Đề thi HSG toàn quốc mới 2010

ĐỀ THI QUỐC GIA LỚP 12
MÔN : TOÁN
(Đề thi đề nghị)
Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R
1
) và (O,R
2
) có R
1
>R
2
. Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D
nằm trên đường tròn (O,R
1
) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm
trên đường tron (O,R
2
). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD
và BC .
Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và
thoả mãn hệ thức :
f(y – f(x)) = f(x
2002
- y) – 2001y.f(x)
với mọi số thực x, y.
Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X
thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt :
m =
||
)(

T
Xm
∑

ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T .
Hãy tính giá trị của m.
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
-----------------------------
GV. NGUYỄN VĂN XÊ
TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT – TP ĐÀ NẴNG