Bài tập xac suat THong ke

PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG XÁC SUẤT
Bài 1: Lớp học 80 sinh viên trong đó có 50 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên. Tính xác suất để:
(a) Cả 2 sinh viên đều là nữ
(b) Cả 2 sinh viên đều là nam
(c) Cả 2 sinh viên khác giới nhau.

Đáp án:
a/ Gọi A là biến cố chọn 2 sinh viên đều là nữ:
C502
5 49 245
P
(
A
)
=
= . =
≈ 38, 76%
Khi đó:
2
C80 8 79 632
b/ Gọi B là biến cố chọn ra 2 sinh viên là nam
C302
3 29 87
P( B) = 2 = . =
≈ 13, 76%
C80 8 79 632
c/ Gọi C là biến cố chọn ra 2 sinh viên là 1 nam và 1 nữ
245 87 200 25
P (C ) = 1 − P( A) − P ( B) = 1 −
−
=

=
632 632 632 79
Bài 2: Bộ đề thi môn triết học gồm 25 phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Một sinh viên dự thi chỉ nắm vững 20 câu:
giám khảo yêu cầu anh ngẫu nhiên bắt 2 phiếu thi. Tính xác suất để:
(a) Sinh viên đó trả lời được cả 2 câu
(b) Sinh viên đó trả lời được một câu.
(c) Sinh viên đó không trả lời được câu nào.

Đáp án:
a/ Gọi A là biến cố sinh viên trả lời được 2 câu
C202 19
P ( A) = 2 =
C25 30
c/ Gọi C là biến cố sinh viên không trả lời được câu nào
C2
1
P (C ) = 52 =
C25 30
b/ Gọi B là biến cố sinh viên trả lời được 1 câu
19 1 1
P ( B ) = 1 − P ( A) − P (C ) = 1 − −
=
30 30 3
Bài 3:Gieo đồng thời 3 đồng tiền. Tính xác suất để:
(a) Cả 3 đồng tiền đều sấp
(b) Có 2 đồng tiền sấp
(c) Chỉ có 1 đồng tiền sấp

Đáp án:
a/ Gọi A1 là biến cố đồng thứ nhất sấp: P(A1) =

1
2

1
2
1
Gọi A3 là biến cố đồng thứ 3 sấp: P(A3) =
2
Gọi A là biến cố 3 đồng đều sấp
1 1 1 1
P(A) = * * =
2 2 2 8
b/ Có 3 trường hợp
 Trường hợp 1: đồng 1 và 2 sấp, đồng 3 ngửa

Gọi A2 là biến cố đồng thứ 2 sấp: P(A2) =

Xác suất – Thống kê

1


1
2
1
Gọi B2 là biến cố đồng 2 sấp: P(B2) =
2

Gọi B1 là biến cố đồng 1 sấp: P(B1) =

Gọi B3 là biến cố đồng 3 ngửa: P(B3) =

1
2

1 1 1 1
* * =
2 2 2 8
 Trường hợp 2: đồng 1 và 3 sấp, đồng 2 ngửa
1
Gọi C1 là biến cố đồng 1 sấp: P(C1) =
2
1
Gọi C2 là biến cố đồng 2 sấp: P(C2) =
2
1
Gọi C3 là biến cố đồng 3 ngửa: P(C3) =
2
1 1 1 1
Gọi C là biến cố đồng 1, 3 sấp; 2 ngửa: P(C) = * * =
2 2 2 8
 Trường hợp 3: đồng 2 và 3 sấp, đồng 1 ngửa
1
Gọi D1 là biến cố đồng 2 sấp: P(D1) =
2
1
Gọi D2 là biến cố đồng 3 sấp: P(D2) =
2
1

Gọi D3 là biến cố đồng 1 ngửa: P(D3) =
2
1 1 1 1
Gọi D là biến cố đồng 2, 3 sấp; 1 ngửa: P(D) = * * =
2 2 2 8
1 1 1 3
Vậy biến cố để 2 đồng sấp là: P = + + =
8 8 8 8
c/ Có 3 trường hợp:
 Trường hợp 1: đồng 1 sấp, đồng 2,3 ngửa
1
Gọi A1 là biến cố đồng 1 sấp: P(A1) =
2
1
Gọi A2 là biến cố đồng 2 ngửa: P(A2) =
2
1
Gọi A3 là biến cố đồng 3 ngửa: P(A3) =
2
1 1 1 1
Gọi A là biến cố đồng 2, 3 ngửa; 1 sấp: P(A) = * * =
2 2 2 8
 Trường hợp 2: đồng 2 sấp, đồng 1và 3 ngửa
1
Gọi B1 là biến cố đồng 2 sấp: P(B1) =
2
1
Gọi B2 là biến cố đồng 1 ngửa: P(B2) =
2
1

Gọi B3 là biến cố đồng 3 ngửa: P(B3) =
2

Gọi B là biến cố đồng 1, 2 sấp; 3 ngửa: P(B) =

Xác suất – Thống kê

2


1 1 1 1
* * =
2 2 2 8
 Trường hợp 3: đồng 3 sấp, đồng 1 và 2 ngửa
1
Gọi C1 là biến cố đồng 3 sấp: P(C1) =
2
1
Gọi C2 là biến cố đồng 1 ngửa: P(C2) =
2
1
Gọi C3 là biến cố đồng 2 ngửa: P(C3) =
2
1 1 1 1
Gọi C là biến cố đồng 3 sấp; 1 và 2 ngửa: P(C) = * * =
2 2 2 8
1 1 1 3
Vậy biến cố để có một đồng sấp là: P= + + =
8 8 8 8

Gọi B là biến cố đồng 2 sấp, 1 và 3 ngửa: P(B) =

Bài 4: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để:
(a) Số nút trên mỗi con xúc xắc đều chẵn.
(b) Tổng số nút trên cả 2 con xúc xắc bằng 8.
(c) Tổng số nút trên cả 2 con xúc xắc đều lẻ.
(d) Số nút trên cả 2 con xúc xắc chênh lệch 2 đơn vị.

Đáp án:
a/ Gọi A1 là biến cố mặt xuất hiện trên xúc xắc 1 là mặt chẵn
3
P(A1) =
6
Gọi A2 là biến cố mặt xuất hiện mặt trên xúc xắc 2 là mặt chẵn
3
P(A2) =
6
Gọi A là biến cố mặt xuất hiện trên 2 xúc xắc là chẵn
3 3 1
P(A) = P(A1)*P(A2) = * = = 25%
6 6 4
b/ Khi gieo 2 con xúc xắc 6 mặt thì không gian mẫu = 36
Để tổng số nút trên 2 xúc xắc là 8 thì có 5 trường hợp xảy ra là: số nút của 2 đồng lần lượt là: đồng 1 =
2, đồng 2 = 6; đồng 1 = 6, đồng 2 = 2; đồng 1 = 3, đồng 2 = 5; đồng 1 = 5, đồng 2 = 3; đồng 1 = 4, đồng
2 = 4.
5
Vậy xác suất để khi gieo tổng số nút trên 2 mặt bằng 8 là: P =
36
c/ Tổng số nút trên 2 xúc xắc là lẻ khi một mặt của xúc xắc này xuất hiện mặt lẻ và mặt còn lại của
xúc xắc kia xuất hiện mặt chẵn.

Có 2 trường hợp:
 Trường hợp 1: xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ và xúc xắc thứ 2 xuất hiện mặt chẵn
Gọi A1 là biến cố để xúc xắc 1 xuất hiện mặt lẻ
3 1
P(A1) = =
6 2
Gọi A2 là biến cố xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn
3 1
P(A2) = =
6 2
Gọi A là biến cố để tổng số nút trên 2 xúc xắc là lẻ
1 1 1
P(A) = + =
2 2 4
Xác suất – Thống kê

3


 Trường hợp 2: xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn và xúc xắc thứ 2 xuất hiện mặt lẻ
Gọi B1 là biến cố để xúc xắc 1 xuất hiện mặt chẵn
3 1
P(B1) = =
6 2
3 1
Gọi B2 là biến cố xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ: P(B2) = =
6 2
1 1 1
Gọi B là biến cố để tổng số nút trên 2 xúc xắc là lẻ: P(B) = + =
2 2 4

Vậy xác suất để tổng số nút trên 2 xúc xắc là lẻ là:
1 1 1
P = P(A) + P(B) = + =
4 4 2
d/ Để số nút trên 2 xúc xắc chênh lệch 2 đơn vị thì có 8 trường hợp xảy ra là: số nút của 2 đồng lần
lượt là: đồng 1 = 1, đồng 2 = 3; đồng 1 = 3, đồng 2 = 1; đồng 1 = 2, đồng 2 = 4; đồng 1 = 4, đồng 2 = 2;
đồng 1 = 3, đồng 2 = 5; đồng 1 = 5, đồng 2 = 3; đồng 1 = 4, đồng 2 = 6; đồng 1 = 6, đồng 2 = 4.
8 2
=
Vậy xác suất để số nút trên 2 xúc xắc chênh lệch 2 đơn vị là: P =
36 9
Bài 5: Lớp học gồm 100 học sinh, trong đó có 60 em biết anh văn, 70 em biết Pháp văn và 40 em biết đồng thời cả 2
sinh ngữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất để:
(a) Học sinh đó biết ít nhất một sinh ngữ
(b) Học sinh đó không biết sinh ngữ nào.

Đáp án:
60 3
=
100 5
70
7
=
Gọi A2 là biến cố chọn ra một học sinh biết tiếng Pháp: P(A2) =
100 10
40 2
=
Gọi A3 là biến cố chọn ra một học sinh biết cả 2 ngoại ngữ: P(A3) =
100 5
Vì A1 và A2 là 2 biến cố không xung khắc và A3 = A1 ∩ A2 nên ta có:

Xác suất để chọn ra một học sinh biết ít nhất một thứ tiếng là:
3 7 2 9
P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A3) = + − =
5 10 5 10
b/ Gọi B là biến cố chọn ra học sinh không biết sinh ngữ nào:
9
1
P ( B ) = 1 − P ( A) = 1 − =
10 10

a/ Gọi A1 là biến cố chọn ra một học sinh biết tiếng Anh: P(A1) =

Bài 6: Hai xạ thủ cùng bắn một xe tăng địch. Xác suất bắn trúng của họ lần lượt là 90% và 95%. Tính xác suất để xe
tăng trúng đạn khi cả 2 đồng thời nổ súng.

Đáp án:
Gọi A1 là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng: P(A1) = 90%
Gọi A2 là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng: P(A2) = 95%
Gọi A3 là biến cố cả 2 xạ thủ bắn trúng: P(A3) = 90%*95% = 85,5%
Gọi A là biến cố để xe tăng trúng đạn khi cả 2 đồng thời nổ súng.
Vì A1 và A2 là 2 biến cố không xung khắc và A3 = A1 ∩ A2 nên ta có:
Xác suất để xe tăng bị trúng đạn khi cả 2 đồng thời nổ súng là:
P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A3) = 90% + 95% - 85,5% = 99,5%
Bài 7: Tỷ lệ người thích du lịch ở TP. HCM là 50%. Phỏng vấn ngẫu nhiên 5 người. Tính xác suất để:
(a) Cả năm người đều thích du lịch.
(b) Có một người thích du lịch. ?
(c) Không có ai thích du lịch.

Xác suất – Thống kê

4


Đáp án:
a/ Gọi A1 là biến cố người thứ nhất thích đi du lịch: P(A1) = 50%
Gọi A2 là biến cố người thứ 2 thích đi du lịch: P(A2) = 50%
Gọi A3 là biến cố người thứ 3 thích đi du lịch: P(A3) = 50%
Gọi A4 là biến cố người thứ 4 thích đi du lịch: P(A4) = 50%
Gọi A5 là biến cố người thứ 5 thích đi du lịch: P(A5) = 50%
Gọi A là biến cố cả 5 người thích đi du lịch: P(A) = 50% * 50% * 50% * 50% * 50% = 3,125%
c/ Gọi C là biến cố không có ai thích đi du lịch
P(C) = 50% * 50% * 50% * 50% * 50% = 3,125%
b/ Gọi B là biến cố có một người thích đi du lịch ?
Trường hợp 1: B là biến cố có đúng một người thích đi du lịch:
Khi đó: B = A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5

(

)

(

)

(

)

(

)

(

P ( B) = P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5

)

1
1
1
1
1
5
+ + + +
=
32 32 32 32 32 32
Trường hợp 2: B là biến cố có ít nhất một người thích đi du lịch:
1
1 15
P( B) = 1 − P( A) − P (C ) = 1 − −
=
32 32 16

=

Bài 8: Có 2 hộp đựng thẻ nhân viên của một công ty du lịch. Hộp I chứa 20 thẻ nam, 25 thẻ nữ. Hộp II chứa 15 thẻ nam,
30 thẻ nữ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất để:
(a) Cả 2 thẻ đều là nữ.
(b) Chỉ có một thẻ nữ

(c) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp I, bỏ vào hộp II. Sau khi trộn đều, lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp II. Tính xác
suất để thẻ lấy được là nữ.

Đáp án:
Gọi A1 là biến cố chọn ra thẻ nữ từ hộp 1: P ( A1 ) =

25
45

20
45
30
Gọi A2 là biến cố chọn ra thẻ nữ từ hộp 2: P( A2 ) =
45
15
⇒ A2 là biến cố chọn ra thẻ nam từ hộp 2: P( A2 ) =
45
a/ Gọi A là biến cố chọn ra 2 thẻ nữ từ 2 hộp:
25 30 10
P ( A) = P( A1. A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = . =
45 45 27
b/ Gọi B là biến cố chọn ra chỉ có một thẻ nữ

⇒ A1 là biến cố chọn ra thẻ nam từ hộp 1: P ( A1 ) =

Khi đó: B = A1 A2 + A1 A2
Xác suất để chọn ra chỉ có một thẻ nữ là:
25 15 20 30 13
P ( B ) = P ( A1 ) P A2 + P A1 P ( A2 ) = . + . =
45 45 45 45 27

c/ Gọi C biến cố lấy ra 1 thẻ nữ từ hộp 2 sau khi bỏ 1 thẻ từ hộp 1 vào:
25 31 20 30 275
*
+
*
=
≈ 66,4%
P(C) = P( A1 ).P(C/ A1 ) + P( A2 ).P(C/ A2 ) =
45 46 45 46 414

( )

( )

Bài 9: Có 3 hộp kẹo như nhau. Hộp I có 15 kẹo sữa, 15 kẹo cà phê. Hộp II có 20 kẹo sữa, 10 kẹo cà phê. Hộp III có 25
kẹo sữa, 5 kẹo cà phê. Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó chọn ra một kẹo. Tính xác suất để kẹo lấy được là kẹo sữa.

Xác suất – Thống kê

5


Đáp án:
1
3
1
Gọi A2 là biến cố chọn ra hộp 2: P(A2) =
3
1
Gọi A1 là biến cố chọn ra hộp 3: P(A3) =

3

Gọi A1 là biến cố chọn ra hộp 1: P(A1) =

15
30
20
Gọi B2 là biến cố chọn ra một kẹo sữa từ hộp 2: P(B2) =
30
25
Gọi B3 là biến cố chọn ra một kẹo sữa từ hộp 3: P(B3) =
30
Gọi A là biến cố chọn ra một kẹo là kẹo sữa từ một hộp được lấy ngẫu nhiên
P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3) = P(A1).P(B1) + P(A2).P(B2) +

Gọi B1 là biến cố chọn ra một kẹo sữa từ hộp 1: P(B1) =

P(A3).P(B3) =

1 15 1 20 1 25 2
* + *
+ *
=
3 30 3 30 3 30 3

Bài 10: Gieo đồng thời 2 đồng tiền cân đối, đồng chất. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. Lập bảng phân phối xác suất của
X.

Đáp án:
Gieo đồng thời 2 đồng tiền cân đối, đồng chất. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện.

Bảng phân phối xác suất của P(A) là:
X
Xác suất P(X)

0
1/4

1
2/4

2
1/4

Bài 11: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc 6 mặt. Gọi X là số nút chênh lệch 2 mặt xúc xắc. Lập bảng phân phối của X.

Đáp án:
Gieo đồng thời 2 con xúc xắc 6 mặt. Gọi X là số nút chênh lệch trên 2 mặt xúc xắc. Bảng phân phối
xác suất của X là:
X
0
1
2
3
4
5
P(X)
6/36
10/36
8/36
6/36

4/36
2/36
Bài 12: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là f(x) =

1
. Hãy xác định hàm phân phối của X. Từ đó tính
π (1 + x 2 )

xác suất của biến cố: 0
Đáp án:
Biến cố ngẫu nhiên X có hàm mật độ là: f(x) =

1
π (1 + x 2 )

Vì hàm mật độ là đạo hàm của hàm phân phối nên hàm phân phối bằng tích phân của hàm mật độ.
1
1
dx = arctgx
Vậy hàm phân phối của X là: ∫
2
π (1 + x )
π
Xác suất của biến cố X là:

Xác suất – Thống kê

6

1

P(0 < x < 1) =

1

∫ π (1 + x

2

0

)

dx =

1
arctgx
π

1
0

=

1
1
1 π
1

arctg1 − arctg 0 = * − 0 =
π
π
π 4
4

Bài 13: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là:
a
4 − x2

f ( x) =

khi − 2 < x < 2

0
khi x ∉ [ −2; 2]
Đáp án:
Để f(x) là hàm mật độ thì
 a
≥0
a≥0

2
 4− x

x
2
a *arcsin
a


dx = 1
2
 −∫2 4 − x 2
2

M(X) =

∫π

−2

2

1
4 − x2

xdx = −

2
−2

1
4 − x2
π

=1⇔ a =
2
−2

1

π

=0
2

1
x x

x dx =  2 arcsin −
4 − x2 ÷ = 2
M(X ) = ∫
2
π
2 2
 −2
−2 π 4 − x
2

1

2

D(X) = M(X2) – [M(X)]2 =2

Bài 14:

ax 2 khi x ∈ [ −1;1]

f ( x) =

0 khi x ∉ [ −1;1]
Đáp án:
Để f(x) là hàm mật độ thì

 ax 2 ≥ 0
a≥0
1
 ax 3 1

3
2
ax
dx
=
1
=1⇔ a =
∫
−1
3
2
 −1
1

M(X) =

3x 2 x
3x 4
dx
=
∫ 2

8
−1
1

3x 2 x 2
3x 5
dx =
M(X ) = ∫
2
10
−1
2

1
−1

=0
1
−1

=

3
3
6 3
+
=
=
10 10 10 5

D(X) = M(X2) – [M(X)]2 = 3/5 – 0 = 3/5
Bài 15:Trọng lượng xoài Hòa Lộc có phân phối chuẩn µ= 400 g và σ 2 = 2500. Trái xoài có trọng
lượng 425g trở lên được xem là đạt chuẩn. Ước lượng tỷ lệ xoài đạt chuẩn.
Đáp án:
µ = 400 g

σ 2 = 2500
Xoài có trọng lượng từ 425g trở lên được xem là đạt chuẩn
Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ trọng lượng của một quả xoài.
Tỉ lệ xoài đạt chuẩn là:

Xác suất – Thống kê

7


425 − 400 X − 400
X − 400
≤
< +∞) = P (0,5 ≤
< +∞)
50
50
50
= ϕ (+∞) − ϕ (0,5) = 0,5 − 0,1915 = 0,3085 ≈ 30,85%
P (425 ≤ X < +∞) = P(

Vậy tỉ lệ xoài đạt chuẩn là khoảng 30,85%
Bài 16: Chi tiêu mỗi du khách pháp khi đến Việt Nam có phân phối đều từ 2500USD đến
4000USD. Tính tỷ lệ khách pháp chi tiêu trên 3000USD.

Đáp án:
Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ chi tiêu của mỗi du khách Pháp khi đến Việt Nam.
X có phân phối đều trong khoảng từ 2500 USD đến 4000 USD.
 hàm mật độ của X là:
khi x < 2500 hay x > 4000
0

F ( x) = 
1
1
=
khi 2500 ≤ x ≤ 4000

 4000 − 2500 1500
Tỉ lệ khách pháp chi tiêu trên 3000 USD là:
4000

P(3000 < x < 4000) =

1
1
dx =
x
1500
1500
3000

∫

4000

3000

≈ 0,66 ≈ 66%

Bài 17: Chi tiêu mỗi du khách Nhật tại Việt Nam có phân phối chuẩn với µ= 5.000USD và σ 2 =
360.000. Tính tỷ lệ du khách Nhật chi tiêu trong khoảng 4.500USD đến 5.500USD.
Đáp án:
µ = 5000USD

σ 2 = 360.000
Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số tiền chi tiêu của một du khách Pháp tại Việt Nam
Tỉ lệ du khách Pháp chi tiêu trong khoảng 4500 USD đến 5500 USD là:
4500 − 5000 X − 5000 5000 − 5000
− 5 X − 5000
P (4500 ≤ X ≤ 5000) = P (
≤
≤
) = P(
≤
≤ 0)
600
600
600
6
600
= ϕ (0,83) + ϕ (0) = 0,2967 + 0 = 0,2967 ≈ 29,67%
Bài 18: Khảo sát nhân viên nữ ngành du lịch Việt Nam, theo phân phối chuẩn với µ = 170cm và

σ 2 = 100. Hãy ước

lượng tỷ lệ nhân viên nữ:
(a) Có chiều cao trên 175cm.
(b) Có chiều cao từ 165cm đến 170 cm.
(c) Tính xác suất để khi chọn 2 nhân viên nữ thì cả 2 đều cao dươi 175cm.
(d) Tính xác suất để khi chọn 2 nhân viên nữ thì có ít nhất một người có chiều cao trong khoảng 165cm đến 170cm.

Đáp án:
µ = 170cm

σ 2 = 100
Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ chiều cao của một nhân viên nữ
a/ Tỉ lệ nhân viên nữ có chiều cao trên 175cm là:
175 − 170 X − 170
X − 170
P (175 < X < +∞) = P (
≤
< +∞) = P (0,5 ≤
< +∞)
10
10
10
= ϕ (+∞) − ϕ (0,5) = 0,5 − 0,1915 = 0,3085 ≈ 30,85%
b/ Tỉ lệ nhân viên nữ có chiều cao từ 165cm đến 170cm là:
165 − 170 X − 170 170 − 170
X − 170
P (165 ≤ X ≤ 170) = P (
≤
≤
) = P( −0,5 ≤
≤ 0)

10
10
10
10
= ϕ (0,5) + ϕ (0) = 0,1915 + 0 = 0,1915 = 19,15%
c/ Tỉ lệ nhân viên nữ có chiều cao dưới 175cm là: 1-0,3085 = 0,6915
Xác suất – Thống kê

8


Gọi A1 là biến cố lần 1chọn ra một nhân viên nữ có chiều cao dưới 175cm
P(A1) = 0,6915
Gọi A2 là biến cố lần 2 chọn ra một nhân viên nữ có chiều cao dưới 175cm
P(A2) = 0,6915
Gọi A là biến cố chọn ra 2 nhân viên nữ có chiều cao dưới 175cm
P(A) = P(A1) * P(A2) = 0,6915 * 0,6915 = 0,4781
Vậy xác suất để chọn ra 2 nhân viên nữ có chiều cao dưới 175cm là khoảng 47,81%
d/ Có 3 trường hợp:
 Trường hợp 1: Chọn ra 2 nhân viên nữ trong đó có một nhân viên có chiều cao trên 170cm và 1
nhân viên có chiều cao từ 165cm đến 170cm.
Gọi A1 là biến cố chọn ra một nhân viên nữ có chiều cao trên 170cm
170 − 170 X − 170
X − 170
P ( A1) = P (170 < X < +∞) = P (
≤
< +∞ = P (0 ≤
< +∞)
10
10

10
= ϕ (+∞) − ϕ (0) = 0,5 − 0 = 0,5 = 50%
Gọi A2 là biến cố chọn ra 1 nhân viên nữ có chiều cao trong khoảng từ 165 – 170 cm.
P(A2) = 0,1915 = 19,15%
Gọi A là biến cố chọn ra 2 nhân viên trong đó có một người có chiều cao trên 170 cm và một người có
chiều cao từ 165 – 170 cm là:
P(A) = P(A1)* P(A2) = 0,5*0,1915 = 0,0957
 Trường hợp 2: Chọn ra 2 nhân viên nữ trong đó có một nhân viên có chiều cao dưới 165cm và
1 nhân viên có chiều cao từ 165cm đến 170cm.
Gọi B1 là biến cố chọn ra một nhân viên nữ có chiều cao dưới 165cm
X − 170 165 − 170
X − 170 − 5
P ( B1) = P (−∞ < X < 165) = P (−∞ ≤
<
= P (−∞ ≤
<
)
10
10
10
10
= ϕ (−∞) − ϕ (0,5) = 0,5 − 0,1915 = 0,3085 = 30,85%
Gọi B2 là biến cố chọn ra một nhân viên nữ có chiều cao từ 165 – 170 cm
P(B2) = 0,1915
Gọi B là biến cố chọn ra 2 nhân viên nữ trong đó có một nhân viên có chiều cao dưới 165cm và 1
nhân viên có chiều cao từ 165cm đến 170cm.
P(B) = P(B1)*P(B2) = 0,3085*0,1915 = 0,059
 Trường hợp 3: Chọn ra 2 nhân viên nữ đều có chiều cao từ 165 – 170cm
Gọi C là biến cố chọn ra 2 nhân viên nữ có chiều cao từ 165 – 170 cm
P(C) = 0,1915 * 0,1915 = 0,0366

Vậy xác suất để khi ra 2 nhân viên nữ thì có ít nhất một người có chiều cao từ 165 – 170 cm là:
P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,0957 + 0,059 + 0,0366 = 0,1613 = 16,13%
PHẦN II: THỐNG KÊ
Bài 1:Khảo sát ngẫu nhiên 100 khách Nhật tới TP. HCM thấy rằng có 40 du khách có nguyện vọng nối
tour tới các nước khác. Với độ tin cậy 95%. Hãy ước lượng tỉ lệ khách Nhật muốn nối tour?

Đáp án:
n = 100
f = 40/100 = 2/5

Xác suất – Thống kê

9


1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2
f (1 − f )
0,4(1 − 0,4)
ε = tα *
= 1,96 *
≈ 1,96 * 0,049 = 0,096
n
100
Khoảng ước lượng là: (0,4 – 0,096; 0,4 + 0,096) = (0,304; 0,496)
Vậy tỉ lệ khách Nhật muốn nối tour trong khoảng từ 30,4% đến 49,6%.
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =

Bài 2:Khảo sát độ chuyên nghiệp 100 nhân viên ngành du lịch TP. HCM một cách ngẫu nhiên, người ta thấy có 80
nhân viên đạt chuẩn. Hãy ước lượng tỷ lệ đạt chuẩn của nhân viên ngành du lịch TP với độ tin cậy là 99%.

Đáp án:
n = 100
f = 80/100 = 4/5 = 0,8
1 − α 0,99
=
= 0,495 → tα = 2,58
2
2
f (1 − f )
0,8(1 − 0,8)
ε = tα *
= 2,58 *
≈ 2,58 * 0,04 = 0,1
n
100
Khoảng ước lượng là: (0,8 – 0,1; 0,8 + 0,1) = (0,7; 0,9)
Vậy tỉ lệ đạt chuẩn của nhân viên ngành du lịch trong khoảng từ 70% đến 90%.
1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) =

Bài 3:Tại một tràm chim Nam Bộ, người ta bắt ngẫu nhiên 1000 con chim và đeo vòng cho chúng. Sau một thời gian,
người ta bắt 200 con để kiềm tra, thấy có 40 con đeo vòng. Thử ước lượng số chim trong tràm chim đó với độ tin cậy
95%.

Đáp án:
n = 200
f = 40/200 = 0,2

1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2
f (1 − f )
0,2(1 − 0,2)
ε = tα *
= 1,96 *
≈ 0,055
n
200
Khoảng ước lượng (0,2 – 0,055; 0,2 + 0,055) = (0,145; 0,255)
 tỉ lệ chim đeo vòng trong tràm chim với độ tin cậy 95% là:(14,5%; 25,5%)
Số chim trong tràm chim được ước lượng như sau:
0,145 < 1000/tổng số chim < 0,255
Vậy tổng số chim trong tràm chim nằm trong khoảng từ 3922 con đến 6897 con.
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =

Bài 4: Phỏng vấn ngẫu nhiên 1000 dân cư TP. HCM, thấy có 600 người thích du lịch. Biết dân số TP. HCM là 5 triệu
người; hãy ước lượng số tối thiểu dân cư TP thích du lịch với độ tin cậy 99%.

Đáp án:
n = 1000
f = 600/1000 = 0,6
1 − α 0,99
=
= 0,495 → tα = 2,58
2
2

f (1 − f )
0,6(1 − 0,6)
ε = tα *
= 2,58 *
≈ 0,04
n
1000
Khoảng ước lượng là: (0,6 – 0,04; 0,6 + 0,04) = (0,56;0,604)
Vậy tỉ lệ dân cư thành phố thích đi du lịch là từ 56% đến 60,4%.
Gọi A là số dân cư thành phố thích đi du lịch.
Số dân cư thành phố thích đi du lịch được ước lượng như sau:
0,56 < A/5000.000 < 0,604
1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) =

Xác suất – Thống kê

10


 0,56 * 5000.000 < A < 0,604 * 5000.000
 2.800.000 < A < 3.020.000.
Vậy số tối thiểu dân cư thành phố thích đi du lịch là 2800000 người.
Bài 5: Để biết tỷ lệ p các nhà nghỉ đạt chuẩn tại một vùng du lịch sinh thái, người ta điều tra ngẫu nhiên 50 nhà nghỉ
thấy 30 nhà nghỉ đạt chuẩn.
(a) Xác định khoảng ước lượng tỷ lệ p với độ tin cậy 95%
(b) Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa, thì độ tin cậy còn là bao nhiêu?
(c) Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa, nhưng vẫn giữ nguyên độ tin cậy 95% thì cần khảo sát thêm
bao nhiêu nhà nghỉ nữa?

Đáp án:

a/ n = 50
f = 30/50 = 0,6
1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2
f (1 − f )
0,6(1 − 0,6)
ε = tα *
= 1,96 *
≈ 0,135
n
50
Khoảng ước lượng là: (0,6 – 0,135; 0,6 + 0,135) = (0,465;0,735)
Vậy tỉ lệ nhà nghỉ đạt chuẩn là từ 46,5% đến 73,5%.
0,135
= 0,0675
b/ Bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì : ε =
2
ε
0,0675
tα =
=
≈ 0,98 → ϕ (tα ) = 0,3365
f (1 − f )
0,6(1 − 0,6)
n
50
→ 1 − α = 0,3365 * 2 = 0,673.

Vậy khi bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì độ tin cậy còn lại là 67,3%.
0,135
= 0,0675
c/ Bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì : ε =
2
1 − α 0,95
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =

tα2 * f (1 − f ) 1,96 2 * 0,6(1 − 0,6)
f (1 − f )
ε = tα *
→n=
=
≈ 203
n
ε2
0,0675 2
Vậy để bán kính ước lượng giảm đi một nửa nhưng vẫn giữ nguyên độ tin cậy là 95% thì phải khảo sát
thêm: 203 – 50 = 153 nhà nghỉ nữa.
Bài 6:Cân thử 100 trái chanh Đà Lạt, ta có bảng:
Khối lượng (gr)
50
55
60
65

70
75
80
85
90
Số quả
2
3
15
28
30
8
5
5
4
(a) Tính các đặc trưng mẫu
(b) Tìm khoảng cách ước lượng cho khối lượng trung bình một quả chanh với độ tin cậy 95%.
(c) Nếu muốn giữ nguyên khoảng ước lượng nhưng với độ tin cậy 99% thì cần thêm bao nhiêu trái nữa?
(d) Chanh có khối lượng ≥ 65gr được xem là chanh loại 1. Hãy ước lượng tỷ lệ chanh loại 1 với độ tin cậy 99%.

Đáp án:
a/
xi
50
55
60
65
70

xi’

-4
-3
-2
-1
0

ni
2
3
15
28
30

xi’ni
-8
-9
-30
-28
0

xi’2ni
32
27
60
28
0

Xác suất – Thống kê

11

75
1
8
80
2
5
85
3
5
90
4
4
Tổng
100
− 26
x' =
= −0,26 → x = 5.(−0,26) + 70 = 68,7
10
284
sˆ' 2 =
− ( −0,26) 2 = 2,7724 → sˆ 2 = 5 2.2,7724 = 69,31
100
n
100
s2 =
* sˆ 2 =
* 69,31 ≈ 70
n −1

99

8
10
15
16
-26

8
20
45
64
284

Vậy các đặc trưng mẫu là:
Trung bình mẫu: 68,7
Phương sai mẫu: 69,31
Phương sai mẫu hiệu chỉnh: 70
b/ n = 100; x = 68,7; s 2 = 70
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =

ε = tα *

s

= 1,96 *

1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96

2
2

70
≈ 1,64
100

n
Khoảng ước lượng: (68,7-1,64; 68,7+1,64) = (67,06; 70,34)
Vậy khối lượng trung bình của một quả chanh là từ 67,06gr đến 70,34gr.
c/ / n = 100; x = 68,7; s 2 = 70
1 − α 0,99
=
= 0,495 → tα = 2,58
2
2
2
s 2 * tα
s
70 * 2,58 2
ε = tα *
⇔n=
=
≈ 174
ε2
1,64 2
n
Vậy, nếu muốn giữ nguyên khoảng ước lượng nhưng với độ tin cậy 99% thì cần thêm: 174 – 100=74
trái chanh nữa.
d/ Chanh có khối lượng từ 65gr trở lên được xem là chanh loại 1. Vậy, số chanh loại 1 là: 80 trái.

n = 100
f = 80/100 = 0,8
1 − α 0,99
1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) =
=
= 0,495 → tα = 2,58
2
2
f (1 − f )
0,8(1 − 0,8)
ε = tα *
= 2,58 *
= 0,1032
n
100
Khoảng ước lượng: (0,8 – 0,1032; 0,8 + 0,1032) = (0,6968; 0,9032)
Vậy tỉ lệ chanh loại 1 chiếm từ 69,68% đến 90,32 %).
1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) =

Bài 7: Điều tra hàm lượng đường của một loại trái cây trong vùng du lịch sinh thái sông Cửu Long, ta được:
Hàm lượng (%)
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
Số trái
10
20

40
70
50
10
(a) Hãy tính các đặc trưng mẫu
(b) Hãy ước lượng hàm lượng đường trung bình của một trái cây với độ tin cậy 95%.
(c) Nếu muốn bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì độ tin cậy của ước lượng còn là bao nhiêu?

Đáp án:
Xác suất – Thống kê

12


a/
xi
8 – 10
10 – 12
12 – 14
14 – 16
16 – 18
18 - 20
Tổng

xi’
-3
-2
-1
0
1

2

ni
10
20
40
70
50
10
200

xi’ni
-30
-40
-40
0
50
20
-40

xi’2ni
90
80
40
0
50
40
300

− 40

= −0,2 → x = 2.(−0,2) + 15 = 14,6
200
300
sˆ' 2 =
− (−0,2) 2 = 1,46 → sˆ 2 = 2 2.1,46 = 5,84
200
n
200
s2 =
* sˆ 2 =
* 5,84 ≈ 5,87
n −1
199
x' =

Vậy các đặc trưng mẫu là:
Trung bình mẫu: 14,6
Phương sai mẫu: 5,84
Phương sai mẫu hiệu chỉnh: 5,87
b/ n = 200; x = 14,6; s 2 = 5,87
1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =
s

1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2

5,87

≈ 0,335
200
n
Khoảng ước lượng: (14,6 – 0,335; 14,6 + 0,335) = (14,265; 14,935)
Vậy hàm lượng đường trung bình của trái cây là từ 14,265% đến 14,935%.
0,335
= 0,1675
c/ Bán kính ước lượng giảm đi một nửa thì ε =
2

ε = tα *

= 1,96 *

ε n 0,1675. 200
=
= 0,97 → ϕ (tα ) = 0,334 Vậy nếu bán kính ước lượng giảm
s
n
5,87
đi một nửa thì độ tin cậy còn
→ 1 − α = 2.0,334 = 0,668
66,8%.

ε = tα *

s

→ tα =

Bài 8: Khảo sát ngẫu nhiên 100 du khách Hàn Quốc về mức chi tiêu cho các dịch vụ giải trí và mua sắm quà lưu niệm
tại một địa điểm du lịch, ta được:
Chi tiêu (USD)
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
Số khách
5
10
20
25
25
15
(a) Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình của du khách với độ tin cậy 99%.
(b) Nếu muốn giảm bán kính ước lượng xuống 3 lần thì độ tin cậy ước lượng hãy còn bao nhiêu?

Đáp án:a/
xi
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80

xi’
-2

-1
0
1
2
3

ni
5
10
20
25
20
15

xi’ni
xi’2ni
-10
20
-10
10
0
0
25
25
40
80
30
90
Xác suất – Thống kê

13


Tổng
100
75
x' =
= 0,75 → x = 10.(0,75) + 45 = 52,5
100
225
sˆ' 2 =
− (0,75) 2 = 1,6875 → sˆ 2 = 10 2.1,6875 = 168,75
100
n
100
s2 =
* sˆ 2 =
* 168,75 ≈ 170,45
n −1
99

75

225

a/
1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) =

ε = tα *

s
n

= 2,58 *

1 − α 0,99
=
= 0,495 → tα = 2,58
2
2

170,45
≈ 3,368
100

Khoảng ước lượng: (52,5 – 3,368; 52,5 + 3,368) = (49,132; 55,868)
Vậy mức chi tiêu trung bình của du khách Hàn là từ 49,132 USD đến 55,868 USD
3,368
= 1,122
b/ Nếu bán kính ước lượng giảm đi 3 lần thì ε =
3

ε = tα *

s
n

→ tα =

ε n 1,122. 100

=
≈ 0,86 → ϕ (tα ) = 0,3051
s
170,45

→ 1 − α = 2.0,3051 = 0,6102
Vậy nếu bán kính ước lượng giảm đi 3 lần thì độ tin cậy là 61,02%.
Bài 9:
Khảo sát độ dài lưu trú của du khách Pháp tại một khu resort, ta được bảng:
Số ngày
2
3
4
5
6
7
8
Số khách
5
10
10
10
8
5
2
(a) Hãy ước lượng độ dài lưu trú trung bình của du khách với độ tin cậy 95%.
(b) Hãy kiểm định giả thiết cho rằng độ dài lưu trú trung bình của du khách là µ = 5 với mức ý nghĩa = 5%.

Đáp án: a/
xi

xi’
ni
2
-3
5
3
-2
10
4
-1
10
5
0
10
6
1
8
7
2
5
8
3
2
Tổng
50
− 21
x' =
= −0,42 → x = 1.(−0,42) + 5 = 4,58
50
141

sˆ' 2 =
− (−0,42) 2 = 2,6436 → sˆ 2 = 12.2,6436 = 2,6436
50
n
50
s2 =
* sˆ 2 =
* 2,6436 ≈ 2,7
n −1
49

xi’ni
-15
-20
-10
0
8
10
6
-21

xi’2ni
45
40
10
0
8
20
18
141

Xác suất – Thống kê

14


1 − α = 95% = 0,95 → ϕ (tα ) =

ε = tα *

s

= 1,96 *

1 − α 0,95
=
= 0,475 → tα = 1,96
2
2

2,7
≈ 0,455
50

n
Khoảng ước lượng: (4,58 – 0,455; 4,58 + 0,455) = (4,125; 5,035)
Vậy độ dài lưu trú trung bình của du khách Pháp tại khu resort là từ 4,125 ngày đến 5,035 ngày.
b/ n = 50

x = 4,58

s 2 = 2,7
Giả thiết rằng độ dài lưu trú trung bình của du khách Pháp là µ 0 = 5

α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96
2

Giá trị kiểm định:
t=

x − µ0
s

=

4,58 − 5

n

2,7
50

≈ 1,81

→ t < tα
Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì giả thiết số ngày lưu trú trung bình của du khách Pháp là 5 ngày là
đáng tin cậy.
Bài 10:Giám đốc một công ty tuyên bố 90% sản phẩm của công ty đạt chuẩn. Thanh tra 200 sản phẩm của công ty thấy

168 sản phẩm đạt yêu cầu. Với mức ý nghĩa = 5%, ta có thể kết luận gì về tuyên bố trên.

Đáp án:
n = 200
168
f =
200
p 0 = 90% = 0,9

α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =
Giá trị kiểm định:
f − p0
t=
=
p 0 (1 − p 0 )
n
→ t > tα

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96
2

0,84 − 0,9
0,9(1 − 0,9)
200

≈3

Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì tuyên bố của giám đốc công ty là không đáng tin cậy vì dưới 90%
sản phẩm của công ty đạt chuẩn.

Bài 11:Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Sau khi thực hiện cải tiến kỹ thuật, kiểm tra 800 sản phẩm
thấy có 24 phế phẩm.
(a) Với mức ý nghĩa = 5%, hãy cho kết luận về cải tiến đó.
(b) Nếu nhà máy báo cáo rằng tỷ lệ phế phẩm chỉ còn 2% thì có thể chấp nhận được với mức ý nghĩa = 5% không?

Đáp án:
n = 800
24
f =
800
p 0 = 5% = 0,05
Xác suất – Thống kê

15


α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96
2

Giá trị kiểm định:
f − p0
0,03 − 0,05
t=
=
≈ 2,6
p 0 (1 − p 0 )
0,05(1 − 0,05)

800
n
→ t > tα , f < p → p < p 0
Vậy với mức ý nghĩa α = 5% thì cải tiến kĩ thuật là có hiệu quả vì tỉ lệ phế phẩm của nhà máy < 5%.
n = 800
24
f =
800
p 0 = 2% = 0,02

α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96
2

Giá trị kiểm định:
f − p0
0,03 − 0,02
t=
=
≈ 2,04
p 0 (1 − p 0 )
0,02(1 − 0,02)
800
n
→ t > tα , f > p 0 → p > p 0
Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì tỉ lệ phế phẩm trên 2% nên báo cáo của nhà máy là không đáng tin
cậy.
Bài 12: Một máy đóng gói sản phẩm yêu cầu mỗi gói 100g. Nghi ngờ máy trục trặc, người ta chọn cân thử 100 gói.

Khối lượng (g)
95-97
97-99
99-101
101-103
103-105
105-107
Số gói
9
31
40
15
3
2
Với mức ý nghĩa = 5%, có kết luận gì về nghi ngời trên.

Đáp án:
xi
xi’
ni
95 – 97
-2
9
97 – 99
-1
31
99 – 101
0
40
101 – 103

1
15
103 – 105
2
3
105 – 107
3
2
Tổng
100
− 22
x' =
= −0,22 → x = 2.(−0,22) + 100 = 99,56
100
112
sˆ' 2 =
− (−0,22) 2 = 1,0716 → sˆ 2 = 2 2.1,0716 = 4,2864
100
n
100
s2 =
* sˆ 2 =
* 4,2864 ≈ 4,3296
n −1
99

α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =

xi’ni
-18

-31
0
15
6
6
-22

xi’2ni
36
31
0
15
12
18
112

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96
2

µ 0 = 100
Xác suất – Thống kê

16


Giá trị kiểm định:

t=

x − µ0
s
n

=

99,56 − 100

≈ 2,114

4,3296
100

Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì nghi ngờ là đúng vì trọng lượng
mỗi gói không phải là 100gr mà <100gr.

→ t > tα , µ 0 > x → µ < µ0

Bài 13: Kiểm tra các sản phẩm do 2 phân xưởng sản xuất, ta có bảng số liệu:
Phân xưởng
Số sp
Trọng lượng TB
Psai hiệu chỉnh
Số phế phẩm
I
900
502g
4
18
II

800
501g
6,25
16
(a) Với mức ý nghĩa = 1%, có thể xem trọng lượng trung bình sản phẩm cả 2 phân xưởng là như nhau không?
(b) Với mức ý nghĩa = 5%, có kết luận gì về tỷ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng?

Đáp án:
a/ n1 = 900; n2 = 800
x1 = 502 gr
x2 = 501gr
s12 = 4
s22 = 6, 25

α = 1% = 0,01 → ϕ (tα ) =
t=

x1 − x 2
s12 s 22
+
n1 n2

=

1 − 0,01
= 0,495 → tα = 2,58
2

502 − 501
4

6,25
+
900 800

= 9,03

→ t > tα
Vậy trọng lượng trung bình sản phẩm của 2 xí nghiệp khác nhau.
b/ n1 = 900
f1 = 18/900 = 0,02
n2 = 800
f2 = 16/800 = 0,02
n1 f 1 + n2 f 2 900.0,02 + 800.0,02
=
= 0,02
Tỉ lệ mẫu: f =
n1 + n 2
1700

α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) =
t=

f1 − f 2
1
1
f (1 − f )( + )
n1 n 2

1 − 0,05
= 0,475 → tα = 1,96

2

=0

→ t < tα
Vậy tỉ lệ phế phẩm của 2 nhà máy là như nhau.

Xác suất – Thống kê

17