Tải bản đầy đủ (.doc) (22 trang)

Điện động lực học.doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.1 KB, 22 trang )

Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rotgrad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Div
A
ur
= + +
1. Rot grad u =
=
i
y



r
j
z


r
+
k
x


r

u u u
y z x
i j k
z x y
 
∂ ∂ ∂
   
 
   
∂ ∂ ∂
   
 
∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
ur

r ur
=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
     
     
     
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur
=
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y z y z x z x y
   
 

   
 
   
 
   
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
. . . . . .
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y x z y z y z z x z y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= 0
5

Đề 2. Tính div
.I R
 
 
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.
x y z
i j k
I R I I I
x y z
 
 
 

⇒ =
 
 
 
 
r r r
r ur
=
( )
( )
( )
y z x z x y
i I z I y j I z I x k I y I x
− − − + −
r r r

( )
( )
( )
.
0
y z x z x y
x y z
div I R I z I y I z I x I y I x
x y z
y z z x x y
I I I
z y x z y x
∂ ∂ ∂
 

= − − − + −
 
∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + − + − = ⇒
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
r ur
W
5
Đề 3. Tính
.div I R M
 
 
 
 
r ur uur
, Trong đó
I va M
r uur
#
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính

vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
M iM jM kM
= + +
uur r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.M R
 

 
uur ur
=
( )
( )
( )
z y z x y x
x y z
i j k
x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
 
 
= − − − + −
 

 
 
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y
x z x y z y
i j k
I R M I I I
yZ zM xZ zM xM yM
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM
 
 
 
 
⇒ =
 

 
 
 
 
− − −
 

 
− − −
 


 
= − − − −

 

 
+ − − −

 

r r r
r uuruur
r
r
r
( )
.
2

2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
 
 
= + + + + +
 
 
= + +
= ⇒
r uuruur
W
Đề 4. Tính:
( )
{ }
.
R
rot U R va rot I R
 
 
ur r ur
#
5
Trong đó:
I
r
là vector không đổi và

R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
a. Ta có:
( ) ( )
( )
R R
U R U xi y j zk= + +
ur r r r
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
R R
R R R

R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU
k yU xU
x y
U R U R
R R
i z y
R y R z
U R U R
R R
j z x
R x R z
U R
R
k y x
R x

 
∂ ∂


 
 
∂ ∂

 

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 
⇒ = = − −

 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 

 
 
∂ ∂
 
+ −

 
∂ ∂

 

∂ ∂
 

∂ ∂

 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
∂ ∂
= − −
 
∂ ∂ ∂ ∂
 


+ −
∂ ∂
r
r r r
ur r
r
r
r
r
( )
( )
( )
1
U R
R
R y

U R
R R R R R R
z y i z x j y x k
R y z x z x y









 


 
∂ ∂

 

 

   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
 
   

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
r r r
Mặc khác, ta có:
2 2 2 2
; ;
R x R y R z
R x y z
x R y R z R
 
∂ ∂ ∂
= + + ⇒ = = =
 
∂ ∂ ∂
 
( )
2
R R
y z
z y
z y
y z
R R
R R x z
z x z x
x z R R
x y
R R

y x
y x
R R
x y
∂ ∂






∂ ∂


∂ ∂
 
⇒ − = −
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 


 
∂ ∂


5
Từ (1) và (2), ta được:

( )
{ }
0
R
rot U R
= ⇒
ur
W
b. Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
( )
( )
( )
.
x y z y z x z x y
i j k
I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x
x y z
 
 
 
⇒ = = − − − + −
 

 
 
 
r r r
r ur r r r

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
x y x z
x y y z
y z x z x y
x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y
x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I

iI jI

 
∂ ∂
− − −

 
 
∂ ∂
 

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 
 
⇒ = + − − − −

 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 
 

− − −

 
∂ ∂
 
+ − − −

 
∂ ∂

 

= + + + + +
= +
r
r r r
rur r
r
r r r
r r
( )
2
z
kI I+ = ⇒
r r
W
Đề 5. Tính:
3
PR
grad
R
urur

Trong đó:
P
ur
là vector không đổi
5

R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
( )
3
3 2 2 2
2
x y z
PR xP yP zP
R x y z

= + +



= + +

urur
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )

3 3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
6
3
6
3
3
.2
2
3
.2
2
3
.2
2
x y z x y z x y z
x x y z
y x y z
z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
P R xP yP zP R x
i
R

P R xP yP zP R y
j
R
P R xP yP zP R
k
     
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
     
⇒ = + +
     
∂ ∂ ∂
     + + + + + +
     
− + +
− + +
=
− + +
urur
r r r
r
r
r
( )
( ) ( )
( )
6
3 5
3 5
3

1
3
x y z
z
R
PR xi y j zk
iP jP kP
R R
PR
P
R
R R













+ +
= + + −
= − ⇒
urur r r r
r r r

urur
ur
ur
W

5
Đề 6: Tính thông lượng của bán
kính vector
R
ur
qua một mặt trụ có
bán kính a và chiều cao h,
đặt như hình vẽ ( Tính bằng công
thức O – G và bằng phương pháp
trực tiếp).
Bài giải:
a. Tính bằng định lí O – G:
Định lí O – G:
S V
Rd S divRdV=
∫ ∫
ur ur ur
Ñ
Ta biết:
y
x z
R
R R
R xi y j zk div R
x y z


∂ ∂
= + + ⇒ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r ur
2
3 3
S V
Rd S dV a h
π
⇒ = = ⇒
∫ ∫
ur ur
W
Ñ
b. Tính trực tiếp:
( )
1 2 3
1
S S S S
RdS RdS RdS Rd S
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
5
( )
( )
1 1
2 2

3
3
2
1 1
1
2
2 2
2
cos
cos
0
2. 2
0
S S
S S
S
S
S
Rd S R dS
Rd S R dS
Rd S vi R S
h
R dS hS h a
R
h
R dS hS h a
R
ϕ
ϕ
π

π

=
∫ ∫



=
∫ ∫



= ⊥




= =




= = =






ur ur

ur ur
ur ur ur ur
#
Từ (1) và (2), ta được:
2
3
S
Rd S a h
π
= ⇒

ur ur
W
Ñ

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×