giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá thầy đinh xuân hùng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (661.66 KB, 32 trang )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
CHUYÊN
Gi i Ph
B ng Ph
ng Trình Vô T
ng Pháp ánh Giá
Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình
WWW.TOANMATH.COM
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
I.L I NÓI
U
Ph ng trình-H ph ng trình-B t đ ng th c có m i quan h ch t ch v i nhau. ây c ng chính là nh ng
ph n quan tr ng nh t c a đ i s .Nó th ng xuyên xu t hi n trong kì thi tuy n sinh i H c (THPT QG)
hay các kì thi HSG.Ta c n có nh ng ph ng trình,h ph ng trình đ d đoán đ c đi m r i c a B T
hay trong quá trình sáng tác m t B t đ ng th c s n y sinh ra nhu câu tìm nghi m c a Ph ng trình-H
ph ng trình-B t đ ng th c.Qua đ y có th nói vi c gi i t t PT-HPT là r t quan tr ng.Nhi u bài toán v
PT-HPT-B T là s che d u c a m t B T nào đó.Chúng ta c n ph i linh ho t khi s d ng B T vào gi i
PT-HPT.Vì n u không dùng đúng thì s d n đ n k t qu không nh mong mu n.Gi i PT b ng ph ng
pháp b ng đánh giá chính là m t s k t h p tuy t v i gi a B T và PT
ã có r t nhi u tài li u,sách vi t v PT.Tuy v y,nh ng bài vi t v Gi i PT b ng ph ng pháp b ng đánh
giá ch a đ c p toàn di n v nh cách gi i hay là ph ng pháp sáng tác.Vì v y,trong tài li u này s đ đi
sau vào cách gi i PT b ng ph ng pháp đánh giá (M t trong nh ng ph ng pháp hay và khó khi GPT)
Hy v ng nó s là tài li u hay giúp cho các b n hi u rõ h n v Ph
ng pháp này
Trong tài li u này s có ba m c:
M c 1:Nh c l i m t s B T hay dùng khi gi i ph
pháp đánh giá
M c 2:M t s ví d và cách sáng tác ph
ng trình,ph
ng trình b ng ph
ng pháp gi i PT vô t b ng ph
ng
ng pháp đánh giá
M c 3:T ng h p bài t p
Sai sót là đi u không th tránh kh i trong bài vi t này,vì th xin trân tr ng đón nh n m i s góp ý và
nh n xét c a các b n và th y cô.
M i ý ki n th c m c g i vào gmail:
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Các thành viên tham gia vi t chuyên đ
Ch biên: inh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình)
Các thành viên tham gia vi t chuyên đ :
1.Nguy n Khánh Tr
ng (Toán K57-THPT Chuyên L
2.Hoàng Trung Hi u (Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình)
ng V n T y-Ninh Bình)
3.V Minh H nh (Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình)
4.T ng
ng V n T y-Ninh Bình)
c Kh i (Toán K57-THPT Chuyên L
5.Nguy n Th Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên L
6.Bùi Th Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên L
7.Ph m Th Ph
ng V n T y-Ninh Bình)
ng Loan (Toán K57-THPT Chuyên L
8. ào Th Thanh Huy n (Toán K57-THPT Chuyên L
9.Lê Anh Quang (Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình)
ng V n T y-Ninh Bình)
ng V n T y-Ninh Bình)
ng V n T y-Ninh Bình)
Xin c m n cô Ngô Th Hoa (Cô giáo ch nhi m Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh
Bình) đã h ng d n c ng nh các ví d v Ph ng Pháp Gi i PT b ng đánh giá.Cô chính là ng i
kh i x ng vi c vi t chuyên đ này.
Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
II. Nh c l i m t s B T hay dùng khi gi i ph
pháp đánh giá
ng trình,ph
ng pháp gi i PT vô t b ng ph
ng
Các B T hay dùng
[1].B t đ ng th c AM-GM
Cho n s th c d
ng a1 , a2 ,..., an ta luôn có B T
a1 a2 ... an n.n a1.a2 ...an
D u “=” x y ra khi a1 a2 ... an
[2].B t đ ng th c Cauchy-Schwar (C-S)
Cho 2 b s a1 ; a2 ;...; an và b1 ; b2 ;...; bn ta luôn có B T
(a12 a22 ... an2 )(b12 b22 ... bn2 ) a1b1 a2 b2 .... an bn
a
a
a
D u “=” x y ra khi 1 2 ... n
b1 b2
bn
2
M t h qu c a b t đ ng th c Cauchy-Schwar r t hay dùng:
an2 a1 a2 ... a n
a22
....
b2
bn
b1 b2 ... bn
b1
a1
2
2
V i đi u ki n b1 ; b2 ;...; bn là các s d
D u “=” x y ra khi
[3].B t đ ng th c Minkowski (Hay còn g i là ph
Cho 2 b s
a
1
ng
a
a1 a2
... n
b1 b2
bn
ng pháp t a đ )
; a2 ;...; an và b1 ; b2 ;...; bn ta luôn có B T
a12 a 22 ... a n2 b12 b22 ... bn2
D u “=” x y ra khi
a1 b1 2 a2 b2 2 .... an bn 2
a
a1 a2
... n
b1 b2
bn
[4].B t đ ng th c Holder
V i m dãy s d
ng a1,1 ; a1, 2 ;...; a1,n , a 2,1 ; a 2, 2 ;...; a 2,n ,..., a m,1 ; a m, 2 ;...; a m.n ta có
m
n
n
ai , j m ai , j
j 1
i 1 i 1
D u “=” x y ra khi m dãy đó t
m
ng ng t l .B t đ ng th c Cauchy-Schwar là h qu tr c ti p c a b t
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
đ ng th c Holder v i m=2
V i a,b,c,x,y,z,m,n,p là các s th c d ng ta có: a 3 b 3 c 3 x 3 y 3 z 3 m 3 n 3 p 3 axm byn czp 3
ây chính là h qu hay dùng c a B T Holder khi m=3
Ph
ng pháp gi i
Thông th
f ( x) g ( x)
ng ta s đánh giá nh sau f ( x) C ( C ) f ( x) g ( x) C
g ( x ) C ( C )
Ho c đánh giá tr c ti p f ( x) g ( x); f ( x) g ( x)
T đó tìm d u “=” x y ra c a đ ng th c (t c là giá tr c a bi n đ th a mãn đi u ki n x y ra d u b ng)
Ngoài ra trong m t s bài ta có th s d ng đi u ki n c a nghi m đ đánh giá
ôi khi tôi mu n hét to v i c th gi i r ng tôi m i may m n làm sao khi tôi đ c làm b n v i b n,
nh ng đôi khi tôi mu n im l ng, s r ng ai đó s đem b n r i kh i tôi.
---Khuy t danh----
đâu đó có ng i đang m v n c i c a b n, đâu đó có ng i c m th y s có m t c a b n là
đáng giá, vì v y khi b n đang cô đ n, bu n r u và r , hãy nh ràng có ai đó, đâu đó đang ngh v
b n.
Somewhere there's someone who dreams of your smile, somewhere there's someone who finds your
presence worthwhile, so when you are lonely, sad and blue, remember there is someone, somewhere
thinking of you.
----Khuy t danh----
Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y-Ninh Bình
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
III. M t s ví d và phát tri n ph
Ví d 1.Gi i ph
ng trình vô t b ng ph
ng pháp đánh giá
ng trình: x 4 6 x 2 (1)
T p xác đ nh 4;6
Bình lu n:
ây là 1 bài toán có r t nhi u cách gi i (Bình ph
qua ph ng pháp đánh giá xem sao?
ng 2 v ,li n h p,…) nh ng ta th trình bày bài toán
Bài làm
Áp d ng B T C-S cho b s
6 x ; x 4 và (1;1) ta có:
(1 1)(6 x x 4) ( 6 x x 4 ) 2
ng th c x y ra khi 6 x x 4 x 6 x 4 x 5(TM )
6 x x4
T (1)(2) x 5
2
4 mà
6 x x 4 0 6 x x 4 2 .D u b ng x y ra khi x=5(2)
V y x=5
Nh n xét:
T i sao mình l i đ a bài toán này làm ví d đ u tiên?Vì mình mu n nói đ n u đi m,nh
ph ng pháp đánh giá
c đi m c a
u đi m:Cách gi i nhanh,g n nh ,không ph i tính toán v t v
Nh c đi m:Không nh nh ng ph ng pháp gi i PT vô t khác thì ph ng pháp đánh giá không ph i
bài nào c ng dùng đ c.B n nào không t nh táo đ s d ng thì ch c ch n d n đ n vi c thi u nghi m
ho c không d n đ n k t qu nh mong đ i.“Tr m nghe không b ng m t th y” th làm m t bài PT t ng
t Ví d 1 nào
Gi i ph
TX
ng trình: 4 x x 1 3
1;4
Áp d ng B T C-S cho b s 4 x ; x 1 và (1;1) ta có:
D u b ng x y ra khi 4 x x 1 x 3(TM )
2
4 x x 1 (4 x x 1)(1 1)
2
4 x x 1 10 0 4 x x 1 10 ??
n đây thì làm sao ti p đây nh ?Vì c 2 v đ u nh h n 10 và ph ng trình còn xót nghiêm x=0 n a
úng là cùng m t d ng mà n u bài n u c ng dùng ph ng pháp đánh giá đ gi i s d n đ n vi c không
gi i đ c ho c thi u nghi m
Chú ý:D ng ph
th P=f(x)
ng trình: a x m b n x P (v i a,b,m,n là các s b t kì).P có th là m t s c ng có
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
- u tiên chúng ta dùng máy tính Casio (cách nh m th nào ch c các b n c ng bi t nh ) đ nh m
nghi m
-N u nh PT có m t nghi m duy nh t thì chúng ta m i s d ng ph ng pháp đánh giá còn không mình
khuyên các b n đ ng s d ng nhé!
-Cách làm:T ng t VD1
Ví d 2.Gi i ph
TX 4;6
ng trình: 6 x x 4 x 2 10 x 27 (1)
Bình lu n
VD2 v i VD1 đ u có đ c đi m chung đó là cùng có ( 6 x x 4 ) v trái và đ u có nghi m duy nh t
là 5.Nh ng bài này n u dùng ph ng pháp bình ph ng ho c liên h p thì PT VD2 ch c ch n s khó x
lí h n so v i VD1.T i sao chúng ta không dùng ph ng pháp đánh giá nh ?(D ng PT v a nêu trên mà)
Th nhé!
Bài làm
Áp d ng B T C-S cho b s
6 x ; x 4 và (1;1) ta có:
(1 1)(6 x x 4) ( 6 x x 4 ) 2
ng th c x y ra khi 6 x x 4 x 6 x 4 x 5(TM )
6 x x4
2
4 mà
6 x x 4 0 6 x x 4 2 .D u b ng x y ra khi x=5(2)
Xét hi u: x 10 x 27 2 ( x 5) 2 0 x 2 10 x 27 2 .D u b ng x y ra khi x=5(3)
T (1)(2)(3) x 5
V y x=5
2
Nh n xét: ó chính là m t trong nh ng u đi m khi s d ng ph
Vô t
Ví d 3.Gi i ph
KX : x 2
ng pháp đánh giá đ gi i ph
ng trình
ng trình: x 3 11x 2 36 x 18 4 4 27 x 54 (1)
Bình lu n
Ph ng trình này có s m 2 v khá là to.Nh ng cái hay chính là ph ng trình này có nghi m duy nh t
là 5 và bên v trái đ c tách thành 4 4 3.3.3.( x 2) .Sao chúng ta không th s d ng B T AM-GM nh ?
Bài làm
Áp d ng B T AM-GM cho 4 s không âm 3;3;3 và (x-2) ta đ
c:
4 4 3.3.3.( x 2) x 2 3 3 3 x 7
D u “=” x y ra khi khi 3 x 2 x 5(TM )
x 7 4 4 27 x 54 .D u “=” x y ra khi x=5 (2)
Xét hi u: x 3 11x 2 36 x 18 x 7 ( x 5) 2 ( x 1) 0x TX x 3 11x 2 36 x 18 x 7 (3)
D u “=” x y ra khi x=5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
T (1)(2)(3) x 5
Chú ý:Cách sáng tác nh ng PT d ng này:
Ta s xét hai B T có cùng d u “=” x y ra ch ng h n khi x=3 và x 1 ta có:
2 4 2 4 2 4 (4 x 4)
2 .2 .2 .(4 x 4)
x 13 (1)
4
Và x 3 3x 2 9 x 27 ( x 3) 2 ( x 3) 0(2)
4
4
4
4
V i x 1 thì d u “=” (1) và (2) cùng x y ra khi và ch khi x=3.
T (1)(2) và x 3 3x 2 9 x 27 ( x 13) x 3 3x 2 8x 40 ta đ c bài toán sau:
Ví d 3.1.Gi i ph ng trình sau: x 3 3x 2 8x 40 8 4 4 x 4 (1)
KX : x 1
L i gi i:
Áp d ng B T AM-GM cho 4 s không âm 2 4 ;2 4 ;2 4 ; (4 x 4) ta đ
4
4
4
c:
4
2 2 2 (4 x 4)
x 13 (2)
4
D u “=” x y ra khi 4 x 4 16 x 3(TM )
2 4.2 4.2 4.(4 x 4)
Xét hi u: x 3 3x 2 9 x 27 ( x 13) x 3 3x 2 8x 40 ( x 3) 2 ( x 3) 0 .
x 3 3x 2 9 x 27 x 13 .D u “=” x y ra khi x=3(3)
T (1)(2) x 3
V y x=3
Nh n xét:V i cách sáng tác trên ch c b n c ng sáng tác đ
Ví d 4.Gi i ph
KX : x
L i gi i:
c nhi u bài PT d ng này nh
ng trình: 4 x 1 4 x 2 1 1 (1)
1
2
1
là m t nghi m c a PT (1)
2
4x 1 1
1
V i x thì
4 x 1 4 x 2 1 1( KTM )
2
2
4x 1 0
1
V y x=
2
Ta th y x
Nh n xét
ây là m t d ng PT r t hay g p.Và cách gi i chung c a nó là d đoán đ c nghi m duy nh t r i sau đó
s d ng ph ng pháp đánh giá đ gi i
T ng quát: x x0 là nghi m duy nh t ta s c n ch ng minh v i x x0 ho c x x0 đ u không th a mãn.
Ta có th đ a ra k t lu n x x0 là nghi m duy nh t
Ví d t ng t :
Ví d 4.1.Gi i ph
TX :D=R
ng trình: 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
L i gi i:
Ta th y x=-2 là nghi m c a ph ng trình
Th t v y: VT 3 2 1 3 2 2 3 2 3 0 VP
x 1 1
V i x>-2 x 2 0 3 x 1 3 x 2 3 x 3 1 0 1 0( KTM )
x 3 1
x 1 1
V i x<-2 x 2 0 3 x 1 3 x 2 3 x 3 1 0 1 0( KTM )
x 3 1
V y x=-2 là nghi m duy nh t c a ph
Ví d 4.2.Gi i ph
ng trình
ng trình: 3x 2 7 x 3 x 2 2 3x 2 5x 1 x 2 3x 4 (1)
3x 2 7 x 3 0
2
x 2
x 2 0
KX : 2
x 5 37
3x 5 x 1 0
6
x 2 3x 4 0
Chú ý: i v i nh ng bài mà KX khó gi i thì t t nh t không nên gi i ra.Ch c n tìm đ
Thay l i là đ c
c nghi m r i
L i gi i:
PT (1) 3x 2 5 x 1 2( x 2) x 2 2 3x 2 5 x 1 x 2 2 3( x 2)
Ta th y x=2 là m t nghi m c a PT (1)
V i x>2 thì VT 3x 2 7 x 3 x 2 2 3x 2 5 x 1 x 2 2 3( x 2) VP( KTM )
V i x<-2 thì VT 3x 2 7 x 3 x 2 2 3x 2 5 x 1 x 2 2 3( x 2) VP( KTM )
V y x=2 là nghi m duy nh t c a ph
Ví d 5.Gi i ph
KX : x 1
ng trình
ng trình: x 1 x 3 2( x 3) 2 2 x 2 (1)
Bình lu n:Ý t ng khai thác y u t hình h c n ch a trong bài toán ch v trái ph ng trình đ c cho
d i d ng x 1.1 ( x 3).1 t đó giúp ta nh đ n bi u th c t a đ c a tích vô h ng c a hai vect trong
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
m t ph ng t a đ Oxy
Bài làm
u ( x 3) 2 x 1
u ( x 3; x 1)
t
v 2
v (1;1)
Theo b t đ ng th c: u . v u . v ta có:
x 1 ( x 3) 2( x 3) 2 2 x 2 (2)
T (1)(2) u . v u . v
i u này x y ra khi và ch khi u; v cùng ph
ng hay u k. v (k 0)
x 1 k
x 3
x 5(TM )
x 3 k x 1 x 3 0 2
x
x
7
10
0
k 0
V y x=5
Nh
Th
ph
ph
n xét
c ch t ph ng pháp trên c ng ch là B T Minkowski mà thôi.Tuy v y bài toán trên trình bày v i
ng pháp t a đ Oxy thì trông v a đ p v a ng n.N u b n s d ng B T Minkowski thì các b n s
i có thêm b c ch ng minh nhé
Xây d ng bài toán t tính ch t c c tr hình h c
Dùng t a đ c a vec-t
Trong m t ph ng t a đ Oxy.Cho các vec-t : u ( x1 ; y1 ), v ( x2 ; y2 ) khi đó ta có:
• u v u v ( x1 y1 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 x12 y12 x22 y 22
D u b ng x y ra khi và ch khi hai vec-t u; v cùng h
ng
x1 y1
k 0 .Chú ý t s ph i d
x2 y 2
ng
• u . v u . v . cos u . v .D u b ng x y ra khi và ch khi cos 1 u v u k. v (k 0)
S d ng tính ch t đ c bi t v tam giác
• N u tam giác ABC là tam giác đ u thì v i m i đi m M tùy ý trên m t ph ng tam giác,ta luôn có
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
MA MB MC OA OB OC v i O là tâm c a đ
ng tròn.D u b ng x y ra khi và chi khi M trùng O
•Cho tam giác ABC có ba góc nh n và m t đi m M tùy ý trong m t ph ng thì MA+MB+MC nh nh t
khi và chi khi đi m M nhìn các c nh AB,AC,BC d i cùng m t góc 120
n đây ch c các b n c ng t sáng tác đ
M t s ví d t ng t :
Ví d 5.1.Gi i ph
c nhi u bài GPT s d ng tính ch t c c tr hình h c r i nh
ng trình: 2 x 2 2 x 1 2 x 2 ( 3 1) x 1 2 x 2 ( 3 1) x 1 3
Bài làm
TX :D=R
Ph
ng trình (1) (2 x 1) 2 12 ( 3x 1) 2 ( x 1) 2 ( 3x 1) 2 ( x 1) 2 3 2 (1)
u (1;1 2 x)
Ch n v ( 3x 1; x 1) u v w (3;3) u v w 3 2
w (1 3 x; x 1)
Ta có: u v w u v w
(2 x 1) 2 12 ( 3x 1) 2 ( x 1) 2 ( 3x 1) 2 ( x 1) 2 3 2 (2)
D u “=” x y ra khi u ; v ; w cùng h
T (1)(2) u ; v ; w cùng h
ng
ng
3 x 1 k .1
v k. u
x 1 k (1 2 x)
k , l 0
x 0(TM )
v l. w
3 x 1 l (1 3 x)
x 1 l ( x 1)
V y x=0
Ví d 6.Gi i ph
ng trình: 13 x 2 x 4 9 x 2 x 4 16 (1) (
KX : 1 x 1
Bài làm
Ta có: 13 x 2 x 4 9 x 2 x 4
thi Olympic Toán 30/04/2011)
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
9 x . 1 x 2 13 x 1 x 2
13
3
= .3. x .2 1 x 2 . x .2. 1 x 2
2
2
13 2
3
9 x 2 4(1 x 2 )
x 4(1 x 2 ) 16 (B T AM-GM cho hai s d ng)
4
4
3 x 2 1 x 2
4
4
2
4
2
4
x 2 x (TM )( 2)
13 x x 9 x x 16 .D u “=” x y khi
2
5
5
x 2 1 x
2
T (1)(2) x
5
V y ph
ng trình có nghi m x
2
5
Nh n xét
N u nh các b n đ c l i gi i thì ch c h n s ngh bài toán này khá d . úng v y mình c ng đ ng ý v i ý
ki n c a các b n.Tuy nhiên quá trình tìm ra l i gi i thì l i khác. ây là quá trình khá khó và ph i s d ng
đ n các n ; đ tìm ra đ c l i gi i hoàn ch nh.Sau đây mình xin n u ra ý t ng khi làm bài này:
V im is d
ng ;
13( 2 1) x 2 13
13 x x 13. . x (1 x )
2
2
4
1
2
2
2
1
9( 2 1) 9
9 x 2 x 4 9. . 2 x 2 (1 x 2 )
2
13( 2 1) 9( 2 1) 2 13
9
13 x 2 x 4 9 x 2 x 4
x
2
2 2
2
có đi u c n ch ng minh t c là VT 16 thì ta c n ch n các s d
ng , sao cho
2 x 2 1 x 2
2 2
2
1
x 1 x
2
13( 2 1) 9( 2 1)
0
2
3
2
13
2
9
16
2 2
V y là ta đã tìm đ c ; .Khi đó ch c n thay ; vào là đ c (nh l i gi i bên trên).Các b n c ng
hoàn toàn có th sáng tác đ c nh ng PT gi i quy t theo bài toán này (nh ng d ng PT đ c gi i theo
cách này th ng r t hay và khó)
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ví d 7.Gi i ph
ng trình: 4 x 2 x 10 4 2 2 x x 7 8 x 3 (1)
KX : x 1
Bình lu n
PT trên là d ng PT c n l ng trong c n. i v i d ng PT này cách t i u nh t là gi i b ng ph ng pháp
đánh giá.Vì h u h t các ph ng pháp nh bình ph ng,liên h p, n ph t i v i bài này đ u không đ c.
Bình ph ng thì s m c a PT sau khi bình ph ng m t h t c n là quá to.Liên h p có th giúp ta tìm
đ c m t nghi m nh ng còn bên trong c n thì quá kho x lý. n ph thì r t khó phát hi n đ tìm ra n
ph thích h p.
PT trên có nghi m duy nh t x=-1 càng khi n cho ta tin r ng PT trên hoàn toàn đ c gi i quy t b ng
ph ng pháp đánh giá.V y th nhé!
Bài làm
Áp d ng B T AM-GM cho hai s không âm 2 2 x và 2 ta đ
c:
4 2 2 x 2.2. 2 2 x
D u “=” x y ra khi 2 2 2 x
4 2 2x
x 1(TM )
4 2 2x 6 2x
x 2 x 10 4 2 2 x x 2 x 10 6 2 x
x 2 x 10 4 2 2 x x 2 x 4
4 x 2 x 10 4 2 2 x 4 x 2 x 4 .D u “=” x y khi x=-1 (2)
Áp d ng B T AM-GM cho hai s không âm 3 x và 2 ta đ
c:
3 x 4 2.2. 3 x
D u “=” x y ra khi 2 3 x x 1(TM )
2(7 x) 8 3 x
x 7 2(7 x) x 7 8 3 x
7 x x 7 8 3 x .D u “=” x y khi x=-1(3)
Xét hi u: 16( x 2 x 4) (7 x) 2 15( x 1) 2 0 .D u “=” x y khi x=-1
16( x 2 x 4) (7 x) 2 mà 16( x 2 x 4) 0;7 x 0
4 x 2 x 4 7 x .D u “=” x y khi x=-1(4)
T (1)(2)(3)(4) x 1
V y ph
ng trình có nghi m duy nh t x=-1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ví d 8:Gi i ph
ng trình:
2 2
x 1
KX : x 0
x x9
Bài làm
Áp d ng B T C-S ta có:
2
x
1
1
x
2
( x 9)
x 1
VT 2 2
( x 9) VP
x 1
x 1
1 x x 1
2
D u b ng x y khi
2 2
x 1
x 1
x
x 1
V y ph
ng trình có nghi m duy nh t x
Ví d 9.Gi i ph
ng trình: 2 x 3
KX : x 3 . i u ki n ph
x 1
2 2
x
8
x 1
1
x (TM )
x
7
1
7
1
1
1
3
3
x3
2
2
2
ng trình có nghi m là x>0
Bình lu n:L i là ki u ‘c n l ng trong c n’.Và nh đã nói ph
là ph ng pháp đánh giá.Th thôi!
ng pháp t t nh t đ gi i lo i PT này chính
Bài làm
t a
1
1
3
x 3 thì ta có h ph
2
2
ng trình
1
3 a
2 x 3
2
2 a 3 1 3 x
2
1
1
1
3 x .Mà f (t ) 3
3 t là hàm đ ng bi n trên (0;)
3 a 3
2
2
2
1
nên suy ra a x a x .Hay 2 x 3 3 x
2
1
t b 3 x ta có h ph ng trình
2
2 x 3 b
2b 3 x
Gi s x a 2 x 2a 3
Gi s x b 3 b 3 x b x
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
b x
Hay 2 x 3 x
4x 2 x 3 0
x 1(TM )
x 3 ( KTM )
4
V y ph
ng trình có nghi m duy nh t x=1
Ví d 10.Gi i ph
Bình lu n:
ng trình: 2x 2 1 x 2 3x 2 2x 2 2x 3 x 2 x 6
i v i bài này ta s d ng m t đánh giá r t ít g p
f ( x) g ( x)
f ( x) a.h( x) g ( x) b.h( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
h ( x ) 0
V i m i s a,b d
ng
Bài làm
Bi n đ i ph
ng trình thành: 2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 1 2( x 2) x 2 3x 2 2( x 2)
2 x 2 1 0
S d ng đánh giá trên ta có x 2 3x 2 0 x 2
2( x 2) 0
Th l i x=-2 là nghi m c a ph ng trình
V y ph ng trình có nghi m duy nh t x=-2
ó là m t s Ví d đ làm rõ ph ng pháp đánh giá khi gi i ph ng trình vô t .Hy v ng nh ng ví d
trên ph n nào giúp các b n có th hi u và v n d ng đ c ph ng pháp đánh giá khi gi i ph ng trình.
các b n có th n m rõ c ng nh luy n k n ng thì mình xin đ c nêu ra m t s Bài t p và các l i
gi i tóm t t
"Nhân cách c a ng i th y là s c m nh có nh h ng to l n đ i v i h c sinh, s c m nh đó không th
thay th b ng b t k cu n sách giáo khoa nào, b t k câu chuy n châm ngôn đ o đ c, b t k m t h
th ng khen th ng hay trách ph t nào khác."
--- Usinxki---
Toán K57-THPT Chuyên L
ng V n T y
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
IV.Bài t p và l i gi i tóm t t
Gi i các ph
ng trình sau:
1) x 2 6 x x2 8x 24
2)16x4 + 5 = 6 3 4x2 x
3)
x7
8 2x 2 2 2x 1
x 1
4) 1 2 x x2 1 2 x x2 2 x 1 . 2 x2 4 x 1
4
5) 3x 2 1 x 2 x x x 2 1
1
2 2
(7 x 2 x 4)
6). x3 3x2 8x 40 8 4 4 x 4 0
7) 2 4 27 x 2 24 x
27
28
1
x6
2
3
8) x y 1 2 y x 1
3 xy
2
9) x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2
10)
x2 x
1 2x 3 x 2 x 1
2 2
11) x 2 4 2 x 4 x 4 x 3
12) 5 x 1 3 x 8 x 3 1
13) 3 x 2 28 23 x 2 23 x 1 x 2 9
14) x2 3x 2 x 1 2
15)
6
8
6
3 x
2x
16)Tìm nghi m nguyên d
ng c a PT sau:
1
1
1
1
4 x 4
1.2 2.3 3.4
x. x 1
4 x 5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
17) 3 x 2 2 2 x 3
18) 3 x 3 5x 2 14 x 9 x 2 x 2 2 x 1 1
19) 4 x 1 + 4 8x 3 = 4x4 -3x2 + 5x
20) x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 x2 16x 64 8
21) 1 3 x 3
1 2
x 5
22) 8 x 2
3
8
23) 4 x 2 x
24) x2 2x 4 3 x3 4x
25) 5 x6 3 3x4 2 1
26)
x2
x 4x 9 x 4x 9 6
3
2
2
27) x2 4x 12 x2 2x 3 3 x2
28) x2 x x x2 x 1
29) x2 2x 2x 1 3x2 4 x 1
30) 3 25 x(2 x 2 9) 4 x
31) 1 x 2 x 2 1
3
x
x
2
32) x 1 x2 1 5 x2
33) 2x2 1 x 2 x 1 2 x2
34) x x2 x 1 x3 3x 2 0
35) x 2 x2 x 2 2 x 2 x 1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
2 x
x 1 x
3 1 x
36)
37) 2 x 2 2
1
1
4 (x )
2
x
x
L i gi i Tóm t t
1)
KX :
2 x6
Áp d ng b t đ ng th c Bunhia copxki ta có:
x2 6 x
2
2 x 2 6 x 8
VT 2 8
1
Mà VT 0 VT 2 2
2
Ta có x 2 8x 24 x 4 8 8
VP 2 8
Mà VP 0 VP 2 2
2
x2 6 x
T 1 và 2 VT VP 2 2
x 4
V y x=4 là nghi m duy nh t c a ph
2
0
x4
ng trình đã cho.
2)
Ta có 16 x4 + 5 >0 x
Nên t (1) x> 0
Áp d ng b t đ ng th c Cauchuy ta có:
16 x4 + 5 = 3 3 2.4 x(4 x 2 1) 2 4 x 4 x 2 1
16 x4 + 5 - 4x 2 -4x -3 0
0
16 x4 - 4x 2 -4x +2
(2 x 1)2 (2 x 2 2 x 1) 0
1
2x -1 = 0 x = (th a mãn x> 0)
2
3)
KX : x
1
2
Ta th y x =2 là nghi m c a ph ng trình (1)
Ta s ch ng minh đây là nghi m duy nh t.
(th a mãn KX )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
6
8 2 x2 2 x 1
x 1
6
2
* N u x >2 thì
x 1
6
1
8 3 8
x 1
VT 3 8 (2)
2 x 2 2 x 1 2.22 2.2 1 3 8
VP 3 8 (3)
T (2) và (3) Vô lý.
1
* N u x 2 thì VT 3 8 ; VP <
2
Pt (1)
1
V y x = 2 là nghi m duy nh t c a ph
4)
3 8 Vô lý.
ng trình đã cho.
1 2 x x2 1 2 x x2 2 x 1 . 2 x2 4 x 1
4
(1)
KX : 0 x 2
2
t t = x 1 0 t 1
Ph ng trình (1) tr thành:
1 1 t 1 1 t 2t 2 2t 1
T (2) 2t 1 0 t
Bình ph
1
2
ng 2 v c a (2) ta đ
(2)
c:
1 1 t 1 1 t 2 1 1 t 1 1 t 4t 4 2t 1
t 1 2t 4 2t 1
2
1
1
2
3 2 2t 1
4
t t t
1
1
Vì t 1 nên 4 3 2
t
tt
1
Ta có:
t 1
2
0 2t 1 1
2
2t 1 1
(3)
(4)
2 2t 1 2
2
T (3), (4), (5)
5)
2
(5)
t 1
2
x 1 1
x2
(th a mãn KX )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
3x 2 1 x 2 x x x 2 1
KX
1
2 2
(7 x 2 x 4)
(1)
x 1
x 1
3
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki ta có:
( 3x2 1 x2 x x x2 1 )2 (2 + x2)(3x2-1+x2-x+x2+1)
= ( 2+ x2)(5x2-x)
VT2 0 VT < 2 x 2 5x 2 x (2)
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:
(7 x 2 x 4) = (5x2 – x +(x2+2).2) 2
1
(7 x 2 x 4)
2
VP
2 x 5x
2
2
2 x 5x
2
2
2 x .2.5x
2
2
x
x
x (3)
x2 1
2
2
3x 1 x x
T (2) và (3) VT = VP
x
2
2
5x x 2( x 2)
x = -1
V y x = -1 là nghi m duy nh t c a ph
6)
ng trình đã cho
KX x 1
x3 3x 2 8 x 40 = 8 4 4 x 4
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có.
8 4 4 x 4 = 4 4 4.4.4( x 1) x 1 4 4 4 x 13
x3 3x 2 8x 40 x 13 0
x3 3x 2 9 x 27 0
(x-3)2(x-3) 0
(x-3)2 0 ( do x+3> 0 x 1 )
x -3 = 0
x = 3 ( th a mãn KX )
V y x =3 là nghi m duy nh t c a ph
ng trình đã cho.
7)
2 4 27 x 2 24 x
27
28
28
27
x60)
0 và
1
x 6 (đi u ki n : 27 x 2 24 x
2
3
3
2
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
24
81x 2 72 x 28
3(9 x 4)
1
3
2
(9 x 4)2
3(9 x 4)
2
4 1
3
2
4
i u ki n: 9 x 4 0 x
9
t 9 x 4 y 0 .Khi đó (1) tr thành;
4
24
y2
y2
3y
3y
4 1
2
4 1
6y
3
2
3
2
S d ng b t đ ng th c cô si ta đ
c:
y2
y2
6 y
( y 6) 2
4
4 2 y 4 4( 4) ( y 2) 2
0
2
3
3
3
Ta l i có ( y 6)2 0 nên y 6 0 y 6
y4 2
th a mãn đi u ki n ban đ u
T đó x
9
9
2
Th l i x là nghi m c a ph ng trình đã cho
9
2
V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x
9
6y
8)
x y 1 2 y x 1
y 1
x 1
3 xy
2
K
2 x y 1 4 y x 1 3xy
xy 2 x y 1 2 xy 4 y x 1 0
x
x y 2 y 1 2 y x 2 x 1 0
Do
2
y 1 1 2 y
y 1 2 y x 1 1
x 1 x
2
x 1 1 0
2
y 1 1 0 D u “=” x y ra khi y = 2
2
0 D u b ng x y ra khi x = 2
V y nghi m c a PT là x=y=2
9)
x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2
2
1 7
x x 1 x x 1 x
2 4
2
Ta có
(1)
2
2
x x 1 0
K: 2
x x 1 0
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Khi đó áp d ng:
Ta có:
a
a 1
2
" " khi a 1
x2 x 1 x2 x 1
x2 x 1 x2 x 1
2
2
x2 x 1 x2 x 1 x 1
M t khác:
x 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1
x 1 x 1 x 1
2
V y
x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 x 1
x2 x 1 1
x 2 x 1 1
2
1
x 1
x 1
V y x=1 là nghi m c a ph
10)
ng trình
x2 x
1 2 x3 x 2 x 1
2 2
x2 x
1 ( x 2 x 1)(2 x 1)
2 2
(1)
Ta có x2 - x + 1 > 0 v i m i x suy ra K x
1
2
Áp d ng B T cho hai s x2 – x + 1 > 0; 2x + 1 > 0
Ta có: ( x 2 x 1)(2 x 1)
x2 x 1 2 x 1 x2 x
1
2
2 2
D u “=” x y ra x2 – x + 1 = 2x +1
x2 – 3x = 0 x = 0 ™ ho c x=3 ™
V y S = 0;3
11)
x2
4
( K : x4 2)
(x 0)
2 x 4 1 x 4 x3
x2
2 x
x 1 x4
4
1
2 x4 x 2 x2
x
1
1
Ta cã: 2 x 2 2 D u b ng x y x 2 2
x
x
4
4
(1)
x2 1
2 x x (1 1 ) 2 x x
2 x x 4 2 x x 4.2 2 x x 16
M t khác:
2
4
4
4
4
4
4
2
2
2 x x
D u “=” x y khi x = 1
2
4
4
4
16 2
2
2
2
4
4
(2)
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
T (1)(2) x 1
12)
5
x 1 3 x 8 x3 1
Gi i: Nh n th y x=0 là m t nghi m c a ph
+N u x<0 thì
5
ng trình
x 1 1; 3 x 8 2; x 3 1 1
V y VP <1; VT>1 nên ph
ng trình vô nghi m .
+ N u x>0 thì VP<1; VT>1 nên ph
ng trình vô nghi m.
V y x=0 là nghi m duy nh t c a ph
ng trình
13)
3
x 2 28 23 x 2 23 x 1 x 2 9
ng d n: TX : x 1
H
Nh n th y x=2 là nghi m
D th y:1 x<2 thì ph
x>2 ph
ng trình vô nghi m
ng trình vô nghi m
V y x=2 là nghi m duy nh t c a PT
14)
Gi i ph ng trình: x2 3x 2 x 1 2
HD: K: x 1;2 (1)
PT x2 3x 2 2 x 1 (2)
T (2) ta có:
2 x 1 0
x 1 2
x 1 2
x 1 (3)
15)
T (1) và (3) Ta có x = 1 th vào (2) tho mãn.
V yx=1
HD: K: x < 2. B ng cách th , ta th y x =
Ta c n ch ng minh đó là nghi m duy nh t.
6
8
2 và
4
3 x
2x
3
6
8
ng t v i < x < 2:
6
2
3 x
2x
Th t v y:V i x <
T
3
là nghi m c a ph
2
3
:
2
V y x=3/2 là nghi m duy nh t c a ph
ng trình
ng trình.
6
8
6.
3 x
2x
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
16)
HD: K: x 4 (1)
1
1
1
x 1
4 x 5
4 x x 4 (*)
Ta có: VP(*) = x 4 0 x 4 (2)
Ta có: 1
T (1) và (2) ta có:x = 4 là nghi m duy nh t.
17)
HD: KX : x 3 2
Gi s x là nghi m c a ph
Do đó: x 2
M 6 hai v c a PT ta đ
x 2
ng trình.Khi đó: x 2 2 0
x 2
c: x 9 6 x 6 x 4 12 x 3 4 x 2 4 0
VT x 9 x 4 (6 x 2 1) 12 3 4 x 2 4 0 VP(x 2 ) PTVN
19)
HD: KX :x
3
8
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:
4x 11
2x
2
8x 3 1 1 1
4
8x 3
2x
4
4 x 1 4 8x 3 4 x
4x4 – 3x2 +5x 4x
4x4 – 3x2 +x 0
x( x 1)(2 x 1)2 0
4x 1
(2x-1)2 0 (do x(x+1) > 0 x
2x – 1= 0
1
x=
2
V y ph
3
8
ng trình đã cho có nghi m duy nh t x =
20)
Ta có:
1
2
x2 2 x 1 x2 4 x 4 x2 6x 9 x2 16 x 64 8
x 1 x 2 x 3 x 4 8
Có:
x 1 x 2 x 3 x 4 -x-1-x-2+x+3+x+8=8
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
x 1 0
x 1
x 2 0
x 2
D u”=” x y ra
x 3 0
x 3
x 8 0
x 8
-3 x -2
V y nghi m c a ph ng trình là :
S={x -3 x -2 }
21)
1 3 x 3 ( KX : x 0 )
22)
+D th y x=1 là m t nghi m c a ph ng trình
+xét x>1
Ta có x 3 x > 1 3 x 3
+xét x<1
Ta có x 3 x < 1 3 x 3
V y ph ng trình đã cho có nghi m là x=1
1 2
(đi u ki n: x>0)
x 5
1 2
8x2
x 5
8x2
8x2
1
1 1 1 1 1 1 1 1
8x2
4 x 4 x 4 x 4 x
x
1
5 8x . 4
4
5
23)
2
1 1 1 1
23 2 1 2
5
. . . 5 8 x . 2
2
5
x x x x
x
x 0
x 0
x 0
1
2 1 1 2 4 1 5 1 x
4
8 x
32 .x x
x 45
4 x
1
Th l i th y x th a mãn ph ng trình đã cho
4
1
V y ph ng trình đã cho có nghi m là x
4
4
3
x 2 x (đi u ki n : x 0 )
8
Áp d ng b t đ ng th c cô-si ta đ
1 1 1
8x
3
2x 2 2 2
4x
8
4
D u “=”x y ra khi và ch khi
x 0
1
1x
16
8 x 2
c:
