Luận văn một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

HOÀNG THỊ D U Y Ê N

MỘT s ố VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI
HÀM SUY RỘNG

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC

H À N Ộ I, 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À NỘI 2

HOÀNG THỊ D U Y ÊN

MỘT s ố VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI
HÀM SUY RỘNG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã so : 60 46 01 02

L U Ậ N VĂN T H Ạ C Sĩ T O Á N H Ọ C

Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí

H À N Ộ I, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí .
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí. Sự
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn
đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành
Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành
luận văn này.

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

H oàng T hị D uyên


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

H oàng T hị D uyên


M ục lục

M ở đầu

1

1

K iến thứ c chuẩn bị

4

1.1

Một số thuật ngữ và khái niệm cơ b ả n ...................................

4

1.2

Không gian các hàm t h ử ...........................................................

5

2

K hông gian hàm suy rộng Schwartz

9

2.1

Không gian hàm suy rộng T>'{ũ) .............................................

9

2.1.1

Định n g h ĩ a .........................................................................

9

2.1.2

Đạo hàm suy r ộ n g ............................................................

11

2.1.3

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộngT>'{íĩ)

. .

13

Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schw artz............................

14

2.2.1

Tích chập của hai hàm suy r ộ n g .................................

14

2.2.2

Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

... .

15

2.2.3

Tích hai hàm suy rộng bất kỳ

......................................

16

2.2.4

Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát

2.2

3

.

Hàm suy rộng C olom beau
3.1

3.2

20
22

Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau

.....................................

22

3.1.1

Hàm suy rộng Colombeau ( Q- suy rộng) trên Rn . . 22

3.1.2

Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở rỉ c

Các tính chất về vi phân trong đại số C/(Mn)

1

...

25

.......................

26


3.3

Số phức suy r ộ n g ........................................................................

31

3.4

Giá trị tại điểm của hàm Q-

suy rộng

33

3.5

Tích phân của hàm Q— suy

r ộ n g ...................................... 35

3.6

Khái niệm bằng nhau trong

Ợ(Rn)

3.7

Hàm Q— suy rộng tăng c h ậ m ................................................... 43
3.7.1

.............................

................................

38

Định n g h ĩ a ...............................................................43

3.7.2Tích phân của hàm suy rộng tăng c h ậ m .........................45
3.7.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộngtăng chậm . . . .
3.8

48

Một số ví dụ cụ t h ể ...................................................................... 48

K ết luận

53

Tài liệu tham khảo

54

1

MỞ Đ Ầ U
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói rằng lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L. Schwartz đã
mở cửa cho sự phát triển trong một số những lĩnh vực của toán học hiện
đại, chẳng hạn như trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết
của L.Schwartz cũng làm sáng tỏ các vấn đề trong vật lý mà trước đó toán
học chưa thể lý giải một cách hoàn hảo được.
Sau khi hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng thì L.Schwartz
đã công bố một công trình cho thấy rằng không thể lấy tích số của hai
hàm suy rộng tùy ý. Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm
cách xác định tích hai hàm suy rộng trong một số trường hợp cụ thể mà
thực tiễn đặt ra. Nhiều nhà toán học khác nhau đã tham gia vào quá trình
này để giải quyết vấn đề tích của hai hàm suy rộng. Một số trong đó đã
thành công trong việc xác định tích của hai hàm suy rộng trong một số
trường hợp, như cách của Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổi
Fourier. Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa một cách tổng quát
rõ ràng không thể dừng lại trong lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz,
phải có một đại số nào đấy mà trong đó các hàm suy rộng L.Schwartz là
một tập con ( theo một nghĩa nào đó) và từ đó mới có thể lấy được tích
một cách tùy ý.
Cuối cùng vào những năm 80 của thế kỷ 20, một lý thuyết mới về hàm
suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J. F. Colombeau giới thiệu.


2

ở hai chuyên khảo liên tiếp [9] và [10] ông đã trình bày cách xây dựng

đại số của hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau. Trong đại số này,
như mong muốn các hàm suy rộng của L. Schwartz được nhúng vào như
một tập con, và từ đó về mặt lý thuyết ta có thể xác định được tích hai
hàm suy rộng đó.
Đại số các hàm suy rộng của J.F.Colombeau sau khi ra đời đã giúp một
số nhà toán học ứng dụng và đưa ra những kết quả nghiên cứu trong việc
giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, các nhóm nghiên
cứu này (chẳng hạn ở Đại học Bách khoa Viên- Áo) vẫn hoạt động và
thường xuyên đưa ra các kết quả mới.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn
đề tài "M ột số vấn đề về tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốt
nghiệp khóa học thạc sỹ của mình. Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứu
các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L. Schwartz và kết quả
tại sao không thể thể lấy được tích của hai hàm suy rộng một cách tổng
quát. Tiếp theo tôi sẽ đi tìm hiểu một số cách xác định tích của hai hàm
suy rộng để có thể giải quyết được một số ví dụ cụ thể về tích hai hàm
suy rộng. Phần cuối luận văn sẽ trình bày những vấn đề cơ bản nhất trong
đại số hàm suy rộng của J.F.Colombeau và tìm hiểu một số ví dụ cụ thể
về tích của hai hàm suy rộng Colombeau được công bố gần đây.

2. M ục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu tìm hiểu về sự phát triển của bài toán tích hai hàm suy
rộng.
- Tìm hiểu về không gian các hàm suy rộng L.Schwartz và đại số hàm
suy rộng Colombeau.


3

3. N hiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên , nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
- Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về hàm suy rộng.
- Một số vấn đề của thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàm
suy rộng.
- Một số giải pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng và những
vấn đề liên quan.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L. Schwartz, một số phương
pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộng
Colombeau và một số vấn đề liên quan.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến tích hai hàm suy rộng.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để
tiếp cận vấn đề.
- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo
mới về vấn đề tích hai hàm suy rộng.

6. Đ óng góp mới
-Đây là một tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu được các vấn đề
liên quan đến sự phát triển của bài toán tích các hàm suy rộng.


4

Chương 1

K iến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về
những không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương
tiếp theo. Các kiến thức ở đây được tham khảo trong các tài liệu [3], [4]
và [14].

1.1

M ột số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử a = (qíi,q;2) ■■■ĩ&n) € Nn là một n- chỉ số (hay đa
chỉ số) với bậc ỊaỊ = «1 +

0.2

+ ... + a n.

Với mỗi đa chỉ số a , toán tử vi phân ký hiệu d a = ỡaiô “ 2
= 5Ỉ ;3 và toán tử D<ỵ = D T D 2 2---D nn J trong đó
1, 2 ,
n.
Với mỗi a = ( a i , a 2, ...,Q!n) € Nn, Ị3 =
nghĩa là Ị3j < ccj, j = 1,2,

D j = -rỆ
*—

...ô“",ởđây
=-idj,

...,/3n) e Nn thì Ị3 < a

n . Nếu f3 < a ta viết:
a

^«1

«2 *’

5

trong đó

Ta ký hiệu

c k(fỉ)

là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Với

j =


5

f :g e C k(Q) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz
( 1.1)

( 1 .2 )
trong đó a! =

1.2

o;n!.

Không gian các hàm thử

Cho Q là một tập khác rỗng và Q c Mn. Ta ký hiệu c°° (íỉ) là tập hợp
những hàm / giá trị phức xác định trên íì sao cho daf tồn tại với mọi đa
chỉ số a. Giá của hàm liên tục / : fỉ —> c là tập hợp ký hiệu supp/ , được
xác định bởi supp/ = cỉ {x € ÍÌ f ( x ) 7^ 0}. Nếu K là một tập compact
trong Mn, ta ký hiệu V K là tập hợp { / €E ơ°°(Mn) : supp/ c K } . Ta thừa
nhận các bổ đề sau
B ổ đề 1.1. Cho

c Kn, Í2 ^ 0. Khi đó tồn tại các tập compact

{ K j } , j = 1, 2,3, ... thỏa mãn K j c in t ií j+i, u Kj = íl .
3= 1

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact
của íỉ và K j là một trong các tập compact trong họ K j nói trong bổ đề
trên.
B ổ đề 1.2. c°° (íỉ) là một không gian Frechet và T>K là không gian con
đóng của C 00 (íỉ) với mọi K c Í2 .
Chọn các tập compact K j , j

= 1,2,... , sao cho

trong của K j +1 (ký hiệu intKj+i) và fỉ =

K j nằm trong phần

00

z

u K j . Họ các nửa chuấn pN

với N = 1 , 2 , xác định bởi P n { Ĩ ) — ma,x {\da f (x)\ : X G Kft, |a| < N }
có tính chất: các điểm tách thuộc

c°° (fỉ)

và tạo một tôpô với một cơ sở

địa phương đếm được. Từ đó ta có định nghĩa 1.1 và định lý 1.1


6

Như vậy, với mọi tập compact к с fỉ thì T>K {Ũ) là một không gian
Fréchet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Ta ký hiệu D (íỉ) là tập hợp
T>(Q) = {Ф G С 00(ri) : supp</> là tập compact trong Q }
Khi đó ta gọi D (íỉ) là không gian các hàm thử (test function).
Ta thấy T>(Ç}) = и т>к (Q) ) nên T>(Ç}) là không gian vectơ, đó còn là
j=i
1
không gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý sau
Đ ịn h lý 1.1. Không gian các hàm thử

là một không gian vectơ tôpô

lồi địa phương.
Chứng minh. Theo nhận xét trên ta có XV (ÍỈ) là không gian Fréchet. Ta
ký hiệu Tk là tôpô trên không gian

, ß là họ tấ t cả các hợp w tập

cân, lồi của T>{fỉ) sao cho T>K r \ W E Tjỉ với mọi tập compact к с
Gọi r là họ tấ t cả các tập hợp có dạng Ф +

w

а) Ta chứng minh T là một tôpô trên

và ß là một cơ sở lân cận của

với Ф ẽ

v{ũ)

và

w

.

€ ß .

r
Thật vậy, với Vi, v 2 E T và Ф G Vi П V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại
w ẽ ß sao cho Ф + w ẽ Vị П V2 . Ta có, do Ф ẽ Vị, (i = 1,2) nên tồn tại
ội G D(fỉ) và Wị G ß sao cho
Ф ẽ 4>i + Wị, ỉ = 1,2
Chọn tập compact к с Í2 sao cho 0, ậi € T>K , ỉ = 1 , 2 . Do т>к П Wị mở
trong T>K nên tồn tại ỏi > о, г = 1 , 2 sao cho
Ф - ệi G (1 - ỗị)Wi .
Do Wị là tập lồi nên
Ộ - Ộ Ì + SiWi

с (1 -

Si)Wi + SiWi = Wi.


7

Suy ra
Ф + ổịWi С фг + Wj, ỉ — 1,2.
Từ đó ta chọn w — ( ố i ) П (^2^ 2) thì Ф + w G Vị П v 2 . Vậy T là một
tôpô trong T>(íì) . Hiển nhiên ß là một cơ sở của r . Giả sử 0 1 , 02 là hai
phần tử tùy ý của T>(íì) . Với mỗi Ф £

ta đặt

M o = SUP l^(^)l
æeiî
và

w = {0 e ®(fi) : M 0 < 110! - « „ }
thì w € ß và Ф1 <Ị_ Ф2 + w . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong x>(fỉ)
theo tôpô T.
b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên T>(íì) liên tục với tôpô
r. Với mọi 0 1 ,0 2 £ T)(Çl) và 01 + 02 + w E t với w £ ß . Khi đó,
1
_
1
1
do w làcân nên —W € ß, suy ra Ф1-ị— w
ẽ T và Ф2 H— VK € r và
2

2

2

01 + —W ẽ r + 02 + VF

€ r Ç 0! + Ф2 + w . Vậyphép cộng hai phần tử
z
z
trong V(Q) là liên tục theo T.
Với Qío G С và Ộq g T>{Çî ) ta có
аф — a ữộữ = а(ф — Фо) + (oí — a ữ)ộữ.
Với mọi

w

G ß tồn tại ỗ > 0 sao cho ôộữ G —W . Đặt с = ——— :---- —,

2
2 (lữol + 0 )
do w là tập lồi và cân nên ta có аф —a ữộ ữ E w với mọi \a — Qíol < í và
Ф ẽ Фо + c W . Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong T>(íì)

theo tôpô T. Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử T)(íì) là không
gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương.

□

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích
hiện đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng


các khái niệm đã có. Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của T>{Çt) (xem
các tài liệu tham khảo của [14]).
Đ ịn h lý 1.2. Cho không gian T>(Q) với tôpô T. Ta có
ỉ. Dãy các hàm thử { ậ i } ^ hội tụ theo tôpô T tới 00 trong T>(íì) khi và
K j với mọi ỉ ç.

N* và ội —> фо

sup Id aội{x) — д афъ{х) \ —> 0 khi ỉ —> oo
x£Kj

(1.3)

chỉ khi tồn tại j G N* sao cho

suppội с

trong T>K (^)> nghĩa là

với mọi đa chỉ số a.
2. Tập E С ì?(íỉ) khi và chỉ khi tồn tại j e N* sao cho E là tập con bị
chặn trong T>K (^)- Đặc biệt, nếu

là dãy Cauchy trong

thì

tồn tại j e N* sao cho ội hội tụ trong T>K {Œ) và do đó hội tụ trong D (íỉ).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Л : T>(n) —> с liên tục khi và chỉ khi với
mọi j

GN tồn

tại Nj e N và hằng số Cj > 0 sao cho
sup

ậ € D K .(ũ)

|A(0)| <

Cj

sup {\даф(х)\ : |a| < N j } .

(1.4)

x€Kj

Đ ịn h lý 1.3. Trong không gian các hàm thử
1. Phép lấy vi phân да : ф I—»• д аф là tuyến tính và liên tục trên T>{yt) với
mọi đa chỉ số a.
2. Với mọi f E c ° ° ( fĩ) thì ánh xạ M f : ф I—^ f ậ cũng là tuyến tính liên
tục trên T>(íì).


Chương 2
K h ôn g gian hàm suy rộng Schwartz
Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết
hàm suy rộng Schwartz và vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz. Các
kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [4] và [14].

2.1
2.1.1

Không gian hàm suy rộng V'(ỹí)
Đ ịn h n gh ĩã

Đ ịn h n g h ĩa 2.1. Mỗi phiếm hàm u : ĩ?(íĩ) —> c tuyến tính liên tục với
tôpô trên x>(fỉ) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz.
Không gian các hàm suy rộng trên Q được kí hiệu

Với mỗi hàm

suy rộng u ẽ T>'(ri) tác động lên mỗi ộ € v ( ũ ) được viết là (u,ộ). Hai
hàm suy rộng u, V G

được gọi là bằng nhau nếu

(■u , ậ ) = ( v , ộ ) , vự> G V( n) .
C h ú ý 2.1.1.

là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng

trên c như sau:
. Phép công: Với mọi u,

V

ẽ V ( ũ ) ta định nghĩa u+v như sau: (lí +

V,

ộ) =

(u, ộ) + (V, ộ ) , V0 e D(fỉ). Khi đó u + V e V(£ì).
. Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi u ẽ T>'(íì) và mọi số À ta định
nghĩa Xu như sau: (Xu, ộ) — X ( u , ộ ) , Mộ G V(Q). Khi đó Xu G V !(Q).


10

Đ ịnh nghĩa 2.2. Cho u £ /D'{ỹì)
1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K c fi, kí hiệu u \k = 0
nếu
(u,ộ) = 0, vự> 2. Giá của hàm suy rộng u được kí hiệu là suppií và được xác định bởi:

suppw = Q \ ( u { K \ K mở
Nếu u có suppií là tập compact trong

} c ũ vầ

u \k

= o) .

thì ta nói u là hàm suy rộng có

giá compact.
V í d ụ 2.1. Mỗi hàm / G Liociỹt) là một hàm suy rộng được xác định
như sau: / : ộ I—>■ (/, ộ) = / f ( x ) ộ ( x ) d x . Thật vậy, với mỗi tập compact
ũ
K c fỉ và mọi hàm ậ G T>(íỉ) sao cho supp</> c K ta có
|\J ữ

< /

\J K

1/ 0*01 |0 ( z ) |d z < s u p | 0 (z)| í

JK

\f(x)\dx.
K

Tương tự, mọi hàm / G -Lp(fỉ) cũng là

(2 .1)
JK

một hàm suy rộng.

V í d ụ 2.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là ỏ được xác định như sau
<5 : V ( R n) -> c vầ(ỏ, ậ) = 0(0)
là một hàm suy rộng. Thật vậy, ta có 0 G I)(IRn) nên ậ là hàm khả vi liên
tục mọi cấp và
{{ổ, ộ)} = 10(0)1 < l . s u p | 0 ( z ) | , vự> e V ( R n).
Mà supp</> c K — compact c Mn. Do đó ổ là một hàm suy rộng (gọi là
hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac).


11

V í d ụ 2.3. Hàm
|x| : V ( R )

С

ф И- (\х\,ф) =

R

|ж| ậ(x)dx

là một hàm suy rộng.

Thật vậy, với supp0 С К, К là tập compact trong к. ta có:
\(\х\ ,ф}\=
<

:| ậ{x)dx
\ậ(x)\dx

< / |x| sup \ф(х)\dx = sup ф(х) ( / \ x \ d x \ = s u p 0 (x )( / IжI da:
R

R

\4

/

К

К

Vậy |æ| là một hàm suy rộng.
V í d ụ 2.4. Với mỗi hàm / € L]oc(fỉ) và với a ẽ Nn,
ánh xạ Uf a : ф H->• f n f ( x ) ( d aộ)(x)dx là một hàm suy rộng.
Đ ịn h lý 2.1. Một phiếm hàm tuyến tính и xác định trên T>{ỹt) là một
hàm suy rộng khi và chỉ khi
lim (u, ộj) = 0 ,
với mọi dẫy {ậ j } hội tụ tới 0 khi j —¥ oo.
2.1.2

Đ ạ o hàm su y rộng

Trong không gian T>'{íĩ) ta có:
B ổ đề 2.1. Cho и G Т)!(rĩ) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ
số ữ € N" toán tử tuyến tính được ký hiệu dau xác định bởi
(д“и,ф) = ( - 1 )H ( и , д“ф ) , ф € ĩ>(ữ)
là một hàm suy rộng.

( 2 .2 )


12

Chứng minh. Vì u € T>'(fỉ) nên \(u, ộ)\ < c. II011 ,\/ộ £

Do đó

\(dau,ộ)\ < c\\daộ\\N < c\\ộ\\N+ịaị.
Vậy d au G V' ( ữ) .

□

Đ ịnh nghĩa 2.3. Cho u € 'D'{SÍ). Hàm suy rộng xác định bởi (2.2) được
gọi là đạo hàm cấp

OL của

hàm suy rộng u .

V í d ụ 2.5. Hàm Heaviside xác định bởi
nếu

H \x) = \
T
^ u nêi
nếu

0
< 0

X >
X

có d H = ỗ. T hật vậy, với íĩ = R, \/ậ £ D (íỉ) ta có
00

(ÕH, ệ) = ( - 1 ) 1 (H, dệ) = - Ị d ệ ( x ) d x = - ộ { x ) Ị£° = 0(0) = (ố, ệ ) ,
0

do đó d H = ỗ.
Trong trường hợp Í2 = R , với u , u £ T>'{1R), ta nói u là nguyên hàm
suy rộng của hàm suy rộng u nếu đạo hàm suy rộng của

u

là u , nghĩa là

d u = u.
M ệ n h đề 2 . 1 . Mọi hàm suy rộng u £ X>'(M) đều có nguyên hàm suy rộng.
Chứng minh. Với mỗi íp E c “ (R) đặt
ĩị){x) = ip{x) - p ( x ) /
ip(t)dt,

J —oo
\&(:r) = í
—

ĩỊ}(t)dt.
00

Có ty(x) ẽ C£°(IR) nên với mỗi hàm suy rộng u £
= (m,ỹ). Khi đó u

ta có thể đặt

EV' (R) và

ị

(du, ip) = (U, ip') = ( u, ụ>(x) \

px

/
—

p+oo

p(y) /
00

—

00

\

ip'(t)dtdy ) = (u , ip).
/


13

Nếu hàm suy rộng u có đạo hàm suy rộng d u = 0 thì
(U, <fi) = (U, i>) + ( / :

{ư,p)

= <ỠC/, a-) + ( /
= ụ

Do đó nếu hàm suy rộng

(U,p)

+° ° v { t ) d t ) {u , p ) .

u

có đạo hàm suy rộng

du =

0 thì

u

tương

ứng với hàm hằng u = (U: p) trong lớp hàm khả tích địa phương
Khi đó, với mỗi hàm suy rộng u ẽ

luôn có một họ các nguyên hàm

suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng
có th ể biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng.

2 .1 .3

□

Sự hội tụ tro n g k h ôn g gian hàm su y rộng V { ũ )

Đ ịn h n g h ĩa 2.4. Cho

u € T)'(íì), k = 1, 2,.... Ta nói rằng dãy {Uk}™=1

hội tụ đến u trong T>'(íì) khi k —> oo nếu
lim (uk, ệ) = (u,ộ) , Vệ e
k —ị oo

Khi đó ta viết V _ lim Uỵ = u.
k —ị oo

V í d ụ 2.6. V ' _ lim pi = ỗ.
Thật vậy, với mỗi ệ & C™(Rn) ta có
\(f,ệ}\ = I [ f { x ) ệ { x ) d x = I [ f ( x ) ộ ( x ) d x \
Ko

I

ụ K

< [ \ f { x ) \ \ ệ { x ) \ d x < s u p \ ệ { x ) \ í \ f {x)\ dx.
JK

K

Jk

Nên lim ( p ị , ệ ) - 0(0) = 0 hay ta có điều phải chứng minh.
k —ị oo

(2.3)


14

2.2

Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz

2.2.1

T ích chập củ a hai hàm su y rộng

Đ ịnh nghĩa 2.5. Cho и,

V

£ Т)'(шп), tích chập của hai hàm suy rộng u, v

là m ột phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu и * V, xác định bởi:
( и * V, Ф) = (u ( y ),

ф ( х + у ) ) } , Ф <E £>(Mn).

Chú ý 2.2.1. (i ) u * ổ = ỗ * u = u với mọi и £ т>'(м.п). Thật vậy, ta có ỗ
có giá compact và
(u * ỏ, Ф) = (u ( y ), (ỗ(x),ộ(x + y)}} = {и(у), ф(у)) = (и, ф).
Mặt khác
(ô *и, ф) = (ô(y), (u(x), ф(х + у))) = (u ( x ), ф(х)) =

(и, ф).

Vậy nên u * ỗ = ô * u = u với mọi и G Ĩ ^ R 71).
(ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f , g £ Lị(M.n). Thật vậy,
với Ф G т*(шп) tùy ý đặt:

thì ta có h £ Lị(M.n), hơn nữa ta có
1В Д 1

\ệ(t)\dt

Với у £ R n thì
(f{y), (д{х),ф{х + y))) = ( f ( y ) , h( y ) ) = Ị

f(y)h(y)dy


15

và \f(y)h(y)\ < c\\g\\L i \f(y)\. Do đó (f{y), {g{x), ф{х + у)}} luôn tồn tại
nên f * g tồn tại. Mặt khác theo Fubini ta có

[ ( [ f ( y) a( t - v ì ) 4>{t)dt
•'Rn WRn
/
( f f(y)g{t-y)dy,ộ{t))
WR"
/
nên ( / * g) (x) = f Rn
2.2.2

- y)dy xác định.

T ích củ a m ộ t hàm trơ n và m ộ t hàm su y rộng

Đ ịn h n g h ĩa 2.6. Cho / G ơ°°(fĩ), и G T>'{ỹí) tùy ý. Tích của hàm / và
hàm suy rộng и ký hiệu là f u được xác định như sau:
( f u, Ф) = (tí, ị ệ )
Ta nhận thấy

Ф€ T>{ỹì) nên f ộ ẽ

toàn xác định một hàm suy rộng.

V0 e C (íl).

(2.4)

Do đó vếphải của (2.4)hoàn

Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn

xác

định trong
V í d ụ 2.7. 1. Với ổ £ T>'(R) thì ta có (xỗ,ậ) = {ổ,xộ} — (хф) (0) =
о, Уф G X>(1R) nên xỏ = 0 trong X>7(]R).
2. Với и =

1
X

1

thì X— = 1 trong T> (R).
X

Thật vậy, ta có:

(4'*)=(*'**)

—

U»
e->0+

£

[ ĩẾẴĩldx + [ ĩ m
J
X
J
X

J ộ(x)dx
—

00

= (1 ,ф), V 0 e U ( R ) .

dx


16

Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức
Leibniz về lấy đạo hàm.
Đ ịnh lý 2.2. Cho / G ơ°°(fỉ), u G 'D/(íì) và a là một đa chỉ số tùy ý.
Khi đó ta có:
(2.5)

Chứng minh. Với hai hàm / , 4> G c°° ta có d j ( f u ) = (d j f ) u + fdjU với

( d j { u f ) , ậ ) = {f u , - d j ộ ) = (u , - f d j ộ ) = (u , —d j ( f ộ ) + ( d j f ) ậ )

= (djU, ĩ ộ) + ((d j f ) u , 0) = (fdjU + (d j f ) u , ộ)
Định lý được chứng minh.
2 .2 .3

□

T ích hai hàm su y rộng b ất kỳ

ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn / G C°°(Í2)
và một hàm suy rộng u e T>'(íì). Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích
của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên ]Rm, rõ ràng không thể dùng
định nghĩa 2.6 cho 2 hàm suy rộng vì f ậ có thể không là hàm thử nếu
/ G T>'{\Rm); ậ G 2}(]Rm). Sau đây chúng ta sẽ xét một số cách định nghĩa
tích hai hàm suy rộng. Trước tiên là định nghĩa tích hai hàm suy rộng của
Mikusinski
Đ ịnh nghĩa 2.7. Một dãy (<5n), n = 1,2, ... các phần tử của
gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn:
a) suppjn c {x £ Mm : |x| < £n} với lim £n = 0 ,
b) / Rmôn(x)dx = 1 .

được


17

Đ ịnh nghĩa 2.8. (Mikusinski) Ta nói rằng
với mọi dãy Delta (ổn), n = 1,2,
tại trong

s

và T có thể lấy tích S . T nếu

thì giới hạn lim (s * ỗn)(T * ỏn) tồn
n —>oo

và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy Delta.

Cơ sở của định nghĩa 2.8 là do lim ỏn = ỏ trong

do đó lim (s *

n —>oc

ỗn) =

s

n —>oc

và lim (T * ổn) = T trong
ĩl—>00

V í dụ 2.8. Trong

theo cách định nghĩa của Mikusinski ta có —ỗ =
X

-V .
2

Chứng
.g minh: Đặt ồn
ô~{x)
(X) =
= òn{—x),
ỗn(—x), n = 1,2, ... ta có:
( (“ *

-{Õ*Ôn)

^

.ỏn, ộ

= ( (ĩ *í”) ’5n4)
/1 -

' A

= {^- , ôn *ôn ộ J

Vự>e£>(R).

Khai triển ộ(x) = 0(0) + xộ'(0) + x 2ĩp{x) ta có:

( ( - * « » ) -(S*K),ệ)
= m

Ọ - , K * S » ) + ệ'(ữ) Ọ - , S ~ * ( x S „ ) j + ị - , 5; *

.

Ta có thể chứng minh số hạng cuối cùng của vế phải dần tới 0 khi
n —> 0 0 .
Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n —> oo vì ỗ~ * ỗn là hàm chẵn. Ta sẽ đi
chứng minh số hạng thứ hai ở vế phải hội tụ tới
Ộ'(Q) ( ~ , ỏ ~ * {xôn) \ = Ị
\X
/
J-

Thật vậy, ta có:

- a n(x)dx,
QQ

X

trong đó a n =
+

vì rõ ràng nếu Ipi,tp2 £ Li(K) thì x(ĩpi * Ĩp2 ) = (2^ 1) * 'ệĩ + 'ội * (2^ 2)■

18

vì a n — a n là lẻ. Điều đó chứng tỏ:

( ì ,ữn) = 2( ì ,x (Ỗn*Ônì) = 2/

(x)d

do ôn ẽ ^(M ), n = 1,2, ... và f R ôn(x)dx = 1. Từ đó ta có:
lim ( ( - *
n-^00 \
hay

/

• {ỏ * ổn), ệ ) = ịộ' {0) =
/ 2

. (ổ * ốn) = ——ỗ' trong

2

(ổ1, ệ ) , V0 e £>(R)
1

Do đó, chúng ta có —.s =
X

----ỗ' trong V !(R).

Với định nghĩa tích hai hàm suy rộng của Mikusinski ta có thể lấy tích
của hai hàm suy rộng. Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng thực hiện
được. Ta có mệnh đề sau
M ệnh đề 2.2. Trong X^R) ta không thể lấy tích ỗ.ỗ theo định nghĩa 2.8.
Chứng minh. Giả sử rằng tồn tại ổ2 £ V ^ R ) . Lấy dãy Delta tùy ý (ổn), n =
1, 2,

ta có giới hạn lim (ỏ2, ậ) luôn tồn tại \/ậ G P(M). Chọn ộ G D(R)

sao cho ộ = 1 trong lân cận của 0. Khi đó ta có

Do sự tồn tại của giới hạn lim (ỏ2, ộ) nên ta có dãy (<5n), n — 1,2, ...
bị chặn trong L 2 (M). Mà trong L 2 (M) thì hình cầu đơn vị là compact yếu
nên tồn tại dãy con (ổnjt), k = 1 , 2 , ... của dãy (ổn), n — 1 , 2 , ... hội tụ
yếu tới g ẽ L2(M.). Bởi vậy V</> ẽ L 2(M.) thì (g , ộ ) = lim (ỗnk,ộ), nhưng
do ộ £ D(M) nên ta lại có lim (ỏnk,ộ) = ((7, 0 ). Điều đó chứng tỏ rằng


19

ỏ — g G L 2(ĩl) dẫn đến mâu thuẫn. Vậy chứng tỏ không tồn tại ỏ2 theo
định nghĩa 2.8. Ta cũng có thể kết luận rằng dãy (<^), n = 1,2, ... không

□

hội tụ trong D'(R).

Như vậy cách định nghĩa của Mikusinski chưa giải quyết triệt để việc
lấy tích hai hàm suy rộng. Bây giờ chúng ta nói đến một cách định nghĩa
tích của hàm suy rộng dựa trên khai triển Fourier

Với u G

có giá compact, ta đặt:
WA( 0 = {u(x), e ixt ) , u y (x) =

w (u(Z),ei('x)

Gọi M(Mm) bao gồm tất cả các cặp (u,v) G D /(Mm) X D'(Mm) sao cho
Vz G Km tồn tại một lân cận íìx của

X

sao cho

1 . [ujù)h {'ệvỴ khả tích trên R m với mọi 0J,ìp G T>(íìx),
2. / Rm ( uj u) a ( t p v ) y d x = JRm (ĩftu)A(cơv)v d x với m ọi uj , ip e T > ( ũ x ),

3. f Rm \(oju)a(ĩpvY \ dx phụ thuộc liên tục vào Cú G 'D(ỹlx),'iĩp €E 2?(Í2X).
Đ ịnh nghĩa 2.9. (Dựa trên biến đổi Fourier) Nếu u , v G

tích của

u và V trong 'DI{Q,X) ký hiệu u v xác định trên Q x như sau:

với mọi

Lú

€ 'D{yix),ĩỊ) € 'D{yix) được chọn sao cho Ip(x) = 1 trên suppo;.

Ta có thể kiểm tra định nghĩa trên hoàn toàn xác định và không phụ
thuộc vào việc lựa chọn ĩỊj.
Tuy nhiên, định nghĩa này có hạn chế đó là ta không thể lấy tích chẳng
hạn là ỗ2 hayJ -ổ.
V.
Thật vậy nếu tồn tại ỏ2, ta lấy

X

= 0 và uj^ip e D(fỉo) sao cho

tư(o) =

V’(o) = 1 và 'ệ = 1 trên suppcư, ở đây íỉo là một lân cận của điểm 0. Giả
sử rằng ỗ G M(M) thì (u:S)A(ipSỴ khả tích trên №. Mặt khác ta lại có