Phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương trình vô tỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2015

2


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn,
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn
thành luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sư phạm, Khoa Sau Đại
học, Phòng Đào tạo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên tổ Toán, các
em học sinh lớp 12A7 và lớp 12A8 trường Trung học phổ thông Ngô Quyền - Hải
Phòng đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong thời gian em tổ chức
thực nghiệm tại trường.
Đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn và những người quan
tâm tới đề tài này để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hải Phòng, tháng 10 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Tươi

3


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
PT

Phương trình

PTVN

Phương trình vô nghiệm

TDPP

Tư duy phê phán

TDST

Tư duy sáng tạo

THPT

Trung học phổ thông

VP

Vế phải

VT

Vế trái

4

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ……………………………………………………………………i
Danh mục chữ viết tắt …………………………………………………..……ii Mục
lục……………………………………………………………………....iii Danh mục
bảng……………………………………………………………….v
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………. 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN…………………………..5
1.1. Lịch sử nghiên cứu đề tài………………………………………………… 5
1.2. Năng lực tư duy toán học…………………………………………….......5 1.2.1.
Năng lực …………………………………………………………….. ..5 1.2.2. Khái
niệm tư duy.....................................................................................7 1.2.3. Năng
lực tư duy.....................................................................................12 1.2.4. Năng lực
tư duy toán học......................................................................13
1.3. Dạy học nội dung phương trình vô tỉ ở trường THPT ............................20
1.3.1. Cấu trúc chương trình............................................................................20
1.3.2. Thực tiễn dạy học nội dung phương trình vô tỉ tại trường THPT
Ngô Quyền......................................................................................................21
1.4. Kết luận Chương 1...................................................................................23
Chương 2. BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ
NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH................................ 24
2.1. Rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ………………………………24
2.1.1. Phân tích và tổng hợp…………………………………………………...24
2.1.2. Khái quát hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, so sánh và tương tự ….......34
2.2. Phát triển tư duy phê phán.......................................................................46
2.2.1. Kỹ năng phân tích sâu đề bài để có chiến lược giải..............................47
2.2.2. Kỹ năng tự đặt câu hỏi liên quan đến bài toán......................................49
2.2.3. Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả....................51

5

2.3. Phát triển tư duy sáng tạo.........................................................................53
2.3.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải......................................53
2.3.2. Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới................60 2.4.
Kết luận Chương 2...................................................................................63
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................64
3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm...............................................................64
3.1.1. Mục đích................................................................................................64
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm.............................................................................64
3.2. Nội dung thực nghiệm..............................................................................64 3.3.
Tổ chức thực nghiệm................................................................................64 3.3.1.
Đối tượng...............................................................................................64 3.3.2.
Quy trình tổ chức thực nghiệm..............................................................64 3.3.3.
Thiết kế dạy học thực nghiệm...............................................................65
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm..................................................................66
3.4.1. Phân tích kết quả thực nghiệm..............................................................66
3.4.2. Những kết luận rút ra từ thực nghiệm...................................................74
3.5. Kết luận Chương 3...................................................................................75
KẾT LUẬN....................................................................................................76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................77
PHỤ LỤC..................................................................................................... 79

6


DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1. Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT Ngô Quyền...................21
Bảng 1.2. Đánh giá về nội dung "Phương trình vô tỉ" trong chương trình.....22
Bảng 1.3. Thống kê kết quả học tập................................................................22

Bảng 1.4. Đánh giá môn Toán và nội dung "Phương trình vô tỉ"...................22

7


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đào tạo những người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng
lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu
đẩy mạnh công nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức
và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta
hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi
mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư
duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn
toán là một yếu tố quan trọng. Bởi vì toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế
và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công
nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự
động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được
coi là chìa khóa của sự phát triển.
Trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phát
triển sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát
triển năng lực cho học sinh. Đó là cách tiếp cận mới nhưng không phải xa lạ "
từ trên trời rơi xuống " mà nó vốn đã có, đã nằm sẵn đây đó trong nội dung của
chương trình cũ. Bởi các thành tố cơ bản cấu thành năng lực vẫn là kiến thức kỹ
năng. Có điều nếu chỉ có kiến thức và kỹ năng, nhất là khi chúng lại tách rời, thì
chưa thể có năng lực theo cách hiểu của lý luận dạy học hiện đại.
Để có năng lực, cần có một cách tiếp cận mới, cách hiểu mới. Với cách tiếp
cận mới, chúng ta không cần đợi cho đến khi có chương trình sau năm 2015
mới thực hiện theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh ngay từ những
năm học tới, có thể cấu trúc lại chương trình dạy học theo định hướng này, trên

cơ sở rà soát và tổ chức lại các nội dung và hình thức dạy học. Vẫn là bám sát
những kiến thức và kỹ năng, thái độ cần đạt đã quy định trong

8


chương trình hiện hành, nhưng hoàn toàn có thể tổ chức lại, áp dụng các
phương pháp dạy học khác nhau nhằm phát triển năng lực cho học sinh.
Mặt khác, ở nước ta trong nhận thức của phần đông giáo viên và học
sinh thì dạy toán là dạy các quy tắc, các kỹ năng giải bài toán. Cũng vì lý do
tương tự mà ngay cả sinh viên tốt nghiệp các trường đại học ở nước ta khi tiếp xúc
với thực tế họ thường tỏ ra rất yếu kém về khả năng vận dụng kiến thức vào
giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Vì vậy, việc dạy cho học sinh phương pháp
tư duy giải quyết các vấn đề thực tế là rất cần thiết.
Phương trình - Bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp
trong các kỳ thi ở cấp 2, 3 và đại học, đặc biệt là phương trình vô tỉ. Phương
trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú về đề bài cũng như lời giải. Một bài
phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải đều có ý nghĩa
riêng của nó.
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: " Phát triển một số năng lực tư
duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương
trình vô tỉ ".
2. Mục đích nghiên cứu
Dạy học phương trình vô tỉ để phát triển năng lực tư duy toán học cho
học sinh trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất: Nghiên cứu lý luận của năng lực tư duy toán học.
Thứ hai: Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển
năng lực tư duy toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương
trình vô tỉ ở trường THPT.

Thứ ba: Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề
tài trong dạy học.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu là năng lực tư duy toán học của học sinh THPT.

9


Đối tượng nghiên cứu là các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư
duy toán học cho học sinh THPT.
5. Vấn đề nghiên cứu
Đề tài tập trung vào nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:
- Dạy học nội dung phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển năng
lực tư duy toán học cho học sinh THPT?
- Giải pháp nào góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho học
sinh THPT?
6. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học
nội dung phương trình vô tỉ thì có thể góp phần phát triển năng lực tư duy toán
học cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường
THPT.
7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học nội dung phương trình vô tỉ cho học sinh ở trường
THPT.
Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành tại các lớp 12A7 và 12A8 của
trường THPT Ngô Quyền, Hải Phòng.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Ý nghĩa lý luận của đề tài
Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lý luận những vấn đề cơ
bản về phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT.

- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Những giải pháp trên có thể được áp dụng rộng rãi với các trường
THPT trong cả nước và đáp ứng được yêu cầu nâng cao chất lượng dạy và học
môn Toán ở trường THPT.
9. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

10


- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc tài liệu, nghiên
cứu các văn bản về năng lực, tư duy, năng lực tư duy và phát triển năng lực tư duy
toán học cho học sinh THPT.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra - khảo sát
bằng phiếu hỏi, tổng kết kinh nghiệm.
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê và
phân tích thống kê.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
được trình bày theo 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp sư phạm góp phần phát triển một số năng lực tư
duy toán học cho học sinh.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

11


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Lịch sử nghiên cứu đề tài
Vấn đề tư duy, năng lực tư duy, năng lực tư duy toán học luôn thu hút
nhiều nhà nghiên cứu khoa học trên thế giới và trong nước quan tâm.
V.A.Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực
toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán
học cho học sinh trong [9] và [10]. Trong [13] và [14], G. Polya đã đi sâu
nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và đúc
rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
Ở nước ta, đã có nhiều công trình nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc
phát triển tư duy, năng lực tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh (xem [1, 5, 16]).
Đặc biệt là từ khi Khoa sư phạm Đại học Quốc gia mở hệ đào tạo Thạc sĩ
chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học đã có nhiều luận văn thạc sĩ đề
cập đến vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh (xem [4, 11, 15,
18]).
Vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học trong giảng dạy bộ môn
Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Tuy nhiên,
các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc
phát triển một số năng lực tư duy toán học thông qua dạy phương trình vô tỉ.
1.2. Năng lực tư duy toán học
1.2.1. Năng lực
1.2.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên
một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:
Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu

12

cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc
cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì
chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng
lực).
Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ
khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương
ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Xã
hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế
hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt
động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu
sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích
ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo
ra các kết quả "vật chất" mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có
bản chất nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người tương tác
qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng.
1.2.1.2. Khái niệm năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học. Năng lực được hiểu
như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những
yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt
động đó.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá
thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện được qua hành động và đánh giá
được nó qua kết quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng

13

tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương.
Người ta thường phân biệt ba trình độ năng lực:
- Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo.
- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt
động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của
những thành tựu đạt được của xã hội loài người.
- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được
những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử. Khi nói đến năng lực phải nói
đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh
và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra.
1.2.2. Khái niệm tư duy
1.2.2.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận
thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc
tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [16].
Theo từ điển Triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan
trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ
không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu
biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận
trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá,
phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải
quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý
niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó" [21].

14


1.2.2.2. Đặc điểm tư duy
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc
điểm cơ bản sau:
+ Tính có vấn đề của tư duy.
Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Đó là những tình
huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những phương tiện,
phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không đủ để đạt được mục
đích đó.
Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá
nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, nghĩa
là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu
tìm kiếm.
+ Tính gián tiếp của tư duy.
Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ.
Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối
liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác những
phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá
nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp chúng
ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác
chúng một cách trực tiếp được.
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những
thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc bản
chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó khái quát các sự
vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất vào
một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng

hóa và khái quát hóa. Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vào tương lai.

15


+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.
Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương
tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tư duy. Tư duy của con người không thể
tồn tại ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngôn ngữ cũng không thể có được nếu
không dựa vào tư duy. Tư duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhưng không
đồng nhất với nhau không thể tách rời nhau được.
+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên
cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được
kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của
nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính.
Những đặc điểm trên đây cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch
sử - xã hội mang bản chất xã hội.
1.2.2.3. Các thao tác của tư duy
a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào
đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con
người. Tư duy là một hoạt động trí truệ có các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề; Giai
đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
b. Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu

trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ,
thao tác tư duy là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác
sau:

16


+ Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách
một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên
kết nhiều vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là
hai mặt của một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự.
So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất
hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện
tượng.
Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để
từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối
tượng kia.
+ Trừu tượng hóa.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm
không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa
tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động).
+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của
khái quát hóa.

Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho
sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.
Khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy
thống nhất.

17


1.2.2.4. Các loại hình tư duy
Trong quá trình học thì cái mà học sinh lĩnh hội được đó là cách tư duy.
Qua quá trình tư duy con người ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần
lĩnh hội, mục đích cần đạt được và con đường tối ưu đạt được mục đích đó. Khi
có kỹ năng tư duy thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu các đối tượng
khác. Điều cần thiết trong tư duy là nắm được bản chất của sự vật, hiện tượng từ
đó vận dụng vào các tình huống khác nhau một cách sáng tạo. Thông qua hoạt
động tư duy người học có thể phát hiện ra vấn đề và đề xuất hướng giải quyết;
biết phân tích, đánh giá các quan điểm, các phương pháp của người khác đồng
thời đưa ra ý kiến chủ quan, nêu ra lí do, nội dung để bảo vệ quan điểm của mình.
Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát
triển các loại tư duy:
+ Tư duy độc lập.
Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập
khi được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Từ đó gây hứng thú học tập
cho học sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự
nhiên theo đúng quy luật của quá trình nhận thức.
Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự
mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn
thiện kết quả đạt được.
+ Tư duy logic.
Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, không

phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn.
Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan
trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic.
+ Tư duy trừu tượng.
Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng.
Tư duy trừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở

18


việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một
cách sáng tạo vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
+ Tư duy biện chứng.
Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện
chứng. Do đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng,
có tính quy luật. Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là một
nhiệm vụ của môn học.
+ Tư duy phê phán.
Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học luôn
tìm được hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khuôn, máy
móc.
+ Tư duy sáng tạo.
Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư
duy, việc tư duy sáng tạo giúp cho người học không bị gò bó trong không gian
tri thức của người thầy đặt ra.
Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
1.2.3. Năng lực tư duy
1.2.3.1. Khả năng và năng lực
Khả năng là điều có thể thực hiện được hoặc đạt được những hành động

hoặc kết quả nhất định thông qua một tập hợp các quy trình, đo lường, tính
năng, chức năng.
Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù
hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động
đó đạt hiệu quả cao.
1.2.3.2. Khái niệm năng lực tư duy
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và

19


linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào
thực tiễn.
1.2.4. Năng lực tư duy toán học
Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức
toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết
các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách
linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách
hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong
các tình huống, hoàn cảnh khác nhau.
Môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho
học sinh. Trong [6] tác giả đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực trí
tuệ toán học cho học sinh, thể hiện bốn mặt:
Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. Do đặc điểm
của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để
rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ,
nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng
ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy.
Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát
triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà
còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi
học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân
tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,.. do đó có tác dụng rèn luyện cho
học sinh những hoạt động này.

20


Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Các phẩm chất trí tuệ
quan trọng cần rèn luyện cho học sinh là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng
tạo.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ luận văn chúng tôi sẽ tập trung vào nghiên
cứu việc rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển một số
năng lực tư duy vì các hoạt động trí tuệ cơ bản có mối quan hệ hữu cơ với các
năng lực tư duy toán học.
1.2.4.1. Một số thao tác hoạt động trí tuệ
a. Phân tích và tổng hợp
Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những
bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng
theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn về
đối tượng toán học ấy.
Tổng hợp là một thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc
hợp nhất những bộ phận của đối tượng toán học đã được phân tích thành một
chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn.
b. Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là thao tác tư duy mà chủ thể chỉ tập trung chú ý vào
những tính chất cơ bản nhất, đặc trưng nhất, thuộc và chỉ thuộc lớp đang

nghiên cứu. Tách chúng ra khỏi những tính chất không cơ bản và không quan
tâm đến những tính chất không cơ bản đó.
c. Khái quát hóa
Khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm bao quát các đối tượng toán học
khác nhau thành một nhóm hoặc một lớp trên cơ sở chúng có một thuộc tính
chung bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật sau khi gạt bỏ những
thành phần khác. Kết quả của khái quát hóa cho ra một đặc tính chung của
hàng loạt đối tượng toán học cùng loại.

21


1.2.4.2. Tư duy phê phán
a. Khái niệm tư duy phê phán
Tư duy phê phán có nhiều cách định nghĩa
- Tư duy phê phán (critical thinking) là tư duy có suy xét, cân nhắc,
đánh giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thông tin với thái độ "hoài nghi
tích cực" dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp
nhất nhằm giải quyết vấn đề.
- Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân
tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng, giả thuyết,... từ sự quan sát, kinh
nghiệm, chứng cứ, thông tin, và lý lẽ nhằm đưa ra nhận định về sự việc, ra
quyết định, và hình thành cách ứng xử của mỗi cá nhân.
- Tư duy phê phán là năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp
các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận,
giải quyết vấn đề.
- Tư duy phê phán là kỹ năng tìm hiểu và đánh giá những quan sát, giao
tiếp, thông tin và lý lẽ.
- Tư duy phê phán là quá trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo léo để
khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin thu thập hay

phát sinh từ quan sát, kinh nghiệm, nhận xét, lập luận hoặc giao tiếp, như
đường dẫn đến sự tin tưởng và hành động.
- Tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kỹ lưỡng việc có
thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ về sự việc và mức độ tin cậy trước khi chấp
nhận hay từ chối.
Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại:
Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân
tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh
nghiệm, chứng cứ, thông tin, và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng - sai, tốt

22


- xấu, hay - dở, hợp lý - không hợp lý, nên - không nên, và rút ra quyết định,
cách ứng xử cho mình.
b. Biểu hiện của năng lực tư duy phê phán
- Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm. Có khả năng đề xuất các câu hỏi.
- Đánh giá tính hợp lý của các cách đặt, giải quyết vấn đề. Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau. - Có khả năng đưa ra
các quyết định.
- Có khả năng nhận ra các thiếu xót, sai lầm.
- Có khả năng sửa chữa sai lầm.
1.2.4.3. Tư duy sáng tạo
a. Khái niệm tư duy sáng tạo
Có nhiều cách định nghĩa tư duy sáng tạo
- Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hình ảnh, những ý tưởng,
những sự vật mới và chưa có từ trước.
- Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có
hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
- Tư duy sáng tạo là sự nhạy bén trong việc nhận ra các vấn đề, các
thiếu hụt trong kiến thức, các bất hợp lý trong các thông tin hiện có, tìm cách

giải, dự đoán, biểu đạt giả thuyết về vấn đề cần giải quyết.
- Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới,
tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng
tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những
chuỗi phưu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi
mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm.
- Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về
mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị.

23


Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại:
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo
và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
b. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc
của tư duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:
+ Tính mềm dẻo (Flesibility).
Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến
thức đã tiếp thu được một cách dễ dàng nhanh chóng từ góc độ và quan niệm này
sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang một
hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang hệ thống phương pháp
tư duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang hành động mới,
gạt bỏ sự cứng nhắc mà con người đã có để thay đổi nhận thức dưới một góc
độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần trí tuệ.
Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo có các đặc trưng nổi
bật sau:
- Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,

vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như
quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp
khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ
quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và
xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,
hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy
nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến

24


thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh
nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng quen biết.
+Tính nhuần nhuyễn (Fluency).
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh,
đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý
tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được
đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng
nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong
trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần
nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm
được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một

vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề
xuất được nhiều phương án khác nhau từ đó tìm được phương án tối ưu.
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không
phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
+ Tính độc đáo (Originality).
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng: Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới;
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài;
liên tưởng như không có liên hệ với nhau;
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. +
Tính hoàn thiện (Elaboration).
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành

25