skkn sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trương THPT Bình Sơn
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................



(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm
2014-2015.
SƠ LƯỢC
LÝhọc:
LỊCH
KHOA HỌC
––––––––––––––––––
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

1


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Cảnh Thắng
2. Ngày tháng năm sinh: 13-03-1980
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Tổ 4, Ấp 1, Xã Bình Sơn, Long Thành, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613533100 (CQ)/
6. Fax:

(NR); ĐTDĐ: 0939088658

E-mail:

7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8:
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị : Cử nhân :
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 9
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
- . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh.
- 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán.
- 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

2


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tên SKKN
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài
tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được
cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương
pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng
và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy

theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông.
Trong những năm gần đây các bài toán d ng phương pháp tọa độ để giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi
đại học, kì thi học sinh gi i. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không c n mới
m . Tuy nhiên đa số học sinh c n lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương
pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "
đ đ

m

n

h

n

nh, h

n
h

n

h

n

h

nh

h

n

nh"
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh
Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành ch m bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh c n rất hạn chế.
Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em c n rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh c n
lúng túng, bỡ ngỡ.
b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng
Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng
những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

3


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
thành ch m bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một
cách có hiệu quả thì vẫn c n gặp nhiều khó khăn.
Trong đề thi học kì Học sinh gi i, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể
thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất

phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó c n cần sự áp
dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức
tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì
thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng
thức rất khó khăn.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì
vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “

n

h

đẳn

h

n

nh,

h

n

nh

e

đ đ

h

n

nh,

hứ ”. Nhằm giúp học sinh bổ sung

thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi
giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói
riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Giải pháp
-T y vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, ph hợp
với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học
một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế
của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn
toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp
cho một tiết bài tập.
a.Đối với lý thuyết:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

4


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây

là một quá trình rất khó khăn đ i h i người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực.
Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên
cần thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu
Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm
Bước 3: Khắc sau kiến thức
b. Đối với bài tập.
Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức
đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và
bài tập. Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và
diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính
cách của học sinh. Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát
Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ.
Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập.
Bước 2: Thực hiện chương trình giải
-Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài.
-Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu
biết của học sinh. Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy
sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị
và dự đoán trước .
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

5


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Kiến thức cơ bản:
a.Tính chất vectơ
r
r
Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 ) , (k  R)

r r
a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 )
r r
a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 )
r
r r
k a = (k a;k b)

b.Tích vô hướng của hai vec tơ :
r
r
Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 )
rr
a.b = a1b1  a 2b 2

c.Độ dài vec tơ:
r
r
Cho véc tơ a =  a1;a 2  khi đó độ dài vec tơ a là :
r
a = a12 + a 22

d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:

uuur
Với hai điểm A(x A ; y A ),B(x B ; y B ) thì AB = (x B - x A ; y B - y A )

uuur
AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2
e. Bất đẳng thức vec tơ:
*

r2 r 2
Tính chất 1: a = a  0

r r
Dấu đẳng thức ‘xảy ra’ khi và chỉ khi a = 0
r
r
 Tính chất 2: cho 2 vectơ a và b ta có:

r r r r
a + b  a+b

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

6


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r r r r
a-b  a - b

r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và
r
 Tính chất 3: cho 2 vectơ a và

r
b c ng chiều

r
b ta có:

r r rr
a . b  a.b
r
r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng phương

r r rr
a . b  a.b
r
r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng hướng

B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải phương trình:
x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 (1)

Giải :
(1) 

 x  1

2

1 

5  x 

2

 9   x2  4x  4  4 2

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x-1;1) ; b = (5 - x;3) ; a + b = (4;4)

r r r r
Theo BĐT vec tơ a + b  a + b ta có:

 x-1

2

+1 +

5 - x 

2

+ 9  42 + 42 = 4 2

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

7


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1

 x-1 = k(5 - x) k =


3
1
=
3k

 x = 2
Mặt khác :

- x 2 + 4 x- 4 + 4 2 = -  x- 2  + 4 2  4 2
2

Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2
Vậy x=2 là nghiệm của phương trình
Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1)
Giải:
Điều kiện: x  1

(1)  ( x-1 + 3)2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 = 5

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt Đặt
r
r
r r
a = ( x-1 + 3;4) , b = ( x-1 -1;1) ,a - b = (4;3)
r r r r
Theo đẳng thức vec tơ ta có: a - b  a - b

 ( x-1 + 3)2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1  5
r r
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a,b c ng hướng   k : a = k.b , k  0
 x-1 + 3 = k( x-1 -1)

 ( x-1 + 3) = 4( x-1 -1)
4 = k
 3 x-1 = 7  x =

58
9

Vậy nghiệm của phương trình : x=
Bài 3: Giải phương trình:

58
9

x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2 (1)

Giải:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

8


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
(1)  (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4)
r
r
r r

 a = (x+1) 2 + 4 ; b = (3 - x) 2 + 4  a + b = 4 2

r r r r
Theo BĐT vectơ ta có : a + b  a + b = 4 2
 (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4  4 2

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 x+1 = k(3 - x)
k = 1


2 = 2k
x = 1

Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Bài 4: Giải phương trình: x 2 - 4 x+ 5 + x 2 - 4 x+13 = 4 (1)
Giải:
(1)  (x- 2)2 +1 + (2 - x) 2 + 9 = 4
r
r
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy Đặt a = (x- 2;1) ; b = (2 - x;3)

r
r
r r

r r
 a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9  a + b = 2 và a + b = (0;4)

r r r r
Theo BĐT vectơ ta có : a + b  a + b = 4
 (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9  4

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

9


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1

1 = 3k
k =


3
x2

=
k(2
x)

 x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Bài 5: Giải phương trình:

x-1 + x = 3 + 2(x- 3) 2 + 2 x- 2(1)
Giải

Điều kiện x  1
r
r
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: a = (x- 3; x-1),b = (1;1)

r
r
ur r
 a = (x- 3) 2 + (x-1), b = 2,a.b = x-1 + x- 3

rr r r
a.b
 a.b
Suy ra bất phương trình (1) tương đương
rr r r
Mặt khác theo bất đẳng thức vec tơ ta có a.b  a . b

(*)
(**)

rr r r
r r
Từ (*) và (**) suy ra : a.b = a . b  a,b c ng hướng

x  3
 x-1=x-3   2
 x=5 .
x
-7x+10=0

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.
Bài 6:Giải phương trình : x x+1 + 3 - x = 2 x 2 +1
Giải:
Điều kiện: -1  x  3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
r
r
r
r
Đặt : a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x ) , a = x 2 +1, b = 2

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

10


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

r r rr
Theo BĐT vectơ ta có: a . b  a.b  2 x 2 +1  x x+1 + 3 - x
r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng phương
r
r
 k : a = k b

 x = k x+1

1 = k 3 - x

Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên
 x = k x+1

 x 3 - x = x+1  x 3 - 3x 3 + x+1 = 0

1
k =
3- x

x = 1

 (x-1)(x2-2x-1)=0   x = 1 + 2
 x = 1- 2


So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2
Bài 7: Giải phương trình: x 1 + x 2 + 8 - x 2 = 3 x 2 +1
Giải:

Điều kiện:  8  x  8
r
r
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt a = (x;1) ,b = ( x 2 +1; 8 - x 2 )
rr r r
Theo BĐT vectơ a.b  a . b ta có: x 1 + x 2 + 8 - x 2  3 x 2 +1

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 x = k x 2 +1
x  0

 x 2 +1  x 8 - x 2   4
2
 x - 7 x +1 = 0
1 = k 8 - x 2

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

11


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình


7 - 45
x =
2


 x = 7 + 45

2
Vây phương trình đã cho có nghiệm: x =
Bài 8: Giải phương trình :

7 - 45
7 + 45
,x =
2
2

x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = 2

Giải:
Ta có:

1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +
2
4

2
4

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt :
r  1 3 r 1
3 r r
a =  x+ ;
,b
=
x;


  a + b = (1; 3)
2
2
2
2




r r r r
Theo BĐT vec tơ : a + b  a + b suy ra
1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +  2
2
4

2
4
r r
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a,b c ng hướng   k : a = k.b , k  0

1
 1
x+
=
k(
- x)
 2
x = 0
2


k = 1
 3 = k. 3
 2
2
Vậy nghiệm của phương trình : x=0
Bài 9 : Giải phương trình:

x 2 - 2 x+ 2 + 4 x 2 +12 x+ 25 = 9 x 2 +12 x+ 29 (1)

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

12


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

r
r r
a = (x-1;1)
 a + b = (3x+ 2;5)
r
b = (2x+ 3;4)
r
r
r r
 a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29

Suy ra phương trình (1) tương đương:
1

k
=
r r
r r
r
r

 x-1 = k(2 x+ 3)

4
a + b = a + b  a = k b(k > 0)  

1 = k.4
x = 7

2

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =

7
2

C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 3x+1 + 3y+1 = 4 (1)
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
 3x+13 + 3y+13 = 8 (2)

Giải :
1
1
Điều kiện: x  - ,y  3
3

Từ (2)  3x+1+12 + 3y+1+12 = 8
r
r
r r
Đặt a = ( 3x+1; 12) , b = ( 3y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3y+1;2 12)

r r r r
Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b
3x+1+12 + 3y+1+12 





2

3x+1 + 3y+1 + 48 = 8

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

13


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
  k : a = k b , k>0

x = y
 3x+1 = k 3y+1



k = 1

 12 = k 12

(1)  3x+1 = 2  x = 1  y = 1
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)
 2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 2 x+ 21 + 2 y+19 = 10

5
3
Điều kiện: x  - , y  2
2
r
r
r r
Đặt a = ( 2x+ 5;4) , b = ( 2 y+ 3;4) , a + b = ( 2x+ 5 + 2 y+ 3;8)
r r r r
Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b
2x+ 5 +16 + 2 y  3  16 



2x+ 5 + 2 y+ 3



2

+ 64 = 10

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 2x+ 5 = k 2 y+ 3
 2x+ 5 = 2 y+ 3
 y=x+1


4 = k 4
k = 1
(1)  2 x+ 5 = 3  x = 2  y = 3
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)

 x+ y = 4
Bài 3: Giải hệ phương trình:  2
2
 x + 2 x+17 + y + 2 y+17 = 10
Giải :
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

14

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Ta có:

 x+1

x 2 + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10 

2

+ 42 +

 y+1

2

+ 4 2 = 10

r
r
r r
a = (x+1;4) , b = (y+1;4) , a + b = (x+ y+ 2;8)

r r r r
Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b


 x+1

2

+ 42 +

 y+1

2

+ 42 

 x+ y+ 2 

2

+ 82 = 10

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng
r
r
  k : a = k b , k>0

 x+1 = y+1  x = y

(1)  x=y=2
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
2
2

x 8 - y + y 8 - x = 16 (1)
Bài 4:Giải hệ phương trình: 

2
3
2
(2)

x +12 = y + 2 y

Giải:
Điều kiện: 2 2  x  2 2; 2 2  y  2 2



 

r
r
Đặt : a = x; 8 - x 2 ,b =



r2 r2
8 - y 2 ; y ta có: a = b = 8

r2 r2
rr
r r
(1)  a + b = 2a.b  a = b  x = 8 - y2
(2)  y3+3y2-20=0  y=2  x=2
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)

 x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1)
(x, y  R)
Giải hệ phương trình: 
3
x
8x-1
=
2
y2
(2)


Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

15


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải :
Điều kiện:  12  x  12;2  y  12
r r
r
r
Đặt a = (x; 12 - x 2 ) ; b = ( 12 - y; y) ta có: a = b = 12

r2 r2
rr
r r

(1)  a + b = 2a.b  a = b  x = 12 - y
(2)  x 3 -8x-3=2 10-x 2 -2
 (x- 3)(x 2 + 3x+1) =

2(3 - x)(3 + x)
10 - x 2 +1

x = 3
 2
2
(x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*)
Với x=3 =>y=3
Đặt f(x) = (x 2 + 3x+1)( 10 - x 2 +1) - 2(3 + x)
f’(x) <0 ,  x>0 => phương trình (*) vô nghiệm
Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3)
D.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Giải bất phương trình:

x2 - 3 + 5 - x2  2

Giải :
Điều kiện :  5  x   3, 3  x  5
r
r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a = x 2 - 3; 5 - x 2 ,b = 1;1





r
r
Ta có: a  2, b  2
rr
r r
Theo đề bài ta có: a.b  2  a b
rr r r
Theo BĐT vec tơ ta có: a.b  a b

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

16


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
rr r r
r
r
 a.b  a b khi và chỉ khi a và b c ng hướng
 x 2 - 3 = 5 - x 2  x = ±2

Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2
Bài 2: Giải bất phương trình:

x  1  2 3  x  10

Giải :
Điều kiện :1  x  3

r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a =





r
x-1; 3 - x ,b = 1;2 

r
r
Ta có: a  2, b  5
rr
r r
Theo đề bài ta có: a.b  10  a b
rr r r
Theo BĐT vec tơ ta có: a.b  a b
rr r r
r
r
 a.b  a b khi và chỉ khi a và b c ng hướng
 2 x-1 = 3 - x  x =

7
5

Vậy nghiệm bất phương trình : x=

7
5

Bài 3: Giải bất phương trình: 3 x+ 3 + 7 - x  10
Giải :
Điều kiện : 3  x  7

r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a =





r
x  3; 7 - x ,b = 3;1

r
r
Ta có: a  10, b  10
rr r r
Theo bài ra ta có: a.b  a b luôn đúng

Vậy nghiệm bất phương trình: 3  x  7

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

17


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 4: Cho 4 số thực x, y, z, t.
Chứng minh rằng : (x2 +y2)(z2 +t2)  (x z+ y t)2
Giải:
r
r
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a = (x; y), b = (z; t)
r
r u

Ta có

r
uu
ru

r

a b  a.b  a

2

u
r

2

r
uu
ru

b  (a.b)2

Vậy (x2 +y2) (z2 +t2)  (x z+ y t)2
đẳng thức xảy ra

 xt = yz

Bài 5: Chứng minh rằng:

x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R

Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

r
a = (x 2 ;1) r r
 a - b = (x 2 - y 2 ;0)
r
2
b = (y ;1)
Theo BĐT vec tơ

r r
r r

a - b  a - b ta có
x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R

Bài 6 : Đề thi đại học khối A 2003
Cho x, y, z là ba số thực dương và x+ y+ z £ 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
x 2 + 2 + y 2 + 2 + z2 + 2 ³ 82
x
y
z
r
1 r
1 r r r
1 r
1 1 1
Đặt a =(x; ), b =(y; ), c =(z; ), a + b + c =(x+y+z; + + )
y
z
x
x y z
r r r r r r
Theo BĐT vectơ : a + b + c  a + b + c ta có:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

18

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1
x + 2 +
x

1
y + 2 +
y

2

1
z+ 2 ³
z

2

2

2

æ1 1 1 ö
(x+ y+ z) + çççx + y + z ÷÷÷÷
è
ø
2

2

 1 1 1
 1 1 1
2
 81 x+ y+ z  +  + +  - 80  x+ y+ z   18  x+ y+ z   + +  - 80
x y z
x y z
2

 162 3 xyz. 3

Vậy

x2 +

1
- 80 = 82
xyz

1
+
x2

y2 +

1
+
y2

z2 +

1
³
z2

82

Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2

Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(x+

y 2
3 2
) +(
y) +
2
2

(x+

z 2
3 2
) +(
z) >
2
2

(

y

-

2

z 2
3
3 2
) +(
y+
z) (1)
2
2
2

y 3
3
3
y z
Xét 3 điểm A(x+ , z) ;B(0, y+ z) ;C( - ,0)
2

2

2

2

2 2

(1)  AB + AC > BC
Ta có AB+ AC  BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

uuur
y 3 uuur
z
3
AB = (-x- ;
y);AC = (-x- ;z)
2 2
2 2
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ c ng âm) do đó không thể xảy ra
đẳng thức AB + AC = BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

19


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1. Giải phương trình:

x 2  2 x+ 2 + x 2 - 6 x+18 = - x 2  4 x+ 4 2 ĐS:x=0

2. Giải phương trình:

x 2 -10 x+ 50  x 2 - 4 x+ 5 = 5

3. Giải phương trình:

2

2

x - 2 x+ 5 + x + 2 x+10 = 29
 x+ 5 + 2 y+ 3 = 5
4. Giải hệ phương trình: 
 x+17 + 2 y  2 = 6

ĐS:x=5/4
ĐS: x=1/5

ĐS: (-1;3)

 x(5 - y) + y(5 - x) = 5
5. Giải hệ phương trình: 
ĐS:(4;1) ;(4/9;41/9)
3
2
3
 x + 3x + 5 y+ y = 118
2

( x  1) 5 - y + y(4  2 x- x ) = 5

6. Giải hệ phương trình: 
ĐS: (2;4)
3

x + 3x = 2 y 6
2
2

x 13  y + y 13  x = 12
7. Giải hệ phương trình: 
3
2

x  2x  y  30
ĐS: (3;3)
8. Giải bất phương trình: 10  x 2 + x 2  8  2
ĐS: x=3;x=-3
9. Giải bất phương trình: 3x+ 24 + 84 -12x  15
ĐS: x=-33/5
IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
1.Kinh nghiệm thực tiễn
- Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và
tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết và
rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ và
tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình”
vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh . Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin
đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập
môn toán cho học sinh THPT Bình Sơn".
- Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ
thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. những ví dụ minh họa

ph hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về phương trình, Hệ phương
trình và bất phương trình” nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng của
mình.
- Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã
thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện
vùng sâu, v ng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai.
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

20


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
- Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT,
thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nh vào kinh nghiệm dạy học toán,
để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và
thực hiện tốt mục tiêu giáo dục.
- Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài c n nhiều hạn chế và
thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn
thiện và có tác dụng hơn.
2. Kết quả thực nghiệm
- Qua bài kiểm tra trên đối tượng lớp10a5 (33học sinh) là : trước khi không áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm thì các em thường giải theo hướng khác và c n lúng túng một
số em lại không biết làm. Sau khi hướng dẫn các em sư dụng phương pháp thì các em
tiếp thu và có kết quả tốt hơn như sau:
Xếp loại
Đối tượng
10a5
Tỉ lệ

Gi i
Trước
0
0%

Khá
sau
2
6%

Trước
2
6%

Trung bình

Yếu

sau
Trước Sau Trước sau
8
15
19
16
4
24,3% 45,5% 57,6% 48,5% 12,1
%

V.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong năm qua tôi đã vận dụng “ véc tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình
và bất phương trình”cho đối tượng học sinh trung bình (với những bài đơn giản), học
sinh khá gi i (với những bài từ cơ bản đến nâng cao) của trường THPT Bình Sơn trong
các tiết dạy, đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và thấy
rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động; tích cực và hứng thú học tập, đa số học sinh
hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các bài tập.
Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi thấy đề tài này có phạm vi áp
dụng trong thực tế giảng dạy toán đạt hiệu quả tại đơn vị trường THPT Bình Sơn. Vận
dụng sáng kiến này giúp học sinh tư duy tốt, nâng cao khả năng sáng tạo, hiểu rõ bản
chất từ những dạng bài đơn giản đến nâng cao, có khả năng phân tích và giải thích tốt.
Từ đó, làm cơ sở cho học sinh tiếp tục phát huy khả năng học trong các dạng bài tập
khác nhằm giúp các em có cái nhìn rộng lớn và tổng quát hơn; các em đạt kết quả tốt
trong học tập và các kì thi. Do đó, đề tài này có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng
đạt hiệu quả.
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp c ng đồng nghiệp để
giúp đỡ học sinh làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như rèn luyện cho học
sinh tính năng động, tích cực, tư duy, sáng tạo và vận dụng sau này.

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

21


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh kh i những thiếu sót. Mong
nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để các đề tài
sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập 10 ; Nhà xuất bản Đại học quốc gia
Hà Nội. Th.s Nguyễn Kiếm-Lê Thị Hương.
2. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau
3. Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. Trần Đình
Thì.
4. Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10 : NXB Đại học quốc gia Hà Nội –Hà Văn
Chương.
5. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau
6. Tuyển tập các bài toán hay và kh đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ
Chí Minh- PGS. TS Đậu Thế Cấp

VII. PHỤ LỤC
1. Ph ếu hăm ò ý k ến ủ h

nh

h

n

Học sinh: Số phiếu phát ra là 386; Số hiếu thu về hợp lệ: 318
Câu 1: Hứng thú học tập môn toán của em?
Bảng 1. Hứng thú học tập môn toán
Rất thích

Thích

Bình thường

Không thích

73-23%

102-32.1%

123-38.7%

20-6.3%

- Về mức độ hứng thú học tập môn toán của HS: theo kết quả khảo sát thì có 6,3% HS
không thích môn toán, đa số các em thấy môn toán bình thường như các môn học khác,
nghĩa là các em chỉ học tập môn toán như một nhiệm vụ chứ chưa thực sự yêu thích.
- Tuy nhiên cũng có 23% HS rất yêu thích môn toán, điều này cho thấy môn toán là một
môn học rất hấp dẫn với các em.
Câu 2: Thời gian tự học bộ môn toán mỗi ngày của em?
Bảng 2. Thời gian tự học toán mỗi ngày
Dưới 30 phút

30-45 phút

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

45-60 phút

Ý kiến khác

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

22

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
49-15,4%
177-55,7%
73-22,9%
19-6%
- Thời gian học tập của HS khoảng 30-45 chiếm 55,7% là thời gian học tập cân đối
chứng t đa số HS cũng đã có ý thức học tập.
- Tuy nhiên số HS học tập dưới 30 phút chiếm 15,4% và ý kiến khác chiếm 6% cũng là
kết quả đáng lo ngại. Ý kiến khác của các em cho rằng vì nhiều em đi học cả ngày nên
mệt m i không muốn học vào buổi tối.
Câu 3: Mức độ chuẩn bị bài của em trước khi học bài mới?
Bảng 3. Mức độ chuẩn bị bài của học sinh
Không chuẩn bị

99-31.1%

Chuẩn bị bài theo hướng Chuẩn bị theo hướng dẫn và Ý

kiến

dẫn của thầy cô.

đọc thêm tài liệu khác

khác

108-34%

97-30.5%

14-4.4%

- Tỉ lệ HS có chuẩn bị bài chiếm khá cao, chứng t các em đã có ý thức học tập, việc
chuẩn bị bài theo hướng dẫn của GV là có tỉ lệ cao nhất.
- Tỉ lệ HS không chuẩn bị bài cũng là một con số không nh nên việc tạo hứng thú cho
các em học tập là rất cần thiết.
Câu 4: Cách giải quyết của em khi gặp bài tập khó?
Bảng 4. Giải quyết của HS khi gặp bài tập kh
H i bạn bè, anh Mượn bài giải của Chờ thầy cô sửa Đọc lại lý

Ý

chị hoặc thầy cô

khác

bạn để chép

thuyết, tìm tài

bài

kiến

liệu để giải
41-12.9%

57-17.9%

131-41.2%

82-25.8%

7-2.2%

- Đa số các em đều cố gắng tìm cách để làm được bài, điều này cho thấy HS đã có ý
thức học tập, cố gắng để hoàn thành nhiệm vụ được giao, có 2,2% HS không làm bài
tập.
- Có khoảng 12,9% HS khảo sát đã tự cố gắng tìm t i cách giải quyết, các em đã chủ
động khám phá kiến thức, chứng t các em rất yêu thích môn toán.
Câu 5: Lý do em yêu thích bộ môn toán?
Bảng 5. Lý do thích học toán
Là môn học có tính Có nhiều ứng dụng thiết Giáo viên dạy hay, Ý
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

kiến
23


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
logic
thực trong cuộc sống
dễ hiểu
khác
299-94%

287-90.3%

106-33.3%

15-4.7%

- Các em đều yêu thích môn học vì toán là môn có tính lôgic và có nhiều ứng dụng
trong cuộc sống, đây là yếu tố cần khai thác để tạo hứng thú lâu dài trong học tập cho
các em.
Câu 6: Những khó khăn thường gặp khi học tập môn toán?
Bảng 6. Kh khăn thường gặp khi học toán
Khối

lượng

bài Thiếu tài liệu Giáo viên dạy khó

Chưa

yêu Ý

kiến

nhiều, ít thời gian.

hỗ trợ

hiểu

thích.

khác

99-31.1%

184-57.9%

65-20.4%

97-44.5%

8-2.5%

- Khó khăn nhiều nhất là HS thiếu tài liệu hỗ trợ học tập, khối lượng kiến thức bài nhiều
nhưng thời gian học tập lại ít, do đó áp lực học tập đối với các em là rất lớn. Bên cạnh
đó HS chưa thấy yêu thích môn toán cũng chiếm tỉ lệ cao, điều này cho thấy việc tạo
hứng thú học tập cho các em là rất cần thiết.
Câu 7: Em có tham khảo thêm các tài liệu ngoài tài liệu thầy cô cho không?
Bảng 7. Mức độ tìm hiểu thêm tài liệu
Thường xuyên

Thỉnh thoảng

Không bao giờ

86-27%

102-32.1%

134-42.1%

- Phần lớn các em không tham khảo thêm các tài liệu khác lý do là thời gian học tập ít
mà khối lượng bài học rất nhiều, hơn nữa các em chưa thấy hứng thú với môn học nên ít
đọc thêm các tài liệu khác. Tuy nhiên cũng có một số em đã thường xuyên xem thêm tài
liệu khác, điều đó cho thấy những em này rất yêu thích môn hóa.
Câu 8: Những dạng bài tập mà em đã được làm?
Bảng 9. Bảng những dạng bài tập HS đã được làm
Thường
xuyên

Thỉnh thoảng Chưa bao giờ

BT có sử dụng thí nghiệm

65-20.4%

253-79.6%

0

BT sử dụng hình ảnh, sơ đồ, bảng biểu.

103-32.4%

215-67.6%

0

217-68.2%

33-10.4%

BT có nội dung gắn với thực tiễn và bảo 68-21.4%
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

24


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
vệ môi trường
BT có chứa câu chuyện lịch sử

0

117-36.8%

201-63.2%

BT nội dung mang tính thời sự

21-6.6%

249-78.3%

48-15.1%

- Về các dạng bài tập mà các em sử dụng thường xuyên nhất đó là bài tập sử dụng hình
ảnh, sơ đồ, bảng biểu. Thỉnh thoảng có làm bài tập, nhưng dạng bài tập gắn với thực
tiễn và giáo dục môi trường lại không được làm nhiều.

Tóm lại qua kết quả điều tra HS, tôi nhận thấy các em chưa yêu thích môn toán
nhiều, tuy nhiên cũng có một phần các em đã thấy thích thú và ra sức học tập, tìm t i
khám phá, đây cũng là một dấu hiệu đáng mừng. Cũng từ kết quả này, tôi thấy rất nên
vận dụng các câu h i gợi mở kết hợp các bài tập thực tiễn liên hệ cuộc sống, học tập
của các em một cách khoa học, có hệ thống và kết hợp với các phương pháp dạy học
ph hợp để nâng cao hiệu quả học tập cho các em.

NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Cảnh Thắng

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

25