chuyên đề tổ hợp 5

Chuyên đề: Đại số tổ hợp
Dạng 5
Một số bài toán về phân chia các
phần tử của một tập hợp gồm các
phần tử khác nhau
Nội dung
Nội dung

Dạng 5. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp
gồm các phần tử khác nhau
•
Dạng 5A: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng
bằng nhau
•
Dạng 5B: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng
không đều nhau
•
Dạng 5C: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng
hoàn toàn khác nhau
Dạng 5A
Phân chia một tập hợp ra thành
các nhóm có số lượng bằng nhau

Bài tập mẫu
Có bao nhiêu cách chia 15 học sinh ra thành ba nhóm mỗi nhóm có 5
người trong các trường hợp:
a/ Các nhóm được đánh số thứ tự là: 1, 2, 3.
b/ Không biệt thứ tự các nhóm.
Giải.
a/ Số cách chọn 5 trong 15 học sinh cho nhóm 1 là Ứng với mỗi
cách chọn trên, ta có số cách 5 trong 10 học sinh còn lại cho nhóm 2 là

5 học sinh còn lại vào nhóm 3.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
b/ Vì không phân biệt thứ tự của ba nhóm nên khi hoán vị ba nhóm cho
nhau ta được cùng một kết quả.
Vậy số cách chia là
Đáp số: 126126 cách chia.
5
15
C .
5
10
C .
=
5 5
15 10
C C 756756.
= =
5 5
15 10
C C 756756
126126.
3! 6
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau

Lưu ý
•
Tập hợp A có n phần tử, cần chia thành các nhóm: nhóm 1 có k
phần tử, nhóm 2 có m phần tử, … Tính số cách chia.
Cách giải

•
Đặc điểm của bài toán là các nhóm được đánh số thứ tự: 1, 2,.. và
số lượng của các nhóm đã biết.
•
Ta chọn lần lượt: số cách chọn k trong n phần tử cho nhóm 1 là ,
ứng với mỗi cách chọn nhóm 1, số cách chọn m trong n-k phần tử
còn lại là , cứ tiếp tục như vậy…
•
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
k
n
C
−
m
n k
C
−
k m
n n k
C .C ...
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau

Bài tập tương tự
Có bao nhiêu cách chia 12 học sinh ra thành bốn nhóm mỗi nhóm gồm 3
người để làm lao động. Trong đó có hai nhóm trồng cây và hai nhóm làm
vệ sinh sân trường (không biệt thứ tự các nhóm cùng làm một việc giống
nhau).
Giải
Giả sử ta kí hiệu nhóm 1, 2 trồng cây, nhóm 3, 4 làm vệ sinh sân trường.

Số cách chọn 3 trong 12 học sinh cho nhóm 1 là Ứng với mỗi cách
chọn trên, ta có số cách 3 trong 9 học sinh còn lại cho nhóm 2 là Sau
đó có số cách 3 trong 6 học sinh còn lại cho nhóm 3 là 3 học sinh
còn lại vào nhóm 4.
3
12
C .
3
9
C .
3
6
C .
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau

Bài tập tương tự (tt)
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia nhóm có phân biệt thứ tự các
nhóm là
Khi hoán vị các nhóm 1 và 2 cho nhau, ta có cùng một kết quả.
Tương tự, khi hoán vị các nhóm 3 và 4 cho nhau, ta có cùng một kết
quả.
Nên số cách chia phải tìm là
Đáp số: 92400 cách chia.
=
3 3 3
12 9 6
C C C 369600.
= =
3 3 3

12 9 6
C C C
369600
92400.
2!2! 4
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau