Chuyen de To hop Niu ton

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI
TỐT NGHIỆP VÀ CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
VẤN ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN CHỈNH HỢP .
DẠNG 1 : Tập hợp nền không chứa chữ số 0 .
Bài 1 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
a) Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy ra từ tập A ?
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 trong đó : a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ a4 ≠ a5
Năm chữ số này được lấy từ tập A , đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên số
5
n cần tìm là A7 .
7!
A75 =
= 2520 số
(7 − 5)!
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 a 6
Số n chẵn nên a6 ∈ { 2 , 4 , 6 } ⇒ a6 có ba cách chọn .
5
Chọn 5 chữ số còn lại từ tập có 7 – a6 = 6 phần tử là A6
Ghép 5 chữ số này với chữ số a6 được số n cần tìm .
5
Vậy : Theo qui tắc nhân ta được số các số cần tìm là : 3. A6 = 2160 số .
Bài 2 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số lẻ và
3 chữ số chẵn ?
Lời giải :
Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 a 6
Chọn ba chữ số chẵn có A43 cách
3
Chọn ba chữ số lẻ có A5 cách .

3
Vậy có : A43 . A5 = 1440 số cần tìm .
Bài 3 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau :
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu lẻ ,
chữ số cuối chẵn ?
c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu và
chữ số cuối đều chẵn ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 a 6

Số n lẻ nên a6 ∈ { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } ⇒ a6 có năm cách chọn .
5
Chọn 5 chữ số còn lại trong tập có 8 phần tử là A8
5

Vậy có : 5. A8 = 33600 số cần tìm .
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 a 6
1


Số n có a6 chẵn ⇒ a6 ∈ { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
a1 lẻ ⇒ a1 ∈ { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}
a6 có 4 cách chọn
a1 có 5 cách chọn
4
Chọn 4 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử là A7
4
Vậy có : 4 . 5 . A7 = 16800 số cần tìm .

c) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5
Số n có a1 và a5 đều chẵn ⇒ a1 , a5 ∈ { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
a1 có 4 cách chọn .
a5 có 3 cách chọn .
3
Chọn 3 chữ số còn lại trong tập 7 phần tử là : A7
3
Vậy có : 4.3. A7
Bài 4 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu 345 ?
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có
mặt đúng một lần ?
c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số thứ 2
luôn có mặt đúng một lần ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5
5
Số có 5 chữ số là : A6 = 720 số .
2
Số các chữ số bắt đầu bằng 345a 4 a 5 là A3 = 6 số
Vậy số các số cần tìm là : 720 – 6 = 714 số .
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4
Chữ số 2 luôn có mặt một lần nên có 4 vị trí cho chữ số 2
Khi chọn vị trí cho chữ số 2 thì ta xem một chữ số nào đó trong số n đã nhận chữ số 2 , nên ta cần
3
chọn ba chữ số nữa và số cách chọn là A5 .
3

Vậy có : 4. A5 = 240 số cần tìm .
c) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4

Số n chẵn ⇒ a4 ∈ { 2 ; 4 ; 6 }
3
TH1 : a4 = 2 ⇒ số cách chọn ba chữ số còn lại là : A5 = 60
TH2 : a4 ≠ 2 ⇒ a4 có hai cách chọn
Có ba vị trí cho chữ số 2
Có A42 cách chọn hai chữ số còn lại
2
⇒ Có 2.3. A4 = 72 số .
Vậy : Có tất cả : 60 + 72 = 132 số cần tìm .
Bài 5 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 ; 7 ; 8 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ
số đôi một khác nhau sao cho chữ số 3 luôn có mặt đúng một lần ?
Lời giải :
Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5
4
TH1 : a5 = 3 : chọn 4 chữ số còn lại có : A7 cách

2


TH2 : a5 ≠ 3 :
a5 có ba cách
có 4 vị trí cho chữ số 3
3
có A6 cách chọn ba chữ số còn lại
3

⇒ Có 3.4. A6 số
4
3
Vậy : Có tất cả : A7 + 3.4. A6 = 2280 số cần tìm

Dạng 2: Tập hợp ban đầu có chứa chữ số 0 .
Bài 1 : Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.Từ tập A có thể lập được :
a) Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này đều chẵn ?
b) Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này đều lẻ ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 , a1, a2 , a3 , a4 ∈ A , a5 ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 }, a1≠ 0
4
- Trường hợp 1 : a5 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là A6
4
⇒ Số các số có dạng a1 a 2 a3 a 4 0 là A6
- Trường hợp 2 : a5 ≠ 0 : a5 có 3 cách chọn
a1≠ 0 và a1 ≠ a5 ; a1 có 5 cách chọn
3
Các số còn lại có cách chọn là A5
3

⇒ Số các số có dạng trên là 3.5. A5
4
3
Vậy : Số các số cần tìm là : A6 + 3.5. A5 = 1260 số .
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 , a1, a2 , a3 , a4 ∈ A , a5 ∈ {1 ; 3 }, a1≠ 0
a5 có 2 cách chọn
a1≠ 0 và a1 ≠ a5 ; a1 có 5 cách chọn
3
Các số còn lại có cách chọn là A5
3

Vậy : Số các số cần tìm là : 2.5. A5 = 600 số .
Bài 2 : Cho tập hợp A = {0 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 } .Từ tập A có thể lập được
a) Bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?

b) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a1 , a2 , a3 ∈ A , a4 ∈ {0 ; 5 }, a1≠ 0
-

3
Trường hợp 1 : a4 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là A5 cách

3
⇒ Số các số có dạng trên là A5 số .
- Trường hợp 2 : a4 = 5 : a1≠ 0 và a1≠ a4 ; a1 có 4 cách chọn .
Số các số còn lại có số cách chọn là A42 cách
2
⇒ Số các số có dạng trên là 4. A4
3
Vậy : Số các số cần tìm là A5 + 4. A42 = 108 số

b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a1 , a2 , a3 ∈ A , a4 ∈ {0 ; 2; 4 ; 6 }, a1≠ 0
-

3
Trường hợp 1 : a4 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là A5 cách

-

3
⇒ Số các số có dạng trên là A5
Trường hợp 2 : a4 ≠ 0 : a4 có 3 cách chọn

3

a1≠ 0 và a1≠ a4 ; a1 có 4 cách chọn .
Số các số còn lại có số cách chọn là A42 cách
2
⇒ Số các số có dạng trên là 3.4. A4 số
3
Vậy : Số các số cần tìm là : A5 + 3.4. A42 = 204 số .
Bài 3 : Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có :
a) Năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 ?
b) Sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 ∈ A , a5 ∈ {0;2;4;6} ; a1≠ 0
4
- Trường hợp 1 : a5 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là A7
4
⇒ Số các số có dạng trên là A7
- Trường hợp 2 : a5 ≠ 0 : a5 có 3 cách chọn
a1 ≠ 0 và a1 ≠ a5 ; a1 có 6 cách chọn
3
Số các số còn lại có số cách chọn là A6
3

⇒ Số các số có dạng trên là 3.6. A6
4
3
Vậy : Số các số cần tìm là A7 + 3.6. A6 = 3000 số
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a 6
5
5

- Trường hợp 1 : a1 = 2 : Chọn 5 chữ số còn lại có A7 ⇒ Có A7 số
- Trường hợp 2 : a1 ≠ 2 : a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 2 ; a1 ≠ 0)
Có 5 vị trí cho chữ số 2
4
Chọn 4 chữ số còn lại có A6 cách
4

⇒ Số các số có dạng trên là 6.2. A6 số
5
4
Vậy : Số các số cần tìm là : A7 + 6.5. A6 = 13320 số .
Bài 4: Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50000 ?
b) Có 5 chữ số khác nhau và đều là các số chẵn ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5
Số n > 50000 nên a1 ∈ {5 ; 7; 8 ; 9 }
a1 có 4 cách chọn
4
Chọn 4 chữ số còn lại có A7
4

⇒ Có 4. A7 = 3360 số .
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5
Số n chẵn nên a5 ∈ { 0 ; 2 ; 4 ; 8 }
4
- Trường hợp 1 : a5 = 0 : Chọn 4 chữ số còn lại có A7 cách
-

4

⇒ Có A7 số .
Trường hợp 2 : a5 ≠ 0 : a5 có 3 cách chọn
a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a5 ; a1 có 6 cách chọn
3
Chọn 3 chữ số còn lại có A6 cách
3

⇒ Có 3.6. A6 số
4


4
3
Vậy : Có tất cả : A7 + 3.6. A6 = 3000 số .
Bài 5 :Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt một lần ?
b) Có 6 chữ số sao cho các số này luôn lẻ , chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6 ?
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a 3 a 4 a5

-

4
4
Trường hợp 1 : a1 = 7 : Chọn 4 chữ số còn lại có A7 cách ⇒ Có A7 số .
Trường hợp 2 : a1 ≠ 7 : a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 7 ; a1 ≠ 0) .
Có 4 vị trí cho chữ số 7 .
3
Chọn 3 chữ số còn lại có A6 cách
3

⇒ Có 6.7. A6 số .
4
3
Vậy : Có tất cả : A7 + 6.4. A6 = 3720 số
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a 6
Số n có Lâmnh chất :
+ Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 }
+ a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} .
- Trường hợp 1 : a3 = 0 :
a6 có 4 cách .
a1 có 6 cách .
3
Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách .
3

-

⇒ Có 4.6. A5 số .
Trường hợp 2 : a3 = 6
a6 có 4 cách chọn .
a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6)
3
Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách
3

⇒ Có 4.5. A5 số .
3
3
Vậy : 4.6. A5 + 4.5. A5 = 2640 số .

Bài 6 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2001 – 2002)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau ?
Lời giải : A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4
Số n chẵn ⇒ a4 ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
3
3
- Trường hợp 1 : a4 = 0 : Chọn 3 chữ số còn lại có số cách chọn là A9 ⇒ có A9 số .
- Trường hợp 2 : a4 ≠ 0 : a4 có 4 cách chọn .
a1 có 8 cách chọn (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a4)
2
Chọn 2 chữ số còn lại có số cách chọn là A8
2

⇒ Có 4.8. A8 số .
3
2
Vậy : Có tất cả : A9 + 4.8. A8 = 2296 số .
Bài 7 : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2005 – 2006 của sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế )
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau đôi một ?
Lời giải : A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
5


Gọi số cần tìm là n = a1 a 2 a 3
Số n chẵn ⇒ a3 ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 }.
2
2
- Trường hợp 1 : a3 = 0 : Chọn 2 chữ số còn lại có số cách chọn là A9 ⇒ Có A9 số .
- Trường hợp 2 : a3 ≠ 0 : a3 có 4 cách chọn .

a1 có 8 cách chọn (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 )
a2 có 8 cách chọn .
⇒ Có 4.8.8 số .
2
Vậy : Có tất cả : A9 + 4.8.8 = 328 số .
VẤN ĐỀ 2 : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN TỔ HỢP .
DẠNG 1 : Bài toán chọn người .
Bài 1 : Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người , cần chọn 3 người vào ban thường vụ .Nếu không
có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn .
Lời giải :
3
Số cách chọn 3 người vào ban thường vụ trong ban chấp hành đoàn gồm 7 người là : C 7 = 35
cách .
Bài 2 : Một cuộc thi có 15 người tham dự , giả thiết rằng không có 2 người nào có điểm bằng nhau
.Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?
4
Lời giải : Các kết quả có thể là : C15 = 1365 .
Bài 3 : Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ .Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh
thanh lịch của trường .Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ .Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ?
Lời giải :
4
1
- Trường hợp 1 : Chọn 4 nam , 1 nữ : C8 .C 2 = 140 cách .
-

3
2
Trường hợp 2 : Chọn 3 nam , 2 nữ : C8 .C 2 = 56 cách .

4
1
3
2
Vậy : Có tất cả : C8 .C 2 + C8 .C 2 = 140 + 56 = 196 cách .
Bài 4 : Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ .Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia
đồng diễn thể dục .Trong 5 em được chọn , yêu cầu không có quá 1 em nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Lời giải :
5
- Trường hợp 1 : Chọn 5 nam : C 7

-

4
1
Trường hợp 2 : Chọn 4 nam , 1 nữ : C 7 .C 3

5
4
1
Vậy : Có tất cả : C 7 + C 7 .C 3 = 126 cách .
Bài 5 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ .
a) Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 người ?
b) Chọn từ đó ra một đội văn nghệ gồm có 13 người sao cho có ít nhất là 10 nữ và phải có nam và nữ ?
Lời giải :
12
a) Số cách chọn là C 25 = 5.200.300 cách .
10
3
b) - Trường hợp 1 : Chọn 10 nữ , 3 nam : C15 .C10

-

11
2
Trường hợp 2 : Chọn 11 nữ , 2 nam : C15 .C10

-

12
1
Trường hợp 3 : Chọn 12 nữ , 1 nam : C15 .C10

10
3
11
2
12
1
Vậy : Có tất cả : C15 .C10 + C15 .C10 + C15 .C10 = 426335 cách .
Bài 6 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ .
a) Chọn từ đó ra 6 học sinh sao cho có đủ nam và nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

6


b) Chọn từ đó ra 10 học sinh sao cho có ít nhất hai học sinh nam .Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Lời giải :
6
a) Chọn 6 học sinh bất kỳ trong 20 học sinh : C 20

6
Chọn 6 học sinh đều là nam : C8

Chọn 6 học sinh đều là nữ : C126
6
6
Vậy : Có tất cả : C 20 - C8 - C126 = 37808 cách .
10
b) - Chọn 10 học sinh bất kỳ : C 20

-

Chọn 10 học sinh nữ : C1210

-

9
1
Chọn 9 học sinh nữ , 1 học sinh nam : C12 .C8

10
9
1
Vậy : Có tất cả : C 20 - C1210 - C12 .C8 = 182.930 cách .
Bài 7 : Một lớp học có 6 nam và 9 nữ trong đó có Bình .
a) Chọn từ đó ra một ban đại diện có 7 người .Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Bình luôn có mặt trong
ban đại diện đó ?
b) Chọn từ đó ra một tổ lao động gồm 8 người trong đó có 1 tổ trưởng , còn lại là thành viên .Hỏi có
bao nhiêu cách chọn nếu không có Bình tham gia ?
Lời giải :

a) Do Bình luôn có mặt trong ban đại diện nên cần chọn thêm 6 người nữa trong lớp có 14 người ⇒
Có C146 = 3003 cách .
b) Do không có Bình tham gia nên các học sinh trong tổ lao động cần chọn trong tập hợp có 14 người .
Chọn 1 tổ trưởng có C141 cách
7
Chọn 7 thành viên có C13 cách .
7
Vậy : Có tất cả C141 . C13 = 24024 cách .
Bài 8 : Một lớp học có 12 nam và 16 nữ trong đó có anh Lâm .
a) Chọn từ đó ra một đội văn nghệ gồm có 10 người đủ nam và nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn .
b) Chọn từ đó ra một tổ trực nhật có 13 người , trong đó có 1 tổ trưởng .Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nếu anh Lâm luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên ?
Lời giải :
10
a) Chọn 10 người bất kỳ trong 28 người có C 28 cách .

Chọn 10 người đều là nam có C1210 cách .
10
Chọn 10 người đều là nữ có C16 cách .
10
10
Vậy : Có tất cả : C 28 - C1210 - C16 = 13.115.036 cách .
b) Do anh Lâm luôn có mặt trong tổ nên cần chọn thêm 12 người nữa .
1
Chọn 1 tổ trưởng có C 27 cách .
11
Chọn 11 thành viên có C 26 cách .
1
11
Vậy : Có tất cả : C 27 . C 26 = 208.606.320 cách .

Bài 9 : Một trường trung học có 8 thầy dạy toán , 5 thầy dạy vật lý và 3 thầy dạy hoá học .Chọn từ đó ra
một đội có 4 thầy dự đại hội .Hỏi có bao nhiêu cách chọn để có đủ 3 bộ môn ?
Lời giải :
1
1
2
Chọn 1 thầy dạy lí , 1 thầy dạy hoá và 2 thầy dạy toán : C 5 .C 3 .C8 cách .
2
1
1
Chọn 2 thầy dạy lí , 1 thầy dạy hoá và 1 thầy dạy toán : C 5 .C 3 .C8 cách .
1
2
1
Chọn 1 thầy dạy lí , 2 thầy dạy hoá và 1 thầy dạy toán : C 5 .C 3 .C8 cách

7


1
1
2
2
1
1
1
2
1
Vậy : Có tất cả : C 5 .C 3 .C8 + C 5 .C 3 .C8 + C 5 .C 3 .C8 = 780 cách .
Bài 10 : Một lớp học có 20 học sinh trong đó có anh Nam .

a) Chọn từ đó ra một tổ trực nhật có 8 người , trong đó có 1 tổ trưởng và còn lại là các thành viên .Hỏi
có bao nhiêu cách chọn nếu anh Nam luôn có mặt trong tổ .
b) Chọn từ đó ra một đội văn nghệ có 10 người , trong đó có một đội trưởng , 1 thư ký và các thành
viên .Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu anh Nam nhất thiết phải có mặt ở trong đội ?
Lời giải :
7
a) - Anh Nam là tổ trưởng , chọn 7 thành viên còn lại có C19 cách
1
- Anh Nam là thành viên , chọn 1 tổ trưởng có C19 cách
6
Chọn 6 thành viên còn lại có C18 cách
7
1
6
Vậy : Có tất cả : C19 + C19 . C18 = 403.104 cách
b)– Anh Nam là đội trưởng
1
Chọn 1 thư ký có C19 cách
8

Chọn 8 thành viên còn lại có C18 cách .
- Anh Nam là thư ký .
1
Chọn 1 đội trưởng có C19 cách
8
Chọn 8 thành viên còn lại có C18 cách .
- Anh Nam là thành viên
1
Chọn 1 đội trưởng C19 cách
1

Chọn 1 thư ký có C18 cách
7
Chọn 7 thành viên còn lại có C17
1
8
1
8
1
1
7
Vậy : Có tất cả : C19 . C18 + C19 . C18 + C19 . C18 . C17 = 1.668.618 cách
Dạng 2 : Bài toán chọn vật .
Bài 1 : Một hộp đựng 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng .
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ ?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có 2 viên bi xanh và 4 viên bi vàng ?
Lời giải :
6
a) Số cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ là C12
= 924 cách .
2
b) Số cách chọn 2 viên bi xanh là C 5
4
Số cách chọn 4 viên bi vàng là C 7
2
4
Vậy : Có tất cả : C 5 . C 7 = 350 cách .
Bài 2 : Một hộp đựng 5 viên bi xanh , 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng .
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi , trong đó có 2 viên bi xanh và có nhiều nhất hai viên bi vàng và
phải có đủ cả ba màu .
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ cả ba màu ?

Lời giải :
2
2
2
a) Chọn 2 viên bi xanh , 2 viên bi vàng , 2 viên bi đỏ : C 5 .C 4 .C 6
2
1
3
Chọn 2 viên bi xanh , 1 viên bi vàng , 3 viên bi đỏ : C 5 .C 4 .C 6
2
2
2
2
1
3
Vậy : Có tất cả là : C 5 .C 4 .C 6 + C 5 .C 4 .C 6 = 1700 cách .
9
b) Số cách lấy ra 9 viên bi bất kỳ : C15 cách
3
6
4
5
5
4
Số cách lấy ra 9 viên bi có 2 màu : xanh và đỏ : C 5 .C 6 + C 5 .C 6 + C 5 .C 6

8


5

4
Số cách lấy 9 viên bi có hai màu : xanh và vàng : C 5 .C 4
4
5
3
6
Số cách lấy 9 viên bi có hai màu : đỏ và vàng : C 4 .C 6 + C 4 .C 6
9
3
6
4
5
5
4
5
4
4
5
3
6
Vậy : Có tất cả là : C15 - ( C 5 .C 6 + C 5 .C 6 + C 5 .C 6 + C 5 .C 4 + C 4 .C 6 + C 4 .C 6 ) = 4939 cách .
Bài 3 : Có 5 tem thư và 6 bì thư .Chọn ra 3 con tem để dán vào ba bì thư , mỗi bì thư dán một con
tem .hỏi có bao nhiêu cách dán ?
Lời giải :
3
+ Chọn 3 con tem có C 5 cách
3
+ Chọn 3 bì thư có C 6 cách
Một con tem có thể dán vào bì thư nào cũng được trong ba bì thư lấy ra nên có tất cả :
3

3
3! C 5 . C 6 = 1200 cách .
Bài 4 : Trong một lô hàng có 10 quạt bàn và 5 quạt trần .
a) Có bao nhiêu cách lấy 5 quạt trong đó có 3 quạt bàn .
b) Có bao nhiêu cách lấy 4 quạt trong đó có ít nhất 2 quạt bàn .
Lời giải :
3
a) Chọn bất kì 3 quạt bàn trong 10 quạt bàn là C10
2
Chọn 2 quạt còn lại trong 5 quạt trần là C 5
3
2
Vậy : Có tất cả là C10 . C 5 = 1200 cách .
2
2
b) Có C10 .C 5 cách chọn trong đó có 2 quạt bàn và 2 quạt trần
3
1
Có C10 .C 5 cách chọn trong đó có 3 quạt bàn và một quạt trần
4
0
Có C10 .C 5 cách chọn trong đó có 4 quạt bàn và 0 quạt trần
2
2
3
1
4
0
Vậy : Có tất cả là C10 .C 5 + C10 .C 5 + C10 .C 5 = 1260 cách
Bài 5 : Có 8 bi xanh , 5 bi đỏ , 3 bi vàng .Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 4 viên bi nếu :

a) Có đúng 2 bi xanh .
b) Số bi xanh bằng số bi đỏ .
Lời giải :
2
2
a) Chọn 2 bi xanh trong 8 bi xanh là C8 , 2 bi còn lại chọn bất kỳ trong 5 bi đỏ và 3 bi vàng là C8
2
2
Vậy : Có tất cả là C8 . C8 = 784 cách .
2
2
b) Có C8 .C 5 cách chọn có 2 bi xanh và 2 bi đỏ .
1
1
2
Có C8 .C 5 .C 3 cách chọn có 1 bi xanh , 1 bi đỏ và 2 bi vàng
2
2
1
1
2
Vậy : Có tất cả là C8 .C 5 + C8 .C 5 .C 3 = 400 cách
Bài 6 : Cho 5 bi xanh , 4 bi trắng và 3 bi vàng .Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có đúng hai màu ?
Lời giải :
+ 6 viên (xanh và trắng)
5
1
4
2
3

3
2
4
6
Có C 5 .C 4 + C 5 .C 4 + C 5 .C 4 + C 5 .C 4 = 84 cách (hay C 9 )
+ 6 viên (xanh và vàng)
5
1
4
2
3
3
6
Có C 5 .C 3 + C 5 .C 3 + C 5 .C 3 = 28 (hay C8 )
+ 6 viên (trắng và vàng)
4
2
3
3
6
Có C 4 .C 3 + C 4 .C 3 = 7 cách (hay C 7 )
Vậy : Có tất cả là 84 + 28 + 7 = 119 cách .
Bài 7 : Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ , 3 viên bi trắng , 5 viên bi vàng .Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ
hộp đó . Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu .

9


Lời giải :
4

Có C 5 cách chọn 4 viên bi chỉ có bi vàng
4
Có C 5 cách chọn 4 viên có đỏ và trắng
4
Có C 7 cách chọn 4 viên bi có đỏ và vàng
4
Có C8 cách chọn 4 viên có bi trắng và vàng
4
4
4
4
Vậy có tất cả là : C 5 + C 5 + C 7 + C8 = 115 cách
Bài 8 : Một người muốn chọn 6 bông hoa từ ba bó hoa để cắm vào một bình hoa .Bó thứ nhất có 10
bông hồng , bó thứ hai có 6 bông thược dược và bó thứ ba có 4 bông cúc .
a) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn .
b) Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng , 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao
nhiêu cách chọn ?
Bài 9 : Từ 5 bông hồng vàng , 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (Các bông hồng xem như đôi một
khác nhau ) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông hồng .
a) Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b) Có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ?
Bài 10 Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi một khác
nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
Bài 11 ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
một đội gồm 4 h/s trong đó:
a. Số nam nữ bằng nhau.
b. Có ít nhất 1 nữ.
Bài 12 (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý

nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có
bao nhiêu cách?
Bài 13 (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
Bài 14 (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s được chọn ra để lập một tốp ca.
Hỏi có bao nhiêu cách lập khác nhau :
a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ ?
b. Nếu chọn tuý ý ?
Bài 15 (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho:
a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 người đó .
Bài 16 (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm
vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công?
Bài 17 (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách
cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong3 người có ít nhất một cán bộ lớp?

10


Bài 18 (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam.
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số
nữ như nhau ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó có không quá 1 nam ?
Bài 19 (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ?
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?

Bài 20 (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ?
Bài 21 (ĐHHuế – 99- 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn
ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?
Bài 22 (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô
trống.
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp
cạnh nhau?
Bài 23 (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn trong
mõi trường hợp sau:
a. Có 3 h/s trong nhóm ?
b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ?
Bài 24 (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp
chỗ ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a. Các h/s ngồi tuỳ ý ?
b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn ?
Bài 25 (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4
hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầuđó ?
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên
Bài 26 (ĐHSPHN 2 –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong
đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 h/s trong số 50 h/s trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ
sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 27 (ĐHSPV –G- 99 - 00):Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ
biết tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết
tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 28 (ĐHKT- 98 - 99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn
1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành

lập tổ công tác
Bài 29 Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc:
- Chọn trường thi có tất cả 33 trường
11


- Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D.
Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
Bài 30 Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành
phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z ?
b) Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác
nhau?
Bài 31 ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi
vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường trung
học chuyên nghiệp
( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách
chọn trường thi ?
Bài 32 Mỗi người sử dụng hệ thống máy Lâmnh đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự
là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi mỗi người có thể có bao nhiêu
mật khẩu? Biết rằng có 26 chữ in hoa, 10 chữ số.
Bài 33 Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một kệ sách
theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Bài 34 Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn
trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự ?
Bài 35 (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5
cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng 6
em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
c) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn
học và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?

1. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm
nhạc, hội hoạ đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?
Bài 36 Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
a. 3 học sinh
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Bài 37 (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4
nam và 1 nữ ?
Bài 38 (Đề thi CĐ 2005 – Khối D)
Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bông để
cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 39 (ĐH 2004 – KB) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5
câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu
hỏi dễ không ít hơn 2 ?
12


VẤN ĐỀ 3 : MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN HOÁN VỊ .
Bài 1 : Từ tập hợp A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 8 chữ số khác nhau ?
b) Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn ?
Giải :
a) Số các số có 8 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A có 8 phần tử là 8! = 40320 số.
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a8
Số n chẵn nên a8 ∈ { 2 , 4, 6, 8}
- a8 có 4 cách chọn.
- Chọn 7 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử là : P7 = 7!
Vậy : Có tất cả : 4.7! số cần tìm.

Bài 2 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều lẻ và không chia hết cho 5 ?
b) Có 8 chữ số khác nhau sao cho các chữ số đứng đầu lẻ và chữ số đứng cuối chẵn ?
Giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a8
Số n lẻ và không chia hết cho 5  a8 = { 1 , 3 , 7 }
+ a8 có 3 cách chọn
+ Chọn 7 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử có P7 = 7! Cách
Vậy có tất cả 3.7! = 15120 số
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a8
Chữ số đứng đầu lẻ : a1 = { 1, 3, 5, 7}  a1 có 4 cách chọn.
Chữ số đứng cuối chẵn : a8 = {2, 4, 6, 8}  a8 có 4 cách chọn
Chọn 6 chữ số còn lại P6 = 6!
Vậy có tất cả : 4.6!.4 = 11520 số.
Bài 3 : Cho tập hợp A = { 1 , 2, 3 ,4 , 5 , 6 , 7 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số
a) Có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số đứng đầu và đứng cuối cũng lẻ ?
b) Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn và chữ số đứng giữa chia hết cho 3 ?
Giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a 7
Số n có a1 và a7 đều lẻ  a1, a7 = {1, 3, 5, 7}
+ a1 có 4 cách chọn.
+ a7 có 3 cách chọn.
+ Chọn 5 chữ số còn lại có P5 = 5! cách.
Vậy có tất cả : 4.3.5! = 1440 số cần tìm.
b) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a 7
Số n chẵn  a7 = {2, 4, 6}
a4 chia hết cho 3  a4 = {3 , 6}
- Trường hợp 1 : a4 = 6
a7 có 2 cách chọn.
Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách.

 có 2.5! cách.
- Trường hợp 2 : a4 = 3
a7 có 3 cách chọn.
Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách.
13


 có 3.5!
Vậy có tất cả 2.5! + 3.5! = 600 số cần tìm.
Bài 4 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }.Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn và chữ số đứng đầu chia hết cho 4 ?
b) Có 8 chữ số khác nhau sao cho chữ số đứng thứ 3 chia hết cho 3 , chữ số đứng đầu chẵn và chữ số
đứng cuối lẻ ?
Giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a8
Số n chẵn  a8 = {2, 4, 6, 8}
a1 chia hết cho 4  a1 = {4, 8}
- Trường hợp 1 : a1 = 4
a8 có 3 cách chọn.
Chọn 6 chữ số còn lại có 6! cách
 có 3.6! số.
- Trường hợp 2 : a1 = 8
a8 có 3 cách chọn.
Chọn 6 chữ số còn lại có 6! cách.
 có 3.6! số.
Vậy có tất cả : 3.6! + 3.6! = 4320 số cần tìm.
Bài 5 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau ?
b) Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này không bắt đầu bởi 123 ?
Giải :

a) Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 ...a 7
Khi hai chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau được 12 hoặc 21
 có hai kiểu đứng cạnh nhau cho hai chữ số 1 , 2
+ Có 6 vị trí cho chữ số 12
+ Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách
Vậy có tất cả : 2.6.5! = 1440 số cần tìm.
b) - Tìm số có 7 chữ số bất kì có 7! số
- Tìm số có 7 chữ số bắt đầu bởi 123 có 4! số
Vậy có tất cả : 7! – 4! = 5016 số.
VẤN ĐỀ 4 : LÂMNH HỆ SỐ CỦA MỘT LUỸ THỪA TRONG MỘT (HOẶC NHIỀU) KHAI
TRIỂN CỦA NHỊ THỨC NIUTƠN .
Bài 1 : Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x 2 + 1)n bằng 1024 , hãy tìm hệ số a của số
hạng ax12 trong khai triển đó .
Lời giải :
n
Ta có : x 2 + 1 = C n0 x 2 n + C n1 x 2 ( n −1) + ... + C nn −1 x 2 + C nn
Cho x = 1 , ta được tổng các hệ số là :
C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn = 2 n
Theo giả thiết , ta có : 2n = 1024 ⇔ n = 10
10
Do đó : x 2 + 1 = C100 x 20 + C101 x 18 + ... + C106 x 12 + ... + C109 x 12 + C1010

(

)

(

)

6
Vậy hệ số a phải tìm là : a = C10 = 210
Bài 2 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2000 – 2001)

14


1
12
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn ( + x ) .
x
k
n−k
k
Lời giải : Tk +1 = C n .a .b , k = 0 , 1 , 2 , 3 , …, n
1
Với n = 12 , a = , b = x ta có :
x
1
Tk +1 = C12k .( )12− k .( x ) k
x
3
−12 + k
2

= C .x
.
Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là
3
− 12 + .k = 0 ⇔ k = 8

2
12
!
T9 = C128 =
= 495 là số hạng thứ 9 trong khai triển không chứa x .
8!4!
Bài 3 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2005 – 2006)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 + x) n , n ∈ N* , biết tổng tất cả các hệ số
trong khai triển trên bằng 1024 .
n
0
1
n n
Lời giải : Ta có : (1 + x) = C n + C n x + ... + C n x
k
12

n

k
n
Tổng tất cả các hệ số của khai triển : T = ∑ C n = 2
k =0

T = 1024 ⇔ n = 10 .
5
Hệ số của x5 trong khai triển : C10 = 252 .
Bài 4: (Đề kiểm tra học kỳ II năm học : 2005 – 2006 của sở GD TT - Huế) .
Tìm hệ số của x4 trong khai triển của biểu thức :
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6

Lời giải :
n

n
n
k k
Ta có : ( x + 1) = (1 + x ) = ∑ C n x .
k =0

4

Hệ số của x trong khai triển của biểu thức đã cho là :
C 44 + C 54 + C 64 = 21
Bài 5 :
1) Tìm hệ số của x3 trong khai triển : (x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5
2) Tìm hệ số của x9 trong khai triển : (x + 1)9 + (x + 1)10 + …+ (x + 1)14
Lời giải :
n

n
n
k k
Ta có : ( x + 1) = (1 + x ) = ∑ C n x .
k =0

Hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là :
C 33 + C 43 + C 53 = 15
Hệ số của x9 trong khai triển của biểu thức đã cho là :
C 99 + C109 + C119 + C129 + C139 + C149 = 3003
Bài 6 :

3
16
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn ( + 3 x ) .
x
Lời giải :
15


Tk +1 = C nk .a n − k .b k , k = 0 , 1 , 2 , 3 , …, n
3
Với n = 16 , a = , b = 3 x ta có :
x
3
Tk +1 = C16k .( )16− k .(3 x ) k
x
−16 + k +

k

k
3
= C16
.316− k x
.
Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là
4
− 16 + .k = 0 ⇔ k = 12
3
12
4

T13 = C16 .3 = 147420 là số hạng thứ 13 trong khai triển không chứa x .
Bài 7 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu Tơn:

1.

1
( + x )12
x

2.

(x 3 +

(TNTH - 00 – 01)

1 21
)
x3

3.

Bài 8 Trong khai triển nhị thức:

1
(x + )12
x

(x x + x
3

Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79

−

28
25 n

)

hãy tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng:

( ĐHSPHN – 2000 – 2001 )

Bài 9 Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển:

1

3

1. ( 5 + x ) 10
x
3
2. ( x - xy)15

3. (

x 3 12
− )
3 x

4. (a3 + ab)31

Bài 10 Cho biết hệ số thứ 3 trong khai triển

1
(x − )n
3

bằng 5. Tìm số hạng tử đứng giữa trong khai triển

trên.
Bài 11 1. Trong khai triển
2. Trong khai triển

x 3
( − )12 , tìm hệ số của số hạng chứa x 2 .
3 x

(x3 + xy)15 , tìm hệ số của x 25 y10 .
( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 )

3. Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển

f ( x) = ( x +

1 40
)
x2

( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 )

4. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của

(

1
+ x5 )n ,
3
x
16


biết rằng

Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3)

( n là số nguyên dương, x > 0 )
( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 )

5. Với n là số nguyên dương, gọi

a3n −3

là hệ số của

x3n −3

trong khai triển thành đa thức của

( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n −3 = 26n
( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 )

k
k
VẤN ĐỀ 5 : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA An , C n .
Bài 1 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2002 – 2003)
Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau :
C xy+1 : C xy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2
Lời giải :
y
y +1
y −1
Hệ thức C x +1 : C x : C x = 6 : 5 : 2 với x và y là các số nguyên dương mà
2 ≤ y + 1 ≤ x cho hệ phương trình sau :
 C xy+1 C xy +1
=

6
5
 y
y −1
 C x +1 = C x
2
 6
Giải hệ :
( x + 1)!
x!
x +1
1



 6 y!( x + 1 − y )! = 5( y + 1)!( x − y − 1)!
 6(x - y)(x + 1 - y) = 5( y + 1)
x = 8


⇔ 
⇔ 

( x + 1)!
x!
y = 3

x +1 = 1
=
 6 y!( x + 1 − y )! 2( y − 1)!( x − y + 1)!
 6 y
2
Bài 2 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2003 – 2004)
Giải bất phương trình (Với hai ẩn là n , k ∈ N)
Pn +5
≤ 60 Ank++32
(n − k )!
Lời giải :
Pn +5
k ≤ n
≤ 60 Ank++32 ⇔ 
(n − k )!
(n + 5)(n + 4)(n − k + 1) ≤ 60
Xét với n ≥ 4 : Khẳng định bất phương trình vô nghiệm .
Xét với n ∈ {0 , 1 , 2 , 3 } tìm được các nghiệm (n ; k) của bất phương trình là :

( 0 ; 0 ) , (1 ; 0) , (1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) .
Bài 3 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2004 – 2005)
Giải bất phương trình , ẩn n thuộc tập số tự nhiên :
5
C nn+−21 + C nn+ 2 > An2
2
Lời giải :
Điều kiện : n ≥ 2.
Bất phương trình đã cho tương đương với

17


5 2
(n + 3)! 5 n!
An ⇔
>
2
n!3!
2 (n − 2)!
3
2
⇔ n – 9n + 26n + 6 > 0
⇔ n(n2 – 9n + 26) + 6 > 0 , luôn đúng với mọi n ≥ 2.
Vậy : n ∈ N , n ≥ 2.
Bài 4 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2006 – 2007 lần 1)
4
5
6
k

Giải phương trình : C n + C n = 3C n +1 (trong đó C n là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Lời giải :
Điều kiện : n ∈ N , n ≥ 5 .
Phương trình đã cho tương đương với :
n!
n!
(n + 1)!
+
= 3.
4!(n − 4)! 5!(n − 5)!
6!(n − 5)!
1
1 n +1
⇔
+ =
n-4 5
10
n +1
n +1
⇔
=
5(n - 4)
10
⇔n=6
Vậy : n = 6 .
Bài 5 : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2006 – 2007 của sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế) .
Giải bất phương trình (ẩn là n ∈ N*) :
C n5+5
32
<

(n + 4)! 5!(n + 1)!
Lời giải :
C n5+5
32
(n + 5)!
32
<
⇔
<
(n + 4)! 5!(n + 1)! 5!n!(n + 4)! 5!(n + 1)!
32
⇔n+5<
⇔ (n + 1)(n + 5) < 32 ⇔ n 2 + 6n − 27 < 0(n ∈ N * ⇒ n + 1 > 0)
n +1
⇔ -9 < n < 3
C nn+3 >

Suy ra : n = 1 hoặc n = 2 .

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có
sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng đầu chẵn và chữ số 4 luôn có mặt đúng một lần ?
Bài 2 : Từ bốn chữ số 1 , 4 , 5 , 9 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà mỗi số
gồm các chữ số khác nhau .Hãy viết tất cả các số tự nhiên đó .
3
2
2
k
k
Bài 3 : Giải phương trình 3C n + 2C n = 3 An (trong đó An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử , C n

là tổ hợp chập k của n phần tử) .
5 Pn
n −2
2
k
Bài 4 : Chứng minh rằng 8C n + An =
(trong đó An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử ,
(n − 2)!
k
C n là số tổ hợp chập k của n phần tử và Pn là số hoán vị của n phần tử).
Bài 5 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
18


(x x +

2 11
) ;x ≠ 0
3
x

Bài 6 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

( x3 x +

1
6

x

5

) n biết C nn− 2 + C nn −1 + C nn = 92

Bài 7 : Giải các phương trình :
x +5
x+4
x+4
x +3
a. C14 − C14 = C14 − C14 , ∀x∈N*
b. Ax + C x

= 14 x
3
2
c. 4C − 4C x −1 − 5 Ax −1 = 0
x −2
x −1
x
Bài 8 : Giải phương trình : C 5 + 2C 5 + C 5 = 35 , ∀x∈N*
x −2

3

4
x −1

{

Bài 9 : Tìm các số tự nhiên x , y thỏa hệ phương trình :

5 C xy −2 =3 C xy −1

C xy =C xy −1
Bài 10 Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1. C xo + C xx −1 + C xx − 2 = 79
2.

6.

C xx++83 = 5 Ax3+6

3. C1x + C x2 + C x3 =

5.

C1x

−

1
C x2+1

=

(TNTHPT - 98 - 99)

7. C 1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x (ĐHNN - 99- 00)

7x
2

8. Ax3 + 5 Ax2 ≤ 21x

Cnn−−13
1
<
9.
An4+1 14 P3

1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10
4.
2
x

1

Ax3 + C xx − 2 = 14 x

7

10.

6C1x + 4

(ĐHQGHN - 98- 99)
( ĐHHH – 1999 )

An4+1

<14 Pn
Cnn−−13

5C xy − 2 = 3C xy −1
Bài 11 Giải các hệ phương trình sau: a. 
C xy = C xy −1

 2 Axy + 5C xy = 90
b.  y
y
5 Ax − 2C x = 80
c.

(ĐHBK HN A/ 2001 )

( Axy−1 + yAxy−−11 ) : Axy −1 : C xy −1 = 10 : 2 :1

19


20