02 bai toan ve goc p2

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = AC = BC = a, AB = a 2 . Tính thể tích hình chóp và
côsin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC biết rằng mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng 600.
Lời giải:
+) Gọi M là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có ∆SAB và ∆ABC là các tam

S

giác vuông cân bằng có chung cạnh huyền AB.
AB a 2
=
.
2
2
Suy ra góc giữa (SAB) và mặt đáy là góc SMC ⇒ SMC = 600.
⇒ SM ⊥ AB, CM ⊥ AB và SM = CM =

P

Q
N

A
M

C

Từ đó ta có AB ⊥ ( SCM ) và ∆SCM là tam giác đều cạnh bằng
V = VSMBC + VSMAC =

B

a 2
.
2

1
1
1
a3 6
(đvtt )
( AM + BM ) .S∆SMC = AB. SM .MC.sin 600 =
3
3
2
24

+) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

(

) (

)

Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SC, SB ta có SA; BC = MN ; NP .

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SA và AB.
BC a
SA a
Xét tứ giác MNPQ có MN = PQ =
= ; MQ = NP =
= .
2
2
2 2
a
⇒ MNPQ là hình thoi cạnh bằng .
2
a 2 3 a 6
Trong tam giác đều SCM có MP là đường trung tuyến ⇒ MP =
.
=
.
2
2
4
NP 2 + MN 2 − MP 2 1
1
Từ đó ta có cos PNM =
= ⇒ cos α = cos PNM = .
2MN .NP
4
4

Vậy thể tích của hình chóp bằng

a3 6
1
(đvtt ) và côsin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng .
24
4

Câu 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc
bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC )

Kẻ AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AKB ) ⇒ SC ⊥ KB

 AKB = 600
⇒ ( SAC ) ; ( SBC )  = ( KA; KB ) = 600 
→
 AKB = 1200
+) Nếu AKB = 600 ⇒ KA = KB = AB = AC , vô lý.
AH
a
a 3
a 6
+) Nếu AKB = 1200 ⇒ AKH = 600 ⇒ HK =
=
⇒ HC =
; SH =
0

2
8
tan 60
2 3
2
3
1
1 a 6 a 3 a 2
.
=
Do đó VS . ABC = .SH .S ∆ABC = .
3
3 8
4
32

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Câu 3: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AC = a,
cạnh bên AA1 = 2a và tạo với đáy một góc bằng 30° , biết mặt phẳng ( ABB1 ) ⊥ ( ABC ) và tam giác
AA1 B cân tại A1 . Tính thể tích của khối chóp A1.BCC1 B1 theo a.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB, vì tam giác A1AB cân tại A1 nên A1I ⊥ AB ⇒ nên A1I ⊥ (ABC)
^

⇒ (AA1;(ABC)) = A1 AI = 30 0
tam giác vuông IA1A có A1I = A1A.sin 30 0 = 2a.

1
=a
2

và AI = A1 A2 − AI 2 = 4a 2 − a 2 = a 3 ⇒ AB = 2 AI = 2a 3
khi đó BC = AB 2 − AC 2 = 12a 2 − a 2 = a 11
ta có:
1
2
2 1
1
a 3 11
VA1 .BCC1B1 = VABC . A1B1C1 − VA1 . ABC = A1 I .S ABC − A1 I .S ABC = A1 I .S ABC = a. CA.CB = a.a.a 11 =
3
3
3 2
3
3

Câu 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2; BD = BC = a; khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACD) bằng

a
3

. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng

a 3 15
.
27
Lời giải:

Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE. Ta có ∆ACD cân tại A nên
CD ⊥ AE.
Tương tự ∆BCD cân tại B nên CD ⊥ BE.
Suy ra CD ⊥ (ABE) ⇒ CD ⊥ BH.
a
Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD). Do đó BH =
và góc giữa hai
3
mặt phẳng (ACD) và (BCD) là α.
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
1
a 3 15
a2 5
a2 5
V = BH .S ACD =
⇒ S ACD =
⇔ AE.DE =
3
27
3
3
⇒ AE 2 .DE 2 =

A

H
D
E

B
C

5a 4
.
9

 2 5a 2
 2 a2
AE
=
 AE =

3
3
2
2
2
Mà AE + DE = 2a ⇒ 
hoặc 
2
2
 DE 2 = 5a
 DE 2 = a



3
3
2
5a
CD BC + BD
Trường hợp DE 2 =
không thỏa mãn vì DE < a (do DE =
<
=a)
3
2
2
BH
1
Xét ∆BHE vuông tại H nên sin =
=
⇒ α = 450.
BE
2

Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3. Gọi I là
trung điểm cạnh BC, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AI.
Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa
hai đường thẳng SB và AC.

Lời giải:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ta có BC = AB 2 + AC 2 = 2a
1
⇒ BI = BC = a ⇒ ∆ABI là tam giác đều cạnh a.
2
Trong (ABC) kẻ HK ⊥ AB, IJ ⊥ AB ⇒ HK // IJ // AC.

S

a 3
a 3
⇔ HK =
2
4
SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AB . Vậy AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ SK

⇒ IJ =

N
I
B

a
J

Góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là SKH = 600.
a 3
3

SH = HK .tan SKH =
. 3= a
4
4

S ABC

C

H

a 3

K

A

1
a2 3
= AB. AC =
2
2

1
1 3a a 2 3 a 3 3
Do đó, VSABC = SH .S ABC =
.
=
(đvtt).
3

3 4
2
8
9a 2 a 2 13a 2
a 13
+
=
⇒ SI = SA =
16
4
16
4
2
2
2
9a
3a
21a
a 21
SB 2 = SH 2 + HB 2 =
+
=
⇒ SB =
16
4
16
4
SA a 21
=
Kẻ JN // SB (với N là trung điểm SA) ⇒ SB, AC = JN , JI , JN =

.
2
8
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến cho ∆ISA.
SI 2 + AI 2 SA2 13a 2 a 2 13a 2 45a 2
Ta có IN 2 =
−
=
+
−
=
2
4
32
2
64
64
Áp dung dịnh lý hàm số cosin cho ∆JNI.
3a 2 21a 2 45a 2
3a 2
+
−
2
2
2
IJ + JN − IN
7
64
64 = 8
Ta có cos NJI =

= 4
=
2
2 IJ .JN
7
a 3 a 21
3a 7
2.
.
2
8
8
Ta có SI 2 = SA2 = SH 2 + HA2 =

(

(

)

Vậy cos SB, AC =

) (

)

7
.
7

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD
= 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB.
Lời giải:

S

A
K
E

O

D

I
H

B

C

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Gọi H = AC ∩ BD ⇒ SH ⊥ (ABCD) & BH =

Facebook: LyHung95

1
BD
3

Kẻ HE ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHE) ⇒ g((SAB);(ABCD)) = SHE = 600 .
1
2a
1
a3 3
2a 3
⇒ SH =
⇒ VSABCD = .SH.SABCD =
Mà HE = AD =
3
3
3
3
3
Gọi O là trung điểm AD ⇒ABCO là hv cạnh a ⇒∆ACD có trung tuyến CO =
CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO ⊥ (SAC).
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
a 2
5a 2
1
Tính chất trọng tâm tam giác BCO ⇒ IH = IC =
⇒ IS =
3
6
6

Kẻ CK ⊥ SI mà CK ⊥ BO ⇒ CK ⊥ (SBO) ⇒ d(C; SBO)) = CK
SH .IC 2a 3
1
1
Trong tam giác SIC có : SSIC = SH.IC = SI.CK ⇒ CK =
=
2
2
SI
5
2a 3
Vậy d(CD; SB) =
5

1
AD
2

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD
= a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
S

B

E

A
I

H
D

C

( SBI ) ⊥ ( ABCD)

Ta có ( SCI ) ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD)
 SI = ( SBI ) ∩ ( SCI )

Gọi H là hình chiếu của I lên BC. Theo định lí 3 đường vuông góc ta có SH ⊥ BC.
Mà BC = ( SBC ) ∩ ( ABCD ) nên SHI = 600 là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
1
1
S ABCD = AD( AB + AC ) = 2a (2a + a ) = 3a 2
2
2
1
1
1
3a 2
S ∆IBC = S ABCD − S ∆ICD − S ∆IAB = 3a 2 − ID.CD − IA. AB = 3a 2 − a 2 − a 2 =
2
2
2
2
2
3a
2.

2 S ∆IBC
3a 2
3a 5
2
=
=
=
Kẻ CE ⊥ AB, IH =
5
BC
4a 2 + a 2
CE 2 + BE 2
Trong tam giác SIH vuông tại I, ta có : SI = IH.tan60o =

3a 5
3a 15
. 3=
5
5

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Vậy VS . ABCD =

Facebook: LyHung95

1 3a 15 2 3a 3 15

.3a =
(đvtt).
3 5
5

Câu 8: [ĐVH]. Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một
mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và
a 21
, SC < HC. Tính thể tích S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC)
(ABC) là 600, SA =
6
theo a.
Lời giải:
S

H

600

B

A
a
I

K

C

Tam giác SAC cân tại S và tam giác ABC đều có H là trung điểm AB nên SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

⇒AB ⊥ (SHC) mà AB = (SAB) ∩ (ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SH và CH do CH >
SC nên SHC nhọn ⇒ SHC = 600
AH .S ∆SCH BH .S ∆SCH AB.S ∆SCH
Thể tích S.ABC là VS . ABC = VS . ACH + VS . BCH =
+
=
3
3
3
a 3
21a 2 a 2 a 3
2
2
Tam giác đều ABC cạnh a có đường cao CH =
, SH = SA − AH =
−
=
2
36
4
3
1
1a 3a 3
a2 3
a3 3
SH .CH .sin SHC =
sin 600 =
⇒ VS . ABC =
2
2 3

2
8
24
H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ HK // BC
3V
3V
⇒ HK // (SBC) nên d(HK,(SBC)) = d(H,(SBC)) = S .HBC = S . ABC
S ∆SBC
2S∆SBC
Diện tích tam giác SHC là S ∆SHC =

Theo định lí côsin trong tam giác SHC có SC = SH 2 + CH 2 − 2.SH .CH .cos600 =

a 21
= SB nên tam
6

giác SBC cân tại S. Gọi I là trung điểm BC
a 3
1
a2 3
3a
⇒ SI = SC 2 − CI 2 =
⇒ S ∆SBC = SI .BC =
⇒ d ( HK , ( SBC )) =
3
2
6
8

Câu 9: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng AA’, AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và(ABC) bằng 600 . Tính theo
a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’.
Lời giải:

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
A'

Facebook: LyHung95
C'

B'

O

M

C

A
I

N
B

CC ' ⊥ ( ABC ), CI ⊥ AI ⇒ C ' I ⊥ AI ⇒ C ' IC = 600 ⇒ CC ' = CI tan 600 =

VN . AC ' I = VC '. ANI

a 3
2

1
1
a3
= VC '. ABC = CC '.S ABC =
4
12
32

 MO / / AC
 NI / / AC


và 
suy ra NI / / MO , NI = MO
khi đó 
1
1
 MO = 2 AC
 NI = 2 AC
suy ra MOIN là hình bình hành
⇒ MN / / OI ⇒ MN / /( AC ' I ) ⇒ d ( MN , AC ') = d ( MN ,( AC ' I )) = d ( N ,( AC ' I )) = h
a2 3
S AIC
3V
a

a2 3
a 3
8
VN . AC ' I = , S AIC ' =
=
=
⇒ h = N . AC ' I =
0
1
32
cos 60
4
S AIC '
8
2
Câu 10: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB
bằng 2a và góc ABC = 300 . Mặt phẳng (C ' AB ) tạo với đáy ( ABC ) một góc 600. Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB ' .
Lời giải:
3

A'

C'
M

B'
H

C

A
M
B

Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ⊥ CM. Mặt khác AB ⊥ CC '

⇒ AB ⊥ (CMC ') ⇒ CMC ' = 600
Gọi V là thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' thì V = S ABC .CC '
a
1
a2
Ta có CM = BM .tan 30 =
⇒ S ABC = CM . AB =
2
3
3
0

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

a
a2
a3
. 3 = a ⇒V =

.a =
3
3
3
Mặt phẳng (CA ' B ') chứa CB ' và song song AB nên
d ( AB;CB ') = d ( AB ;(CA ' B ')) = d ( M ;(CA ' B ')) = MH , với N là trung điểm của A ' B ' và H là hình chiếu của M trên CN.
CC ' = CM .tan 600 =

Do MH ⊥ CN , MH ⊥ A ' B ' ⇒ MH ⊥ (CA ' B ')
1
1
1
4
a
Tam giác CMN vuông tại M nên
=
+
= 2 ⇒ d ( AB;CB ') = MH = .
2
2
2
MH
MC
MN
a
2

Câu 11: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu của đỉnh
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng
600. Tính thể tích của khối chóp S.HABC và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

1
a 2
Gọi I là trung điểm của AO, suy ra HI = OD =
2
4
( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC
Ta có 
⇒ ( SAC ; ABCD ) = ( SI ; HI ) = SIH = 600
AC
⊥
(
SHI
)


a 2
a 6
1 a 3a 2
;
. 3=
S H . ABC = S ABCD − S HDC = a 2 − a. =
4
4
2 2
4
2
3
1

1 a 6 3a
a 6
Từ đó ta có VS . HABC = SH .S H . ABC = .
=
(đvtt).
3
3 4 4
16
Gọi E là trung điểm của BC, suy ra BC ⊥ ( SHE )
SH = HI .tan SIH =

Dựng HK ⊥ SE ⇒ HK ⊥ ( SBC ) hay HK = d ( H ;( SBC ) )

1
1
1
1
1
8
1
11
a 3 a 33
=
+
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ⇔ HK =
=
.
2
2
2

HK
SH
HJ
a .6 a
3a
a
3a
11
11
16
a 33
Vậy d ( H ;( SBC ) ) =
.
11

Ta có

Câu 12: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ
A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') bằng

a 3
. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') , biết thể
3

tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng

a 3 15
.
9
Lời giải:

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

+) Đặt A ' I = x ⇒ B ' I 2 = 2a 2 − AI 2 = a 2 − x 2 ⇒ AI = a 2 + x 2
+) A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ =

a 3
3

+) Ta có AK = AI sin φ = a 2 + x 2 sin φ
⇒ V = AK .S A ' B 'C ' ⇔

⇔ a4 − x4 .

a 3 15
1
a 3 15
= a 2 + x 2 sin φ. x.2 a 2 − x 2 ⇔ a 4 − x 4 .( x sin φ) =
9
2
9

a 3 a 3 15
5
a

3
2
=
⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ =
⇒ sin φ =
⇒ φ = 450.
3
9
9
2
x
2

Câu 13: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a. góc giữa AD và (ABC)
bằng 450. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ABC).
Lời giải:
+) Gọi I là trung điểm của BC. Do ABC và BCD là các tam giác
 AI ⊥ BC
đều nên 
⇒ BC ⊥ ( ADI )
 DI ⊥ BC
+) Dựng AH ⊥ AI ⇒ AH ⊥ ( ABC ) ⇒ DAH = 450
+) Ta có: ∆DIA cân tại I do có DI = AI =
cân tại I ⇒ H ≡ I ⇒ VD. ABC

1
1 a 3 a 2 3 a3
= .DH .S ABC = .
.
=

3
3 2
4
8

+) Dựng HK ⊥ AB ⇒ HK =

Đ/s: V =

a 3
⇒ ∆DAI vuông
2

HA.HB
HA + HB
2

2

=

a 3
⇒ tan DKI = 2
4

a3
; φ = arctan 2
8

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Câu 14: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy. Mặt
phẳng (SBD) tạo với đáy góc 600. Gọi M, N là hình chiếu của A lên SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại
điểm P. Tính thể tích khối chóp S.AMPN theo a.
Lời giải:
2
 MN ⊥ AC
SA
+) Ta có SM = SN = 2 ⇒ MN / / BD ⇒ 
a
 MN ⊥ SA
 MN ⊥ AP
Do đó MN ⊥ ( SAC ) ⇒ 
 MN ⊥ SC (1)
 AM ⊥ SB
+) Mặt khác 
⇒ AM ⊥ SC , tương tự chứng
 AM ⊥ BC
minh được AN ⊥ SC ⇒ AP ⊥ SC ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra SP ⊥ ( AMNP )
+) Ta có: SOD = 600 ⇒ SA = OA tan 600 =

+)

VS . AMN

VS . ABC

SA2
1
VS .SMPN
SM SP
.
= 2
=
= SB
1
SB SC
SB
V
2 S . ABCD

a 2
a 6
. 3=
2
2

SA2
9
9
3a 3 6
SA4
. SC =
.
=

⇒
V
=
V
=
S . AMPN
S . ABCD
35
70
SC SB 2 .SC 2 35

1
1 SA2
3a 3 6
Cách 2: VS . AMPN = .SP.S AMPN = .
. AP.MN =
3
3 SC
70
Câu 15: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a . Tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc 600 . Biết cạnh SA tạo với đáy một góc 450 . Tính thể
tích khối chóp S . ABCD và góc giữa 2 mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ) .

Lời giải:
+) Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB,CD ⇒ IK ⊥ AB
Mặt khác giác SAB cân tại S ⇒ SI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SIK )
Dựng SH ⊥ IK , SH = h ta có: HI =

HA = h ⇒ HI 2 + AI 2 = AH 2 ⇔
+) VS . ABCD

h
h
=
o
tan 60
3

a2 2 2
3
= h ⇒h=a
4 3
8

1
1 3 2
a3
= SH .S ABCD = a .a =
.
3
3 8
2 6

+) Dựng HE / / AB ⇒ HE =

a
SH
3
⇒ tan SEH =
=

2
HE
2

Vậy giữa 2 mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ) là α với tan α =

3
.
2

Câu 16: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' đều, biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy (A’B’C’) góc 600 và
3a
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
khoảng cách từ A đến (A’BC) bằng
2
Lời giải:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đều.

⇒ ( ( A ' BC ) ; ( ABC ) ) = ( ( A ' BC ) ; ( ABC ) ) = 60o
Gọi M là trung điểm BC, ta có:
( A ' BC ) ∩ ( ABC ) = BC
⇒ ( ( A ' BC ) ; ( ABC ) ) = AMA ' = 60o


 A ' M ⊥ BC ; AM ⊥ BC
Kẻ AH ⊥ A ' M . Ta có:
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ ( A ' MA ) → BC ⊥ AH

 A ' M ⊥ BC
Lại có: AH ⊥ A ' M ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A; ( A ' BC ) ) = AH

 AA ' = 2 AH = 3a
3a
; A ' MA = 60o ⇒ 
2
 AM = a 3 → AB = 2a
⇒ VABC . A ' B ' C = A ' A.S ABC = 3a 3 3
⇒ AH =

Câu 17: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' đứng, đáy là hình thoi cạnh 2a, mặt phẳng (B’AC) tạo
a
với đáy góc 300, khoảng cách từ B đến (D’AC) bằng . Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' theo a.
2
Đ/s: VACB ' D ' =

2a 3
3

Lời giải:

Gọi O là tâm đáy ABCD. Do ∆AB ' C & ∆D ' AC đều cân ⇒ B ' O ⊥ AC ; D ' O ⊥ AC
( B ' AC ) ∩ ( ABCD ) = AC
Ta có: 

⇒ ( B ' AC ) ; ( ABCD ) = BOB ' = 30o ⇒ DOD ' = 30o
 BO ⊥ AC ; B ' O ⊥ AC
Nhận xét: d ( B; ( D ' AC ) ) = d ( D; ( D ' AC ) )

 AC ⊥ DO
⇒ AC ⊥ ( DOD ') → AC ⊥ DH

Từ D dựng DH ⊥ D ' O , ta có:  AC ⊥ D ' O
⇒ DH ⊥ ( D ' AC )

DH ⊥ D ' O

Suy ra d ( B; ( D ' AC ) ) = d ( D; ( D ' AC ) ) = DH =

a
a 3
2a
⇒ DO = a; AA ' =
⇒ D 'O =
2
3
3

Cạnh đáy bằng 2a ⇒ AC = 2a 3
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ta có: VACB ' D ' = VABCD. A ' B ' C ' D ' − (VA. A ' B ' D ' + VB '. ABC + VD '. ACD + VC . B 'C ' D ' )
1
1
1
Mà: VA. A ' B ' D ' = VB '. ABC = VD '. ACD = VC . B 'C ' D ' = . A ' A. .S ABCD = VABCD . A ' B 'C ' D '
3
2
6
1
1
1
1
2a 3
⇒ VACB ' D ' = VABCD . A ' B 'C ' D ' = . A ' A.S ABCD = A ' A. . AC.BD =
3
3
3
2
3

Câu 18: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết
BC = 2 AB = 2a . Mặt bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
hai mặt này hợp với nhau một góc bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải:
Dựng AK ⊥ BC , HI ⊥ BB ' .

( BCC ' B ') ⊥ ( ABC )

Nhận xét: ( BCC ' B ' ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ AK ⊥ ( BCC ' B ' )


 AK ∈ ( ABC ) , AK ⊥ BC
 BB ' ⊥ AK
⇒ BB ' ⊥ ( AKI )

BB
'
KI
⊥



Ta có: ( ABB ' A ' ) ∩ ( BCC ' B ' ) = BB '
 AKI ∩ ABB ' A ' = AI
) (
)
(
( AKI ) ∩ ( BCC ' B ' ) = KI

Suy ra

( ( ABB ' A ') ; ( BCC ' B ') ) = ( AI ; KI ) = AIK = 30

Xét tam giác vuông ABC ta có: AC = a 3; AK =

o

a 3
a
; BK =

2
2

3a
2
Mặt bên ABB’A’ là hình thoi ⇒ BB ' = AB = a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên BC.
Xét tam giác vuông AKI: KI = AK .cot 30o =

 AK ⊥ ( BCC ' B ' ) → AK ⊥ B ' H
Ta có 
⇒ B ' H ⊥ ( ABC )
 B ' H ⊥ BC
Nhận xét ∆ v B ' BH đồng dạng ∆ v KBI (chung góc B) ⇒

B ' H BB '
=
⇒ B ' H = 3a
KI
BK

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC . A ' B ' C ' = B ' H .S ABC =

3a 3 3
2

Câu 19: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân AB = AC = 2a 3 , góc BAC = 1200 .
Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy và hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc φ. Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a và φ.
Lời giải:

+) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC, suy ra SH là đường cao của khối chóp.
+) Do các mặt bên (SAB) và (SAC) tạo với đáy các góc bằng nhau nên H cách đều hai cạnh AB và AC; suy
ra H thuộc trên đường phân giác của góc A, mà tam giác ABC cân tại A, tức H là trung điểm của BC.
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

+) Ta dễ dàng tính được BH = 3a; BC = 6a; AH = a 3 ⇒ SH =

Facebook: LyHung95

3a
tan φ
2

1
1 3a
1
a
1
3a 3 3 tan φ
Tử đó suy ra V = SH .S ABC =
tan φ. AH .BC = tan φ. .a 3.6a =
3
3 2
2
2
2
2

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015