de thi hsg toan 8 moi GL

TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015 - 2016
MƠN TỐN 8
Thời gian làm bài 120 phút
Đề gồm 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm).
2
2
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = ( x + x + 1) ( x + x + 2 ) − 12
b) Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức:
A=

a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:

x − 26 x − 30 x − 8
+
+
=4
1990 1986 1004

b) Cho x, y thỏa mãn: x > y > 0 và x2 + 3y2 = 4xy.
2x + 5 y
Tính giá trị biểu thức A =
x − 2y
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 xy 2 + 2 x + 3 y 2 = 4
b) Tìm hằng số a sao cho đa thức ax 5 + 5x 4 − 9 chia hết cho đa thức x − 1 .
Câu 4 (3,0 điểm).
µ = 2C
µ ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC.
Cho tam giác ABC có B
Qua A kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường
vng góc với BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng:
a) ∆ABM là tam giác cân.
b) AC2 = AB.AD
c) MA.KN = MN.KA.
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A =

4x + 3
x2 + 1

--------Hết--------


TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu

Ý

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN TOÁN 8
(Gồm 04 trang)

Nội dung
Đặt x 2 + x + 1 = y
2
Khi đó: M = y ( y + 1) − 12 = y + y − 12

1

a

= y 2 + 4 y − 3 y − 12
= ( y + 4 ) ( y − 3)

⇒ M = ( x 2 + x + 1 + 4 ) ( x 2 + x + 1 − 3) = ( x 2 + x + 5 ) ( x 2 + x − 2 )
⇒ M = ( x 2 + x + 5 ) ( x + 2 ) ( x − 1)
A=

Biểu
điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

0,25đ

0,25đ
b

0,25đ

0,25đ


x − 26 x − 30 x − 8
+
+
=4
1990 1986 1004
 x − 26   x − 30   x − 8

⇔
− 1 ÷+ 
− 1 ÷+ 
− 2 ÷= 0

 1990
  1986
  1004


2

a

b

1
1 
 1
⇔ ( x − 2016 ) 
+
+
÷= 0
 1990 1986 1004
1
1
1


x = 2016 vì
+
+
0ữ
1990 1986 1004

Vy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2016
Có x2+3y2 = 4xy ⇔ x2- 4xy+3y2= 0
⇔ x2- xy-3xy +3y2= 0
⇔ x(x-y)-3y(x-y)=0
⇔ (x-y)(x-3y)=0
⇔ x-y=0 ⇔ x=y (loại vì x>y)
hoặc x-3y=0 ⇔ x=3y
2x + 5 y

2.3 y + 5 y

11y

Có x − 2 y = 3 y − 2 y = y = 11 (Do y>0)
2 xy 2 + 2 x + 3 y 2 = 4 ⇔ ( y 2 + 1)(2 x + 3) = 7

Vì y 2 + 1 ≥ 1 với mọi y. Ta có:
3

a

 y2 +1 = 1
y = 0
⇔
TH1: 
x = 2
2 x + 3 = 7
 y2 +1 = 7
 y = ± 6 (Loại v ì y là số nguyê n )

TH2:
2 x + 3 = 1  x = −1
Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm là ( x; y ) = (2;0)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Để đa thức ax 5 + 5x 4 − 9 chia hết cho đa thức x − 1 thì tồn tại đa thức

b
4

5
4
Q(x) sao cho ax + 5x − 9 = ( x − 1) .Q ( x ) (*)

Thay x = 1 vào (*) ⇒ a + 5 − 9 = 0
⇔a=4

0,5đ
0,5đ

a
0,25đ


µ1+D
µ = 900 , M
µ 2 +C
µ 2 = 900 (1)
A
BD = BC ⇒ ∆BCD cân tại B
µ =C
µ 2 (2)
⇒D
µ1=M
µ2
Từ (1), (2) ⇒ A
µ1=M
µ 2 (2 góc đối đỉnh)
M
µ1=M
µ 1 ⇒ ∆ABM cân tại B
⇒A

b

S

µ =C
µ 2 (Theo (2)), B
µ1 =D
µ +C
µ2⇒B
µ 1 = 2D
µ
D
µ 1 = 2C
µ 1 (GT)
B
µ1 =D
µ
⇒C
Xét ∆ABC và ∆ACD có:
·
µ1 =D
µ
là góc chung, C
BAC
∆ABC ∆ACD (g.g)
AB AC
⇒
=
⇒ AC2 = AB.AD
AC AD

c

5

µ 1 = D,
µ C
µ2 =D
µ ⇒C
µ1 =C
µ 2 ⇒ CM là đường phân giác của ∆ACN
C
AM CA
⇒
=
(3)
MN CN
Chứng minh được CK là tia phân giác của góc ngồi tại C của ∆ACN
AK CA
⇒
=
(4)
KN CN
MA KA
=
⇒ MA.KN = KA.MN
Từ (3), (4) ⇒
MN KN
x2
Xét biểu thức A = 2
x − 5x + 7

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

+) Tìm GTNN :

2

5 3

Vì x − 5 x + 7 =  x − ÷ + > 0 ∀x
2 4

2
Mà x ≥ 0 ∀x nên A ≥ 0
2

Vậy Min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
+) Tìm GTLN :
Ta có

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ


28 ( x 2 − 5 x + 7 ) − 25 x 2 + 140 x − 196
3x 2
3. A = 2
=
x − 5x + 7
x2 − 5x + 7
28 ( x 2 − 5 x + 7 ) − (5 x − 14) 2
3A =
x2 − 5x + 7
(5 x − 14) 2
3 A = 28 − 2
≤ 28 ( v× (5 x − 14) 2 ≥ 0 )
x − 5x + 7
28
⇒ A≤
3
28
14
⇔x=
Vậy Max A =
3
5

* Ghi chú : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa