skkn dự đoán dấu ĐẲNG THỨC để áp DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT
---------------Mã số : ……….

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :

DỰ ĐOÁN DẤU ĐẲNG THỨC
ĐỂ VẬN DỤNG BĐT CAUCHY
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện: Đinh Quang Minh
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: ……………………
Phương pháp dạy học bộ môn:………
Phương pháp giáo dục: ……………...
Lĩnh vực khác:……………………….

Có kèm theo
Mô hình
Phim ảnh

Phần mềm
Hiện vật khác
Năm học : 2012 – 2013
1


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I . THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
- Họ và tên: Đinh Quang Minh
- Ngày tháng năm sinh: 02/01/1961.

- Giới tính: Nam.
- Địa chỉ: Tổ 8 – khu 12 – Thị trấn Tân Phú – Huyện Tân Phú.
- Điện thoại : 0902795345
- email:
- Năm vào ngành: 1982
- Chức vụ : Giáo viên.
- Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết - Huyện Tân Phú – Đồng Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
- Học vị ( hoặc chuyên môn trình độ cao nhất): Cử nhân khoa học.
- Năm nhận bằng: 1990.
- Chuyên môn đào tạo: Sư phạm Toán.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 29 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 3

DUYỆT CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

2


A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong thực tế, khi dạy học sinh lớp 10 bất đẳng thức Cô-Si tôi thấy học sinh rất
lúng túng trong việc làm bài tập hay định hướng cách làm đặc biệt là học sinh ở
mức độ trung bình.
Xét bài toán: Cho a,b,c >0 và a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a3  b3  c3  3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
a 3  1  1  3a
b3  1  1  3b

c 3  1  1  3c
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức:
a3  b3  c3  6  3 a  b  c   a3  b3  c3  3 a  b  c   6
 a3  b3  c3  3.3  6  3  (đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
3


Khi c mt bi toỏn bt ng thc(vớ d nh bi toỏn trờn ) hc sinh thng
t ra nhng cõu hi Ti sao li chn c s 1, cú phi do oỏn mũ khụng.
Nu khụng c gii ỏp v hng dn cỏch tỡm li gii s dn n tỡnh trng hc
sinh ngi cỏc bi toỏn v bt ng thc vỡ cho rng li gii v khụng cú quan h
lụgớc vi nhau nờn khú tỡm ra li gii cho bi toỏn. Thc cht vic phỏt hin cỏc
du hiu ú khụng phi l ngu nhiờn m thụng qua phõn tớch gi thit bi toỏn.
Qua đề tài : D ON DU NG THC P DNG BT
NG THC Cễ-SI CHNG MINH BT NG THC
Tôi muốn giúp học học sinh có thêm một ph-ơng pháp
chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN, giúp học
sinh có thể tự định h-ớng đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh
và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và
bộ môn Toán nói chung đó là lý do tôi chọn đề tài này,
khi nghiên cứu không tránh khỏi còn những hạn chế rất
mong đ-ợc sự góp ý của các thày cô giáo để đề tài đ-ợc
hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn.
.

B.
T CHC THC HIN TI
I. C s lý lun.
- Toỏn hc l mụn khoa hc c bn , hc toỏn ũi hi ngi hc ngoi vic phi

nm vng cỏc khỏi nim, nh lý, tớnh cht cũn ũi hi phi bit vn dng linh
hot cỏc kin thc ú vo cỏc bi toỏn c th gii , khụng th ch n thun
l thuc.
- Trong quỏ trỡnh hc toỏn v gii toỏn li khụng cú phng phỏp chung no
cú th gii c cỏc bi toỏn, mi bi khỏc nhau thỡ cú th vn dng cỏc phng
phỏp gii khỏc nhau.
- Phõn loi cỏc dng toỏn c bn , phõn tớch tỡm phng phỏp gii t ú rỳt ra
kinh nghim gii ng thi cú th vn dng cỏc kinh nghim , kin thc ú
gii cỏc bi toỏn khỏc.
II. Ni dung bin phỏp thc hin cỏc gii phỏp ca ti
2.1. Thun li:
4


- Được sự quan tâm và chỉ đạo của Ban lãnh đạo nhà trường về công tác đổi mới
phương pháp giảng dạy.
- Các em học sinh ngoan và có ý thức học tập.
2.2. Khó khăn:
- Điều kiện học tập chưa tốt, cơ sở vật chất còn hạn chế.
- Là một trường ở miền núi nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các học
sinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em phải
phụ giúp gia đình kiếm từng bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn đến học
yếu là tất nhiên.
2.3. Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài cơ bản về bất đẳng thức
- Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập và chuyên đề của học sinh lớp 10A1,
Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11
2.4. Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:
- Đa số học sinh chưa nắm vững về các khái niệm, định lý…

- Vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế.
- Lúng túng trong chọn phương án giải.
- Kết quả còn thấp.
- Chưa thực sự ham thích học toán với lý do không giải được bài tập.
Kết quả kiểm tra: ( Đội tuyển HSG khối 10)
1 10
Bài 1: Cho số thực a  3 . Chứng minh a  
( 2.5 điểm)
a 3
a
b
c
3
+
+

Bài 2: Cho a, b, c  0 . Chứng minh:
( 2.5 điểm)
b+c a +c a +b 2
1 1
Bài 3: Cho a,b là các số thực dương. CMR:  a + b   +   4 ( 2.5 điểm)
a b
Bài 4:
a2
b2
c2
a b  c




Cho a, b, c  0 . Chứng minh:
( 2.5 điểm)
b c c a a b
2

Lớp SS
Đội
HSG 12
10A1 42

11.5

22.5

33.5

44.5

55.5

66.5

77.5

88.5

99.5

0
0

0
4

0
7

0
2

3
7

4
12

2
3

1
5

2
2

2.5 Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức.
5

10 >=TB

0
0

%

12 100%
29 69%


Bc 2: a ra mt s vớ d in hỡnh, phõn tớch v cựng hc sinh xõy dng
phng phỏp gii
Bc 3: Rốn luyn k nng gii cỏc bi tp tng ng cho hc sinh thụng qua mt
s bi tp b sung nõng cao. Gi m cho hc sinh nhng hng phỏt trin, m rng
.

NI DUNG
I.Cỏc kin thc cn nh
1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cỏc mnh cú dng a<b hoc a>b hoc a b hoc a b c
gi l cỏc bt ng thc.
2. Một số tính chất cơ bản của bất ẳng thức :
Tính chất 1: a > b <=> b < a
Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c
Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c
a + c > b <=> a > b c
Tính chất 4: a > c và b > d
=> a + c > b + d
a > b và c < d
=> a c > b - d

Tính chất 5: a > b và c > 0 => ac > bc
a > b và c < 0 => ac
< bc
Tính chất 6: a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
Tính chất 7: a > b > 0 => a2n > b2n (n nguyờn dng)
a > b
<=> a2n+1 > b2n+1
(n nguyờn dng)
Tính chất 8: Nu b>0 thỡ a b a b
Tớnh cht 9: a b 3 a 3 b
3. Một số bất đẳng thức thông dụng :
* Bt ng thc Cụ-Si hai s:
ab
ab
Cho 2 s thc khụng õm a,b khi ú:
2
Du = xy ra khi v ch khi a=b
* Bt ng thc Cụ-Si ba s:
6


abc
 3. 3 abc
3
Dấu = xảy ra khi a=b=c

Cho 3 số thực không âm a,b,c khi đó:

* Bất đẳng thức Cô-Si tổng quát:
Cho n số thực không âm a1, a2 , a3 ,..., a n khi đó:

a1  a2  a3    an n
 a1.a2 .a3...an
n
Dấu = xảy ra khi a1  a2      an
4. Phân tích tìm lời giải:
Để giải bài toán trước tiên ta dự đoán dấu “=” của bất đẳng thức hay các
điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN. Từ dự đoán dấu “=”, kết hợp với các bất đẳng
thức quen thuộc dự đoán phép đánh giá. Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên
tắc dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước phải giống như dấu ‘=’ dự đoán ban đầu.
Để làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ
sau:

II. Một số ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thức a,b,c > 0
a2
b2
c2
a b  c



ta có:
.
b c c a a b
2
Ph©n tÝch:
+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a  b  c  1
7

a2 b  c
+ Áp dụng Cô-Si cho
,
m4
b c m

Giải:
Áp dụng BĐT Cô –Si cho 2 số không âm
a2
b c

 a (1)
b c
4
b2
a c

 b (2)
a c
4
c2
a b

 c (3)
a b
4
Từ (1),(2),(3) ta có:
a2
b2
c2

b c a c a b





 a b  c
b c a c a b
4
4
4
a2
b2
c2
a b c




b c a c a b
2
Bài 2: Cho các số thực a,b,c > 0,abc =1 .
Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
3
+
+


1+ b 1+ c 1+ a 2

Ph©n tÝch:
Sai lầm thường gặp: Ta có:
a2
+ (1+ b)  2a (1)
1+ b
b2
+ (1+ c)  2b (2) ,
1+ c
c2
+ (1+ a)  2c (3)
1+ a
a2
b2
c2
+
+
 2(a + b + c) - (a + b + c) - 3 = a + b + c - 3
Từ (1),(2),(3) 
1+ b 1+ c 1+ a
a2
b2
c2
3
a
+
b
+

c

3
abc
=
3

+
+
0
Lại có
1+ b 1+ c 1+ a
Nguyên nhân sai lầm:

8


a = b = c
 2
b2
c2
 a
= 1 + b,
= 1 + c,
= 1 + a ( hệ này vô nghiệm)
Dấu “=” xảy ra khi 
1
+
b
1

+
c
1
+
a

abc = 1


+ Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.Vì vậy khi áp dụng Cô-Si cho
1 + b a2
a
1+ b
và
:
=
m=4
m 1+ b
1+ b
m
2

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
a 2 1+ b
+
 a (1)
1+ b
4
b 2 1+ c

+
 b (2)
1+ c
4
c2
1+ a
+
 c (3)
1+ a
4
a2
b2
c2
1
3 3(a + b + c) 3 3
+
+
 (a + b + c) - (a + b + c) - =
- 
(1),(2),(3) 
1+ b 1+ c 1+ a
4
4
4
4 2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 3:

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab  bc  ca  12
a3

b3
c3
3
Chứng minh rằng: 2
+ 2
+ 2

b +12 c +12 a +12 2

Phân tích:
a3
a3
a3
=
=
+ 2
b +12 b 2 + ab + bc + ca  a + b  b + c 
+ Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a  b  c  2
a3
a +b b+c
;
;
+ Ta cần áp dụng Cô-Si cho 3 số
để chuyển a3 về
 a + b  b + c  m m
a3
a +b b+c 1
=
=
= m=8

a và làm mất mẫu nên:
m
2
 a + b  b + c  m
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh:

9


a3
b3
c3
3
a3
b3
c3
3
+
+


+
+

b 2 +12 c 2 +12 a 2 +12 2
 a + b  b + c   b + c  c + a  c + a a + b  2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số ta có:
a3

a + b b + c 3a
+
+

(1)
8
4
 a + b  b + c  8
b3
b + c c + a 3b
+
+

8
4
 b + c  c + a  8
c3

 c + a  a + b 

+

c + a a + b 3c
+

8
8
4

(2)

(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra
a3
b3
c3
a +b+c
+
+

4
 a + b  b + c   b + c  c + a   c + a a + b 
Lại có

a + b + c

2

(4)

 3  ab + bc + ca   a + b + c  3  ab + bc + ca  = 3.12 = 6

(5)

Từ (4) và (5) suy ra
a3
b3
c3
3
+

+
  (đpcm)
 a + b  b + c   b + c  c + a   c + a  a + b  2
Dấu “=” xảy ra

a3
a +b b+c
 a +b b+c = 8 = 8
 


b3
b+c c+a
=
=

b
+
c
c
+
a
8
8







c3
c + a a + b  a = b = c =1
=
=
 c+a a +b
8
8




a = b = c

ab + bc + ca = 3
a,b,c > 0


Bài 4: Cho a,b,c  0 và a  b  c  1. Chứng minh

10

a b  b c  c a  6


Phân tích :
+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a  b  c 
+ Áp dụng Cô-Si cho

1
2

và chú ý 3
3
3

2
,(a  b)
3

Giải:
Áp dụng Co-Si cho hai số không âm. Ta có
2
 (a  b)
2
1 a b
3
(a  b) 
= +
(1)
3
2
3
2
2
 (b  c)
2
1 b c
3
(b  c) 
= +
(2)

3
2
3
2
2
 (c  a)
2
1 c a
(c  a)  3
= +
(3)
3
2
3
2
Từ (1),(2),(3) suy ra

2
3





a  b  b  c  c  a  1

2(a  b  c)
2
2

 a b  b c  c a  6

a2
b2
c2
3
Bài 5: Cho a,b,c > 0 và a.b.c = 1 . chứng minh:
+
+

b+c a +c a +b 2
Phân tích :
+ Dự đoán dấu bằng a=b=c=1
a2 b + c
+ Áp dụng Cô-Si cho
,
m=4
b+c m
Giải:
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm ta có:
a2
b+c
+
 a (1)
b+c
4
b2
a +c
+
 b (2)

a +c
4
c2
a+b
+
 c (3)
a+b
4

11


a2
b2
c2
b+c a +c a +b
(1),(2),(3) 
+
+
+
+
+
a +b+c
b+c a +c a +b
4
4
4
a2
b2
c2

1
3
3

+
+
 (a + b + c)  3 abc =
b+c a +c a +b 2
2
2

Bài 6: Cho a,b,c > 0 và a.b.c = 1 .
1
1
1
3
Chứng minh: 3
+ 3
+ 3

a (b + c) b (a + c) c (a + b) 2
Giải:
1
1
1
Đặt x = , y = ,z = thì x>0 , y>0 , z>0 và xyz = 1
a
b
c
Bất đẳng thức cần chứng minh thành

1
1
1
3
+
+

1 1 1 1  1 1 1  1 1 2
+ 
+
+
3
x 3  y z  y  x z  z3  x y 

x 3 yz y3xz z3xy 3

+
+

y+z x+z x+y 2
x2
y2
z2
3
Thay xyz=1 ta được
+
+

y+z x+z x+y 2
( đã chứng minh ở bài 5)

Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z và xyz=1.
z
x
y
Chứng minh rằng: x + y + z  3 + 3 + 3
x
y
z
Phân tích :
+ Dấu =xảy ra khi x=y=z=1
z xyz.z
x xyz.x
y xyz.y
= yz 2 ; =
= x 2z; =
= xy 2
+ =
x
x
y
y
z
z
+ để làm mất căn bậc 3 ta có thể áp dụng BĐT Cô-Si 3 số y, x, x đảm bảo
y+y+x
3
y 2 x = 3 y.y.x 
dấu = vẫn xảy ra
3

Giải :
z
x
y
Ta có x + y + z  3 + 3 + 3  x + y + z  3 yz 2 + 3 x 2z + 3 y 2 x
x
y
z
Theo bất đẳng thức Cô-Si :
12


3

3

3

y+z+z
(1)
3
x+x+z
x 2 z = 3 x.x.z 
(2)
3
y+y+x
y 2 x = 3 y.y.x 
(3)
3
yz 2 = 3 y.z.z 

Từ (1),(2),(3) suy ra 3 yz 2 + 3 x 2 z + 3 y 2 x  x + y + z  (đpcm)
Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z=1
Bài 8: Cho ba số thực dương a, b, c và a+b+c=3.
Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  6
Phân tích:
+ Bài toán này có thể trực tiếp khi áp dụng BĐT Cô-si cho hai số a+3b với 4 do ta
dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1. Khi đó a+3b=b+3c=c+3a=4
+ Ta có thể dùng ẩn phụ :
Đặt A = a+3b , B = b+3c , C = c+3a Khi đó A + B + C = 12
Giải :
Đặt A = a+3b , B = b+3c , C = c+3a Khi đó A + B + C = 12
BĐT cần chứng minh thành :
A  B  C  6.
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm ta được :
2 4 A  A  4 (1)

2 4 B  B  4 (2)
2 4C  C  4 (3)
Từ (1),(2),(3) Ta có
2





4 A  4 B  4C  A  B  C  12  4





A  B  C  24

 A B  C 6

Bài 9: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab  bc  ca  1
a3
b3
c3
1
Chứng minh rằng:
+
+

b+c c+a a +b 2
Phân tích :

13


+ Dự đoán dấu bằng xảy ra a  b  c 

1
3

a a(b  c)
,
m4
b c

m
3

+ Áp dụng Cô-Si cho

Giải :
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta được :
a3
a(b + c)
+
 a 2 (1)
b+c
4
3
b
b(c + a)
+
 b 2 (2)
c+a
4
3
c
c(a + b)
+
 c2 (3)
a+b
4
Từ (1),(2),(3) suy ra :
a3
b3

c3
a(b + c) c(a + b) b(c + a)
+
+
+
+
+
 a 2 + b2 + c2
b+c c+a a +b
4
4
4
3
3
3
a
b
c
1

+
+
+ (ab + bc + ca)  a 2 + b 2 + c 2
b+c c+a a +b 2
a3
b3
c3
1

+

+
 a 2 + b2 + c2 (4)
b+c c+a a +b
2
Lại có a2  b2  c2  ab  bc  ac  1 (5)
a3
b3
c3
1
Từ (4),(5) suy ra
+
+

b+c c+a a +b 2
Bài 10: Cho 4 số thực dương a, b, c, d thoả mãn a+b+c+d=4
a
b
c
d
+
+
+
2
CMR:
1+ b 2 1+ c2 1+ d 2 1+ a 2
Phân tích:
+ Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1
Giải:

a

ab2
ab2
ab
Dấu ‘=’ xảy ra khi b=1
=
a

a
=
a
1+ b 2
1+ b 2
2b
2
Chứng minh tương tự ta có :
b
bc
bDấu ‘=’ xảy ra khi c=1
2
1+ c
2
c
cd
cDấu ‘=’ xảy ra khi d=1
2
1+ d
2
Ta có

14

d
da
dDấu ‘=’ xảy ra khi a=1
2
1+ a
2
a
b
c
d
1
+
+
+
 a + b + c + d -  ab + bc + cd + da 
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ d 1+ a
2

a
b
c
d
1
1 a + c + b + d


+
+
+

4
a
+
c
b
+
d

4



1+ b 2 1+ c 2 1+ d 2 1+ a 2
2
2
4
a
b
c
d
1 42

+
+
+


4
. =2
1+ b 2 1+ c 2 1+ d 2 1+ a 2
2 4
Suy ra
a
b
c
d
1
+
+
+
 a + b + c + d -  ab + bc + cd + da 
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ d 1+ a
2
a
b
c
d
1
1 a + c + b + d

+
+

+

4
a
+
c
b
+
d

4



1+ b 2 1+ c 2 1+ d 2 1+ a 2
2
2
4
2
a
b
c
d
1 4

+
+
+
 4- . = 2
2

2
2
2
1+ b 1+ c 1+ d 1+ a
2 4
a
b
c
d

+
+
+
 2 (suy ra đpcm)
1+ b 2 1+ c 2 1+ d 2 1+ a 2
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1

2

Bài 11: Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng:
2

y 
9 
1+ x  1+  1+   256
y
 x 

Phân tích: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi x=3 và y=9 khi đó
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 4 số ta có
x x x
x3
4
1+ x = 1+ + +  4
3 3 3
27

x y
3
=
=
=1
3 3x
y

(1)

y
y
y
y
y3
4
1+ = 1+
+
+
4
x
3x 3x 3x

27x 3

(2)
2


9
3
3
3
27
9 
27 2
1+
= 1+
+
+
 44
 1+
  16 4 3 (3)

y
y
y
y
y
( y) 3
y



Từ (1),(2) và (3) suy ra
2

9 
x 3 4 y3
27 2
 y 
4
4
.16
= 256  (đpcm)
1+ x  1+  1+   4 .4
27
27x 3
y3
y
 x 
15

2


x  3
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
y  9

Bài 12: Cho 3 số thực dương a, b, c và a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a
Phân tích:
Dự đoán P đạt Max khi a=b=c=2 và khi đó a+3b=b+3c=c+3a=8 để dấu ‘=’

trong bất đẳng thức Cô-Si xảy ra thì ta cần ghép a+3b, b+3c, c+3a với 8
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
1
8 + 8 + a + 3b
3
a + 3b = 3 8.8. a + 3b  
4
12
1
8 + 8 + b + 3c
3
b + 3c = 3 8.8. b + 3c  
4
12
1
8 + 8 + c + 3a
3
c + 3a = 3 8.8. c + 3a  
4
12
48 + 4  a + b + c 
 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a 
=6
12
a+3b=8
b+3c=8

Dấu ‘=’ xảy ra  c+3a=8  a  b  c  2
a+b+c=6


a,b,c>0
Vậy Max P=6 khi a=b=c=2
( Bài này có thể giải theo cách đặt ẩn phụ như bài 8)

Bài 13: Cho 3 số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a 
b 
c 

P = 1+ 1+ 1+ 
 2b  2c  2a 
Phân tích:
a
b
c 1



+ Dự đoán P đạt Min khi a=b=c>0 và khi đó
2b 2c 2a 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

16


1+

a 1 1 a

1 1 a
3 a
= + +
 3. 3 . .
= 3
2b 2 2 2b
2 2 2b 2 b

1

1+

b 1 1 b
1 1 b 3 b
= + +  3. 3 . . = 3
2c 2 2 2c
2 2 2c 2 c

2

c 1 1 c
1 1 c
3 c
= + +
 3. 3 . . = 3
3
2a 2 2 2a
2 2 2a 2 a
a 
b 

c  27

Từ (1),(2),(3) suy ra P = 1+ 1+ 1+  
 2b  2c  2a  8
b
c 1
a
=
=
 =
Dấu ‘=’ xảy ra   2b 2c 2a 2  a = b = c > 0
a,b,c > 0
27
Vậy MinP 
khi a=b=c>0
8
1+

III. Bài tập tự luyện:
a,b,c > 0
Bài 1: Cho 
. Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a  3 3 3 .
a + b + c = 3
Bài 2: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
bc
ca
ab
Q= 2
+ 2
+ 2

a (b + c) b (c + a) c (a + b)
Bài 3: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n
x + y + z = 1.
 1  1  1 
a) Chứng minh rằng : 1+  1+  1+   64
 x  y  z 
3 
3 
3

b) T×m giá trị nhỏ nhất cña: P   2 +   2 +   2 + 
x 
y 
z


Bài 3: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh rằng: ab 2 + bc2 + ca 2  a + b + c
a 2 b2 c2
9
Bài 4: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: 3 + 3 + 3 
a +b+c
b
c
a
4
4
4
a
b
c

Bài 5: Cho a,b,c>0 .Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2  a + b + c
bc ca
ab
3
3
a
b
c3
1
+
+
 a 2 + b2 + c2
Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
a + 2b b + 2c c + 2a 3
a3
b3
c3
3
Bài 7: Cho a,b,c>0 và abc=1 .Chứng minh rằng:
+
+

2
2
2
 b + c c + a  a + b 4
17






Bi 8: Cho a,b,c>0 v abc=1 .Chng minh rng:
a3
b3
c3
3
+
+

b c + a ca + b a b + c 2
Bi 9: Cho a,b,c>0 . Chng minh rng: a 3 + b3 + c3 ab 2 + bc 2 + ca 2
Bi 10: Cho a,b,c>0 v ab+bc+ca=3. Chng minh rng:
a3
b3
c3
+
+
1
b + 2c c + 2a a + 2b

C. KT QU VN DNG TI
ti ny ó c bn thõn tụi dy thớ im trờn cỏc em hc sinh lp 10A1,
i tuyn HSG khi 10,11. Kt qu thu c rt kh quan, cỏc em hc tp mt
cỏch say mờ hng thỳ. cht lng hc tp ca hc sinh tng nờn rừ rt. Gúp phn
khụng nh vo luyn trớ thụng minh, kh nng t duy sỏng to ca hc sinh.
Trc khi ging dy ti tụi cho hc sinh lm bi kim tra 45 phỳt

D. Kết luận

Các bài tập về bất đẳng thức, tỡm GTNN,GTLN th-ờng là
t-ơng đối khó đối với học sinh, nh-ng khi ging dy xong đề
tài

học sinh sẽ thấy rằng việc tỡm li gii cỏc bi toỏn bt ng

thc rt lụgớc v vic s dng tt bt ng thc Cụ-Si ó cú th gii c rt nhiu
bi toỏn về bất đẳng thức. Đồng thời đứng tr-ớc bài toán
khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có h-ớng
suy nghĩ và tập suy luận, các em sẽ có t tin hn khi gii cỏc
bi toỏn bt ng thc v tỡm GTLN, GTNN. Bt ng thc l mt ch khú,
giỳp hc sinh phỏt trin t duy sỏng to ti cũn cú th tip tc phỏt trin sang
vic tỡm li gii cỏc bi toỏn bt ng thc nh d oỏn du bng xy ra bt
ng thc Bunhiacpsky.
Thụng qua ti ny tụi mong hi ng khoa hc v cỏc ng nghip kim
nh v gúp ý ti ngy mt hon thin hn, cú ng dng rng rói trong quỏ
trỡnh ging dy v bi dng hc sinh khỏ gii.
Xin chõn thnh cm n!
18


19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Kỷ - “Chọn lọc 394 bài toán BĐT – GTLN,GTNN”
2. Đoàn Quỳnh-Doãn Minh Cường-Trần Nam Dũng -Đặng Hùng Thắng
“Tài liệu chuyên toán đại số 10”
3. Nguyễn Đức Đồng – “ 23 chuyên đề BĐT- BPT”
4. GS. Phan Đức Chính - “101 bài toán chọn lọc”

5. Nguyễn Vũ Thanh - “Bất đẳng thức và Giá trị Nhỏ Nhất”
6. Phạm Kim Hùng - “Sáng tạo bất đẳng thức”.
7. Trần Tiến Tự - “Lời giải đề thi học sinh giỏi toán 12”
8. Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh “Sử dụng phương pháp CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức”.

20


MỤC LỤC
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI :
I.
Thực trạng trước khi thực hiện đề tài
1. Thuận lợi – khó khăn
2. Đối tượng nghiên cứu
3. Phạm vi đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu
II.
TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. cơ sở lý luận
2. Nội dung đề tài

21


SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI
NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: THPT Đoàn Kết

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ

Độc lập - tự do - hạnh phúc

Tân Phú, ngày 18 tháng 05 năm 2013
PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:2012 - 2013
Tên đề tài: “DỰ ĐOÁN DẤU ĐẲNG THỨC ĐỂ VẬN DỤNG BĐT CAUCHY
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”
Người viết: Đinh Quang Minh Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT Đoàn Kết.
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục
Phương Pháp dạy học bộ môn
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
1.Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có
2.Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao:
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao
-Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
-Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụng
tại đơn vị có hiệu quả cao
3.Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:
Tốt
Khá
Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến khích có khả năng ứng dụng thực tiễn,dễ thực

hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Tốt
Khá
Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng:
Tốt
Khá
Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Đinh Quang Minh

HIỆUTRƯỞNG
Nguyễn Văn Hiển

22