SKKN phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
Đề tài:

phơng trình vô tỷ

Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9
Giải phơng trình vô tỷ

Nhận thức cũ- Giải pháp cũ:
Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chơng trình
đại số 9 ,phơng trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phơng trình có chứa
căn tơng đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc
sai lầm khi giải .. Có những phơng trình không thể giải bằng các phơng pháp quen
thuộc. Khi gặp phơng trình vô tỷ , học sinh thờng chỉ quen một phơng pháp là
nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhng trong quá trình giải sẽ thờng mắc
phải một số sai lầm trong phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì vậy dẫn đến
thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phơng trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn
đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa về phơng trình bậc nhất,
bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra
lời giải .
B. Nhận thức mới giải pháp mới
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phơng trình vô tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hớng dẫn
học sinh đặt đề toán tơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân
dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t duy cho học sinh thì sẽ tạo

nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả
giáo dục .
A.

II. Giải pháp mới:
A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức
mở rộng .
1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ
thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
2. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức .
3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.
Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

1


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

4. Cách giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ
phơng trình.
5. Bổ sung các kiến thức để giải các phơng trình đơn giản:
*

A 0

A = B B 0
A = B2

A 0
A = B

* A= B

* A+ B =0 A=B=0
B. Cung cấp cho học sinh các phơng pháp thờng dùng để giải phơng ttrình vô
tỷ .
Phơng pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phơng
trình( thờng dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phơng trình
x 1 5 x 1 = 3x 2

(1)

+ ở phơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế nh vậy và bình phơng hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần
phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh
tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )
Vì vậy khi bình phơng hai vế đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình ban
đầu khi hai vế cùng dấu.
ở phơng trình (1), VP 0 , nhng vế trái cha chắc đã 0 vì vậy ta nên chuyển vế
đa về phơng trình có 2 vế cùng 0.
(1)

x 1 = 5 x 1 + 3x 2

Đến đây học sinh có thể bình phơng hai vế:

x 1 = 5x 1 + 3x 2
2 7 x = 2 15 x 2 13 x + 2

(*)

Ta lại gặp phơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay cha.
4 14 x + 49 x 2 = 4(15 x 2 13x + 2)

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

2


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

11x 24 x + 4 = 0
2

(11x 2)( x 2) = 0
2

x=
2


11 Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm : x1 = ; x 2 = 2

11
x = 2

Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
+ Khi giải cha chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải
không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x 1 vì vậy x1 =

2
không phải là
11

nghiệm của (1)
+ Khi bình phơng hai vế của phơng trình (*) cần có điều kiện 2 7 x 0 x
vậy

2
7

x 2 = 2 không là nghiệm của (1)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra
cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích .
C1: Sau khi tìm đợc x =

2
và x = 2 thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
11

nghiệm.

( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phơng trình đã cho là tơng đối phức
tạp )

x 1

1

x x 1
5

3

x 2

C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)
Sau khi giải đến (*) khi bình phơng hai vế đặt thêm điều kiện x

2
vậy x thoả
7

2

x
mãn : 7 nên phơng trình (1)vô nghiệm
x 1

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

3

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phơng trình .
Điều kiện của (1) : x 1 do đó x < 5 x x 1 < 5 x 1 x 1 < 5 x 1
Vế trái <0. VP 0 nên phơng trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tơng tự cho học sinh trình bày lời giải.
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
a)

b) x 2 x + 1 = 2 x 1 x + 3

4 x + 1 3x + 4 = x 2

Ví dụ 2: Giải phơng trình :
3

(2)

x +1 + 3 7 x = 2

ở phơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phơng hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:

2 n +1

A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện

x + 1 0

7 x 0

+ ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu
của hai vế.
Giải:+ Lập phơng hai vế

(

)

(

2

x + 1 + 7 x + 3 3 x + 1 .3 7 x + 3 x + 1. 3 7 x

)

2

=8

(**)

Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phơng hai vế, vế trái nhìn rất

phức tạp, giáo viên hớng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :

(

)

x + 1 + 7 x + 33 ( x + 1)(7 x ) . 3 x + 1 + 3 7 x = 8 (I)

(đến đây thay

3

x + 1 + 3 7 x = 2 vào phơng trình) ta đợc:

8 + 33 ( x + 1)(7 x ) .2 = 8 ( x + 1)(7 x) = 0

( II)

Giải ra: x1 = 1; x 2 = 7 ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2
nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm

x1 = 1; x 2 = 7

+ ở phơng trình (2) ngoài việc lập phơng hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một
cách linh hoạt để đa phơng trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng , vì nó chỉ
tơng đơng khi x thoả mãn :

3

x + 1 + 3 7 x = 2 . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II)

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

4


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

vào phơng trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại
lai.
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình :
a) 3 x + 1 + 3 x 1 = 3 5 x
b)

3

2x + 1 + 3 3 2x = 4

c) 3 2 x 1 + 3 2 x + 1 = 3 10 x ( Đề thi vào toán tin -2000)
Phơng pháp 2: Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị
tuỵêt đối.
Phơng pháp này là: Khi gặp phơng trình mà biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :
A 2 = A để làm mất dấu căn đa về phơng trình đơn giản

Ví dụ: Giải phơng trình :
2 x 2 + 2 2 x 3 + 2 x + 13 + 8 2 x 3 = 5

(3)

Nhận xét: + ở phơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc
hai nên có thể bình phơng hai vế. Nhng ở phơng trình này sau khi bình phơng (lần
1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp.
+ biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu thức .
3
2

Giải : ĐK: 2 x 3 0 x ;

2 x 2 + 2 2 x 3 + 2 x + 13 + 8 2 x 3 = 5

(2 x 3) + 2 2 x 3 + 1 + ( 2 x 3) 2 2 x 3.4 + 16 = 5


(

)



2x 3 + 1 +

2

2x 3 + 1 +

(

2x 3 4

)

2

=5

2 x 3 4 = 5; (* * *)

C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trớc khi phá dấu A thì
cần xét dấu của A

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

5


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Nhận xét: 2 x 3 + 1 > 0 vậy chỉ xét dấu 2 x 3 4
2 x 3 16
19

2x 3 4 0
x
3
2
x 2

Nếu

Thì 2 x 3 + 1 + 2 x 3 4 = 5 2 2 x 3 = 8 2 x 3 = 4
Giải ra x =

9
(Không thoả mãn điều kiện)
2

+ Nếu 2 x 3 < 4
Thì

3
19
x
2
2

2 x 3 + 1 2 x 3 + 4 = 5 0 x = 0 vô số nghiệm x thoả mãn
3
19
x
2
2

Kết luận:
C2:

3
19
x
2
2

( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .

A + B A + B . dấu = xảy ra khi và chỉ khi A.B 0)

Giải: (***)
2x 3 + 1 +


2x 3 4 = 5

2x 3 + 1 + 4 2x 3 = 5

Ta có:

2x 3 + 1 + 4 2x 3

Vậy:

2 x 3 + 1 + 4 2 x 3 = 5 Khi
4 2 x 3 0

3
x
2


2x 3 + 1 + 4 2x 3 = 5

Giải ra:

(

)(

)

2x 3 + 1 4 2x 3 0

3
19
x
2
2

Bài tập tơng tự: Giải phơng trình
a) x + 2 4 x 2 + x + 7 6 x 2 = 1
b)

x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2 (Nhân 2 vế với

2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng

đẳng thức)
Phơng pháp 3: Đặt ẩn phụ:
Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

6


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Phơng pháp đặt ẩn phụ là phơng pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phơng pháp này có
thể dùng để giải đợc rất nhiều phơng trình
ở phơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đa về dạng phơng trình vô tỷ đơn giản
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ
+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiều ẩn phụ
A) Cách đặt 1 ẩn phụ :
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đa phơng trình về phơng trình có một ẩn là ẩn phụ
đã đặt .Giải phơng trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.

VD1:Giải phơng trình:
2 x 2 +6x+12+ x 2 + 3x + 2 =9 (4)
-Nhận xét:+ ở phơng trình này nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về một phơng trình bậc
4 mà việc tìm nghiệm là rất khó
+ Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :

2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8
Hớng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= x 2 + 3x + 2
+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 0 có thể giải đợc nhng với những bài
toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có
thoả mãn ĐK hay không
x 2

Giải: ĐK: x2+3x + 2 0 ( x+1) (x+2) 0
x 1
Đặt : x 2 + 3x + 2 =y 0
PT (4) 2y2+y+8=9
2y2+y -1=0
Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại)
Thay vào: x 2 + 3x + 2 =1/2 x2+3x+2=1/4
Giải ra:x1= 3 + 2 ; x2=
2

3 2
2

Đối chiếu với ĐK: x= 3 + 2 thoả mãn là nghiệm của PT (4)
2

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

7


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

VD2: Giải phơng trình:
2 x x 2 + 6 x 2 12 x + 7 = 0

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
Hớng dẫn : ĐK : 6 x 2 12 x + 7 0; x
Ta biến đổi để thấy đợc mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phơng trình:
2 x x 2 + 6( x 2 2 x ) + 7 = 0

Đặt : x 2 2 x = a
Ta có phơng trình:

6a + 7 = a (I)

Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phơng trình:
( 1 + x 1)( 1 x + 1) = 2 x

HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt :

1+ x = u ;

Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phơng trình để đa về phơng trình ẩn
u.
Giải: ĐK : -1 x 1 ;
C1: Đặt:
1+ x = u
(0 u 2 )

x = u2 1
(5) (u 1)( 2 u 2 + 1) = 2(u 2 1) (u 1)[ ( 2 u 2 + 1) 2(u + 1)

]

u 1 = 0

2
2 u + 1 2(u + 1) = 0

+ Nếu : u 1 = 0 u = 1( thoả mãn) x + 1 = 1 x = 0 (Thoả mãn ĐK)
2 u 2 + 1 = 2(u + 1)
2u + 1 0

5u 2 + 4u 1 = 0
2
2
2 u = ( 2u + 1)
2

Giải ra: u1 = 1( loại); u 2 = 1 x = 1 1 = 24 thoả mãn điều kiện
5

5

25

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

8

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Vậy x = 0; x =

24
là nghiệm của (5)
25

c2:ở bài này có thể đặt : 1 x = a; 1 + x = b ;
Đa về hệ phơng trình:
(a 1)(b + 1) = a 2 b 2
2
a + b 2 = 2

C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giã
ẩn chính và ẩn phụ.
VD3: Giải phơng trình: 2 x 2 = 2 x (6)
Nhận xét:- Nếu bình phơng hai vế đa về phơng trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhng cha đa đợc về phơng trình chỉ chứa một ẩn. -Hãy
tìm cách đa về một hệ phơng trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ
giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ a về phơng trình đơn giản.
2 x 0

Giải: ĐK:

2
2 x 0

2 x 2 = y

Đặt: y = 2 x x = 2 y 2 ;Ta có hệ:

2 y 2 = x

Đây là hệ phơng trình đối xứng
( y x)( y + x 1) = 0
x = y

1 x = y

+ Nếu x=y ta có phơng trình: 2 x = x giải ra x = 1 (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu1-x=y ta có phơng trình: 2 x = 1 x giải ra: x = 1 5 ( Thoả mãn điều kiện)
2

Vậy phơng trình (6) có 2 nghiệm x1 = 1; x 2 = 1 5
2

VD4: Giải phơng trình:
x 2 + x + 2006 = 2006

Cách 1: Đặt x + 2006 = y ta có hệ phơng trình

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

9

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

x + 2006 = x
x = y


x = y 1

x + 2006 = x + 1

x + 2006 = y
giải ra
2
x + y = 2006
2

từ đó sử dụng phơng pháp 1 để giải tiếp.
Chú ý : Cách này thờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đa đợc về hệ phơng
trình đối xứng.
Cách 2: Đa 2 vế về cùng bậc:
x2 + x +

1
1
= x + 2006 x + 2006 +

4
4
2

1

x +
2

1

x
+
=

2

x + 1 =

2

1

= x + 2006
2

1
x + 2006
2
1

x + 2006
2

2

Đến đây tiếp tục giải theo phơng pháp 1
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
x + 1 = 2 y
a) x 3 + 1 = 23 2 x 1 ; HD: Đặt ẩn phụ y = 3 2 x 1 ta có hệ : 3
3

y + 1 = 2 x

b) 2 x 2 + 2 x + 1 = 4 x + 1 ; HD : Đặt ẩn phụ y = x 2 + x
c) 4 x 2 + 6 x + 7 + 2 x 2 + 3x + 9 = 15
B) Đặt 2 ẩn phụ:
ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đa về hệ phơng trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của
ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đa về phơng trình
đơn giản.
VD1: Giải phơng trình: 3 2 x + x 1 = 1 (7)
Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất
dấu căn là rất khó.
+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2 x + x 1 = 1 (hằng số)
+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đa về hệ 2 phơng trình không chứa căn và giải.
Giải: ĐK: x 1 Đặt:

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

10

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

3

2 x = u; x 1 = v

Ta có hệ phơng trình:
u + v = 1
3
3
u + v = 1

giải ra u1 = 0; u 2 = 1; u 3 = 2

Từ đó: x1 = 1; x 2 = 2; x3 = 10 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy phơng trình (7) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = 2; x3 = 10
VD2: Giải phơng trình:
3

x 2 + x +1 = 3

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
a + b = 3

HD: Đặt 3 x 2 = a; x + 1 = b ; Ta có hệ:

3
2
a b = 3

Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng quát: Đối với phơng trình có dạng:
n

a f ( x) + m b f ( x) = c

Ta thờng đặt: u = n a f ( x) ; v = m b + f ( x) Khi đó ta đợc hệ phơng trình:
u + v = c
hoặc
n
m
u + v = a + b

u + v = c
n
m
u v = a b

Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD3: Giải phơng trình:
3

( 3x + 1) 2

(

)

+ 3 ( 3x 1) + 3 9 x 2 1 = 0
2

(9)

Nhận xét: Nếu lập phơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đa đợc về dạng a.b=0
nh ở phơng trình (2)
9 x 2 1 = (3 x + 1)(3 x 1) . Nên có thể đặt 2 ẩn phụ

Giải: Đặt u = 3 3x + 1

v = 3 3x 1

u 2 + v 2 + uv = 1
(9) trở thành: 3 3
u + v = 2

u = 1
v = 1

Giải ra:

vậy ta có:

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

11

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

3x + 1 = 1
x = 0 Vậy (9) có nghiệm x=0
3
3x 1 = 1
3

Bài tập tơng tự: Giải phơng trình :
a)

3

1
1
+x+
x =1
2
2

b)

3

x + a 3 x +b =1

Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhng không đa đợc về hệ PT thì ta
có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đa về phơng
trình đơn giản. Nh các VD sau:
VD4: Giải phơng trình:
(10)

2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1

Nhận xét: Nếu bình phơng hai vế của phơng trình sẽ đa về phơng trình bậc 4 rất khó
giải:
Hớng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ?
có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1
x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: a = x + 1; b = x 2 x + 1 và tìm mối quan hệ a, b từ đó
tìm x
Giải:
ĐK : x 1
2( x 2 + 1) = 5 ( x + 1)( x 2 x + 1)

Đặt a = x + 1; b = x 2 x + 1
Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Phơng trình đã cho trở thành:
2(a 2 + b 2 ) = 5ab
a = 2b
(2a b)(a 2b) = 0
b = 2a

* Với a= 2b ta có:

x +1 = 2 x2 x +1

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

12


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

x 5x 3 = 0
2


5 + 37
x1 =
2
( Thoả mãn điều kiện)


5 37
x2 =
2


+ Với b=2a Ta có: x 2 x + 1 = 2 x + 1 . Từ đó giải ra tìm x
( ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng .
Vì vậy trớc khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phơng pháp giải phù hợp).

VD5:Giải phơng trình:
2(3 x + 5) x 2 + 9 = 3x 2 + 2 x + 30

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:

[ 3( 2 x + 3) + 1]

x 2 + 9 = 3( x 2 + 9) + 2 x + 3

Đặt: 2 x + 3 = a; x 2 + 9 = b ;
Ta có PT: (3a + 1)b = a + 3b 2 (3b 1)(b a) = 0
1
2
b = a
x +9 =

3
Giải ra: 1
; Giải ra: x=0
b =
2
2 x + 3 = x + 9
3


VD5: Giải phơng trình: 5 2 x 3 + 16 = 2( x 2 + 8);
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi

5 2( x + 2)( x 2 2 x + 4) = 2( x 2 + 8)

Mối liên hệ: x 2 + 8 = ( x 2 2 x + 4) + (2 x + 4) ;
Đặt:

2( x + 2) = a; x 2 2 x + 4 = b

Ta có phơng trình: 5ab = 2(a 2 + b 2 ) (2a b)(a 2b) = 0
Từ đó tìm a,b, và tìm đợc x
BT Tơng tự: Giải phơng trình
Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

13


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

a) 2( x 3x + 2) = 3 x + 8
2

3

b) 2 x + 3 + x + 1 = 3x + 3 2 x 2 + 5 x + 3 16
Hớng dẫn:Nhận xét: (2 x + 3)( x + 1) = 2 x 3 + 5 x + 3
Đặt :

u = 2 x + 3 0; v = x + 1 0

u 2 + v 2 = 3x + 4 3x 2 = u 2 + v 2 4

Nên ta có phơng trình: u + v = u 2 + v 2 20 + 2uv (u + v) 2 (u + v) 20 = 0
Đặt: u+v=t. Ta có phơng trình: t2-t-20=0
t = 5

Giải ra:
Do đó:
t = 4(loai )

2x + 3 + x + 1 = 5

Đến đây dùng phơng pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:
VD1: Giải phơng trình:

2 x 2 1 + x 2 3x 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 x + 2

Nhận xét: + Phơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phơng pháp bình phơng
2 vế thì sẽ đa về một phơng trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phơng
trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
(2 x 2 1) ( x 2 3 x 2) = ( 2 x 2 + 2 x + 3) ( x 2 x + 2)

Nên có thể nghĩ đến phơng pháp đặt ẩn phụ :
Giải: Đặt 2 x 2 1 = u; x 2 3x 2 = v; 2 x 2 + 2 x + 3 = z; x 2 x + 2 = t
u + v = z + t

Ta có hệ :

2
2
2
2
u v = z t

Từ đó suy ra: u = t 2 x 2 1 = 2 x 2 + x + 3 Giải ra : x=-2

Thay vào thoả mãn phơng trình đã cho , Vậy phơng trình có nghiệm x=-2
( Phơng pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình
2006 x 2 2005 + 2005 x 2 x 2004 = 2006 x 2 + 2 x 2003 + 2005 x 2 + x 2002

Phơng pháp 4: Đa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0
ở phơng pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0
Khi A=0 hoặc B=0
Ví dụ: Giải phơng trình:

x 2 + 4x + 5 = 2 2x + 3

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

14


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Nhận xét: + Sử dụng các phơng pháp 1, 2, 3 đều khó giải
+ Biến đổi đa về dạng A2 + B2 = 0
Giải:Điều kiện: x

3
2

x 2 + 4x + 5 2 2x + 3 = 0
( x 2 2 x + 1) + (2 x + 3 2 2 x + 3 + 1) = 0
( x + 1) 2 + ( 2 x + 3 1) 2 = 0
x + 1 = 0

2x + 3 1 = 0

Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2x 2 + 2x + 1 = 4x + 1

Nhận xét:
+ ở phơng trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đó đa về hệ phơng trình đối
y = x 2 + x
xứng:
x = y 2 + y
x = y

Từ đó suy ra:
rồi giải tìm x
x = 2 y
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phơng trình với 2 rồi đa về dạng:

4 x 2 + ( 4 x + 1 1) 2 = 0 giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)

Bài tập tơng tự:
a)

Giải phơng trình

x 2 6 x + 26 = 6 2 x + 1

VD: Giải phơng trình:

b)

x+ y + z +4 = 2 x2 +4 y 3 +6 z 5

5 x + 2 x + 1 1 x = 3

( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005)
HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: 5 x + 3 = 4( x + 1) (1 x) ; PT trở thành:
(2 x + 1) 2 ( 1 x ) 2 + 2 x + 1 + 1 x = 0 (2 x + 1) 1 x + 1 = 0
( x + 1) (5 x + 1 1) = 0

Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt: x + 1 = a; 1 x = b ; ta có hê:
Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

15


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

a + b = 2
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm đợc x

2
2
2a b + 4a b = 0
2

2

Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
4 x + 1 3x 2 =

x+3
5

HD: Nhận xét x + 3 = ( 4 x + 1) 2 ( 3x 2 ) 2 Từ đó biến đổi đa về dạng :A.B =0
Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.
VD1: Giải phơng trình:
Giải: ĐK: x >

và chỉ khi a=b

x
4x 1

+

4x 1
=2
x

(`11)

1
a b
;Sử dụng bất đẳng thức: + 2
4
b a

Ta có:

x
4x 1

+

với a, b > 0 dấu = xảy ra khi

4x 1
2
x

Do đó (11) x = 4 x 1 Giải ra: x = 2 3 thoả mãn điều kiện
Vậy (11) có hai nghiệm

x = 2 3

VD2: Giải phơng trình:
3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2

(12)

Nhận xét:+ở phơng trình này ta không nên bình phơng hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ đó có
lời giải:
Giải: VT: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2 4 + 9 = 5
VP: 4 2 x x 2 = 5 ( x + 1) 2 5
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó x + 1 = 0 x = 1
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tơng tự: Giải phơng trình
a)

3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2

2
b) x 2 6 x + 15 = x 2 6 x + 18

x 6 x + 11

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

16

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

VD3: Giải phơng trình:

x 4 + 6 x = x 2 10 x + 27

Nhận xét: Nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về phơng trình bậc 4, khó giải
Hớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Giải: ĐK: 4 x 6
Ta thấy: x 2 10 x + 27 = ( x 5) 2 + 2 2
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(1.

x 4 + 1. 6 x

) (1
2

2

)

+ 12 ( x 4 + 6 x ) = 2.2 = 4

x4 + 6 x 2

Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2
x4 + 6 x = 2

(1)
(2)

Giải (1) ta đợc x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phơng trình có nghiệm
x=5
BT tơng tự : Giải phơng trình
a)
b)

4

1 x2 + 4 1+ x + 4 1 x = 3
2 x2 + 2

Đa về dạng:

(

(HD: áp dụng BĐT cô si)

1
1

= 4x+
2
x

x


)


1 1
2 x 2 + x + 2 2 + = 4 rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki
x
x


Tổng quát cách giải:
+ Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà f ( x) a; g ( x) a với a là hằng số. Nghiệm
của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a
+ Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x) m và h(x) m
thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
+ áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki
Phơng pháp 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải pt:

5 x 6 3 3x 4 2 = 1

Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phơng pháp trên đều khó giải đợc nên suy nghĩ để tìm cách
giải khác.
Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

17

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Hớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất

Giải: Nhận thấy x = 1 là một nghiiệm của pt
+ Xét

5 x 6 < 2
5 x 6 < 4
x > 1 thì 4

5 x 6 3 3x 4 2 < 1
4
3 x 2 > 1 3 x 2 > 1

nên pt vô nghiệm
5 x 6 > 4
5 x 6 3 3 x 4 2 > 1 nên pt vô nghiệm
+ xét x < 1 ta có: 4
3 x 2 < 1

Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
5

x 1 + 3 x + 8 = x3 + 1

Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình
+Nếu x<0 thì

5

x 1 < 1; 3 x + 8 < 2; x 3 + 1 > 1

Vậy VP <1; VT>1 nên phơng trình vô nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phơnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình
BT tơng tự: Giải phơng trình
3

x 2 + 28 + 23 x 2 + 23 + x 1 + x = 2 + 9

Hớng dẫn: TXĐ: x 1
Nhận thấy x=2 là nghiệm
Chứng tỏ:
1 x<2 thì phơng trình vô nghiệm
x>2 phơng trình vô nghiệm
(ở những phơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phơng pháp 1 đến phơng pháp
4 đều không giải đợc thì ta nghĩ đến phơng pháp 5).
Bài học kinh nghiệm
Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phơng pháp giải phơng trình vô
tỷ. Trớc khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra ph ơng pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tơng tự cùng dạng, và
tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phơng pháp giải .

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

18


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải
phơng trình vô tỷ

Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng
dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hớng t duy ,hớng giải và phát triển bài toán .Sau đó
ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi
bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là
niềm say mê với tất cả học sinh .
Với kinh nghiệm nho nhỏ nh vậy tôi xin đợc trao đổi cùng các đồng nghiệp.Tôi
rất mong đợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô đã có nhiều
kinh nghiệm trong giảng dạy .
Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005
Ngời thực hiện
Hoàng Thị Bích Lai

Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng

19