Đề thi học sinh giỏi toán 9

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2011-2012

Đề đề nghị

Môn : TOÁN 9
Thời gian làm bài :150 phút
(Không kể thời gian phát đề )

Bài 1. (3,0 điểm)
Chứng minh biểu thức 10n +18n -1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên.
Bài 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình :
8+ x −3 + 5− x −3 = 5

Bài 3.(6,0 điểm)
2
2
2
a/(3,0 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x + y + z +

1
1
1
+ 2 + 2 =6
2
x
y

z

.Tìm giá trị của biểu thức P = x 2010 + y 2011 + z 2012
b/(3,0 điểm) Cho:
T = 1+

1 1
1 1
1
1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
+ 1+
+
2
2
2
2
2 3
3 4
2009 2010
2010 20112

Chứng minh T nhỏ hơn 2010
BÀI 4. (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện
tích tam giác COD bằng 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Bài 5. (4,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có AB cố định .M là một điểm di động trên đường chéo AC .Kẽ ME
vuông góc với AB và MF vuông góc với BC .Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích
của tam giác DEF nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó.

1


PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH

BÀI

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Môn: TOÁN
Năm học: 2011-2012
ĐÁP ÁN

BIỂU
ĐIỂM

Với n=0 ta có 100 +18.0-1 =0 chia hết cho 27
Với n ≥ 1 ta có
Bài 1
(3,0 điểm)

10n − 1 + 18n

(

)

= ( 10 − 1) 10n −1 + 10n −2 + .... + 10 + 1 + 18n

(

= 9 10n −1 + 10n − 2 + ... + 10 + 1 − n + 3n

(

)

)

= 9  10n −1 − 1 + (10n −2 − 1) + .... + (10 − 1) + (1 − 1) + 3n 

Vì 10 − 1M3 và 3n M3 ,do đó: 10 − 1 + 18nM27
k

Bài 2.
(4,0 điểm)

1,0 đ
1,0 đ

n

8+ x −3 + 5− x −3 = 5
Điều kiện: 3 ≤ x ≤ 28
Đặt x − 3 = y ( y ≥ 0 )

0,5 đ

0,5 đ

Phương trình đã cho có dạng: 8 + y + 5 − y = 5
Bình phương hai vế và biến đổi ,ta được:

( 8 + y) ( 5 − y)

0,5 đ

= 6 ⇔ y2 + 3y − 4 = 0

y =1
 y −1 = 0
⇔ ( y − 1) ( y + 4 ) = 0 ⇔ 
⇔
y + 4 = 0
 y = −4 ( loai )

Với y=1,ta có: x − 3 = 1 ⇔ x = 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=4

1,0 đ
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ

a/(3,0 điểm)

2
Áp dụng bất đẳng thức a +

Bài 3.
(6,0 diểm)

1
≥2
a2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=1 hoặc a= -1 ,ta được :
 2 1   2 1   2 1
 x + 2 ÷+  y + 2 ÷+  z + 2 ÷ ≥ 6
x  
y  
z 


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2=y2=z2 =1
Ta có kết quả sau:
• P=1 ,khi (x;y;z) ∈ { ( 1; −1;1) , ( 1; −1; −1) , ( −1; −1; −1) , ( −1; −1; −1) }
• P= 3, khi (x;y;z) ∈ { ( 1;1;1) , ( 1;1; −1) , ( −1;1;1) , ( −1;1; −1) }

2

0,5 đ
1,0 đ

0,75 đ
0,75 đ

b/(3,0 điểm)
xét số hạng tổng quát :

n 2 ( n + 1) + ( n + 1) + n 2
1
1
An = 1 + 2 +
=
2
n ( n + 1) 2
n 2 ( n + 1)
2

n 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1) + 1
2

=

Suy ra:

n 2 ( n + 1)

An =

2

n ( n + 1) + 1
n ( n + 1)

2

 n ( n + 1) + 1
= 2
2
n ( n + 1)

= 1+

0,5 đ

2

1
1
−
n n +1

0,5 đ
0,5 đ

Cho n lấy các giá trị từ 2 đến 2010 ta được :
1
1  
1
1 
 1 1  1 1

T =  1 + − ÷+ 1 + − ÷+ ... + 1 +

−
−
÷+  1 +
÷
 2 3  3 4
 2009 2010   2010 2011 
1
1
= 2009 + −
.Suy ra T < 2010
2 2011

1,0 đ
0,5 đ

B
A
4

Bài 4.
(3,0 điểm)

O
9
D

C

Ta có :
S AOB S AOD  OA 

=
=
÷
S BOC SCOD  OC 
Mà S AOB = 4, SCOD = 9 , nên S AOD .S BOC = S AOB .SCOD = 4.9 = 36

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có
S AOD + S BOC ≥ 2 S AOD .S BOC = 12

Vậy: S ABCD = S AOD + S BOC + S AOB + SCOD ≥ 25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD là
hình thang
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD là 25

3

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


Bài 5.
(4,0 điểm)

hình vẽ

A

E

M

D

0,5 đ

B

F

C

Đặt AE =x,CF=y suy ra MF=CF=BE=y , suy ra x+y=a
S DEF = S ABCD − S DAE − S DCF − S BEF
ax ay xy
= a2 − − −
2
2
2
a
xy a 2 xy
= a2 − ( x + y ) −
=
−
2
2
2 2

Ta có SDEF nhỏ nhất khi và chỉ khi xy nhỏ nhất.
2

a2
a
 x+ y
xy ≤ 
=
khi x = y =
÷
4
2
 2 

0,5 đ
1,0 đ
1,0 đ

Lúc đó điểm M là trung điểm của AC .
min S DEF

0,5 đ

a 2 1 a 2 3a 2
=
− . =
2 2 4
8

*Ghi chú : Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa

4

0,5 đ