01 bai toan ve goc p1

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 2 , hình chiếu của S lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI, (với I là trung điểm của BC). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng
a3 3
.
3

a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AG và SB.
Lời giải:
a) Ta có: S ABC

(a 2 )
=

2

3

4

a2 3
=
2

1

1
a 2 3 a3 3
+) VS . ABC = SH .S ABC = SH .
=
⇒ SH = 2a
3
3
2
3
+) Mặt khác: AI =

(a 2 )
2

⇒ BH 2 = BI 2 + IH 2 =

+) Do đó: cos SBH =
với cos α =

3

=

a 6
a 6
⇒ HI =
2
4

7a 2

a 14
⇒ BH =
8
4

BH
=
SB

BH
BH + SH
2

2

=

7
⇒ góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là α
39

7
39

1
78
a 58
b) Dựng GK / / SB ta có: GK = SB =
a , AK 2 = IK 2 + AI 2 ⇒ AK =
.

3
12
6
Ta có: cos SIA =

HI
=
SI

HI
HI + SH

Từ đo suy ra: cos KGA =

2

2

=

3
107
⇒ AG 2 = AI 2 + IG 2 − 2 AI .IG cos AIG ⇒ AG = a
35
72

KG 2 + GA2 − AK 2
75
=
= cos ( SB; AG )

2.KG.GA
1391

Câu 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông. Gọi M, N là trung
điểm của SB, AD. Biết góc giữa đường thẳng MN và đáy ABCD bằng 300, và MN = 2a 3.
a) Tính thể tích khối chóp MNBCD theo a.
b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và NI, với I thuộc AB sao cho AI = 2IB.
Đ/s: VMNBCD =

63a 3 3
12

Lời giải:

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

a) Gọi K là trung điểm của AB ta có: MNK = 300
+) NK = MN cos 30 = 3a ⇒ BD = 6a ⇒ AB = 3a 2
MK = MN sin 30 = a 3 ⇒ SA = 2a 3
1
1
ND + BC
+) Ta có: VM . NBCD = .MK .S NBCD = MK .
. AB
3

3
2

3a 2
+ 3a 2
1
9a 3 3
= .a 3. 2
.3a 2 =
3
2
2
b) Dựng BE / / NI ⇒ CE = 2 ED
+) SB = SA2 + AB 2 = a 30
+) SE = SA2 + AE 2 = SA2 + AD 2 + DE 2 = a 32
+) BE = BC 2 + CE 2 = a 26
+) Do đó cos SBE =

SB 2 + BE 2 − SE 2
12
=
= cos ( SB; NI )
2.SB.BE
65

Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết SO vuông góc
với đáy, SA tạo với các mặt phẳng (ABCD), (SBC) các góc φ bằng nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc
a
của A trên (SBC) và HB = . Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa SA và (ABCD).
2

Đ/s: V =

a3 3
10
4 + 3cos 2 φ; cos( SA; ABCD) =
24
5
Lời giải:

+) Trong mp ( SBC ) dựng Bz / / SO . Hạ AH ⊥ Bz
 AH ⊥ Bz
+) Khi đó 
⇒ AH ⊥ ( SBC )
 AH ⊥ BC

+) Ta có: SA cos ϕ = OA =

+) AH = AB 2 − HB 2 =
+) cos ϕ = cos ASH =
⇔ cos 2 φ =

a 2
a
⇒ SA =
2
cos ϕ 2

a 3
2

SH
=
SA

SA2 − AH 2
3
= 1 − cos 2 ϕ
SA
2

2
10
⇔ cos φ = cos ( SA; ( ABCD ) ) =
5
5

1
1
a2
a3
3 3
+) VSABC = SO.S ABC = .SA sin φ. =
tan φ =
a
3
3
2 6 2
12

Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a; BC = a 3 , SA vuông

góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối
chóp A.BCNM và cosin góc giữa hai đường thẳng MN, AB.
a3 3
30
Đ/s: V =
;cos( MN ; AB ) =
5
20

Lời giải:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

+) Tính thể tích khối chóp A.BCNM
2a
4a
a
1
Ta có: AC = 2a; SB = a 5; AM =
⇒ SM =
, MB =
; AN = SN = SC = a 2
2
5
5
5

1
a 3 3 VS . AMN SM SN 2
2
VS . ABC = .SA.S ABC =
;
=
.
= → VS . AMN = VS . ABC
3
3
VS . ABC
SB SC 5
5
3
a3 3
Vậy VA.BCNM = VS . ABC − VS . AMN = VS . ABC =
5
5
+) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng MN, AB:
 BC ⊥ AB
Nhận xét: 
⇒ BC ⊥ ( SAB ) → BC ⊥ AM
 SA ⊥ BC
Lại có: AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MN
Suy ra: ⇒ MN = AN 2 − AM 2 = a

6
5

Từ B kẻ BP //MN ⇒ ( AB; MN ) = ( AB; BP )

Do BP //MN ⇒
Lại có:

MN SM
SM 4
a 30
=
, mà
= ⇒ BP =
BP
SB
SB 5
4

NP MB 1
a 2
a 34
=
= ⇒ NP =
⇒ AP = NP 2 + AN 2 =
SN SM 4
4
4

⇒ cos ( AB; MN ) = cos ABP =

Đáp số: VA.BCNM =

AB 2 + BP 2 − AP 2
30

=
2. AB.BP
20

a3 3
30
; cos ( AB; MN ) =
5
20

Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi M, N là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Tính thể tích khối chóp S.ABE
theo a.
Lời giải:
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là tâm đáy ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAH = 60o ⇒ SH = sin 60.SA =

a 3
2

3a
a 3
1
3a 3
⇒ AM =
⇒ AB =
⇒ VS . ABC = .SH .S ABC =
4

2
3
32
b) Tính thể tích khối chóp S.ABE
1
Kẻ MK song song với BE ⇒ CK = EK , MK = BE
2
 NE / / MK
SE 1
Lại có: 
⇒ SK = 2 SE ⇒
=
SC 3
 SM = 2 SN
Ta có:

VS . ABE SA SB SE 1
a3
=
. .
= ⇒ VS . ABE =
VS . ABC SA SB SC 3
32

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Gọi M, N là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. Tính thể tích khối chóp S.AMEN
theo a.
Lời giải:
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi O là tâm đáy ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
→ ( SA; ( ABC ) ) = SAO = 60o ⇒ SO = AO.tan 60o =

a 6
2

1
a3 6
⇒ VS . ABCD = .SO.S ABCD =
3
6
b) Tính thể tích khối chóp S.AMEN
SM SN MN 1
Theo bài ta có:
=
=
=
SB SD BD 2
1
Từ O dựng OI //AE ⇒ EI = EC ( do AC = 2 AO )(1)
2
Gọi K = SO ∩ MN , khi đó ta có:

 KE //OI
1
→
⇒ SE = SI
2
 SO = 2 SK

( 2)

1
Từ (1) & ( 2 ) ⇒ SE = SC
3
Ta có:

VS . AMEN 2VS . AME SA SM SE 1
1
a3 6
=
=
.
.
= ⇒ VS . AMEN = VS . ABCD =
VS . ABCD 2VS . ABC SA SB SC 6
6
36

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , mặt bên SCD hợp với đáy một góc 600 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG.
Lời giải:

+) Dựng GE / / AD ⇒ CE = 2 ED . Khi đó GE ⊥ CD
2
2a
Mặt khác SG ⊥ CD ⇒ SEG = 600 . GE = AD =
3
3
2a 3
Suy ra SG = GE tan 60o =
=h
3
1
1 2a 3 2 2a 3 3
+) VS . ABCD = SG.S ABCD = .
.a =
3
3 3
9
+) Trong mf ( SAC ) dựng GK / / SA
2

4a 2  a 2 
a 14
+) Ta có SA = SG + GA =
+ 
 =
3  3 
3
2

2

⇒ GK =

2
2a 14
SA =
3
9

.+) BG =

 BO ⊥ AC
2 2 a2 a 5
a +
=
. Nhận xét 
⇒ BO ⊥OK ⇒ BK = BO 2 + OK 2
3
4
3
 BO ⊥ SG

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

+) SC = SG 2 + GC 2 =

Facebook: LyHung95

4 a 2 8a 2 2 a 5
2
4a 5
a 2
+
=
⇒ CK = SC =
, OC =
3
9
3
3
9
2

GC
2
97 2
89
=
⇒ OK 2 = OC 2 + CK 2 − 2OC.CK .cos GCK =
a ⇒ BK 2 = a 2
SC
5
162
81
2
2
2

GB + GK − BK
1
=
= cos ( SA; BG )
+) Do đó cos ( KGB ) =
2GBGK
70

+) Mặt khác cos SCG =

có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
a 2
vuông góc với đáy và cạnh SC tạo với đáy
có AB = 2a, CD = a . Gọi I là trung điểm của AD, SI =
2
một góc 300 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SIC ) .

Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD

Lời giải:
+) Do SI ⊥ ( ABC ) ⇒ SCI = 300 ⇒ IC tan 300 = SI
3
a
= ID 2 + CD 2 ⇒ ID =
2
2
3
1
AB + CD
a

+) VS . ABCD = .SI .
. AD =
( dvtt )
3
2
2
+) Dựng CK / / AD ⇒ CK = AD = a 2
+) Ta có: BC 2 = CK 2 + KB 2 = 3a 2
9
+) IB 2 = IA2 + AB 2 = a 2 = IC 2 + BC 2 suy ra tam giác
2
ICB vuông tại C do đó BC ⊥ IC .
KB
1
+) cos ( BC ; AB ) = cos CBA =
=
= sin ( AB; SIC )
BC
3
Suy ra IC = a

+) Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SIC ) là α với sin α =

Cách 2: Gọi E = BA ∩ CI ⇒ BE = 3a ⇒ cos BEC =

1
.
3

CE

6
=
BE
3

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
1
a2 3
xuống (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho AH = AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng
. Tính góc
3
2
giữa

a) (SA; BC)
b) (SB; AC)
Đ/s: a ) cos ( SA; BC ) =

3
8 70

b) cos ( SB; AC ) =

1
31

Bài 2: [ĐVH]. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C, CA = CB = a, SA
vuông góc với đáy ABC, SA = a 3 ; D là trung điểm của cạnh AB. Tìm góc giữa:

a) ( SD; AC )

b) ( SD; BC )

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Đ/s: a) ( SD; AC ) ≈ 105, 5o

Facebook: LyHung95

b) ( SD; BC ) = 74,5o

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a;
AD = 2a. Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; SH = a 3. Tính góc
giữa
a) (SC; AB)
b) (SA; BD)
Đ/s: a ) cos ( SC ; AB ) =

66
22

b) cos ( SA; BD ) =

10
50

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc
của S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho AB = 3AH. Biết S SAB = a 2 . Tính góc giữa

a) (SA; BD)
b) (SC; BM), với M là trung điểm của AD.
Đ/s: a ) ( SA; BD ) ≈ 860

b) cos ( SC ; BM ) =

38
19

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015