Đề thi ôn tập môn toán ( dành cho tuyển sinh đại học )

TRƯỜNG ĐH CNTP TP.HCM
ĐỀ THI – 01

KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG 2013
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

x3

Câu 1 (2đ). Cho hàm số y

3(m

2)x

1

m

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m 3
2. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm điểm cực tiểu
tương ứng?
Hướng dẫn

x3

3 ta có u

1. Khi m

3x

3x 2

2. Miền xác định R, y '

2 (tự làm). Đồ thị như hình vẽ.

3(m

2) . Để hàm số có một cực đại và một cực tiểu,

ta phải có y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt
m
biệt
4( 3)3(m 2) 0

3x 2

3(m

2)

0 có 2 nghiệm phân

2.

Câu 2 (2đ).
1. Giải phương trình cos2x

(2

3 sin x )sin x

x2

11

xy

(x 2

y 2 )xy

2. Giải hệ phương trình

4

y2
180

Hướng dẫn
1. Ta có pt

2 sin2 x

1

3 sin2 x

2 sin x

4

0

sin2 x

2 sin x

2

3
1

t sin x thì 1 t 1 và phương trình trở thành t
2t
trình này ta có nghiệm t 1 (nhận) và t 3 (loại). Vậy sin x

2. Hệ

thành

(x 2
(x

S

y2)

2

xy

2

y )xy

P

SP

có 2 nghiệm

11
180

11
180

. Đặt S

S

P

(P

11)P

S

9

S

20

P

20

P

9

x2

y 2, P

S

11
180

P2

3

0 . Đặt

0 . Giải phương
x
2k .
2

xy thì hệ phương trình trở

P

11

11P

180

0

. Giải hệ này ta

1


 Với

S

9

x2

y2

P

20

xy

20

này ta có
 Với

x2

25

y

20
x

y
5

x

5

y

4

y

4

y2

20

x2

P

9

xy

x2

20

y

9
x

472

10

2

x
y

10

118

9
10

118

x4

0

20x 2

y

9
x

118

400

20
x

20

18
x2

y

9

9x 2

y

x2

20

x4

9

400
x2
20
x

x

S

Giải hệ này ta có

x2

9

9
x

. Giải hệ

18

0

.

nghiệm sẽ là

x
y

10

118

9
10

118

Câu 3 (2đ). Thầy giải trên lớp rồi
3

1. Tính tích phân I
1

x (x 2)
dx
(x 1)2

2. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2
biểu thức A

z1

2

z2

8z

20

0 . Tính giá trị của

2

Câu 4 (3đ).
1. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB 3a , AC 4a
và mặt bên SBC là tam giác đều vuông góc với mặt đáy ABC . Tính thể tích khối
chóp S .ABC .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0;1;1) , B( 1;1; 0) và mặt
phẳng P : 2x 2y z 1 0 .
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng P
b. Viết phương trình mặt phẳng Q qua A, B và vuông góc với mặt phẳng P
Hướng dẫn
a. Đường thẳng AB qua A, có vector chỉ phương AB

x
là AB : y
z

x
t
y 1
z 1 t
2x 2y z

t
1
1

. Gọi M là giao điểm của AB và P, khi đó tọa độ M thỏa hệ sau đây

t

t
1

2
3

2 4
M ( ;1; )
3 3

0

b. Mặt phẳng Q qua A có cặp vector chỉ phương AB
nên có vector pháp tuyến nQ
c. Vậy Q : 2(x

( 1; 0; 1) nên có phương trình

0)

(y

1)

( 1; 0; 1) và nP

(2; 2;1)

( 2; 1;2) .

2( z

1)

0 hay Q : 2x

y

2z

1

0
2


Câu 5 (1đ). Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa điều kiện x (1

y)

x 2 . Tìm giá trị

y 1

x
.
y

nhỏ nhất của A
Hướng dẫn

Điều kiện

x

1

1, x

0, y

0 . Khi đó x (1

tìm GTNN của A ta chỉ cần tìm GTNN của f (x )

f '(x )
Mà f ( 1)

1

1; f (1)

x
1

x2

1, f ( 22 )

0

1

x2

y)
x

x

1

x 2 trên [

x

0

1

2

2 . Vậy GTNN của A là

x
y

x2

y 1

x

x

2

x

1

x 2 . Để

1;1]

x

2
2

1.

3