Tài liệu luyện Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 72 trang )

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Gv. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673
Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng, TP Huế

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 11

Cơ bản và nâng cao

* Phân loại và phương pháp giải bài tập
* Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản
đến nâng cao
* Các bài toán luyện thi đại học
* Đề thi đại học các năm

Hueá, thaùng 7/2014

MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ...........7
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ...................................................................................7
DẠNG 1: Tập xác định............................................................................................15
DẠNG 2: Tính chẵn lẻ..............................................................................................15
DẠNG 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác.........................................16
DẠNG 4: Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó ...................18
DẠNG 5: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác ....................................................................20
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN..................................................29
BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ....................38
DẠNG 1: Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác:...................................38
DẠNG 2: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx ................................................42
DẠNG 3: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx ...........................47

DẠNG 4: Phương trình đối xứng ............................................................................52
BÀI TẬP BỔ SUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ..............................................58
ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM........................................................................................67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................71

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

1

PHẦN 1: CHƯƠNG MỞ ĐẦU
NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa các giá trị lượng giác:

sin

1.

tang

HỆ THỨC CƠ BẢN

OP  cos a
OQ  sin a
AT  tan a
BT '  cot a

Q

O

B

T

T'

cotang

M


p

A

cosin

Nhận xét:
 a,  1  cos a  1;  1  sin   1
 tana xác định khi a 


2

 k , k  Z ,

 cota xác định khi a  k , k  Z
2. Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư

I

II

II

IV

sina

+

+

–

–

cosa

+

–

–

+

tana

+

–

+

–

cota

+

–

+

–

Giá trị lượng giác

3.

Hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1; t anx.cot x  1
1  tan2 a 

1
2

cos a

; 1  cot 2 a 

1
sin2 a

4. Cung liên kết:
2

Cung đối nhau

Cung bù nhau

Cung phụ nhau

cos( a)  cos a

sin(  a)  sin a



sin   a   cos a
2


sin( a)   sin a

cos(  a)   cos a



cos   a   sin a
2


tan( a)   tan a

tan(  a)   tan a



tan   a   cot a
2


cot( a)   cot a

cot(  a)   cot a



cot   a   tan a
2


Cung hơn kém 

Cung hơn kém


2

sin(  a)   sin a



sin   a   cos a
2


cos(  a)   cos a



cos   a    sin a
2


tan(  a)  tan a



tan   a    cot a
2


cot(  a)  cot a



cot   a    tan a
2


Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

3

5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

2

2
3

3
4



3
2

2

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

3
3

1

3

3

1

3
3









6

4

3

00

300

450

sin

0

1
2

cos

1

tan

0

0

cotg



0

1
2



2
2

 3

–1

3

3

–1



0

0

0

Đường tròn lượng giác
y

t
3

- 3

- 3 /3

-1

u'

2 /3
3 /4
5 /6

x'



-1

B

/2

1

3 /3

3

1

u

 /3
 /4

3 /2
2 /2

 /6

3 /3

1/2

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

2 /2

3 /2

1 A (Điểm gốc)

x

O
-1/2
- /6

- 2 /2

- 3 /3

- /4

- 3 /2

-1

- /2

y'

-1

- /3

t'

- 3

II. CƠNG THỨC CỘNG
4

Công thức cộng:
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.tan b
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b


 1  tan x


 1  tan x
tan   x  
, tan   x  
4
 1  tan x
4
 1  tan x

Hệ quả:

III. CÔNG THỨC NHÂN
1.Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos 2a  cos2 a  sin 2 a  2 cos2 a  1  1  2sin 2 a
cot 2 a  1
tan 2a 
; cot 2a 
2 cot a
1  tan2 a
2 tan a

2. Công thức hạ bậc:

3. Công thức nhân ba:

1  cos 2a
2
1


cos
2a
cos2 a 
2
1

cos 2a
tan2 a 
1  cos 2a

sin2 a 

sin 3a  3sin a  4sin3 a
cos3a  4 cos3 a  3cos a
3tan a  tan3 a
tan 3a 
1  3tan2 a
a
2

4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan :

Đặt: t  tan

a
2t
(a    2k ) thì: sin a 
;
2
1  t2

cos a 

1  t2
1 t

2

;

tan a 

2t
1  t2

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin a  sin b  2sin

ab
ab
.cos
2
2

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

tan a  tan b 

sin(a  b)

cos a.cos b

5

sin a sin b 2 cos

ab
ab
.sin
2
2

cos a cos b 2 cos

ab
ab
.cos
2
2

cos a cos b 2sin

ab
ab
.sin
2
2

tan a tan b

sin(a b)
cos a.cos b

cot a cot b

sin(a b)
sin a.sin b

cot a cot b

sin(b a)
sin a.sinb

sin a cos a 2.sin a 2.cos a
4
4

sin a cos a 2 sin a 2 cos a

4

4

2. Coõng thửực bieỏn ủoồi tớch thaứnh toồng:
1
cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
cos a.cos b

6

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số y=sinx
-

Có tập xác định D   ;

-

Là hàm số lẻ;

-

Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , sin  x  k 2   sin x ;

-

Do hàm số y  sin x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm
số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn   ;   .

Khi vẽ đồ thị của hàm số y  sin x trên đoạn   ;   ta nên để ỷ rằng : Hàm số y  sin x là
hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ
đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn  0;  
Bảng biến thiên:
x

0

y  sin x





2

1
0

0

Đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn  0;  

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

7

Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn
  ;  

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 , 4 ,6 ,... thì ta được
toàn bộ đồ thị hàm số y  sin x . Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin
Hàm

số

8

6

4

2

5π

4π

3π

2π

π

π

2π

3π

4π

5π

2

4

6

8

  
  3
y  sin x đồng biến trên khoảng   ;  và nghịch biến trên khoảng  ;
 2 2
2 2


 . Từ đó do



 


tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng    k 2 ;  k 2 
2
 2



3
 k 2 
và nghịch biến trên khoảng   k 2 ;
2
2


8

2. Hàm số y=cosx
-

Có tập xác định D   ;

-

Là hàm số chẵn;

-

Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ;

-

Do hàm số y  cosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm
số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn   ;   .

Khi vẽ đồ thị của hàm số y  cosx trên đoạn   ;   ta nên để ý rằng : Hàm số y  cosx là
hàm số chẵn, do đó đồ thị của nó nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ
thị hàm số y  cosx trên đoạn  0;  
Bảng biến thiên:
x

y  sin x

0


2



1
0
-1

Đồ thị hàm số y  cosx trên đoạn  0;  

Lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy lập thành đồ thị hàm số y  cosx trên đoạn
  ;  

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

9

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 , 4 ,6 ,... thì ta được
toàn bộ đồ thị hàm số y  cosx . Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin
6

5

4

3

2

1

7π

3π

2

5π

2π

2

3π
2

π

π

π

2

π

2

3π
2

2π

5π
2

3π

7π

2

1

2

3

4

5

6

Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng   ; 0  và nghịch biến trên khoảng  0;   . Từ đó
do tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng    k 2 ; k 2 
và nghịch biến trên khoảng  k 2 ;   k 2  .
3. Hàm số y=tanx
-



Có tập xác định là D   \   k | k    ;

-

Có tập giá trị là  ;

-

Là hàm số lẻ;

2



10

-

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  , tan  x  k   tan x ;

Do hàm số y  tan x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên
  
đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn   ;  .
2 2




  
Khi vẽ đồ thị của hàm số y  tan x trên đoạn   ;  ta nên để ý rằng : Hàm số y  tan x
2 2




là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ
 

đồ thị hàm số y  tan x trên đoạn  0; 
2




Bảng biến thiên:
x

0





4

2

y  tan x



1
0
Đồ thị hàm số y  tan x trên  0;  

Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  tan x trên đoạn
  
 2 ; 2 




Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

11

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài  ,2 ,3 ,... thì ta được toàn
bộ đồ thị hàm số y  tan x .
8

6

4

2

4π

7π
2

3π

5π
2

2π

3π
2

π

π

π

2

2

π

3π
2

2π

5π
2

3π

7π
2

2

4

6

8

  
Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng   ;  . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ 
 2 2
 


 k ;  k  .
2
 2


nên hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng  

Đồ thị hàm số y  tan x nhận mỗi đường thẳng x 


2

 k làm một đường tiệm cận (đứng).

4. Hàm số y=cotx
12

-

Có tập xác định là D   \ k | k    ;

-

Có tập giá trị là  ;

-

Là hàm số lẻ;

-

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  , cot  x  k   cot x ;

Do hàm số y  cot x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên
đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn  0;   .
Bảng biến thiên:
x

y  cot x

0


2





0


Đồ thị hàm số y  cot x trên  0;  

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

13

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài  ,2 ,3 ,... thì ta được toàn
bộ đồ thị hàm số y  cot x .
g(x ) =

1
tan(x)

8

6

4

2

5π
2

2π

3π
2

π

π

π

2

2

π

3π
2

2π

5π
2

2

4

6

8

Hàm số y  cot x nghịch biến trên khoảng  0;   . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ 
nên hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  k ;   k  .
Đồ thị hàm số y  cot x nhận mỗi đường thẳng x  k làm một đường tiệm cận (đứng).

14

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
DẠNG 1: Tập xác định
Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau


u( x ) có nghĩa khi và chỉ khi u( x )  0



u( x )
có nghĩa khi và chỉ v( x )  0
v( x )



1  sin x  1 ;



tan x có nghĩa khi và chỉ khi x 



cot x có nghĩa khi và chỉ khi x  k

 1  cos x  1


2

 k

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
 2x 

 x 1 

a/ y  sin 

b/ y  sin x

d/ y  1  cos2 x

e/ y 



g/ y  cot  x  
3



h/ y 

1
sin x  1

sin x
cos( x   )

c/ y  2  sin x


f/ y  tan  x  
6


i/ y =



1
tan x  1

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau


a) y  tan  2 x   ;
4



tan 2 x

c) y 
 cot  3 x   ;
sin x  1
6


1  cot 2 x
1  sin 3 x
tan 5 x
d) y 
sin 4 x  cos3 x

b) y 

DẠNG 2: Tính chẵn lẻ
Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f ( x )

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

15

 Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
x , x  D   x  D (1)

 Tính f ( x ) và so sánh f ( x ) với f ( x )
-

Nếu f ( x )  f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn trên D (2)

-

Nếu f ( x )   f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ trên D

(3)

Chú ý:
-

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm không chẵn và không lẻ trên
D;

-

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f ( x ) là hàm không chẵn và cũng
không lẻ trên D .

Lúc đó, để kết luận f ( x ) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm x0  D
 f ( x )  f ( x )

0
0
sao cho 
f
(

x

)


f
(
x0 )
0


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
a/ y = sin2x

b/ y = 2sinx + 3

c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx

e/ y = sin4x

f/ y = sinx.cosx

g/ y =

sin x  tan x
sin x  cot x

h/ y =

cos3 x  1
sin3 x

i/ y = tan x

DẠNG 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập D


 f ( x )  M , x  D
M  max f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  M



 f ( x )  m, x  D
m  min f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  m
16

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:



a/ y = 2 sin  x 



b/ y  2 cos x  1  3

 1
4

c/ y  sin x

d/ y  4sin2 x  4sin x  3

e/ y  cos2 x  2sin x  2

f/ y  sin 4 x  2 cos2 x  1

g/ y = sinx + cosx

h/ y = 3 sin 2 x  cos 2 x

i/ y = sin x  3 cos x  3

Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số


a) y  1  3sin  2 x   ;
4


b) y  3  2 cos2 3 x

c) y  1  2  sin 2 x

c) y 

;

4
1  2sin 2 x

Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a) y  6 cos2 x  cos2 2 x ;

b) y  3s inx  4 cos x  1

c) y  2sin2 x  3sin 2 x  4 cos2 x ;

Bài 4. Cho hai số x , y thỏa mãn

2

c) y   4sin x  3cos x   4  4sin x  3cos x   1

x 2 y2

 1 . Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của biểu thức
9
4

P  x  2y  1

Bài 5.
a) Cho các góc nhọn x , y thõa mãn sin2 x  sin2 y  sin  x  y  .
Chứng minh rằng x  y 


2

 
b) Cho x , y   0;  thỏa cos2 x  cos2 y  2 sin  x  y   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2




sin 4 x cos4 y
.
P

y
x

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

17

DẠNG 4: Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó
Phương pháp
Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:
 Xét hàm số y  f ( x ) , tập xác định là D

 Với mọi x  D , ta có x  T0  D và x  T0  D (1) . Chỉ ra f ( x  T0 )  f ( x ) (2)
Vậy hàm số y  f ( x ) tuần hoàn
Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T0
Tiếp tục, ta đi chứng minh T0 là chu kỳ của hàm số tức chứng minh T0 là số dương nhỏ
nhất thỏa (1) và (2). Giả sử có T sao cho 0  T  T0 thỏa mãn tính chất (2)  ...  mâu
thuẫn với giả thiết 0  T  T0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (2).
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0
Một số nhận xét:
-

Hàm số y  sin x , y  cos x tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ đó

y  sin  ax  b  , y  cos  ax  b  có chu kỳ T0 
-

2
a

Hàm số y  tan x , y  cot x tuần hoàn chu kỳ  . Từ đó

y  tan  ax  b  , y  cot  ax  b  có chu kỳ T0 


a

Chú ý:
y  f1 ( x ) có chu kỳ T1 ;

y  f2 ( x ) có chu kỳ T2

Thì hàm số y  f1 ( x )  f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn
Hàm số y  f ( x ) không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm
 Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn
18

 Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x  a hoặc x  a
 Phương trình f ( x )  k có vô số nghiệm hữu hạn
 Phương trình f ( x )  k có vô số nghiệm sắp thứ tự ...  xm  xm1  ... mà
xm  xm 1  0 hay 

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0
a) f ( x )  s inx , T0  2 ;

b) f ( x )  tan 2 x , T0 


2

Hướng dẫn:
a) Ta có : f ( x  2 )  f ( x ), x   .
Giả sử có số thực dương T  2 thỏa f ( x  T )  f ( x )  sin  x  T   s inx , x   (*)
Cho x 






 VT (*)  sin   T   cos T  1;
2
2


VP(*)  sin


2

1

 (*) không xảy ra với mọi x   . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T0  2


b) Ta có : f ( x  )  f ( x ), x  D .
2

Giả sử có số thực dương T 


2

thỏa f ( x  T )  f ( x )  tan  2 x  2T   tan 2x , x  D (**)

Cho x  0  VT (**)  tan 2T  0;

VP(**)  0

B  (**) không xảy ra với mọi x  D . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T0 


2

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Baøi 1. Tìm chu kỳ của hàm số:

a/ y  sin 2 x

b/ y  cos

x
3

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

c/ y  sin2 x
19

d/ y  sin 2 x  cos

x
2

g/ y  2 sin x . cos3 x

3x
2x
 sin

5
7

e/ y  tan x  cot 3 x

f/ y  cos

h/ y  cos2 4 x

i/ y = tan(3x + 1)

Đáp số:
a/  .

b/ 6.

g/ .

h/


4

c/  .
i/

.

d/ 4.

e/ .

f/ 70.


3

Bài 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

3x
x
cos ;
2
2
2
c) f ( x )  sin x
;
a) f ( x )  cos

b) y  cos x  cos( 3 x )

 

d ) y  tan x

Hướng dẫn:

 

c) Hàm số f ( x )  sin x 2 không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm)

liên tiếp của nó dần tới 0

 k  1  

k 



 k  1   k

 0 khi k  

d) Hàm số f ( x )  tan x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm)
liên tiếp của nó dần tới 

 k  1

2

 2  k 2   khi k  

Bài 3. Cho hàm số y  f ( x ) và y  g( x ) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là T1 , T2 .
Chứng minh rằng nếu

T1
f (x)
là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x )  g( x ); f ( x ).g( x );
T2
g( x )

 g( x )  0 

là những hàm số tuần hoàn.

DẠNG 5: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác
20

Phương pháp
1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
-

Tìm tập xác định D.

-

Tìm chu kỳ T0 của hàm số.

-

Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).

-

Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
x   0, T0  hoặc

-

 T T 

x   0 , 0  .
 2 2

Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.


Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v  k .T0 .i về bên trái

và phải song song với trục hồnh Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox).

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ
thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục
hồnh a đơn vị nếu a < 0.
b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y  f ( x  a) bằng cách tịnh tiến đồ
thị y = f(x) sang phải trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hồnh
a đơn vị nếu a < 0.
c) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua
trục hồnh.
d) Đồ thị y  f ( x )   f ( x ), nếu f(x)  0 được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ
-f(x), nếu f(x) < 0


nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y
= f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số

Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội

21

y=-f(x)

Đối xứng qua Ox

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Đối xứng qua Oy

y=-f(-x)

Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo
y=f(x)

vec tơ v=(a;b)

y=f(x+a)+b

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Đối xứng qua Ox
y=f(-x)

y=f(x+a)

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Đối xứng qua Oy

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

y=f(x)+b



22

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị y = – sinx.
–

Vẽ đồ thị y = sinx.

–

Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.

y
1

–2



3

2





y = –sinx

O



2



2



3

2

2

x

–1

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị y = sinx

sin x , neáu sin x  0
y  sin x  
-sin x, neáu sin x < 0.

y
1
y = /sinx/






2

O





2

3

2

2

x

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
–

Vẽ đồ thị y = cosx.

–

Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y  1  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị y  cos x lên
trục hoành 1 đơn vị.

–

Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2  :

y
2
y = 1 + cosx

1

y = cosx




O

