03 ham so mu va logarith BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Giới hạn đặc biệt của hàm mũ và logarith
1

x

ln(1 + x)
ln(1 + u )
= 1 
→ lim
=1
x →0
u →0
x
u

 1
• lim (1 + x) x = lim 1 +  = e
x →0
x →±∞ 
x

• lim

ex −1
eu − 1
= 1 
→ lim
=1
x →0 x
u →0 u

sin x
sin u ( x)
= 1 
→ lim
=1
x →0 x
x →0 u ( x )

• lim

• lim

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau:

e2 x − 1
1) lim
x →0
x
ln(1 + 3 x)
4) lim
x →0
x

−

x
3

−1
x →0
x
ln(1 + 4 x)
5) lim
x →0
2x
Hướng dẫn giải:
2) lim

e

e3 x − e 2 x
x →0
x

e−4 x − 1
6) lim
x →0
3x
3) lim

 e2 x − 1 
e2 x − 1
= lim 
.2  = 2
x →0
x →0
x
 2x


1) lim

2) lim
x →0

e

−

 −x

 e 3 − 1  −1  
−1
1

= lim 
.   = −
x →0
x
3
 −x  3  
 3


x
3

e3 x − 1) − ( e 2 x − 1)
(
e3 x − e 2 x
e3 x − 1
e2 x − 1
3) lim
= lim
= lim
− lim
= 3 − 2 = 1.
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x

ln(1 + 3 x)
 ln(1 + 3 x) 
= lim 
.3 = 3
x →0
x →0
x
 3x


4) lim

5) lim
x →0

ln(1 + 4 x)
 ln(1 + 4 x) 
= lim 
.2  = 2
x
→
0
2x
 4x


 e −4 x − 1  −4  
e−4 x − 1
4
= lim 

.   = −
x →0
x
→
0
3x
3
 −4 x  3  

6) lim

4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
 y = a x 
→ y′ = a x .ln a
Hàm mũ: 
 y = au 
→ y ′ = u ′.au .ln a

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 y = e x 
→ y′ = e x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
 y = eu 
→ y ′ = u ′.eu

1

→ y′ =
 y = log a x 
x.ln a
Hàm logarith: 
u′
 y = log u 
→ y′ =
a

u.ln a
1

→ y′ =
 y = ln x 
x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
u′
 y = ln u 
→ y′ =

u
Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:

Hàm sơ cấp

Hàm hợp

y = k 

→ y′ = 0

y = ku 
→ y ′ = k .u ′

1
1

→ y′ = − 2
x
x
1
y = x 
→ y′ =
2 x

y=
y = x n 
→ y′ = n.x n −1 ⇒

1
u′

→ y′ = − 2
u
u
u′
y = u 
→ y′ =
2 u

y=

y = u n 
→ y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒

→ y′ = cos x
 y = sin x 

→ y ′ = − sin x
 y = cos x 
1

→ y′ =
 y = tan x 
cos 2 x

−1
 y = cot x 
→ y′ =

sin 2 x

→ y′ = u ′.cos u
 y = sin u 

→ y ′ = −u ′.sin u
 y = cos u 
u′

→ y′ =

 y = tan u 
cos 2 u

−u ′
 y = cot u 
→ y′ =

sin 2 u
u
uv′ − u ′v

→ y′ =
 y = 
v
v2

 y = u.v 
→ y′ = uv′ + u ′v


Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 4 x3 − 3 x + 2

2) y = 3

(

1) y = x − 3 x + 2 = x − 3x + 2
4

3

3

)

1
4

x2 − x + 1
y = 4 x3 − 3 x + 2
x+3
Hướng dẫn giải:

(

)(

1

→ y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2
4

1

2) y = 3

)

3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1)

−3
4

3

−
′
x2 − x + 1  x2 − x + 1 3
1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1 
′
=

→
y
=
.
.


 
 =
x+3
3  x+3   x+3 
 x+3 
3

3

−

−
′
1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4
= .
 .
 = .
 .
3  x+3  
( x + 3) 2
( x + 3) 2
 3  x+3 
2
2
1
4
1
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3 
→ y′ = .
. ( sin ( 2 x − 1) )′ = .
cos ( 2 x − 1)
3 3 sin ( 2 x − 1)
3 3 sin ( 2 x − 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau:
ln (1 + 4 x )
1) lim
x →0
x
sin

2

2

2) lim

x →0

e x − cos x
x2

eax − ebx
x
x →0

3) lim

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
esin 2 x − esin x
4) lim
x
x →0

 x 
5) lim 

x →+∞  1 + x 

x

 1
6) lim  1 + 
x →+∞ 
x
x +1

2 x −1

 x +1 
 3x − 4  3
7) lim 
8) lim 


x →+∞  x − 2 
x →+∞  3 x + 2 
Bài 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 + 3 1 + 5x
11
1) y =
2) y = 9 + 6 5 x9
1 + 2x

(

)

(

x−

7) y = x.e

1
3

8) y =

3) y = 4 sin

)

13) y = ecos x .ln ( cos x )

14) y = ln x + x 2 + 1

)

17) y =

ln

(

2

x − cot x

4x

(

11) y = 2 x.ecos x

(

x+4
3

9) y = esin 3 x −

10) y = cos x.ecot x

16) y = log 1 x 4 − cos 2 x

x

6) y = e−3 x .sin 4 x

e2 x + e x
e2 x − e x

(

x +1
x

 2x + 1 
9) lim 

x →+∞  x − 1 

5) y = x5 − x e −2 x

4) y = x 2 − 4 x + 4 e x

Facebook: LyHung95

12) y = ln x 2 + 4 x − sinx

)

15) y =

)

ln ( 2 x + 1)
x +1

18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x)

3x − 4

Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng?
1) y = x.e

−

x2
2

(

)

2) y = ( x + 1) .e x 
→ y '− y = e x


→ xy ' = 1 − x 2 y

3) y = e 4 x + 2e − x 
→ y '''− 13 y '− 12 y = 0
5) y = e − x .sin x 
→ y ''+ 2 y '+ 2 y = 0
1
7) y = x 2 .e x 
→ y ''− 2 y '+ y = e x
2

(

)(

)

→ y' =

8) y = x 2 + 1 . e x + 2011 

10) y =

6) y = esin x 
→ y '.cos x − y.sin x − y '' = 0

(

)

2 xy
+ e x x2 + 1
x2 + 1

1

→ xy ' = y ( y.ln x − 1)
1 + x + ln x

1

→ xy '+ 1 = e y
1+ x
1 + ln x
11) y =

→ 2x2 y ' = x2 y 2 + 1
x (1 − ln x )

9) y = ln

(

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây?

(

)

1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1

1
f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x
x
3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5
4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1)
1
5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5
2

2) f '( x) +

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

)

)