HDC TOÁN 2 (1) giáo án

SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1)
Năm học: 2011 – 2012
Môn: Toán - Ngày thi thứ hai
Đáp án gồm 04 câu, trong 02 trang

Câu

Nội dung
ab + bc + cd + da + ac + bd 3 abc + bcd + cda + dab
≥
6
4
3

1

2

 ab + bc + cd + da + ac + bd   abc + bcd + cda + dab 
⇔
÷ ≥
÷
6
4

 

2

5
điểm

5
điểm

3
5
điểm

1

2

2
2
2
2
 abc + bcd + cda + dab   ab(c + d) + cd(a + b)  (ab) (c + d) + (cd) (a + b)
=
≤

÷ 
÷
4
4
8

 


2
2
2
2
2
2
ab(a + b) (c + d) + cd(c + d) (a + b)
(ab + cd)(a + b) (c + d)
≤
=
32
32
3

2

Điểm

Với k > v 2 (b + c) = k 0 ta có v 2 (a + b + c ) = v 2 (b + c) .
k

k

k

k
k
k
⇒ v 2 (a + b + c ) ≤

Max{v 2 (a + b + c), v 2 (a 2 + b 2 + c 2 ),..., v 2 (a k0 + b k0 + c k 0 ), v 2 (b + c)}∀k ∈ N * .
Do đó các số nguyên n thỏa mãn:
n > Max{1;v 2 (a + b + c), v 2 (a 2 + b 2 + c 2 ),..., v 2 (a k 0 + b k 0 + c k 0 ), v 2 (b + c)} thỏa mãn
đề bài.

n

i =0

j= 0

i
i
Giả sử P(x) = ∑ a i x , Q(x) = ∑ bi x , a m ≠ 0, b n ≠ 0, a i < b ∀i=0;m .

*) Nếu bi < b ∀i=0;n thì ta có:
n

m

n

m

i =0

j= 0

i =1

j=1

P(b) = Q(b) ⇒ ∑ a i b i = ∑ b i b i ⇒ ∑ a i b i − ∑ b i b i = b 0 − a 0 ⇒ b 0 − a 0 Mb ⇒ a 0 = b 0
n

m

i=2

j= 2

1

3

1  2(ab + cd) + 2(a + b)(c + d)   ab + bc + cd + da + ac + bd 
≤ 
÷ =
÷
64 
3
6
 

k
k
k
TH1 : a, b, c lẻ ⇒ a + b + c ≡ 1(mod2)∀k ∈ N ⇒ đfcm
TH2 : Trong hai số có hai số chẵn một số lẻ ⇒ a k + b k + ck ≡ 1(mod2)∀k ∈ N ⇒
đfcm.

TH3: Trong hai số có một số chẵn hai số lẻ, giả sử a chẵn, b và c lẻ.
*) Nếu k chẵn thì a k + bk + ck ≡ 2(mod4) .
*) Nếu k lẻ thì ta có:
v 2 (b k + c k ) = v 2 ((b + c)(b k −1 − b k − 2c + ... + c k −1 )) = v 2 (b + c), v 2 (a k ) ≥ k

m

2

⇒ ∑ a i bi −1 − ∑ bi bi −1 = b1 − a1 ⇒ b1 − a1 Mb ⇒ a1 = b1
…

m = n
⇒
⇒ P(x) = Q(x)

a i = bi ∀i=1;m
*) Giả sử i là số nhỏ nhất thỏa mãn bi ≥ b, bi = pi b + ri , 0 ≤ ri < b, pi ≥ 1 .

1

1
0,5
0,5
0,5
1
1
1
0,5

i −1

n

j= 0

j= i + 2

j
i
i+1
j
Xét Qi (x) = ∑ b jx +ri x +(p i +b i+1 )x + ∑ b jx ⇒ Qi (b) = Q(b) = P(b) ,

i −1

n

n

j= 0

j= i + 2

j= 0

1,5

Qi (a) = ∑ b ja j +ri a i +(p i +b i+1 )a i+1 + ∑ b ja j = ∑ b ja j − p i (b − a)a i < Q(a) = P(a)

Làm tương tự sau một số hữu hạn lần ta được Q k (b) = Q(b) = P(b),

1

Q k (a) < Q(a) = P(a) và các hệ số của Qk(x) đều nhỏ hơn b.
0,5

Vì Q k (b) = P(b) và các hệ số của Qk(x) đều nhỏ hơn b
⇒ P(x) ≡ Q k (x) ⇒ P(a) ≡ Q k (a) ⇒ Mâu thuẫn.

1
1
A

N

4

O

M

5
điểm

C

B
K

I

E

F
D

Gọi E, F thứ tự là giao điểm của các đường thẳng AB, AC và d.
Kẻ đường thẳng qua A và song song với IM cắt d tại K, suy ra IK = ID.
OM = ON ⇔ [KDEF]=-1 ⇔ ID 2 = IE.IF ⇔ IB.IC=IE.IF ⇔ B,C,E,F đồng viên.
Mà (BA,BC)=(DA,DC)=(DA,DF)+(DF,CF)+(CF,DC)=(DF,CF) (mod π )
Hay (BE,BC)=(FE,FC)⇒B,C,E,F đồng viên ⇒ ĐFCM.

2

0,5
2,5
1
1