toán hoạt động thế nào?
Cách tốt nhất là chứng minh thuật toán là đúng. Có một số
phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán như: Đối
với các thuật toán đệ quy có thể chứng minh tính đúng bằng
phương pháp quy nạp. Đối với các thuật toán không đệ quy

12


có thể sử dụng phương pháp bất biến vòng lặp cho mọi vòng
lặp.
2.2.1. Phương pháp quy nạp (induction)
a) Phương pháp quy nạp toán học
b) Chứng minh tính đúng của thuật toán bằng phương
pháp quy nạp
Các thuật toán nếu chỉ có các dòng lệnh đơn lẻ không
có chứa đệ quy hay lặp thì ta dễ dàng thấy được tính đúng
của nó nhưng với các thuật toán có chứa đệ quy hay vòng lặp
thì việc chứng minh trở nên phức tạp hơn. Sau đây ta sử
dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên để chứng
minh tính đúng của thuật toán đệ quy.
Ta sẽ chứng minh tính đúng của thuật toán đệ quy
bằng phương pháp quy nạp theo kích thước dữ liệu vào như
sau:
− Cơ sở của quy nạp: Trường hợp suy biến của đệ quy. Đây
cũng chính là điều kiện phải có để thuật toán có tính
dừng.

13


− Giả thiết quy nạp: Giả sử thuật toán đúng với dữ liệu kích
thước n.
− Tổng quát: Chứng minh thuật toán đúng với dữ liệu kích
thước n+1.
c) Một số ví dụ
2.2.2. Phương pháp bất biến vòng lặp (loop invariant)
a) Chứng minh tính đúng của thuật toán bằng phương
pháp bất biến vòng lặp
Chứng minh tính đúng của thuật toán lặp bằng
phương phương pháp bất biến vòng lặp có các đặc điểm như
sau: Bất biến vòng lặp là biểu thức logic (của các biến được
sử dụng vòng lặp) có giá trị không đổi trong quá trình lặp.
Tại mỗi thời điểm của thuật toán chỉ có một vòng lặp, nếu có
vòng lặp lồng nhau thì phải bắt đầu từ các vòng lặp bên
trong. Sau mỗi vòng lặp bất biến vòng lặp sẽ trả lại kết quả
đúng và sự đúng này phải được duy trì ở các vòng lặp tiếp
theo.Sử dụng bất biến vòng lặp để chỉ ra thuật toán lặp là có
tính dừng. Thông qua sự kết thúc các điều kiện chứng minh
rằng thuật toán cho kết quả đúng.

14


b) Các đặc trưng của bất biến vòng lặp
− Khởi tạo: bất biến của vòng lặp phải đúng trước lần lặp
đầu tiên.
− Duy trì: Nếu bất biến vòng lặp đúng trước một vòng lặp

thì bất biến vòng lặp vẫn còn đúng trước vòng lặp tiếp
theo.
− Kết thúc: Khi vòng lặp kết thúc, bất biến vòng lặp này
cho chúng ta một tính chất hữu ích giúp chứng minh được
thuật toán là đúng đắn.
c) Một số ví dụ

15


CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH TÍNH
ĐÚNG CỦA MỘT SỐ THUẬT TOÁN
Việc chứng minh tính đúng của thuật toán bằng toán
học đòi hỏi nhiều kiến thức tổng hợp. Ở chương này nhằm
nghiên cứu và chứng minh một số thuật toán kinh điển cùng
với ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán trong
thực tế. Mặc dù các thuật toán kinh điển đã ra đời từ lâu
nhưng nó vẫn luôn được cải tiến và đưa vào sử dụng trong
nhiều phần mềm hiện nay. Vì để tìm được một bất biến vòng
lặp đúng để chứng minh thuật toán đúng là vấn đề khó nên
sau đây nghiên cứu về các bài toán và thuật toán sử dụng
phương pháp bất biến vòng lặp:
3.1. Bài toán: Dãy con đơn điệu tăng dài nhất
Cho một dãy gồm n số nguyên a1, a2, ..., an. Tìm dãy
con đơn điệu tăng có độ dài lớn nhất của dãy số đó (các phần
tử có thể không liền kề nhau nhưng phải giữ nguyên thứ tự
ban đầu).
Nhận xét: Tất cả các dãy con của dãy số n phần tử ban
đầu là 2n. Do đó phương pháp duyệt tất cả các dãy con và lựa
chọn dãy phù hợp là không thể thực hiện khi n lớn vì không

gian duyệt là quá lớn. Do đó ta lựa chọn phương pháp quy
16


hoạch động nhằm tiết kiệm không gian nhớ và ít chi phí thời
gian hơn để giải bài toán đã cho.
3.2. Bài toán: Chia kẹo
Có n gói kẹo, gói kẹo thứ i chứa a[i] chiếc kẹo, đưa ra
cách chia các gói kẹo thành 2 phần sao cho độ lệch về số kẹo
trong hai phần là ít nhất.
− Input: Dữ liệu vào từ tệp ChiaKeo.INP
+ Dòng đầu là số gói kẹo n.
+ Dòng thứ hai là số cái kẹo trong từng gói.
− Output: Dữ liệu ra tệp ChiaKeo.OUT
+ Số gói kẹo trong mỗi phần sau khi được chia.
3.3. Bài toán Cây bao trùm nhỏ nhất (Minimum
spanning tree).
Bài toán: Cho đồ thị vô hướng có trọng số
G=(V,E,w). Gọi T là cây bao trùm của G, w(T) là trọng số
của cây bao trùm T. Trọng số của cây bao trùm T là tổng
trọng số các cạnh trong T. Trong một đồ thị có thể có nhiều
cây bao trùm, vấn đề đặt ra là cần tìm cây bao trùm có trọng
số nhỏ nhất hay còn gọi là cây bao trùm nhỏ nhất.
− Input: Đồ thị vô hướng có trọng số G=(V,E,w).
17


− Output: Cây bao trùm nhỏ nhất T của đồ thị G.
Ta sử dụng phương pháp tham lam để thiết kế thuật
toán như sau:

Sau đây là hai thuật toán tham lam kinh điển dùng để
giải bài toán cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị vô hướng có
trọng số.
Thuật toán Kruskal:
Thuật toán này được xuất bản lần đầu tiên bởi Joseph
Kruskal năm 1956.
Ý tưởng của thuật toán Kruskal để tìm cây bao trùm
nhỏ nhất của đồ thị vô hướng có trọng số G=(V,E,w) đó là
khởi tạo cây T không có cạnh nào, sau đó duyệt danh sách
cạnh của đồ thị từ cạnh có trọng số nhỏ đến cạnh có trọng số
lớn, mỗi khi xét tới một cạnh nếu việc thêm cạnh đó vào cây
T mà không tạo thành chu trình đơn thì thêm cạnh đó vào T.
Việc này lặp đi lặp lại cho tới khi:
+ Hoặc đã kết nạp được |V|-1 cạnh vào trong cây T thì T
là cây bao trùm nhỏ nhất;
+ Hoặc khi duyệt hết danh sách cạnh mà vẫn chưa kết
nạp đủ |V|-1 cạnh thì kết luận là đồ thị không liên
thông và không tồn tại cây bao trùm.
18


Như vậy để thực hiện được thuật toán Kruskal thì
danh sách cạnh không thể xếp ngẫu nhiên mà phải được sắp
xếp thành dãy không giảm. Thêm nữa phải kiểm tra xem việc
thêm vào một cạnh có tạo thành chu trình đơn hay không.
Thuật toán Prim (1957):
Thuật toán Kruskal có hiệu quả khi đồ thị có số cạnh
là ít (còn gọi là đồ thị thưa) nhưng nó trở nên kém hiệu quả
khi số cạnh của đồ thị nhiều (còn gọi là đồ thị dày) vì thời
gian sắp xếp các cạnh sẽ lớn hơn nhiều. Khi đồ thị dày thì có

một thuật toán hiệu quả hơn đó là thuật toán Prim.
Ý tưởng của thuật toán Prim: Ban đầu ta khởi tạo một
cây T chỉ gồm một đỉnh duy nhất và có thể là đỉnh bất kì của
đồ thị. Sau đó tìm dần các đỉnh bằng cách chọn đỉnh gần T
nhất tức là có khoảng cách đến T là nhỏ nhất. Khi đó ta kết
nạp đỉnh và cạnh nhỏ nhất tương ứng vào cây T. Quá trình
trên được lặp đi lặp lại cho tới khi thỏa mãn một trong các
điều kiện sau đây:
+ Hoặc đã kết nạp đủ n đỉnh vào cây T, khi đó T chính
là cây bao trùm nhỏ nhất cần tìm.
+ Hoặc mặc dù chưa kết nạp đủ n đỉnh nhưng không
còn cạnh nào nối một đỉnh trong T với một đỉnh ngoài
19


T. Khi đó đồ thị đã cho là đồ thị không liên thông do
đó không tồn tại cây bao trùm. Kết luận đồ thị không
tồn tại cây bao trùm nhỏ nhất.

20


KẾT LUẬN
Bản luận văn đã trình bày một số vấn đề cơ bản trong
thiết kế và phân tích thuật toán. Tập trung đi sâu tìm hiểu và
hệ thống hóa các vấn đề liên quan tới hai phương pháp chứng
minh tính đúng của thuật toán. Đó là, phương pháp chứng
minh tính đúng của thuật toán bằng quy nạp áp dụng cho các
thuật toán đệ quy và phương pháp chứng minh tính đúng của
thuật toán bằng bất biến vòng lặp áp dụng cho các thuật toán

có chứa vòng lặp. Áp dụng hai phương pháp trên để chứng
minh tính đúng cho các thuật toán giải một số bài toán cụ
thể, bao gồm:
-

Chứng minh tính đúng cho thuật toán quy hoạch
động giải bài toán tìm dãy con đơn điệu tăng dài
nhất của dãy số. Và một bài toán có tính ứng dụng
của bài toán này đó là bài toán bắc cầu.

-

Chứng minh tính đúng cho thuật toán quy hoạch
động giải bài toán cái kẹo với tư tưởng sử dụng
thuật toán quy hoạch động tìm dãy con có tổng
bằng S.

21


-

Chứng minh tính đúng cho thuật toán tham lam
giải bài toán cây bao trùm nhỏ nhất với hai thuật
toán Kruskal và Prim.

Trong khuôn khổ của luận văn, với thời gian hạn chế
chúng tôi mới chỉ đạt được việc tìm hiểu và vận dụng hai
phương pháp chứng minh tính đúng vào một số bài toán kinh
điển, có tính phổ biến. Đề tài có thể phát triển theo hướng

nghiên cứu các phương pháp khác trong chứng minh tính
đúng của thuật toán và áp dụng các phương pháp đối với các
thuật toán cho nhiều bài toán khác, đặc biệt là các thuật toán có
tính phức tạp như kết hợp nhiều kĩ thuật thiết kế thuật toán…
Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức trong việc tìm tòi,
nghiên cứu dưới sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo hướng dẫn
nhưng do thời gian hạn chế trong công tác bản luận văn của
tôi khó tránh khỏi thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô và các bạn.

22