01 tiep tuyen cua do thi ham so p5 BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau
→ d : y = k ( x − xA ) + y A
+) Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k 

 f ( x) = k ( x − x A ) + y A ,
+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm 
k = f ′( x), ( 2 )

(1)

+) Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1). Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta

được phương trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − x − 6
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số.

Ví dụ 4: [ĐVH]. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số y =

x
đi qua giao điểm I của 2 đường
x +1

tiệm cận.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x +1
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .
x −1

a) Tại điểm có hoành độ x = 2 .
b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( 4; −1) .
Ta có: f ' ( x ) =

Lời giải:

−3

( x − 1)

2

.

a) Ta có : x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( 2 ) = −3 .

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 2x +1 
2x +1
−3
b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M  x0 ; 0  ∈ ( C ) là: y =
x − x0 ) + 0
.
2 (
x0 − 1 
x0 − 1
( x0 − 1)

2x +1
−3
4 − x0 ) + 0
Vì tiếp tuyến đi qua A ( 4; −1) nên ta có: −1 =
2 (

x0 − 1
( x0 − 1)

( 2 x0 + 1)( x0 − 1) ⇔ − x − 1 2 = 2 x 2 + 2 x − 11 ⇔ 3x 2 = 12 ⇔  x0 = 2
( 0 )
0
0
0

2
2
( x0 − 1)
( x0 − 1)
 x0 = −2
x0 = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11

⇔ −1 =
+) Với

3 ( x0 − 4 )

+

1
−1
1
( x + 2 ) + 1 hay y = x +
3
3
3

3
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x − 2 x + 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .

+) Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −

a) Tại điểm có hoành độ x = 0 .
b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
Lời giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 2

a) Ta có: x0 = 0 ⇒ y0 = 2 và y ' ( x0 ) = y ' ( 0 ) = −2 .

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 0 ) + 2 hay y = −2 x + 2 .

b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; x03 − 2 x0 + 2 ) ∈ ( C )
là: y = ( 3 x02 − 2 ) ( x − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2 .

Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 = ( 3 x02 − 2 ) ( 0 − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2 ⇔ −2 x03 + 2 = 0 ⇔ x0 = 1
Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 3x 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
a) Gốc toạ độ O ( 0; 0 ) .

b) Qua điểm A ( −36;0 )
Gọi M ( x0 ; x − 3 x
4
0

2
0

) là toạ độ tiếp điểm.

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x04 − 3 x02

a) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02

 x0 = 0
⇔ −3 x04 + 3x02 = 0 ⇔ x02 ( x02 − 1) = 0 ⇔ 
 x0 = ±1
+) Với x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 .

+) Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 1) − 2 hay y = −2 x .
+) Với x0 = −1 phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x + 1) − 2 hay y = 2 x .

b) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: −36 = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02

t = 4
⇔ −3 x04 + 3 x02 = −36 ⇔ x04 − x02 − 12 = 0. Đặt t = x02 ( t ≥ 0 ) ta có: t 2 − t − 12 = 0 ⇔ 
t = −3 ( loai )
Khi đó x02 = 4 ⇔ x0 = ±2 .
• Với x0 = 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 20 ( x − 2 ) + 4 hay y = 20 x − 36

• Với x0 = −2 phương trình tiếp tuyến là: y = −20 ( x + 2 ) + 4 hay y = −20 x − 36

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 + ( m + 2 ) x + 1 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến của ( Cm )
tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm M ( −2;3) .
Lời giải:
Ta có: y ' = 3 x − 4mx + m + 2
2

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( −1; −1 − 2m − ( m + 2 ) + 1) hay A ( −1; −3m − 2 ) là:

y = ( 3 x02 − 4mx0 + m + 2 ) ( x − x0 ) − 3m − 2 ⇔ y = ( −3 + 4m + m + 2 )( x + 1) − 3m − 2

⇔ y = ( 5m − 1) x + 2m − 3
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( −2;3) nên ta có: 3 = −2. ( 5m − 1) + 2m − 3 ⇔ m = −

1
2

1
7
phương trình tiếp tuyến là: y = − x − 4
2
2
1
Vây m = −
2
3− x
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =

, (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến
2x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x + y − 3 = 0

Với m = −

b) Song song với đường thẳng AB biết A ( 0;1) , B (1; −6 )
Ta có: f ' ( x ) =

Lời giải:

−7

( 2 x + 1)

2

a) Viết lại đường thằng d: y = −2 x + 3 .
−1

3− x
x ≠
⇔
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: −2 x + 3 =
2x + 1
( 2 x + 1)( −2 x + 3) = 3 − x

1


x = 0
x ≠ −
⇔
⇔
2
5
x =
 −4 x 2 + 5 x = 0

4


+) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 3 ⇒ f ' ( 0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x − 0 ) + 3 hay y = −7 x + 3 .

5
1
4
−4 
5 1
5
⇒ y0 = ⇒ f '   = − . Phương trình tiếp tuyến là: y =
x− +
4
2
7
7 
4 2
4
−4 x 17
Hay y =

+ .
7
14
b) Ta có: AB = (1; −7 ) ⇒ n AB = ( 7;1) . Phương trình đường thẳng AB là: 7 x + y − 1 = 0 hay y = −7 x + 1

+) Với x0 =

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có: ktt = −7
Xét phương trình f ' ( x0 ) = −7 ⇔

−7

( 2 x0 + 1)

2

 2 x0 + 1 = 1
 x0 = 0
2
= −7 ⇔ ( 2 x0 + 1) = 1 ⇔ 
⇔
 2 x0 + 1 = −1  x0 = −1

+) Với x0 = 0; y0 = 3; f ' ( x0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 x + 3

+) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4 ; f ' ( −1) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x + 1) − 4 hay y = −7 x − 11 .
2x +1
, (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến
x −1
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −3

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ' : x − 12 y + 3 = 0
Lời giải:
−3
Ta có f ' ( x ) =
.
2
( x − 1)
1

x=−
2 x + 1 = 0
2x +1
= 2x +1 ⇔ 
⇔
2.

x −1
 x −1 = 1
x = 2

1
1
4
4
1
 1
+) Với x0 = − ⇒ y0 = 0 ; x0 = − ⇒ y0 = 0; f '  −  = − . Phương trình tiếp tuyến là y = −  x +  .
2
2
3
3
2
 2
+) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ; f ' ( 2 ) = −3 . Phương trình tiếp tuyến là y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 .

a) Viết lại d : y = 2 x + 1 . Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 x0 = 0
2
= −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 
.
( x0 − 1)
 x0 = 2
+) Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − 1 .
−3

b) Ta có: k = f ' ( x0 ) =

2

+) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 .

1
3
1
x+
có kd ' = .
12
12
12
Do tiếp tuyến vuông góc với d ' nên ta có: ktt = −12

c) Viết lại phương trình d ' : y =

Xét phương trình

−3

( x0 − 1)

1

 x0 = 2
1
= −12 ⇔ ( x0 − 1) = ⇔ 
4
x = 3
 0 2
2

2

1
1

⇒ y0 = −4 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  − 4 hay y = −12 x + 2 .
2
2

3
3

+) Với x0 = ⇒ y0 = 8 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  + 8 hay y = −12 x + 26 .
2
2


+) Với x0 =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2

Bài 1: [ĐVH]. Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua A  ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1
3

x+2
Bài 2: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y =
.
2x −1
Bài 3: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A ( 0; −1) đến đồ thị hàm số y = x3 + x 2 − x + 2.

Đ/s: y = 4 x − 1
Bài 4: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 x3 − x 2 + 3 x + 1.
Đ/s: y = 3 x + 1
Bài 5: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y = − x3 + 2 x + 5.
Đ/s: x + y − 7 = 0
1 
Bài 6: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A  ; 4  đến đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3.
2 
Đ/s: y = 8 x − 8
x +1
Bài 7: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A (1; −6 ) đến đồ thị hàm số y =
.
x+2
Đ/s: y = −3 x − 3
2x − 3
Bài 8: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số y =
.
x−2
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Đ/s: y = − x + 4

(

Bài 9: [ĐVH]. Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2

)

2

.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!