Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt trịnh văn quang

I

Trịnh Văn Quang

\
i

\

Cơ sở Phương pháp
Phần tử Hữu han
trong Truyền nhỉệt


c ơ s ở PHƯƠNG P H Á P

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TRUYỀN n h iệ t

TÁC GIẢ
PGS.TS. Trịnh Văn Quang

Nhà xuất bản Thế Giới
-2013


LỜI NÓI ĐẦU
ua nhiều năm giảng dạy Lý thuyết Truyền nhiệt cho Chương trình Cao học Cơ
khí cũng như tham gia và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy
một tài liệu về phương pháp tính nhiệt mới là hết sức cần thiết để phục vụ cho
công tác giảng dạy và nghiên cứu. Cuốn sách “Cơ sớ phương pháp Phần từ hữu
hạn trong Truyền n h iệt" được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên.

Q

Môn học Cơ sở truyền nhiệt trong chương trình đại học cùa các nước tiên tiến hiện
nay chỉ mới dừng ở phương pháp Sai phân hữu hạn, còn phương pháp Phần tử hữu hạn
(PTHH) chưa được đề cập đến. Vì thế, trong tính nhiệt, phương pháp PTHH còn là mới.
Trên cơ sở một số bài giảng cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử
dụng phương pháp số trong các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như
tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, chúng tôi biên soạn cuốn “Cơ sờphươĩìgpháp
PTHH trong Truyền nhiệt
Cuốn sách bao gồm 5 chương: Chương 1 trình bày khái quát về các phương thức
truyền nhiệt và tóm tẳt các kết quà giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích;
Chương 2 nêu các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của
chúng; Chương 3 đề cập đến phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của
PTHH trong dẫn nhiệt ổn định. Đây là phần lý thuyết toán quan trọng nhất trong phương
pháp PTHH để tính nhiệt; Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bàng
phương pháp PTHH; Chương 5 thiết lập phương trình đặc trưng trong dẫn nhiệt không ổn
định, các cách rời rạc theo thời gian của bài toán, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt
không ổn định bằng phương pháp PTHH.
Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trinh cao học
ngành cơ khí, động lực, chương trình đại học chuyên ngành nhiệt - lạủh, năng lượng và
cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng cồng
trình, luyện kim...
Với suy nghĩ viết sách sao cho bạn đọc sử dụng được thuận tiện nhất, chúng tôi cố
gắng trình bầy các vấn đề một cách chi tiết để bạn đọc có thể dễ dàng theo dõi và từ đó
vận dụng trong nghiên cứu các bài toán thực tế. Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và
thiết thực với bạn đọc.
Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhung chắc rằng cuốn sách vẫn còn có
những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp.
Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà

Nội hoặc địa chỉ
Chúng tôi xin chân thành cám ơn!

TÁC GIẢ
PGS.TS. T rịn h V ăn Q uang

3


MỤC LỤC

LỜI NÓI Đ Ầ U ............................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1

MỞ ĐÀƯ

1.1.

Khái q u á t.............................................................................................................. 7

1.2.

Phương trình vi phân dẫn nhiệt và điều kiện đon trị................................... 10

1.3.

Điểm qua m ột số bài toán dẫn nhiệt cơ b ả n ................................................13

1.4.

Các khó khăn của phương pháp giải tí c h ....................................................25

1.5.

Tóm tắt c h ư ơ n g ................................................................................................25

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN

2.1.

Giới thiệu khái q u á t..........................................................................................26

2.2.

Phân tử m ột chiều bậc n h ất............................................................................30

2.3.

Phân tử m ột chiều bậc h a i.............................................................................. 33

2.4.

Phân tử hai chiều tam giác bậc n h ất.............................................................38

2.5.

Tọa độ khu vực đối với phần tử tam giác bậc n h ất.................................. 44

2.6.

Các phần tử tam giác bậc hai, bậc b a .......................................................... 46

2.7.

Phần tử hai chiều chữ nhật bậc nhất.............................................................50

2.8.

Các phần từ ba chiều.........................................................................................54

2.9.

Phần tử đẳng tham số, phần tử quy chiếu................................................... 60

2.10.

Tóm tắt ch ư ơ n g .................................................................................................. 74

BÀI TẬ P CHƯƠNG 2 .............................................................................................................. 75
CHƯƠNG 3

THIẾT LẶP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA PHÀN TỦ HỮU HẠN

3.1.

Phương pháp thiết lập phương trình đặc trung của phần tủ'.......................77

3.2.

Phương pháp biến phân, phương trình Euler - Lagrange ..........................91

3.3.

Thiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn
nhiệt theo phương

3.4.

pháp

biến p h â n ........................................................101

Thiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn
nhiệt theo phương

pháp

G alerkin........................................................ 109

3.5.

Xác định phiếm hàm bài toán dẫn nhiệt qua c á n h ..................................... 112

3.6.

Tóm tắt ch ư ơ n g ............................................................................................... 114

5

CHƯƠNG 4

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT ÒN ĐỊNH BÀNG PHƯƠNG
PHÁP PHÀN TỦ HỮU HẠN

4. ].

Dan nhiệt qua vách phẳng một lóp................................................................ 115

4.2.

Dần nhiệt qua vách phang nhiều lớ p ............................................................118

4.3.

Dần nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên tro n g................................ 120

4.4.

Dan nhiệt qua vách tr ụ ................................................................................... 130

4.5.

Dần nhiệt qua vách trụ có nguồn bên tro n g ................................................ 137

4.6.

Dần nhiệt qua thanh có tiết diện không đ ổ i................................................143

4.7.

Dan nhiệt qua cánh có tiết diện thay đồi......................................................149

4.8.

Dan nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đ ơ n ........................................... 154

4.9.

Dan nhiệt qua phần từ tam giác lắp ghép.....................................................158

4.10.

Dần nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đ ơ n .......................................... 173

4.11.

Dan nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp g h ép ................................. 179

4.12.

Bài toán dẫn nhiệt ba chiều..........................................................................190

4.13.

Các bài toán hình khối có trục đối x ứ n g .................................................. 191

4.14.

Tóm tắt c h ư ơ n g .............................................................................................. 194

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .............................................................................................................195
CHƯƠNG 5

DẢN NHIỆT KHÔNG ỐN ĐỊNH

5.1.

Khái n iệ m ......................................................................................................... 199

5.2.

Phương pháp G alerk in ..................................................................................200

5.3.

Phương pháp biến p h â n ............................................................................... 202

5.4.

Rời rạc theo thời g ia n ................................................................................... 204

5.5.

Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp sai phân hữu h ạ n ...................207

5.6.

Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp phần tử hữu h ạ n ....................210

5.7.

Tổng kết m ột số công thức rời rạc theo thời g i a n ...................................214

5.8.

Dan nhiệt không ồn định qua vách p h a n g ............................................... 215

5.9.

Dần nhiệt không ổn định qua th a n h .......................................................... 218

5.10.

Dần nhiệt không ổn định qua vách tr ự ..................................................... 222

5.11.

Dẩn nhiệt không ổn định qua phần tử tam g iá c ....................................... 226

5.12.

Dan nhiệt không ổn định qua phần tử chữ n h ật......................................241

5.13.

Tóm tắt c h ư ơ n g ..............................................................................................259

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ............................................................................................................ 260

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ......................................................................................... 263
TÀI LIÊU THAM KHẢO ...................................................................................................337
ề

6


Chương 1
MỞ ĐẦU

1.1.

KHÁI QUÁT

1.1.1. Vai trò của truyền nhiệt trong kỹ thuật và tự nhiên
Truyền nhiệt là quá trình truyền năng lượng dưới dạng nhiệt giữa các vật thể hoặc giữa
các khu vực khác nhau trong vật thể. Có thể gặp hiện tượng nhiệt ở khắp nơi, từ các việc
trong đời sống hàng ngày như đun nấu, làm mát hay sưởi ấm không khí trong phòng... đến
các hiện tượng trong tự nhiên như nắng, mưa, giông bão đều gắn với các quá trình nhiệt nói
chung và truyền nhiệt nói riêng. Trong hầu hết các quá trình công nghệ, từ hoạt động của
các loại động cơ nhiệt như động cơ đốt trong, động cơ tua bin, động cơ phản lực... đến làm
mát động cơ điện, làm mát các bộ phận của các thiết bị điện tử, luôn có mặt quá trình
truyền nhiệt. Bời vậy, có thể nói hiện tượng nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng có vai
trò rất quan trọng trong đời sống, kỹ thuật và trong tự nhiên.
Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề là làm sao khống chế được nhiệt độ làm việc
cực đại của thiết bị để bảo đàm hoạt động bình thường của thiết bị, hoặc khống chế được độ
chênh nhiệt độ cục bộ trong các khu vực của vật thể đề bảo đảm biến dạng nhiệt cục bộ
trong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hùy vật thể. Điều đó chỉ có thể thực

hiện được khi kiểm soát được quá trình truyền nhiệt của thiết bị và vật thể.

1.1.2. Các phương thức truyền nhiệt, các định luật truyền nhiệt
cơ bản
Nhiệt CÓ thể truyền từ nơi này tới nơi khác theo các phương thức khác nhau. Mỗi
phương thức truyền nhiệt có những đặc điềm và cơ cấu riêng. Có ba phương thức truyền
nhiệt cơ bản là dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, bức xạ nhiệt.

a. Dẩn nhiêt
•

Dan nhiệt xảy ra bên trong vật thề hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi giữa chúng
có sự chênh lệch nhiệt độ. Dần nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động
của các phần tử vi mô cấu tạo nên vật thể. Quá trình dẫn nhiệt có thể xảy ra trong chất rắn,
chất lỏng và cà trong chất khí. Trong kim loại, dẫn nhiệt được thực hiện chủ yếu nhờ quá
trình truyền dao động của các điện tử tự do. Trong chất điện môi, dẫn nhiệt xảy ra nhờ sóng
đàn hồi truyền dao động nhiệt. Trong chất lỏng và chất khí, dẫn nhiệt được thực hiện nhờ
quá trình khuếch tán các phân tử.

7


Lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian được gọi là
mật độ dòng nhiệt, ký hiệu là q (W/m2). Mật độ dòng nhiệt truyền đi do dẫn nhiệt tuân theo
Định luật Fourier:

Trong đó: q là véc tơ mật độ dòng nhiệt; k là hệ số dẫn nhiệt (W/mK); ỔT/Ổn là
gradient nhiệt độ với n là pháp tuyến mặt đẳng nhiệt.
Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. Trị số hệ số dẫn
nhiệt của một số vật liệu điển hình như sau:

Vật liệu

Hệ số dẫn nhiệt (W/mK)

Kim loại
Bạc nguyên chất
Đồng nguyên chất
Nhôm nguyên chắt
Sắt nguyên chất
Hợp kim
Thép không gỉ
Nhôm hợp kim
Phi kim loại
Nhựa
Gỗ
Chất lỏng
Nước
Chất khí
Không khí khô

410
385

200
73
16
168

0,6
0,2

0,6
0,025

b. Toả nhiệt đốỉ lưu
Toả nhiệt đối lưu là phương thức truyền nhiệt xảy ra giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng
hoặc khí, khi giữa chúng có chênh lệch nhiệt độ và tiếp xúc với nhau. Do các phần tử chất
lòng tiếp xúc với bề mặt vật rắn trao đồi nhiệt với bề mặt vật bằng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng
sát bề mặt vật thay đổi nhiệt độ và mật độ làm xuất hiện chuyển động tạo thành dòng đối
lưu, đồng thời mang nhiệt đi. Chuyển động đó được gọi là đối lưu tự nhiên. Chuyền động
của chất lỏng do tác động của các lực cơ học từ bên ngoài như bơm, quạt, khuấy... được
gọi là đối lưu cưỡng bức. Toả nhiệt đối lưu cũng xảy ra rất mạnh trong các quá trình chất
lỏng sôi hay ngưng tụ.
Mật độ dòng nhiệt truyền đi bằng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật Newton Richman:
( 1.2)

q = h.Ợw-T m)

Ở đây, q (W /m 2), là m ật độ dòng nhiệt, h là hệ số to ả nhiệt đối lưu (W /m 2K); T w và Ta
tương ứng là nhiệt độ bề m ặt và nhiệt độ môi trư ờ n g chất lỏng.

8


Trị số hệ số toá nhiệt điển hình trong các chất lỏng như sau:

Chất lỏng

Hệ số toả nhiệt (W/m2K)
15
15-250

Các chất khí (lừng lờ)
Các chất khí (chảy)
Các chât lỏng (lững lờ)
Các chât lỏng (chảy)
Các chất lỏng khi sồi
Các chât lỏng khi ngưng

100
100-200
2000 - 35.000
2000 - 25.000

c. Bức xạ nhiệt
Bức xạ nhiệt là quá trình truyền nhiệt bàng sóng điện từ giữa các vật thể. Mọi vật thể
được cấu tạo bởi các thành phần vi mô mang điện, luôn ờ trạng thái chuyển động nên tạo ra
sóng điện từ, lan truyền trong không gian gọi là bức xạ điện từ. Khi đập vào bề mặt vật thề
khác, một phần bức xạ điện từ bị vật đó hấp thụ biến thành nhiệt. Quá trình truyền năng
lượng nhiệt bằng sóng điện từ đó được gọi là trao đồi nhiệt bức xạ. Mọi vật luôn tồn tại ở
nhiệt độ T > 0K, nên luôn phát ra bức xạ nhiệt và đồng thời cũng hấp thụ các tia bức xạ
nhiệt từ các vật khác chiếu tới, bởi vậy quá trình trao đồi nhiệt bức xạ là quá trình hai chiều,
nhưng vật có nhiệt độ cao hơn năng lượng bị mất đi bởi bức xạ ra sẽ lớn hơn năng lượng
nhận được bởi hấp thụ. Khi các vật có nhiệt độ bằng nhau, quá trình trao đổi nhiệt bức xạ
giữa chúng vẫn xảy ra nhưng ở thế cân bằng động, tức là ở mỗi vật có năng lượng bức xạ ra
bằng năng lượng hấp thụ vào nên năng lượng và nhiệt độ của vật đó không thay đổi.
Năng lượng truyền đi bằng bức xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luật Stefan
Boltzomann:
(1.3)
Ờ đây, Eo là năng suất bức xạ của vật đen, (W/m2); ơo là hằng số Stefan Boltzomann
ơo = 5,669.10'8 (W/m2K4); T là nhiệt độ tuyệt đối (K).

Năng lượng bức xạ từ bề mặt các vật xám nhỏ hơn năng lượng bức xạ từ bề mặt vật
đen, xác định bởi:
(1.4)

Ở đây, E là năng suất bức xạ cùa vật xám, (W/m2); e là hằng số phát xạ của vật xám,
còn gọi là độ đen.
»

Lượng nhiệt trao đổi bằng bức xạ giữa hai bề mặt 1 và 2 được xác định bởi:
Q = FeF(:ơ ( T * - T * )

(1.5)

Fg là yếu tố kể đến bản chất của hai bề mặt, Fg là yếu tố kể đến định hướng hình học
của hai bề mặt bức xạ.

9


1.2.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DÃN NHIỆT VÀ ĐIÊU
KIỆN ĐƠN TRỊ

1.2.1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Đe xác định nhiệt độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ
độ và thời gian, đó chính là phương trình vi phân dẫn nhiệt.
Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ xyz. Phân tố có kích thước
dxdydz, Hình 1.1.
Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng X, y, z sau thời gian dx:

Theo hướng x:
Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất:
dQxỉ = qdydidr

(

1.6)

Lượng nhiệt ra khỏi phân tô qua mặt thứ hai:
(1.7)
Lượng nhiệt phân tô nhận được theo hướng x:

( 1. 8)

dQx =dQxl-d Q x2
Với

q = -k —
' õx

sẽ CÓ:

dO. = — k — dx.dy.dĩ.-dĩ
x a ư * dx)

Hình 1.1. Phân tố thể tích trong tọa độ x,y,z

10

(1.9)

Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân tô nhận được:

ar

dQ = —

( 1. 10)

dx.dy.dz.dT

V
(

clQ. =

dTx

dx.dy.dz.dr

(

1. 11)

õz.

Theo cả ba hướng X, y, z lượng nhiệt phân tố nhận được là:
õ í , ÕT '
k —

dx
õx

dQ = dQX + dQ) + dQz =

N a ' , ar

d '
dy

AC - —

V y ổyy

dx.dy.dz.dr

( 1. 12)

dz

Hệ số dẫn nhiệt trong phưcmg trình trên là một véc tơ. Trong trường hợp tổng quát hệ
số dẫn nhiệt có thể là một ten sơ:
k

k

XX

xy

k xz

k yx

kyy

k)<

k

k zy

k zz

IX

(1.13)

Nếu bên trong vật thể có nguồn sinh nhiệt qv (W/m3), lượng nhiệt do nguồn trong sinh
ra trong phân tố khảo sát sau thời gian áx là:
qv dxdydz.d T

( 1 . 14 )

Lượng nhiệt phân tố nhận do dẫn nhiệt và nguồn nhiệt bên trong sinh ra sau thời gian
dx là:
ÔT_
õx

dT

, ÕT

ôx

Ắ: —

dy

y dy

dz

'z ẽz

+ 4v dxdydzdr

(1.15)

Do nhận lượng nhiệt trên, nội năng phân tố sau thời gian di sẽ thay đổi là:
p.dx.dy.dz.c

p õĩ

(1.16)

dĩ

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì tổng năng lượng phân tố nhận được do dẫn nhiệt
theo ba hướng và do nguồn nhiệt trong sinh ra sẽ bằng biến đổi nội năng của phân tố:

õ_ , ÕT
k —

ôx

x ôx

ỔT
dy K -

+ % - p-c, ẼL
ÔT
dz

õz

(1.17)

Phương trình (1.17) được gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt.
Neu vật liệu là đẳng hướng, nghĩa là hệ số dẫn nhiệt k là không đổi theo các hướng,
phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết thành:
ỒT_

ÔT

=a

f d 2T

ô 2T

õ 2T

dx2

õy2

ôz2 )

qv

(1.18)

crp

11


với

ô2T

ô2T

ô2T

dx2

dy2

ôz2

= v 2r

và

a=

c p

gọi là hệ số khuếch tán nhiệt.

P r

Phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết gọn thành:
(1.19)

— • = ÒW2T + - ^ —
dĩ
c p

Trong trường hợp vật không có nguồn nhiệt bên trong, phương trình vi phân sẽ trờ
thành:

( 1.20)

IỊ = aV>r
dr

Khi nhiệt độ vật không thay đổi theo thời gian, quá trình dẫn nhiệt là ổn định được

biểu thị bởi:
( 1.21)

v 2r = o
Phương trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ là:

Trong đó:

>?
o>
"t 11

^ 1
CD1

d ĩ)
1 d (,Is __

ÕT_
1 d (, 3 ĩ ) J__
d í, ổ r ì
lc __
k — + cỉv = P 'cp
dĩ
r2 d(p ( v d
( 1.22)

- r là bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát;
- cp góc của bán kính r với trục x;

- z độ cao.

Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:
, ÕT
q - - k -—;
r dr

=- kJL^L
r d(p

(1.23)

f ÔT
q - -k —
Trong toạ độ cầu, phương trình vi phân dẫn nhiệt là:
1 a , 2 ÔT
kr —
•2 dr r ôr

, —
ÕT
k'
r2 sin2 6 d(p . ẹ à
1

,r . a dT
ka sinơ——
dỡ
r2 sin 0 dỡ ớ

Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:

+
dT_
dĩ

(1.24)


1.2.2. Điều kiên
• đơn tri•
Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi
bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị bao gồm điều kiện ban đầu và
điều kiện biên giới.
• Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ờ thời điểm ban
đầu. Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định thì
không cần điều kiện ban đầu.
• Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật
thể, gồm có:
- Điều kiện biên loại 1 còn gọi là điều kiện Dirichlet, cho biết quy luật phân bố
nhiệt độ trên bề mặt vật:
T = TW tại S ị

(1.26)

- Điều kiện biên loại 2 còn gọi là điều kiện Neuman, cho biết mật độ dòng nhiệt tại
bề mặt vật:
q = —k ——= c tại

dn

s2

(1.27)

c là giá trị biết trước có thể không đổi, hoặc thay đồi. Neu bề mặt cách
đoạn nhiệt cũng được coi là c = 0.

nhiệt hay

- Điều kiện biên giới loại 3 cho biết quy luật toả nhiệt giữa bề mặt vật và môi
trường chất lỏng bao quanh vật tuân theo phương trình Newton - Richman:
- k — = h (T - T ) trên
Ôn

1.3.

v

°J

s3

(1.28)

ĐIỂM QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT c o BẢN

Đe tìm phân bố nhiệt độ trong vật, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt cùng
với các điều kiện đơn trị. Trong giáo trình truyền nhiệt chương trình đại học đã trình bày

chi tiết cách giải một số bài toán cớ bản, ờ đây chỉ nêu tóm tắt kết quả của chúng.

1.3.1. Dẩn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua các vách mỏng
Khi các vách có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với các kích thước khác, dòng nhiệt
truyền theo hướng bề dày là chính nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng bề dày và chỉ phụ
thuộc vào một chiều. Phương trình vi phân ổn định không có nguồn trong, khi k = const có
dạng:
v 2r = 0

(1.29)

13


1.

Dan nhiệt qua vách phẳng

Vách phẳng dày 5, hệ số dẫn nhiệt k không đồi, biết nhiệt độ hai mặt:
Phương trình vi phân:
f i2T
~

dx

(1 .3 0 )

= 0

điều kiện biên: T = TW1 tại

Sau khi tích phân

X

(1 .3 0 )

=

T = Tw2 tại

0;

X

=

ỏ.

hai lần, thay điều kiện biên

T -T
T = T tỉ— - ....—

ổ

(1 .3 1 )
(1 .3 1 ),

giải ra nghiệm:
(1 .3 2 )

X

Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường thẳng, Hình 1.2.

T

i1

TW
|

Hình 1.2. Phân bố nhiệt độ trong vách phăng

Mật độ dòng nhiệt:
ÕT
c' - k i -

7 \-7 \
s

AT

' - R

,
(1.33)

<w , m >

V
Với: ATW là hiệu nhiệt độ hai mặt vách; R = — gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách
k
phẳng.
Đối vách phẳng có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt là:
(1.34)

9 =4 ^ - (w/m2)
/=1
Với:

n
/=1

nỏ

s

~

,

; và — là nhiệt trở dân nhiệt cùa lớp thứ i trong vách phăng.
/=1 kị
kị

14


2.

Dẩn nhiệt qua vách trụ

Phương trình vi phân:
1 dT
r dr

d~T
dr 2

Điều kiện biên:

^

(1.35)

T = Twi tại r = Yù
T = T w2 tại r = r2

(1.36)

Giải ra nghiệm:
^ 1-xT
r~*t

L Ì
h/
1
K?

II
hi

(1.37)

4
Phân bố nhiệt độ trong vách trụ là đường cong logarít, Hình 1.3.

h---------- 4----------^

Hình 1.3. Phân bố nhiệt độ trong vách trụ
Mật độ dòng nhiệt dài:

Với:

Twlt - Tw2,

AT

1 ln—
27ĩk d.

*

(1.38)

(W/m)

ATWlà hiệu nhiệt độ hai mặt vách trụ
R

* ln— gọi là nhiêt trở dẫn nhiệt của vách trụ
2 7ĩ.k d.

Đối vách trụ có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt dài là:
q l=p

-

p,

(1.39)

(w /m )

/=I

n
n \
d
\
d
Với: y R: = Y —— ln-^d-; và R = — — ln -^ - nhiệt trở dân nhiệt của lóp thứ i trong
t1-1
í
u«-* 2nk.i d. j
' 2nk. i d i
vách trụ.

15

3.

Dấn nhiệt qua vách cầu

Phương trình vi phân:
2 dT
r dr

d 2T
dr

„

(1.40)

Điều kiện biên:
T = TWl tại r = r1;
(1.41)

T = T w2 tại r = r2
Giải ra nghiệm:
\2
7w\ì - 7 w
1 1

(1.42)

r2

Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol.
Dòng nhiệt qua vách cầu:
T . -T

Q=

H'l
V
_______________
h »2

1

ATR

R

(W/m2)

(1.43)

27ĩk dìd2

1.3.2. Dẩn nhiệt ổn định qua thanh và cánh
Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài. Nếu
chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong
trường hợp ngược lại gọi là cánh. Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt
là như nhau.

1.

Thanh có tiết diện không đổi

Thanh thẳng có tiết diện A không đồi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại mặt ngoài thanh có
toà nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, đỉnh thanh cách nhiệt.
Xét vi phân thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện p, diện
tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, Hình 1.4.
Sau khi cân bằng giữa lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại X với lượng nhiệt dẫn ra khỏi
phân tố tại (x+dx) và tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh, sẽ được
phương trình sau:
k A ~ - h P ( T - T ) =0
dx2

(1.44)

16


Đặt (T - Ta) = 0 ; — = Ẹ ; — = m1 và m2L2 = ịi2 khi đó phưcmg trình trên trở thành:
L
kA
d 2e

-t? e =0

(1.45)

de

Cách nhiệt

Hình 1.4. Dần nhiệt một chiều qua thanh
dỡ
Các điều kiện biên: - tại đỉnh thanh: £ = 0 -» — = 0
dẸ
- tại gốc thanh: ị = 1 -» 0 = 0b

(1.46)

Nghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng:
cosh
ớ = ớ.
°

2.

[m{L~x)]

(1.47)

cosh

Thanh có tiết diện thay đổi

Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo X. Gốc thanh X
= 0, nhiệt độ To, đặt trong môi trường nhiệt độ Ta, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h,
thể hiện trên Hình 1.5.

Hình 1.5. Thanh có tiết diện thay đổi

17


Tại X, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh
P(x)dx. Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là:
(1.48)

Q = -kA(x) ---dx

Lượng nhiệt ra khỏi phần tử tại mặt f(x+dx) là:
dT , )
.. . dA{x) , d (
T +— dx
A{x)+
dx
dx {
dx
te
)

Q»dx

(1.49)

Lượng nhiệt toả ra môi trường tại mặt xung quanh phần tử là:
(1.50)

Qh = h P (x )d x (T -T )
Do ổn định nên Q -Q +dx = Qh, dẫn tới phương trình

d
dx

kA(x)

dĩ
dx

h P (x )d x (T -T ) = 0

(1.51)

Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo X mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét
cánh cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X.

3.

Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo

X

Cánh có tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x:
A(x) = 25

r x^
K ỈJ

Thay A(x) vào (1.51) dẫn tới:
d_
dx

2 hh
L

dx

(T -T ) =0

Hình 1.6. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X
T —T

Đặt — = ; và --— = 6 sẽ dẫn tới
' I
T
T0-- T a

18

(1.52)


(1.53)

(1.53)
là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến. Nghiệm của (1.53)
được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1:

(1.54)

Với lo là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn.

1.3.3.
1.

Dẩn nhiêt ổn đinh môt chiều có nguồn nhiêt bên trong
Dẩn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhỉệt bên trong

Xét vách phẳng rất rộng, có bề dày 2L, nhiệt độ tại hai mặt ngoài là TW1 và Tw2. Trong
vách có nguồn nhiệt phân bố đều theo thể tích qv = const (W/m3), Hình 1.8.
Do dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này,
đật là X.
Phương trình vi phân:
(1.55)
Điều kiện biên loại 1:
Tại X = - L, T = Twj;
Tại X = +L, T = Tw2

(1.56)

-L

0

X

Hình 1.8. Phân bố nhiệt độ trong vách phăng có nguồn bên trong

19

Giải (1.55) và (] .56) được nghiệm cùa bài toán:
t

/ \
y '

qv / 2 2\ r . —r ,
( l 2 - X 2 ) ----- uĩ
H2ky
'
2L

(x ) = —

T . +T r,
Hl
2

(1.57)

,Y+

Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường cong bậc hai.

2.

Dấn nhiệt qua vách trụ có nguồn nhiệt bên trong

Phưong trình vi phân:
d 2T

dr2

1 dT
r dr

qx
k

=

0

(1.58)

Khi chỉ toả nhiệt tại mặt ngoài, điều kiện biên:
Tại r = ri,

dT
dr

= 0 (cách nhiệt mặt trong)
r=r 1

T
_
dT
Tại r = r2, - dr

=

(1.59)

2)
7 (v Tw2, - ra2'

Giải (1.58) và (1.59) được nghiệm:
( ^2
r. , r ( r ^
qv -r;
1+
ln-— —
r
4k
r2
\ 2J

">
qv A
2h2

(

1-

r.

\ 2"

+7

(1.60)

Khi ri = 0, vách trụ trở thành thanh đặc đường kính R, phân bố nhiệt độ trong thanh:
T = ^ ( r 2 - r 2) + ^ ^ - + 7 7

(1.61)

Khi chỉ toả nhiệt tại mặt trong, điều kiện biên là:
Tại r = r2,

Tại r = ri,

dĩ
dr

r=r2

dT
dr

r=rỉ

= 0 (cách nhiệt mặt ngoài)

(1.62)

=- —
ị£ Ợ
xM
-l, - T ' )

Giải (1.58) và (1.62) được nghiệm:
7 = 4k

(

„

'\

r .. V
vr2y

+ 4 v ri
2h. T i ;

Khi toả nhiệt cả hai mặt, kết hợp (1.60) và (1.63):
Ở nửa trong vách r = ri H- r0

20

+T

(1.63)


r \2 f
T=

4k

\2

21n —+

vr0 y

vr0 J

V

%T
2/7. \ r\ J

+T

(1.64)

ở nửa ngoài vách r = 1*0 H- r2
0
2
( „ \2
r
'*2
ị
%-r2
+r ,
1+

ln -1- rjL
T=
4k
2A,
r2
l r2 )
l r:J
l r2J

(1.65)

r0 là vị trí cỏ nhiệt độ cực đại trong vách.

1.3.4. Dân nhiêt
hai chiêu
• ôn đinh
•
Trên hình phang chữ nhật ABCD, các cạnh có nhiệt độ không đồi. Cạnh đỉnh AB cỏ
nhiệt độ T2, ba cạnh còn lại có nhiệt độ T ị, Hình 1.9. Khi đó nhiệt độ trong hình chữ nhật
thay đồi theo hai hướng bề rộng (x) và cao (y) của hình.

Hình 1.9. Dan nhiệt hai chiều trong hình chữ nhật phẳng
Phưong trình vi phân
d2T

õ2T

dx2

dy2

Bằng cách đổi ỡ =

=0
T-Tx
T2 - T i

( 1. 66)

sẽ đưa (1.66) về dạng:

ố-e d2e n
—7 + — 7 = 0
ôx2 dy2

(1.67)

Và điều kiện biên: - Tại x = 0 :x = õ, 0 = 0; y = 0, 0 = 0
( 1.68)

- Tại X = h, 9 = 1

(1.67) được giải bằng phương pháp tách biến, coi 0(x,y) là tích của hai hàm có biến
độc lập nhau:
(1.69)

0(x,y) = cp(xK(y)

21

Sau khi lấy đạo hàm hai lần (1.69) theo X và y, thay vào (1.67) sẽ tách được hai
phương trình vi phân thường. Sau đó kết hợp với các điều kiện biên (1.68), áp dụng tính
chất của hàm trực giao đối với nghiệm ờ dạng chuỗi số sẽ giải ra được:

ớ(*,y) =

Ỷ 2 W 2 +1
„=> ĩĩ

r nn

.A.

>

n

' nn
x -y
Kỗ J
(
\
nn .
sinh ——.h

sinh

(1.70)

1.3.5. Dẩn nhiêt không ổn đinh môt chiều
1.

Bài toán đối với hệ quy tụ

Nếu một vật có hệ số tỏa nhiệt tại mặt ngoài rất nhỏ so với dẫn nhiệt ờ bên bên trong
vật, thì nhiệt độ tại các điểm bên trong vật được coi là bằng nhau và cùng giảm tới nhiệt độ
môi trường. Khi đó nhiệt độ của vật chỉ là hàm của thời gian T = f(x), và toàn bộ vật thể
được quy về một điểm để tính toán nhiệt độ. Phương pháp tính đó được gọi là phương pháp
quy tụ.
- Lượng nhiệt vật mất đi do toả nhiệt vào môi trường sau thời gian dx là: hF(T - Ta)dx
- Nội năng vật giảm đi do mất nhiệt là: - cpVdT
Trong đó, dx là thời gian, h là hệ số toả nhiệt tại bề mặt ngoài vật, F là diện tích mặt
ngoài vật, T và Ta tương ứng là nhiệt độ của vật và nhiệt độ môi trường, c nhiệt dung riêng
của vật (J/kg°C), p khối lượng riêng của vật, V thể tích vật, dT độ giảm nhiệt độ của vật sau
thời gian dx.
Do lượng nhiệt vật mất đi bằng độ giảm nội năng nên rút ra:

T-T

(1.71)

cpV

Giải ra:
h
T = Ta +ÍTnT
\
.
e

"
cp-L'r
V 0
a)

(1.72)

Với To là nhiệt độ ban đầu của vật. Đẻ áp dụng (1.72) yêu cầu hệ thoả mãn tiêu chuẩn
Biot:
Bi = — <0,1
k

2.

(1.73)

Làm nguội tấm phẳng rộng vô hạn

Tấm phăng dày 25 (m), rộng vô hạn, hệ số dẫn nhiệt k (W/m°C), nhiệt độ ban đầu T0
(°C), đặt trong môi trường nhiệt độ Ta (°C), hệ số toả nhiệt tại bề mặt h (W/m2 °C). Khi đó,

22


nhiệt độ trong tâm là hàm của toạ độ X và thời gian x: T = f(x,x).
Phưcmg trình vi phân:
ÕT _
dr ~

d2T

dx2

(1.74)

Đặt 0 = T - Ta, khi đó (1.74) trở thành:
ÕO
Õ2Ỡ
d r ~ a dx2

(1.75)

Điều kiện ban đầu: khi X= 0, 9 = To - Ta = 00
Điều kiện biên:
■ Tại 2 mặt: X = ± 5,

Tai tâm tấm: X = 0,
(1.75)

dỡ

dx

X=±Ỗ

a.d
~T

(1.76)

——

dx x=0

là phương trình vi phân đạo hàm riêng, để giải, dùng phương pháp tách biến, coi

9(x,x) là tích của hai hàm của từng biến riêng cp(x) và Iị/(x) sẽ dẫn tới hai phương trình vi
phân thường. Áp dụng các điều kiện biên và ban đầu và tính chất của hàm trực giao sẽ dẫn
tới nghiệm là chuỗi vô hạn:
6 (x , t ) = ỹ ,

/1=1

r X\
20,,0 sin rLin
cos Gn
exp
+ sin Ịj,n cos Ịj.n
~ụ " l r

(1.77)

Trong đó: Pn = kỗ ; k =1, 2, 3...; Pn là nghiệm của phương trình đặc trưng:
ỊẦ

_.

hô

(1.78)

cot gụ = — và Bi = —

Bi

3.

k

Dẩn nhiệt không ổn định của vật có bề dày vô hạn một phía

Vật dày vô hạn một phía là những vật có một mặt xác địnhđủ rộng và bề dày
là hết
sức lớn như nền đất... Trong trường hợp này quátrình truyềnnhiệt là không ổn định và
nhiệt chỉ dẫn theo một chiều bề dày của vật. Nghiệm phải tìm của bài toán là: T = f(x,x).
Phương trình vi phân:
— =a—
ỎT
Õx2

(1.79)

- Điều kiện ban đầu: X = 0, T(x,0) = To
- Điều kiện biên: tại X = 0, T(0, x) = Tw
Dùng phương pháp đổi biến kép rj = —f= = , chuyển phương trình vi phân đạo hàm
v 4 CIT

23


riêng (1.79) thành phương trình vi phân thường:
d2T
„ dT

— ~ = -2ì].—
dĩ]
dĩ]

(1.80)

Từ đó giải ra
nn)-Tm

(1.81)

T0 - T m
Trong đó, erfr) được gọi là hàm sai số Gauss được lập sẵn giá trị thành bảng.
Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thức Fourier:
MTm- T 0)

-XẼỊ.
õx

4.

X=Q

(1.82)

V TT.ar

Dẩn nhiệt của vật dày vô hạn có nhiệt độ bề mặt thay đổi tuần hoàn

Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đồi theo hàm tuần hoàn, quá trình truyền nhiệt trong vật

là tựa ồn định được biểu thị bởi phương trình vi phân:
dT
d 2T
-— = CI— —
dr
õx

(1.83)

Điều kiện biên giới:
Tw = Tw + ATw cos(íyr)
\
/
Với T

(1.84)

là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, ATWlà biên độ dao động của nhiệt độ tại bề

mặt; co là tần số dao động; 0) = — , To là chu kỳ dao động.
r0
Để giải (1.83) với điều kiện (1.84), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị
trung bình T

như sau:
7’( x ,r ) = 7;v + A r ( x , r )

(1.85)

Trong đó, AT(x,t) được coi là tích của hai hàm có biến độc lập:

A T ( x , t ) = ụ/(x).
với

cp(x) = exp(-jcox)

(1.86)

Sau khi thay (1.86) vào (1.85), lấy đạo hàm theo thời gian T và theo toạ độ X, rồi thay
vào (1.83) sẽ dẫn tới phương trình thuần nhất cấp hai:
^

dx

+Ì^ V (* ) = 0
a

(1.87)

x '

24


Giải ra nhiệt độ:

/
= Tw + AT exp

1

(1.88)

là một hàm dao động chu kỳ có biên độ giảm dần theo tọa độ X.

1.4.

CÁC KHÓ KHĂN CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

Phương pháp giải tích là phương pháp hết sức quan trọng đã giải được nhiều bài toán
cơ bản trong truyền nhiệt và cho nghiệm chính xác. Đó là các trường hợp vật thể có dạng
các hình khối đơn giản như hình phẳng, khối chữ nhật, hình trụ hay hình cầu...với trường
hợp các bài toán có điều kiện biên giới và điều kiện thời gian là hằng số hoặc biến đồi theo
quy luật đơn giàn.
Trong thực tế có thể gặp các bài toán trên vật thề có hình dáng phức tạp, hoặc điều
kiện thời gian và điều kiện biên giới thay đồi, khi đó giải bằng phương pháp giải tích sẽ rất
khỏ khăn và nhiều trường hợp không thể giải được. Bởi vậy đề đáp ứng yêu cầu tính nhiệt
trong các trường hợp thực tế như trên cần có phương pháp gần đúng.

1.5.

TÓM TÁT CHƯƠNG

Chương này đã trình bày khái quát về truyền nhiệt nói chung và tóm tát các kết quả
chủ yếu giải bài toán dẫn nhiệt chủ yếu bằng phương pháp giải tích. Có thể thấy đối với bài
toán hai chiều, phương pháp giải tích chỉ đề cập đến bài toán ồn định trên vật thể có hình
dáng đơn giản, với điều kiện biên khiên cưỡng. Trong thực tể thường gặp các vật có hình
thể và điều kiện biên phức tạp, phương pháp giải tích sẽ không giải quyết được, bởi thế nhu
cầu phương pháp tính gần đúng là hết sức cần thiết. Các phương pháp gần đúng trong tính
nhiệt thường dùng là phương pháp Sai phân hữu hạn, phương pháp Thể tích hữu hạn và

phương pháp Phần tử hữu hạn. Phương pháp Sai phân hCru hạn đã được trình bày trong giáo
trình đại học, nên ở đây không đề cập đến mà đi vào phương pháp Phần tử hữu hạn.

25


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN

2.1.

GIỚI THIỆU KHÁI QUÁT

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ số để xác định nghiệm xấp xỉ
đối với một lớp rất rộng các bài toán kỹ thuật. Phương pháp PTHH có tính đa dạng và mềm
dẻo cao, nên được áp dụng đề nhận được nghiệm xấp xỉ dạng số cho các bài toán phức tạp
mà những bài toán này rất khó giải hoặc không thề giải được bằng phương pháp giải tích.

2.1.1. Khái quát về các phương pháp gần đúng giải bài toán
dẫn nhiêt
Do yêu cầu giải quyết các bài toán thực tế, nhiều năm qua đã có nhiều phương pháp số
phát triển. Phương pháp phổ biến nhất được sử dụng trong kỹ thuật tính nhiệt là các phương
pháp Sai phân hữu hạn, Thể tích hữu hạn và Phần tử hữu hạn... ngoài ra còn có phương
pháp Phần tử biên giới.
- Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn
định. Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các vi phân riêng thành
các số gia, khi đó đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số
gia tương ứng. Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để tạo thành
một mạng lưới chia miền nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút, rồi xác
định nhiệt độ của phần tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền. Như vậy

phương pháp SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương
trình đại số. Kết quả thiết lập được hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng
với n nút cần tim giá trị nhiệt độ. Mức độ chính xác cùa nghiệm trong phương pháp SPHH
có thể được cải thiện nhờ việc tăng số điểm nút. Phương pháp SPHH rất hữu hiệu trong
việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Bởi
vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ
cho chương trình đại học (Incropera 1996, Holman 1997...). Tuy nhiên, khi gặp phải vật thề
cỏ hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH cũng có
thể khó sử dụng.
- Phương pháp thể tích hữu hạn (TTHH) có tinh tế hơn phương pháp SPHH và trở nên
phổ biến trong kỹ thuật tính nhiệt và động học dòng chảy (Patankar 1980). Trong tính
nhiệt, phương pháp TTHH dựa trên cơ sở cân bằng năng lượng của phân tố thể tích. Kỹ
thuật thể tích hữu hạn tập trung vào điểm giữa phân tố thể tích rất tương tự với phương
pháp SPHH (Malan et al 2002).

26