skkn ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ BẰNG máy TÍNH bỏ túi

Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng.
Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri thức
cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những
môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, phương trình vô tỉ
là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhiều em mặc định
là bỏ qua trong thi kì thi Quốc Gia
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác các chức năng của máy tính bỏ túi (Trong phần trình bày của sang kiến
kinh nghiệm này tôi sử dụng máy tính Casio fx570vn, các máy tinh tương đương
có thể làm tương tự). Với hướng sử dụng công cụ là máy tính bỏ túi khá quen
thuộc với học sinh, các em sẽ có thể thấy được điểm xuất phát của bài toán từ đó
có thể định hướng giải phương trình vô tỉ. Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “ Định
hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy tính bỏ túi”
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
Như ta đã biết nếu phương trình f ( x) = 0 có các nghiệm x1 , x2 , x3 ,... thì f ( x) sẽ
được phân tích theo các nhân tử: ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )...
Do đó dựa vào chức năng qr(Shift solve) ta có thể tìm được một vài nghiệm
của phương trình từ đó ta dự đoán được nhân tử của phương trình

2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề:
Xuất phát từ thực tế khi giảng dạy học sinh thường rất khó hình dung ra phải
làm những gì đối với bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi Quốc Gia do đó
đại đa số các em đều bị động trước dạng bài toán phương trình vô tỉ
Vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học
sinh có cách nhìn ra hướng đi của phương trình vô tỉ trong các đề thi Quốc Gia. Từ
đó giúp các em chủ động lĩnh hội đơn vị kiến thức này
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1. Các kĩ thuật sử dụng máy tính có liên quan
1.1. Nhớ giá trị vào biền nhớ
Ví dụ: Ta cần nhớ số 2 vào biến A
3


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

Ta thực hiện như sau:s2qJz
Màn hình xuất hiện 2 → A
1.2. Tìm một nghiệm của phương trình
Ví dụ: Tìm một nghiệm của phương trình x5 + 3x 2 = 2 x + 3
Để thuận tiện cho việc tính toán ta nên đưa về hết một vế.
Khi đó phương trình tương đương với x5 + 3x 2 − 2 x − 3 = 0
Ta thực hiện như sau:
B1. Nhập và nhớ biểu thức:
Q)^5$+3Q)dp2Q)p3=

B2. Tìm nghiệm và nhớ nghiệm:
qr10=qJz

(Với điểm xuất phát x = 10 ta được nghiệm 1,0965… được nhớ vào A)
Eqrp10=qJx

(Gọi lại biểu thức và giải với x = −10 ta được nghiệm -1,4314…được nhớ vào B)
1.3. Kỹ thuật quét nghiệm của phương trình
Thông thường ta gán các giá trị x khác nhau ta sẽ được một vài nghiệm.
Vấn đề đặt ra là phương trình đã hết nghiệm chưa?
Ta có thể giải quyết vấn đề này như sau:
x5 + 3x 2 − 2 x − 3
E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1=== (Chèn và nhớ biểu thức
)
( x − A)( x − B )
qr===qJc

(Ta được nghiệm nữa là -0,7601… và nhớ vào biến C
E!!(J)pJc)r1====
x5 + 3x 2 − 2 x − 3
(Gọi lại biểu thức, chèn và nhớ biểu thức
)
( x − A)( x − B )( x − C )
qr==== (Tiếp tục giải và máy báo Can’t Solve)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Kiểm tra lại bằng phần mềm vẽ đồ
thị thấy phương trình có đúng 3 nghiệm
1.4. Chú ý
- Khi sử dụng máy tính lạ ta nên đư máy về trạng thái mặc định ( q93==) để
tránh lỗi
- Máy báo chưa tìm ra nghiệm
Ví dụ:Khi giải phương trình x5 − 3x + 2 x − 3 = 0 với x = 5 máy báo

4


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

Điều này có nghĩa là máy chưa tìm ra nghiệm của phương trình với giá trị
ban đầu x = 5 và máy hỏi có tiếp tục để máy tính tiếp không. Kinh nghiệm nên thay
bằng giá trị ban đầu khác
(Khi máy tính đến một thời gian mà không ra nghiệm thì máy báo
“Continue” – có tiếp tục tính thì ấn dấu =. Ở đây L – R có nghĩa là vế trái trừ vế
phải tại giá trị x đang hiển thị)
2. Các bài toán minh họa
2.1. Phương trình vô tỉ chỉ có nghiệm hữu tỉ
Phương pháp chung: Tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 (trích đề khối B2010)
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
1
3

Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện − ≤ x ≤ 6
s3Q)+1$ps6pQ)$+3Q)dp14Q)p8= (Nhập và nhớ biểu thức)
qr0= (Giải phương trình với x = 0 máy báo không có nghiệm)
$qr6= (Giải phương trình với x = 6 máy báo không có nghiệm)
$qr3= (Giải phương trình với x = 3 phương trình có nghiệm x = 5

(Lưu ý: Khi phương trình có điều kiện nằm trong khoảng (đoạn) thì không nên cho
điểm xuất phát gần hai đầu mút )

!)aQ)p5Eoqr3= (quét nghiệm phương trình ta được phương trình hết

nghiệm)
b. Tìm nhân tử
Phương trình có nghiệm x = 5 nên ta có nhân tử x − 5
3( x − 5) = 3 x + 1 − 16 = ( 3 x + 1) 2 − 4 2
Do đó ta có 
2
2
 −( x − 5) = 6 − x − 1 = ( 6 − x ) − 1

Như vậy phương trình được viết lại

(

3 x + 1 − 4 ) − ( 6 − x − 1) + 3 x 2 − 14 x − 5 = 0

(Ở đây việc nhóm số hạng với hai biểu thức căn khá dễ)
Nhân lượng lên hợp ta được
x −5
5− x
1
1


−
+ ( x − 5)(3 x + 1) = 0 ⇔ ( x − 5) 
+
+ (3 x + 1) ÷ = 0
3x + 1 + 4

6 − x +1
6 − x +1
 3x + 1 + 4


c. Lời giải chi tiết
1
3

ĐK: − ≤ x ≤ 6
5


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

pt ⇔ ( 3x + 1 − 4 ) − ( 6 − x − 1) + 3x 2 − 14 x − 5 = 0
x−5
5− x
⇔
−
+ ( x − 5)(3x + 1) = 0
3x + 1 + 4
6 − x +1
1
1


⇔ ( x − 5) 

+
+ (3 x + 1) ÷ = 0
6 − x +1
 3x + 1 + 4

x − 5 = 0
⇔
1
1

+
+ (3 x + 1) = 0
6 − x +1
 3 x + 1 + 4
*

*

x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ( n)
1
1
+
+ (3 x + 1) = 0 (VN )
3x + 1 + 4
6 − x +1
1
3

Vì với − ≤ x ≤ 6 ta có

1
1
+
+ (3 x + 1) > 0
3x + 1 + 4
6 − x +1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5
Ví dụ2: Giải phương trình 2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x = 0
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥

17
21

s2Q)dpJ)+3$ps21J)p17$+J)dpJ) (Nhập biểu thức)
qr2= (Giải phương trình với x = 2 ta được nghiệm x = 2 )
qr10= ( Giải phương trình với x = 10 ta được nghiệm x = 2 )
!)aQ)p2Eoqr10= (quét nghiệm phương trình ta được nghiệm x = 1 )
!Rr3=!!!!!($$$)(Q)p1)qr10= (tiếp tục quét nghiệm phương trình ta được

phương trình hết nghiệm)
b. Tìm nhân tử
Phương trình có nghiệm x = 1, x = 2 nên ta có nhân tử ( x − 1)( x − 2) = x 2 − 3x + 2
2
 2
2
2
2
2

 x − 3x + 2 = 2 x − x + 3 − ( x + 2 x + 1) = ( 2 x − x + 3 ) − ( x + 1)
Do đó ta có 
2
 x 2 − 3x + 2 = ( x 2 − x ) − 2 x + 2

Như vậy phương trình được viết lại
 2 x 2 − x + 3 − ( x + 1)  + (3 x − 1) − 21x − 17  + ( x 2 − 3 x + 2) = 0

(Ở đây việc nhóm số hạng với 21x − 17 tương đối phức tạp nên ta dùng phần bù )
Nhân lượng lên hợp ta được
x 2 − 3x + 2
2 x 2 − x + 3 + ( x + 1)

+

9 x 2 − 27 x + 18
+ ( x 2 − 3x + 2) = 0
(3 x − 1) + 21x − 17
6


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

1
9


⇔ ( x 2 − 3 x + 2) 

+
+ 1 = 0
2
 2 x − x + 3 + ( x + 1) (3 x − 1) + 21x − 17 

c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥

17
21

pt ⇔  2 x 2 − x + 3 − ( x + 1)  + (3 x − 1) − 21x − 17  + ( x 2 − 3 x + 2) = 0
x 2 − 3x + 2
9 x 2 − 27 x + 18
⇔
+
+ ( x 2 − 3 x + 2) = 0
2
2 x − x + 3 + ( x + 1) (3x − 1) + 21x − 17
1
9


⇔ ( x 2 − 3x + 2) 
+
+ 1 = 0
2
 2 x − x + 3 + ( x + 1) (3 x − 1) + 21x − 17 
 x 2 − 3x + 2 = 0


⇔
1
9
+
+1 = 0
 2 x 2 − x + 3 + ( x + 1) (3x − 1) + 21x − 17

*

 x = 1 ( n)
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
 x = 2 ( n)
1

*

2 x − x + 3 + ( x + 1)
2

Vì với x ≥

17
ta có
21

+

9
(3 x − 1) + 21x − 17
1

2 x 2 − x + 3 + ( x + 1)

+

+ 1 = 0 (VN )
9
(3 x − 1) + 21x − 17

+1 > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = 2
Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ có biểu thức trong căn là bậc một thì chỉ cần
tìm một nghiệm là có thể phân tích được còn phương trình vô tỉ có biểu thức trong
căn là bậc hai thì tìm ra nhân tử bậc hai sẽ giúp ta phân tích nhân tử dễ dàng hơn
Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 32 x 4 − 16 x 2 − 9 x − 9 2 x − 1 + 2 ≥ 0
(Trích đề thi thử số 1 năm 2016 báo THTT số 459 tháng 9/2015)
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥

1
2

32Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2= (Nhập và nhớ biểu thức)
Qr10=(Giải phương trình với x = 10 phương trình có nghiệm x = 1
!)aQ)p1Eoqr10=qr2=qr0.
5= (quét nghiệm phương trình máy báo không tìm được nghiệm)
w732Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2==0.5=10==$RRRRRRRRRR

(Kiểm tra bằng chức năng table thấy hết nghiệm)
7


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

b. Tìm nhân tử
Ta nhẩm được nghiệm nghiệm x = 1 nên ta có nhân tử x − 1
Do đó ta có 2( x − 1) = 2 x − 1 − 1 = ( 2 x − 1 ) − 12
2

Như vậy bất phương trình được viết lại
−9 ( 2 x − 1 − 1) + 32 x 4 − 16 x 2 − 9 x − 7 ≥ 0

Nhân lượng lên hợp và phân tích nhân tử ta được
2x − 2
+ ( x − 1)(32 x 3 + 32 x 2 + 16 x + 7) ≥ 0
2 x −1 + 1
18


⇔ ( x − 1)  32 x 3 + 32 x 2 + 16 x + 7 −
÷≥ 0
2x −1 +1 

−9

c. Lời giải chi tiết

ĐK: x ≥

1
2

bpt ⇔ −9 ( 2 x − 1 − 1) + 32 x 4 − 16 x 2 − 9 x − 7 ≥ 0
2x − 2
⇔ −9
+ ( x − 1)(32 x 3 + 32 x 2 + 16 x + 7) ≥ 0
2x −1 +1
18


⇔ ( x − 1)  32 x 3 + 32 x 2 + 16 x + 7 −
÷≥ 0
2x −1 +1 

3
2
Xét hàm f ( x) = 32 x + 32 x + 16 x + 7 −

f ′ = 96 x 2 + 64 x + 16 +

(*)

18
1

trên  ; +∞ ÷
2x −1 +1

2


18
1

≥ 0 ∀x ∈  ; +∞ ÷
2
2 x − 2( 2 x − 1 + 1)
2


1
1

⇒ f ( x) ≥ f  ÷ = 9 > 0 ∀x ∈  ; +∞ ÷
2
2

(*) ⇔ x − 1 ≥ 0
⇔ x ≥1

Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ 1
2.2. Phương trình vô tỉ có nghiệm vô tỉ
Nhận xét: Do chương trình phổ thông chỉ có phương pháp giải phương trình bậc
hai nên các nghiệm vô tỉ đều là nghiệm của phương trình bậc hai. Từ đó ta có thể
dẫn tới hướng giải quyết là đi tìm nhân tử bậc hai của nghiệm vô tỉ
Chú ý: Theo định lí đảo của định lí Vi-et ta có:
u + v = S
Nếu hai số u, v thỏa mãn 

thì u, v là nghiệm của phương trình
uv = P

x − Sx + P = 0
2

Phương pháp chung: Tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp
8


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

Ví dụ 1: Giải phương trình 5 x 2 − 5 x + 3 − 7 x − 2 + 4 x 2 − 6 x + 1 = 0
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥

2
7

s5Q)dp5Q)+3$ps7Q)p2$+4Q)dp6Q)+1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)
qr=qJz (Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = 1,39.... và nhớ vào A)
Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 vẫn được nghiệm A)
!)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (quét nghiệm phương trình ta được nghiệm
x = 0,35.... và nhớ vào B)
!!(J)pJx)r1===qr===

(Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)
b. Tìm nhân tử

Phương trình có nghiệm A, B và dễ thấy
7(CQz+Qx=)

 A + B = 4

 AB = 1 ($$$o=)

2

nên ta có nhân tử 4 x 2 − 7 x + 2
 4 x 2 − 7 x + 2 = 5 x 2 − 5 x + 3 − ( x 2 + 2 x + 1) = ( 5 x 2 − 5 x + 3) 2 − ( x + 1) 2
Do đó ta có  2
2
2
2
 4 x − 7 x + 2 = 4 x − (7 x − 2) = (2 x) − ( 7 x − 2)

Như vậy phương trình được viết lại

(

)

5 x 2 − 5 x + 3 − ( x + 1) + ( 2 x − 7 x − 2 ) + 4 x 2 − 7 x + 2 = 0

Nhân lượng liên hợp ta được

  4 x2 − 7 x + 2 
4 x2 − 7 x + 2
2


÷+ 
÷+ 4 x − 7 x + 2 = 0
2
 5 x − 5 x + 3 + ( x + 1)   2 x + 7 x − 2 
1
1


⇔ (4 x 2 − 7 x + 2) 
+
+ 1÷ = 0
2
 5 x − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x + 7 x − 2 

c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥

2
7

9


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi
pt ⇔

(

Trần Văn Minh

)

5 x 2 − 5 x + 3 − ( x + 1) + ( 2 x − 7 x − 2 ) + 4 x 2 − 7 x + 2 = 0


  4x2 − 7 x + 2 
4 x2 − 7 x + 2
2
⇔
÷+ 
÷+ 4 x − 7 x + 2 = 0
2
 5 x − 5 x + 3 + ( x + 1)   2 x + 7 x − 2 
1
1


⇔ (4 x 2 − 7 x + 2) 
+
+ 1÷ = 0
2
 5 x − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x + 7 x − 2 
4 x2 − 7 x + 2 = 0

⇔
1
1
+
+1 = 0

 5 x 2 − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x + 7 x − 2

*


7 + 17
(n)
x =
8
4 x2 − 7 x + 2 = 0 ⇔ 

7 − 17
(n)
x =
8

1

*

5 x − 5 x + 3 + ( x + 1)
2

Vì với x ≥

2
ta có
7

+

1
+ 1 = 0 (VN )
2x + 7x − 2
1

5 x 2 − 5 x + 3 + ( x + 1)

+

1
+1 > 0
2x + 7x − 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

7 ± 17
8

Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 − 2 ( 15 − x 2 + x ) = 15 − 3 15 x − x 3 − 4 x
(Trích đề thi thử năm 2015 của trường THPT Cao Bá Quát - QN)
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện 0 ≤ x ≤ 15
Q)dp2(s15pJ)d$+J))p15+3s15J)pJ)qd$+4sQ)r1= (Nhập và nhớ biểu thức)
qr=qJz (Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = 2,35.... và nhớ vào A)
E!)aJ)pJzEor1==qr==

(quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)
b. Tìm nhân tử
Trong trường hợp này máy chỉ cho ta một nghiệm vô tỉ còn nghiêm liên hợp

đã bị loại do vi phạm điều kiện. Mặt khác phương trình có nhiều căn nên việc mở
rộng diều kiện của phương trình tương đối khó.
Ở đây ta có thể khác phục bằng chức năng Table (w7) như sau
w7Jzd+JzJ)=p14=14==

(Nhập biểu thức f ( x) = A2 + AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với
x ∈ [ −14;14] )
$RRRRRRRRRRRRRRRRRR
10


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

(Dò giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ)
Ta thấy với f (4) = 15 hay ta có A2 + 4 A = 15 ⇔ A2 + 4 A − 15 = 0
Suy ra ta có nhân tử x 2 + 4 x − 15
 −( x 2 + 4 x − 15) = 15 − x 2 − 4 x = ( 15 − x 2 ) 2 − (2 x ) 2
Do đó ta có 
 − x( x 2 + 4 x − 15) = 15 x − x 3 − 4 x 2 = ( 15 x − x 3 ) 2 − (2 x) 2

Như vậy phương trình được viết lại
−2 ( 15 − x 2 − 2 x ) + 3 ( 15 x − x 3 − 2 x ) + x 2 + 4 x − 15 = 0

Nhân lượng lên hợp ta được
−2

15 − x 2 − 4 x
15 − x + 2 x

2

+3

15 x − x 3 − 4 x 2
15 x − x + 2 x
3

+ x 2 + 4 x − 15 = 0

2
3x


⇔ ( x 2 + 4 x − 15) 
−
+ 1÷ = 0
2
3
15 x − x + 2 x 
 15 − x + 2 x

c. Lời giải chi tiết
ĐK: 0 ≤ x ≤ 15
pt ⇔ −2 ( 15 − x 2 − 2 x ) + 3 ( 15 x − x3 − 2 x ) + x 2 + 4 x − 15 = 0
15 − x 2 − 4 x

⇔ −2

15 − x + 2 x

2

+3

15 x − x3 − 4 x 2
15 x − x + 2 x
3

+ x 2 + 4 x − 15 = 0

2
3x


⇔ ( x 2 + 4 x − 15) 
−
+ 1÷ = 0
2
3
15 x − x + 2 x 
 15 − x + 2 x
 x 2 + 4 x − 15 = 0

⇔
2−3 x
 15 − x 2 + 2 x + 1 = 0

*

*

 x = −2 + 19 (n)
x 2 + 4 x − 15 = 0 ⇔ 
 x = −2 − 19 (l )
2−3 x
15 − x + 2 x
2

+ 1 = 0 ⇔ 15 − x 2 + (2 − x ) = 0 (VN )

Vì với 0 ≤ x ≤ 15 ta có 0 ≤ x < 4 ⇔ x < 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −2 + 19
Nhận xét: Như vậy nếu phương trình bất phương trình cho ta đủ hai nghiệm lên
hợp thì việc tìm nhân tử theo định lí Vi – ét là khá dễ dàng. Tuy nhiên nếu phương
trình chỉ cho ta một nghiệm vô tỉ ta vẫn có thể tìm ra nhân tử nhờ chức năng Table
Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ

11


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Ví dụ 3: Giải phương trình

x2 +

Trần Văn Minh

19 x 1
x +1

− − 6x −1 ≥
2 4
2

(Trích đề thi thử năm 2015 của trường THPT Hồng Quang - HD)
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥

1
6

Ta biến đổi bất phương trình thành 4 x 2 + 38 x − 1 − 2 6 x − 1 − x − 1 ≥ 0
s4Q)d+38Q)p1$p2s6Q)p1$pQ)p1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)
qr=qJz(Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = 0,58.... và nhớ vào A)
qr=qJzEqr10=qJx

(Giải phương trình với x = 10 được nghiệm x = 3, 41.... và nhớ vào B)
E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1===qr=== (quét nghiệm máy không tìm được
nghiệm và giá trị x → +∞ do đó phương trình hết nghiệm)

b. Tìm nhân tử
A + B = 4
 AB = 2

Phương trình có nghiệm A, B và dễ thấy 
nên ta có nhân tử x 2 − 4 x + 2

Do đó ta có 4( x 2 − 4 x + 2) = 4 x 2 + 38 x − 1 − (54 x − 9) = ( 4 x 2 + 38 x − 1) 2 − (3 6 x − 1) 2
Như vậy phương trình được viết lại

(

4 x 2 + 38 x − 1 − 3 6 x − 1 ) + 6 x − 1 − ( x + 1) ≥ 0

Nhân lượng lên hợp ta được
4( x 2 − 4 x + 2)
4 x 2 + 38 x − 1 + 3 6 x − 1

+

6 x − 1 − ( x 2 + 2 x + 1)
≥0
6 x − 1 + ( x + 1)

4
1


⇔ ( x 2 − 4 x + 2) 
−
≥0
2
6 x − 1 + ( x + 1) ÷
 4 x + 38 x − 1 + 3 6 x − 1


c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥

1

6

bpt ⇔ 4 x 2 + 38 x − 1 − 2 6 x − 1 − x − 1 ≥ 0

⇔ ( 4 x 2 + 38 x − 1 − 3 6 x − 1 ) + 6 x − 1 − ( x + 1) ≥ 0
⇔

4( x 2 − 4 x + 2)
4 x 2 + 38 x − 1 + 3 6 x − 1

+

6 x − 1 − ( x 2 + 2 x + 1)
≥0
6 x − 1 + ( x + 1)

4
1


⇔ ( x 2 − 4 x + 2) 
−
÷≥ 0
2
6
x
−
1
+
(

x
+
1)
4
x
+
38
x
−
1
+
3
6
x
−
1


12

(*)


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Do x ≥

1
2
nên ta có [ 4( x + 1)] − (4 x 2 + 38 x − 1) = 12 x 2 − 6 x + 17 > 0 ⇒ 4( x + 1) > 4 x 2 + 38 x − 1

6
4

Ta có

4 x + 38 x − 1 + 3 6 x − 1
2

=

Trần Văn Minh

(

−

1
=
6 x − 1 + ( x + 1)

6 x − 1 + 4( x + 1) − 4 x 2 + 38 x − 1

6 x − 1 + ( x + 1) ) ( 4 x 2 + 38 x − 1 + 3 6 x − 1 )

> 0 ∀x ≥

1
6

x ≥ 2 + 2

bpt (*) ⇔ x 2 − 4 x + 2 ≥ 0 ⇔ 
 x ≤ 2 − 2
1
≤ x ≤ 2 − 2; x ≥ 2 + 2
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 6

2.3. Chú ý
Ngoài cách tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp dạng
phương trình, vô tỉ còn có thể làm theo cách tách thành phương trình tích (Phương
pháp ép tích)
Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 1) 3x − 1 = 2 x 2 − 4 x + 1
(Trích đề số 8 – hướng dẫn ôn tập kì thi THPTQG năm 2014 –
2015)
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥

1
3

(J)p1)s3J)p1$p2Q)d+4Q)p1 r1= (Nhập và nhớ biểu thức)
qr=qJz(Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = 0.38... và nhớ vào A)
Eqr10=qJx

(Giải phương trình với x = 10 được nghiệm x = 2, 61.... và nhớ vào B)
EE!)a!R(J)pJz)J(J)pJx)$or10===qr===qJc

(quét nghiệm phương trình ta được nghiệm x = 0.35.... và nhớ vào C )
E!!(J)pJc)r10====qr====

(Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)

b. Tìm nhân tử
Ta thấy A + B = 3, AB = 1 như vậy A và B là hai nghiệm liên hợp sẽ cho ta một
nhân tử
Ở đây ta dung chức năng Table (w7) để tìm nhân tử như sau
w7s3Jzp1$+JzJ)=p5===

(Nhập biểu thức
x ∈ [ −5;5] )

3 A − 1 + AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

13


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

$RRRR (Dò giá trị f ( x ) tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy với f (−1) = 0 hay ta có 3x − 1 − x là nhân tử
Tương tự với nghiệm C
C$$$oJc$$$$$oJc====
$RRRRRRR

Ta thấy với f (2) = 1 hay ta có 3x − 1 + 2 x − 1 là nhân tử
Do đó phương trình có tích ( 3x − 1 − x ) ( 3x − 1 + 2 x − 1)
c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥

1
3

pt ⇔ (2 x − 1 − x ) 3 x − 1 = x(2 x − 1) − (3 x − 1)
⇔ (2 x − 1) ( 3 x − 1 − x ) − 3 x − 1 ( x − 3 x − 1 ) = 0
⇔ ( 3 x − 1 − x ) ( 3 x − 1 + 2 x − 1) = 0
 3x − 1 = x
⇔
 3 x − 1 = 1 − 2 x
*

3x − 1 = x ⇔ 3 x − 1 = x 2 ⇔ x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ x =

*

1

x ≤
3x − 1 = 1 − 2 x ⇔ 
⇔
2
2
3 x − 1 = 4 x − 4 x + 1


1
3± 5
(do x ≥ )
3
2

1

x ≤
⇔
2

2
4 x − 7 x + 2 = 0


Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

1

 x ≤ 2
7 − 17
⇔ x=

8
 x = 7 ± 17

8

3± 2
7 − 17
,x =
2
8

Ví dụ 2: Giải phương trình (5 x + 7) x 2 − 1 = 4 x 2 + 5 x + 1
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥ 1; x ≤ −1
(5J)+7)sJ)dp1$p4J)dp5J)p1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)
5
qr=qJz(Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = và nhớ vào A)
3
Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 được nghiệm A)
qrp10=qJx

(Giải phương trình với x − 10 được nghiệm x = −1,18... và nhớ vào B)
qrp1=(Giải phương trình với x − 1 được nghiệm x = −1 )
EE!)a(J)pJz)(J)pJx)9(J)p1)Eoqr==p10=
14


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

(Quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)
b. Tìm nhân tử
Ta thấy phương trình có cả nghiêm hữu tỉ và vô tỉ và theo kinh nghiệm ta
nên phân tích theo nghiệm vô tỉ
w7sJxdp1$+JxJ)=p5===

(Nhập biểu thức
x ∈ [ −5;5] )

B 2 − 1 + BX với B là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

$RRR (Dò giá trị f ( x ) tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy với f (−2) = 3 hay ta có

x 2 − 1 − 2 x − 3 là nhân tử

Theo ví dụ 1 thì ta sẽ tách 5 x + 7 theo 2 x + 3
c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥ 1; x ≤ −1
pt ⇔ (4 x + 6 + x + 1) x 2 − 1 = ( x + 1)(2 x + 3) + 2 x 2 − 2

⇔ ( x + 1) ( x 2 − 1 − 2 x − 3) + 2 x 2 − 1 ( 2 x + 3 − x 2 − 1 ) = 0
⇔ ( x 2 − 1 − 2 x − 3) ( x + 1 − 2 x 2 − 1 ) = 0
 x2 −1 = 2 x + 3
⇔
 2 x 2 − 1 = x + 1

*

*

3

x≥−
3
3




−6 + 6
2
x ≥ −
x ≥ −

x2 − 1 = 2x + 3 ⇔ 
⇔
⇔
⇔x=
2
2
3
 x 2 − 1 = 4 x 2 + 12 x + 9 3 x 2 + 6 x + 10 = 0  x = −6 ± 6



3
 x ≥ −1
 x = −1

 x ≥ −1
 x ≥ −1
  x = −1 
2
2 x −1 = x + 1 ⇔  2
⇔ 2
⇔ 
⇔
2
x = 5

5
 4 x − 4 = x + 2 x + 1 3x − 2 x − 5 = 0
 x =
3

 
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

−6 + 6
5
; x = −1; x =
3
3

Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2 x 2 − 3( x + 1) 2 x + 1 ≤ 0
a. Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm
Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥ −

1
2

2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0=

(Nhập và nhớ biểu thức)
qr=qJz(Giải phương trình với x = 0 được nghiệm x = 6.46... và nhớ vào A)
15

Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 được nghiệm A)
!)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx

(Quét nghiệm phương trình được nghiệm x = −0.46... và nhớ vào B)
E!!(J)pJx)r1===qr===

(tiếp tục quét nghiệm may báo hét nghiệm)
b. Tìm nhân tử
Ta thấy AB = 3 và A + B = 6 nên A, B cho ta 1 nhân tử
Với nghiệm A ta có
w7s2Jzp1$po+JzJ)=0===

(Nhập biểu thức
x ∈ [ 0;5] )

2 A − 1 + AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

$RRRRR (Dò giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Cp====$RRRRR (Sửa biểu thức thành − 2 A − 1 + AX và tính với x ∈ [ 0;5] )

cũng không thỏa mãn
C$2====$RRRRR (Sửa biểu thức thành −2 2 A − 1 + AX và tính với x ∈ [ 0;5]
) lần này ta được f (1) = −1

Vậy nhân tử sẽ là: x + 1 − 2 x − 1
c. Lời giải chi tiết
ĐK: x ≥ −

1
2

bpt ⇔ ( x + 1) − 4( x + 1) ) 2 x + 1 + 2( x + 1) 2 − (4 x + 2) ≤ 0

⇔ 2( x + 1) ( x + 1 − 2 x + 1 ) + 2 x + 1 ( x + 1 − 2 x + 1 ) ≤ 0
⇔ ( x + 1 − 2x + 1) ( 2x + 2 + 2 x + 1) ≤ 0
⇔ 2 2x +1 ≥ x +1
⇔ 8x + 4 ≥ x2 + 2x + 1

1

 Do 2 x + 2 + 2 x + 1 = 2 x + 1 + 2 x + 1 + 1 > 0 ∀x ≥ − ÷

2
1

 Do x ≥ − ÷

2

⇔ x2 − 6x − 3 ≤ 0
⇔ 3 − 2 3 ≤ x ≤ 3 + 2 3 ( n)

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 − 2 3 ≤ x ≤ 3 + 2 3

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Với việc áp dụng phương pháp này vào giảng dạy tôi thấy hứng thú học
của học sinh khi làm bài tạp dạng này được nâng cao hơn nhiều. Các em học sinh
16


Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi

Trần Văn Minh

đa biết đường hướng dể làm bài không còn bị động khi gặp dạng toán này. Một số
em còn chủ động tìm kiếm thêm bài tập để làm
- Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi 12 năm nay thì các câu phương trình,
bất phương trình vô tỉ các em đều chủ động làm khác với năm trước các em khá
vất vả khi làm câu phương trình bất phương trình vô tỉ
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài có phạm vi áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả tại nhóm ôn thi học
sinh giỏi lớp 12. Trên cơ sở đó, đề xuất đưa ra dụng thực tiễn cho toàn học sinh
khối12 trong trường.

17