skkn KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến một mặt PHẲNG

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nam Hà
Mã số: ……………….
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MỘT MẶT PHẲNG

Người thực hiện: VOÒNG VĨNH SUN
Lĩnh vực nghiên cứu :
- Quản lý giáo dục : ……………
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán……
- Phương pháp giáo dục : ………………
- Lĩnh vực khác : …………………

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2012 – 2013

Trang 1

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
________________
I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Voòng Vĩnh Sun
2. Ngày tháng năm sinh: 16/12/1978
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 0

kh m

Nguy n Ái Quốc phường Trung Dũng – Biên Hòa -

Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613 825643 – ĐTDĐ: 0918806165
6. Fax:

E-mail:

7. Chức vụ:
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nam Hà – TPBH - Đồng Nai
II.

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất: C nh n
- Năm nhận bằng: 2001
- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán
- Số năm c kinh nghiệm: 12
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã c trong năm gần đ y:
Chuyên đề: MỘT S
HƯƠNG H
GIẢI
ÀI TO N VỀ H
I HÌNHVÀ H Đ NG ẠNG TRONG MẶT HẲNG
Chuyên đề : HƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ THỊ
Chuyên đề: THỂ TÍCH KH I CHÓP
Chuyên đề: X
ĐỊNH ĐƯ NG AO HÌNH HÓ VÀ HÌNH LĂNG
TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KH I CHÓP VÀ KH I
LĂNG TRỤ

Trang 2


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một bài toán tương
đối kh đối với học sinh lớp 11 và là một bài toán thường gặp trong các đề thi cao đẳng,
đại học .
- Để giúp các em có thể tư duy tìm ra lời giải cho bài toán đồng thời dùng những kiến
thức này để áp dụng giải một số bài toán khác .Tôi đã quyết định tìm hiểu và chọn đề
tài “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
II . THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1)Thuận lợi :
2)Kh khăn :
Đối với học sinh :
- Không biết cách xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng .
- Khi còn học lớp 11 học sinh không nắm bắt đầy đủ các cách tìm khoảng cách từ
điểm đến mặt phẳng .
Đối với giáo viên:
- Chưa thể giảng dạy hết nội dung này trên lớp cho học sinh lớp 11.
- Không có tiết dạy chính khóa cho học sinh lớp 12 .
- Với học sinh lớp 12 , giáo viên giảng dạy chuyên đề này vào các giờ tăng tiết.
III . NỘI UNG ĐỀ TÀI
1)Cơ sở lý luận
2)Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Nội dung gồm 3 phần :
Phần I : Cách tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phần II : Một số bài toán tìm khoảng cách có thể quy về bài toán tìm khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng.
Phần III: Bài tập tự luyện.

Trang 3

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

NỘI UNG ĐỀ TÀI
PHẦN I : CÁCH TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .
1)Trực tiếp xác định đoạn vuông góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng rồi tính .
ần nhớ : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) .
d(M,

) = MH ( MH vuông góc

tại H )

M

α)

H

Chú ý: Cách xác định đoạn MH như sau:
- Tìm một mặt phẳng (β) chứa điểm M và c giao tuyến với
- Trong mặt phẳng (β) dựng MH vuông g c với d tại H
- Ta có :

là d .

(  )  ( )


(  )  ( )  d 

  MH  ( )
MH  (  ) 

MH  d


Ví dụ 1
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a,cạnh bên SA bằng
a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy .
1) Chứng minh BC vuông góc (SAB) .
2) Tính d(A,(SBC)).
3) Tính d(A,(SBD)).
Giải
 BC  AB
1) Ta có 
 BC  SA( SA  ( ABCD))
 BC  ( SAB)

S

2)Kẻ AH vuông góc SB tại H
 AH  SB
 AH  BC ( BC  ( SAB))

H

Ta có 

Suy ra AH vuông góc (SBC) tại H
Suy ra d(A,(SBC)) = AH

B

K
A

D
O

C

Ta có
Trang 4


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Suy ra AH
3)Ta có
 SA  BD

 AC  BD
 BD   SAC 
  SBD    SAC 

Lại có  SBD    SAC   SO nên trong mặt phẳng (SAC)

kẻ AK  SO tại K
Suy ra

AK   SBD 

 d  A,  SBD    AK

Tam giác SAO vuông tại A có:
1
1
1
5
a 10
 2
 2  AK 
2
2
AK
SA
AO
2a
5

Vậy d  A,  SBD   

a 10
5

Ví dụ 2 Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA A
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) .

Chứng minh :

AC đôi một vuông góc . Gọi h là

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AC 2

Giải
Ta có SA  AB và SA  AC
Suy ra SA  (ABC)
Kẻ AK  BC tại K
Ta có BC  AK và BC  SA (do SA  (ABC))
Suy ra BC  (SAK)
Kẻ AH  SK tại H
Ta có AH  SK và AH  BC (do BC  (SAK))
Suy ra AH  (SBC)
Suy ra d(A,(SBC)) = AH = h.
Tam giác SAK vuông tại A và tam giác ABC vuông

tại C nên có :
1
1
1


2
2
AH
AS
AK 2
1
1
1
1
 2 


2
2
h
AS
AB
AC 2

S

H
A

C
K
B

(dpcm)

Trang 5


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 3
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a t m O. Gọi M là trung
điểm cạnh A hình chiếu vuông g c của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của đoạn
OM g c giữa mặt bên (SA ) và mặt đáy bằng 600.T nh th o a khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SCD).
Hướng giải
-Gọi H là trung điểm OM
Suy ra SH vuông góc (ABCD)
-Gọi N là trung điểm của CD
 CD  ON

S

Ta có CD  ON
 CD   SHN 

CD  SH

Kẻ OQ  SN,  Q  SN 
 OQ  (SCD)
 d  O,(SCD)   OQ
-Kẻ HK  SN,(K  SN)
Tam giác SHN có HK / /OQ (cùng vuông
góc SN)
OQ NO 2
2


  OQ  HK
HK NM 3
3
- ác định g c giữa mặt bên (SA ) và mặt
đáy là g c SMO và bằng 600
SHM vuông tại H
a 3
 SH  MH.tan 600 =
4
Tam giác SHN vuông tại H:
1
1
1
9a 2
2


 HK 
HK 2 SH 2 HN 2

64
a
 OQ 
4
a
Vậy d  O,(SCD)  .
4
Nhận xét : HK / /OQ

OQ  (SCD)



j

K
Q
D

A

H

O

N

M

B

C

 HK  (SCD)  d  H,(SCD)   HK

d  O,(SCD)  OQ 2
2

  d  O,(SCD)   d  H,(SCD) 
d  H,(SCD)  KH 3
3

Trang 6


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Từ ví dụ 2 , ví dụ 3 , công thức tính thể tích của một khối chóp ta có thêm hướng suy
nghĩ về cách tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như sau
2) Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng một cách “ gián tiếp” .
Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) mà việc xác định
đoạn vuông góc kẻ từ điểm M đến mặt phẳng (α) tương đối khó thì ta có thể nghĩ đến
hướng giải là dùng một số kết quả sau
2.1 : Một số kết quả
Kết quả 1:
Tứ diện S.A C c ba cạnh AS A AC đôi một vuông g c thì d(A (S C)) = h xác định
bởi hệ thức sau

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AC 2

Kết quả 2:

d ( S , ( ABC )) 

3VS . ABC
S ABC

Kết quả 3:
Điểm M và điểm A cùng thuộc đường thẳng d song song ( ) suy ra
d(M,
) = d(A,
)
Kết quả 4:
M và A cùng thuộc đường thẳng d và d giao với ( ) tại C suy ra
2.2 ác ví dụ

 Sử dụng kết quả 1 khi đề bài cho hình chóp hoặc hình lăng trụ có ba cạnh đôi
một vuông góc.
Ví dụ 4
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc (ABC) ; AB = 3 cm, BC = 5 cm, SA = AC = 4 cm
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) .
Giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A do đ
AC AB
Ta lại c SA (ABC) nên suy ra SA AB và SA AC
Vậy tứ diện S.ABC có ba cạnh SA A AC đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBC) thì h được xác định bởi hệ thức sau
1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AC 2

Trang 7

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun
S

Thay AB = 3 cm, SA = AC = 4 cm vào hệ thức trên ta
t nh được h 

6 34
cm
17

A

C

B

Ví dụ 5
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a ,cạnh bên SA bằng
a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy .
1) Tính d(A,(SBD)).
2) Tính d(C,(SBD)).
Chú ý : câu 1 của ví dụ 5 chính là câu 3 của ví dụ 1, ở đây bài giải sẽ được trình bày
bằng cách dùng kết quả 1.
Giải
1)Do ABCD là hình vuông nên suy raAB AD

S

Lại c SA (ABCD) nên suy ra SA AB và SA AD
Vậy tứ diện S.ABD có ba cạnh SA A AD đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBD) thì h được xác định bởi hệ thức sau
1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AD 2

A
B

D
O

C

Ta có
1
1

1
1
5



 2
2
2
2
2
h
AS
AB
AD
2a
a 10
h
5

2)Gọi O là giao điểm của AC và BD .
AC giao với mặt phẳng (SBD) tại O là trung diểm AC
nên
d (C , ( SBD)) OC

1
d ( A, ( SBD)) OA
 d (C , ( SBD))  d ( A, ( SBD)) 

a 10

5

Trang 8


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 600 , AC cắt BD tại O.Tính th o a khoảng cách từ O đến (SCD).
Giải
Vì hình ch p S.A CD là hình ch p đều nên SO là
đường cao hình chóp S.ABCD suy ra SO OC và
SO OD
Lại có ABCD là hình vuông nên suy ra OC OD
Vậy tứ diện S.OCD có ba cạnh SO OC OD đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (SCD) thì h được xác định bởi hệ thức sau

S

A
B

D
O

0

60

C

1
1
1
1



2
2
2
h
OS
OC
OD 2

Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là OC do
đ g c giữa SC và (ABCD) là góc
600.
Tam giác SOC vuông tại O ,ta có:


tan S C O 

SO
a 6

 SO  CO.tan 600 
CO
2

Vậy
1
1
1
1
14



 2
2
2
2
2
h
OS
OC
OD
3a
a 42
h
14

Ví dụ 7
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông tại A ; AB = 3 cm ,
AA’ = AC = 4 cm .T nh khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’ C).

Giải

Trang 9


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
AA’ vuông g c với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB
vuông góc với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC
đôi một vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (A’ C) thì h được xác định
bởi hệ thức sau

A’
’

C

A

1
1
1
1




2
2
2
h
AA '
AB
AC 2

B

Thay A = 3 cm AA’ = AC = 4 cm vào hệ thức
trên ta t nh được h 

C’

6 34
cm
17

 Sử dụng các kết quả 2 ,3 và 4.
Ví dụ 8( Đề tuyển sinh đại học năm 2007 – khối )
Cho hình ch p S.A CD c đáy là hình thang
Cạnh bên SA vuông g c với đáy và
. Gọi H là hình chiếu vuông g c
của A trên S . Chứng minh tam giác SCD vuông và t nh th o a khoảng cách từ H đến
(SCD).
Giải
Chứng minh tam giác SCD vuông

Gọi I là trung điểm AD .
Ta có IA  ID  IC  a
Suy ra tam giác ACD vuông tại C
nên CD  AC
(1)
Mặt khác CD  SA (do SA  ( ABCD))
Từ (1) và (2) suy ra CD  SC

S

(2)

H

A

I

D

Suy ra tam giác SCD vuông tại C.
B

C

Trang 10


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD)
Gọi h1 và h2 lần lượt là khoảng cách từ
đến mặt phẳng ( SCD) khi đ ta có

và H

h2 SH

h1 SB

Mặt khác ,trong tam giác vuông SAB ta có :
SH SA2
SA2
2a 2
2




2
2
2
2
2
SB SB
SA  AB
2a  a
3

h2 SH 2
2
Suy ra

  h2  h1
h1 SB 3
3

Ta có : h1 

3VB.SCD SA.S BCD

S SCD
S SCD

1
a2
S BCD  S BCA  BA.BC 
2
2
1
1
SSCD  SC.CD  SA2  AB 2  BC 2 . ID 2  IC 2  a 2 2
2
2
a
Suy ra h1 
2
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là :
h2 

2
a
h1 
3
3

Ví dụ 9
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại A , AB = AC =
, SA
vuông góc với đáy (A C) và SA =
.
1 T nh thể t ch khối ch p S.ABC
2 / M , N lần lượt là trung điểm S và SC . T nh ( th o a ) khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( ABN) .
Giải
1/
nên
Tam giác A C vuông tại A nên
( đvtt)

Trang 11


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

2/
S

Ta có

N

Tương tự ta c
M

Do đ

VM . ABN  VS . ABC  VS . AMN  VN . ABC

1
a3 7
 VS . ABC 
4
12

Gọi h khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABN) .
Ta có

A

C

B

nên suy ra

 AB  AC


Ta có  AB  SA (doSA  ( ABC ))
 AB  ( SAC )

Suy ra tam giác A N vuông tại A nên ta c :
1
1
3 2a 2
SABN  AB. AN  AB.SC 
2
4
4
a 14
Suy ra
h
6

Ví dụ 10 ( Đề tuyển sinh đại học năm 2011 – khối )
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và
= 300 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đến (SAC) th o a.
Giải
 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.
( SBC )  ( ABC )

( SBC )  ( ABC )  BC 
Ta có
  SH  ( ABC )

SH  ( SBC )


SH  BC

Ta có SH

1
S ABC  BA.BC  6a 2
2
1
VS . ABC  SH .S ABC  2a3 3
3
Trang 12


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Tính khoảng cách từ

Voòng Vĩnh Sun

đến (SA ) theo a.

Cách 1:
BH  SB.cos300  3a; HC  BC  BH  a

AC  BA2  BC 2  5a
Tam giác ABH vuông cân tại B nên
Tam giác SHA vuông tại H

2
2
2
nên SA  SH  AH  21a
Tam giác SHC vuông tại H
2
2
2
nên SC  SH  HC  2a
Tam giác SAC có SA2  SC 2  AC 2
Suy ra tam giác SAC vuông tại S
3V
6a 7
d ( B, ( SAC ))  S . ABC 
S SAC
7

S

B

H

A

Cách 2:
Tính BH , suy ra BC =
d ( H ,( SAC )) CH 1




d
(
B
,(
SAC
))
CB
4
4HC
 d ( B,(SAC ))  4d ( H ,( SAC ))

S

Kẻ
HD  AC(D  AC) , HK  SD(K  SD)
 HK  ( SAC )
 HK  d ( H , ( SAC ))
d ( B, ( SAC ))  4d ( H , ( SAC ))
 4 HK  4.

SH .SD
SH 2  SD 2

C



6a 7
7

K
B

H

C
D

A

Trang 13


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

PHẦN II: MỘT S KHOẢNG CÁCH QUY VỀ KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN
MẶT PHẲNG .
1) Một số khoảng cách quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ; giữa hai mặt phẳng
song song:
- Cho đường thẳng và mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng
cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
- Cho hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Trong không gian cho hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau
Nếu d1 //

và d2 chứa trong
thì d( d1 ,d2 ) = d(d1, ) = d(M,
) ,( M d1)
2) Các ví dụ
Ví dụ 11 :
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông tại A ; AB = 3 cm ,
AA’ = AC = 4 cm .
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’ C).
b) Tính khoảng cách giữa ’C’ và (A’ C)
Giải
a) Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
A’
C’
AA’ vuông góc với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc
’
với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
C
A
phẳng (A’ C) thì h được xác định bởi hệ thức sau
1
1
1
1



2

2
2
h
AA '
AB
AC 2

Thay A = 3 cm AA’ = AC = 4 cm vào hệ thức trên ta
t nh được h 

B

6 34
cm
17

b)
Ta c ’C’song song C nên suy ra ’C’ song song
(A’ C) do đ d( ’C’ (A’ C)) = d(C’ (A’ C))
Nhận thấy AC’ giao với mặt phẳng (A’ C) tại trung
điểm của AC’ nên d (C ', ( A ' BC ))  d ( A, ( A ' BC ))
Suy ra
d ( B ' C ',( A ' BC ))  d (C ',( A ' BC ))  d ( A,( A ' BC )) 

6 34
(cm).
17
Trang 14

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 12 : (Trích đề tuyển sinh đại học năm 2008 – khối )
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông ; AB = BC = a ,
cạnh bên AA’= a . Gọi M là trung điểm cạnh BC.Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và ’C.
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AM và B’C tương đối
khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
Giải
’

Gọi E là trung điểm
’ . Khi đ ’C song song EM
nên suy ra ’C song song (AEM) do đ
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))
Nhận thấy BC giao với mặt phẳng (AEM) tại trung
điểm của BC nên
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))=d(B,(AEM))
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại B
Lại c lăng trụ A C.A’ ’C’ là hình lăng trụ đứng nên
’ vuông g c với AB và BC
Vậy tứ diện E.ABC có ba cạnh E A C đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ đến mặt
phẳng (AEM) thì h được xác định bởi hệ thức sau

C’

A’

E

M
B

C

A

1
1
1
1
7



 2
2
2
2
2
h
BB '
BM
BE
a

a 7
 d ( B ' C , AM )  h 
7

Trang 15


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 13:
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy (A C) bằng 60 . Gọi D là
trung điểm của cạnh AB .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC .
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SD và BC tương đối
khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
Giải
Gọi E là trung điểm AC mà D là trung điểm AB nên
DE là đường trung bình trong tam giác ABC
Suy ra BC // DE  BC // (SDE)
Lại có SD  (SDE) nên
d  BC , SD   d  BC ,  SDE    d  B,  SDE    d  A,  SDE  

(vì D là trung điểm AB)
 DE , BC  ( ABC )
 DE  AC
 DE / / BC , BC  AC

Ta có 

Lại có DE  SA ( do SA  (ABC))
Suy ra DE  (SAE)  (SDE)  (SAE)
Mà (SDE)  (SAE) = SE nên trong (SAE) kẻ AH  SE
 AH  (SAE)  AH = d ( A, ( SAE )) .
Tam giác ABC vuông tại C nên
AC  AB2  BC 2  25a2  16a2  3a

Suy ra AE 

3a
2

Vì SA   ABC  nên AC là hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABC)
 góc giữa SC với (ABC) là SCA = 60 .
Tam giác vuông SAC có SA  AC.tan 60  3 3a
Tam giác SAE vuông tại A c AH là đường cao nên :
1
1
1
3 39a
 2
 AH 
.
2
2
AH

SA
AE
13

Vậy d  BC , SD  

3 39a
13

Trang 16


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 14: Đề tuyển sinh đại học năm 2012 – khối A và khối A1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy A C là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
Giải
S

-Kẻ Ax//BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H trên Ax và SN.
3
2

Ta có BC//(SAN) và BA  HA
K

3
Nên d  SA, BC   d  B, ( SAN )   d  H , ( SAN ) 
2

A

Ta có Ax   SHN   Ax  HK
 Ax  HK
 HK   SAN 
 SN  HK

N
H

Do đ 

d H ,(SAN )   HK
Suy ra 

C

x

B

-Vì SH   ABC  nên HC là hình chiếu vuông
góc của SC trên (ABC)
 góc giữa SC với (ABC) là SCH = 60 .
2a

3
2
HC  AC 2  AH 2  2 AC. AH .cos 600
AH 

 HC 

a 7
3

a 21
3
a 3
HN  AH sin 600 
3
SH .HN
a 42
KH 

2
2
12
SH  HN

SH  HC.tan 600 

Vậy
d  SA, BC  

3

3
a 42
d  H , ( SAN )   HK 
2
2
8

Trang 17


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

PHẦN III :

Voòng Vĩnh Sun

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 : Cho hình ch p SA CD c đáy A CD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
đáy mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SCD).
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. O là tâm hình vuông

a 6
.Tính
d (O,(SCD))
3
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 2 . Đáy A C là tam giác c n và
ABCD ,G là trọng tâm tam giác SAC, d (G,( SCD)) 

có
cạnh C = 2a M là trung điểm của SA .T nh khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (S C).
Bài 4 : Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Bài 5: Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông c n tại A, BC = 2a. Gọi I là
trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (A C) thỏa mãn
uur
uur
IA  2IH ; góc giữa SC và mặt đáy (A C) bằng 60°.
a) Tính thể tích khối chóp S.ACH và khoảng cách từ A đến (SCH).
b) Tính khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Bài 6: Đề tuyển sinh đại học năm 2012 – khối
Cho hình hộp đứng A CD.A’ ’C’D’ c đáy là hình vuông tam giác A’AC vuông c n
A’C = a . Tính thể tích khối tứ diện A ’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( CD’)
theo a .
Bài 7: Đề tuyển sinh đại học năm 2011 – khối A
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông c n tại B , AB = BC = 2a , SA
vuông g c (A C ). M là trung điểm AB ; mặt phẳng ( P) qua SM và song song BC cắt
AC tại N . Góc giữa mặt phẳng (S C) và đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM
và khoảng cách giữa AB và SN theo a .
Bài 8: Đề tuyển sinh đại học năm 2007 – khối
Cho hình chóp tứ giác đều S.A CD c đáy là hình vuông cạnh bằng a. E đối xứng với D
qua trung điểm của SA M là trung điểm AE N trung điểm BC . Chứng minh MN vuông
BD và tính khoảng cách giữa hai đường MN và AC.
Trang 18


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

IV . KẾT QUẢ :
Khi áp dụng chuyên đề này cho học sinh lớp 12 thì tôi thấy học sinh rất th ch thú đồng
thời các m cũng d dàng giải được dạng bài tập nêu trên trong các đề thi đại học .
V . BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
Chuyên đề tôi nêu trên có tác dụng hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư
duy cho học sinh .
VI . KẾT LUẬN
- Tôi mong rằng với chuyên đề này một phần nào đ sẽ giúp ít cho các em học sinh về
khả năng tư duy toán học, có thêm kiến thức và kinh nghiệm để giải tốt bài toán “Tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng “.
- Cách suy nghĩ và cách trình bày bài giải của tôi trong chuyên đề nêu trên chưa hẳn là
tối ưu nên tôi mong nhận được sự góp ý chân tình của quý thầy cô và các đồng nghiệp .

Biên Hòa, Ngày 16/12/2012.
Kí tên

Voòng Vĩnh Sun

Trang 19


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Voòng Vĩnh Sun
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Nam Hà
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

____________
________________________

iên Hòa ngày 16 tháng 12 năm 2012

PHIẾU NHẬN X T, Đ NH GI S NG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012 - 2013
__________
Tên sáng kiến kinh nghiệm :
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Họ và tên tác giả : VOÒNG VĨNH SUN
Đơn vị ( Tổ ) : Toán -Tin
Lĩnh vực : Giảng dạy
Quản lý giáo dục

Phương pháp dạy học bộ môn : Toán

Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác :

1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có

2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả


3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối , chính
sách : Tốt

Khá

Đạt

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực ti n , d thực
hiện và d đi vào cuộc sống : Tốt

Khá

Đạt

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng : Tốt

Khá 
Đạt

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
( Ký tên và ghi rõ học tên )

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
( Ký tên , ghi rõ họ tên và đ ng dấu )

Trang 20