04 phuong trinh duong thang BG(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng
u = ( a; b; c ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d).
(d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( a; b; c ) thì có phương trình
 x = x0 + at

+) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


+) Phương trình chính tắc ( d ) :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
.
a
b
c

 Ax + By + Cz + D = 0
+) Phương trình tổng quát của đường thẳng: d = ( P) ∩ (Q) ⇒ d : 
A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ud =  nP ; nQ 

(d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho ud = u∆

ud ⊥ ud 1
(d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì 

→ ud = ud 1 ; ud 2 
u
⊥
u
 d
d2

ud ⊥ nα
(d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì 

→ ud =  nα ; nβ 
ud ⊥ nβ
ud ⊥ u∆
(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì 

→ ud = u∆ ; nP 
u
⊥
n
 d
P

Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ud cho trước:
a) M (1;2; −3), ud = (−1;3;5)

b) M (0; −2;5), ud = (0;1;4)

c) M (1;3; −1), ud = (1;2; −1)

d) M (3; −1; −3), ud = (1; −2;0)

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; 4 )

b) A (1; −1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )

c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1)

d) A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )

Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho
trước:

a) A ( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox

 x = 2 − 3t

c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = 3 + 4t
 z = 5 − 2t

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
d) A(4; −2; 2), ∆ :

x +2 y −5 z−2
=
=
4
2
3

Facebook: LyHung95

 x = 3 + 4t

e) A(1; −3; 2), ∆ :  y = 2 − 2t
 z = 3t − 1

Ví dụ 4: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
a) 
(Q) : 3x − 5 y − 2 z − 1 = 0

( P ) : 2 x − 3y + 3z − 4 = 0
b) 
(Q) : x + 2 y − z + 3 = 0

( P ) : 3x + 3y − 4 z + 7 = 0
c) 
(Q) : x + 6 y + 2 z − 6 = 0

( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0
d) 

(Q) : x + y + z − 1 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2
cho trước:
 x = 1 + 2t
x = 1 − t


a) A(1; 0; 5), d1 :  y = 3 − 2t , d2 :  y = 2 + t
 z = 1 + t
 z = 1 − 3t

x = 1 + t
 x = 1 + 3t


b) A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t
 z = 3
 z = 3 + t

x = 1 − t
x = 1


c) A(1; −2; 3), d1 :  y = −2 − 2t , d2 :  y = −2 + t
 z = 3 − 3t
 z = 3 + t

 x = −7 + 3t
x = 1 + t



d) A(4;1; 4), d1 :  y = 4 − 2t , d2 :  y = −9 + 2t
 z = 4 + 3t
 z = −12 − t

Ví dụ 6: [ĐVH]. Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng
a) đi qua A(1; 2; –1) và có vectơ chỉ phương là u = (1; −2;1) .
b) đi qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3).
c) đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – 1 = 0.
d) đi qua M(1; 2; 0) và song song với 2 mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:
 x = 1 − 2t

a) qua A(3; –1; 2) và song song với đường thẳng ( ∆ ) :  y = 3 + t
 z = −t


b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0
 x = 1 − 2t
x −1 y − 2 z +1

c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :  y = 3 + t và d 2 :
=
=
2
−1
3
 z = −t


d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( ∆ ) :

x −1 y z + 2
=
=
2
−3
1

2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
 x = x0 + at

Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + bt , nếu điểm M thuộc d thì M ( x0 + at; y0 + bt ; z0 + ct ) .
 z = z + ct
0


Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn.
x = 1 + t

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d :  y = −2t . Tìm điểm M thuộc d sao cho
 z = 2 + 2t


a) MA = 13;

A ( 2; −1;0 ) .

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) MI ⊥ IA; I ( 0;1;2 ) , A (1;2; −2 ) .
c) ∆MAB cân tại A, với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1).

7
d) S∆MAB = , với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1).
2

Hướng dẫn giải:
Ta có, M ∈ ( d ) ⇒ M (1 + t; −2t;2 + 2t ) .
a) MA = 13 ⇔ MA = 13 ⇔ ( t − 1) + (1 − 2t ) + ( 2 + 2t )
2

2

2

2

t = −1 ⇒ M ( 0;2;0 )

= 13 ⇔ 9t + 2t − 7 = 0 ⇔  7
 16 14 23 
t = ⇒ M  ;− ; 
 9

9 9 
9
2

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có MI = ( −1 − t ;1 + 2t ; −2t ) , IA = (1;1; −4 )
MI ⊥ IA ⇔ MI .IA = 0 ⇔ −1 − t + 1 + 2t + 8t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ M (1;0;2 )

c) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t )
Theo bài, MA = MB ⇔ MA2 = MB 2 ⇔ (1 − t )2 + (1 + 2t ) 2 + (1 − 2t )2 = (−1 − t ) 2 + (−2 + 2t )2 + (1 − 2t ) 2
⇔ 9t 2 − 2t + 3 = 9t 2 − 10t + 6 ⇔ 8t = 3 ⇔ t =

3
 11 3 11 
⇒ M  ; − ; .
8
8 4 4

d) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t ) 
→  MA; MB  = ( 3 − 6t ; −2 + 4t; −1 + 7t )
Khi đó S MAB =

1
1
1
 MA; MB  =
(3 − 6t ) 2 + (−2 + 4t ) 2 + (−1 + 7t ) 2 =
101t 2 − 66t + 14



2
2
2

t = 1 ⇒ M ( 2; −2; 4 )
1
7

2
2
101t − 66t + 14 = ⇔ 101t − 66t − 35 = 0 ⇔ 
⇔
35
 136 70 272 
2
2
t=
⇒M
;−
;

 101
 101 101 101 
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :

x y + 2 z −1
=

=
thỏa mãn
1
2
−1

a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0.

Đ/s: M(2; 2; –1)

b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3)
c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
d) S MAB =

30
, với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2)
2

Đ/s: M(1; 0; 0)

 x = 1 + 2t

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = t
thỏa mãn
z = 2 − t


a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.

Đ/s: M(3; 1; 1)

b) xM2 + 3 yM2 + zM2 = 5.

Đ/s: M(1; 0; 2)

c) MA = 14, với A(0; 2; 1)

Đ/s: M(–1; –1; 3)

d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x = 1+ t

Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 2 − 3t thỏa mãn
z = t


a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.

Đ/s: M(2; –1; 1)

b) xM2 + 2 yM2 − zM2 = 37.

Đ/s: M(2; –4; 2)

c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10)

Đ/s: M(0; 5; –1)

d) MA = 2 3, với A(3; 0; –2)

Đ/s: M(2; –1; 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :

x − 2 y −1 z
=
= thỏa mãn
−1
1
2

a) MI = 30, với I(2; 0; –3)

Đ/s: M(1; 1; 2)

b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2)

Đ/s: M(2; 1; 0)

c) xM2 + 3 yM2 − zM2 = 13.

Đ/s: M(–1; 4; 6)

Bài 2: [ĐVH]. Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) và đường thẳng ∆ :

x + 1 y −1 z + 1
=
=
2
1
1

Tìm điểm C trên ∆ sao cho:

a) tam giác ABC đều.
b) tam giác ABC cân tại A.
c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2.
d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
e) F = xM2 − yM2 + zM2 đạt giá trị lớn nhỏ nhất.
f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!