Đề thi cuối kì môn giải tích 2 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.05 KB, 7 trang )
Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ
Bộ môn Toán Ứng dụng
Môn thi : GIẢI TÍCH 2
---------
Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút
CA 1
Không được sử dụng tài liệu
f ( x, y , z ) = arctan
Câu 1:
Cho hàm
x+ y
+ z 2 + 2 xy + x
2
z
Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng
x+ y+z=2
. Tính
bị giới hạn bởi mặt trụ
I = ∫∫ xdxdy
Câu 3:
D
Tính tích phân
Câu 4: Tính tích phân
của mp
df ( 0, 0,1)
x =1+
y = x2
z =0
y , x = 1 − y, x = 3
với miền D giới hạn bởi
1
1
I = ∫ y − xy + z 2 − z ÷dx + ( xy + 2 x ) dy + y 2 + xy ÷dz
2
2
C
x−z =0
và mặt phẳng
và mặt cầu
x2 + y2 + z2 = 2
với C là giao tuyến
lấy hướng ngược chiều
kim đồng hồ nhìn từ phía nửa dương trục Oz
∞
∑
Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1.3.5... ( 2n − 1) 23n − 2
2 n −1
.1.4.7...
n =1 3
( −3) n −1
n
∑ 2.4.6... ( 2n ) ( x − 1)
n =1
( 3n − 2 )
∞
Câu 6: Cho chuỗi lũy thừa:
. Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi x=0
y3
I = ∫ h ( x ) 2 xy + x 2 y + ÷dx + h ( x ) x 2 + y 2 dy
3
C
(
)
Câu 7: Cho tích phân
1. Tìm hàm h(x) thỏa h(0)=1 sao cho tích phân trên là tích phân không phụ thuộc đường đi với mọi
đường cong C.
A ( 0,1)
y = 2 x2 + 1
2. Tính tích phân với hàm h(x) tìm ở câu trên và C là phần parabol
đi từ
đến
B ( 1, 3)
.
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT
Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ
Bộ môn Toán Ứng dụng
Môn thi : GIẢI TÍCH 2
---------
Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút
CA 2
Không được sử dụng tài liệu
f ( x, y ) = x 2 + xy + arctan
Câu 1. Cho
y
x
d = grad f ( 1,1)
. Tìm
(độ dài vector gradient).
I = ∫∫∫ ( x + y + 2 z ) dxdydz
Ω
Câu 2. Tính tích phân
Ω
, trong đó
là miền giới hạn bởi
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≤ − x 2 + y 2
Câu 3. Tính tích phân đường
y = 2 − x2
.
3x 2
3
x3
I = ∫
+ 2 xy ÷dx + x y − 2 ÷dy
y
y
C
( −1,1)
, với C là phần đường parabol
( 1,1)
, đi từ điểm
đến
.
2
I = ∫ ( x + y ) dx + ( zx − y ) dy + ( x 2 + z ) dz
C
Câu 4. Tính tích phân
x2 + y2 = 1
, trong đó C là giao tuyến của mặt trụ
và mặt paraboloid
z = 2x2 + 2 y 2
∞
, lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ.
8 +n
n
∑ ( n + 1) ! arctan n
n =1
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
.
∞
1
n 3n − 1 n
x
( −1)
x=
∑
n
n.2
2
n =1
Câu 6. Cho chuỗi lũy thừa
. Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi
z = x2 + y2
z = 2x
Câu 7. Cho S là phần mặt paraboloid
nằm dưới mặt phẳng
lấy hướng sao cho pháp
vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz. Tính tích phân
(
)
(
)
(
)
I = ∫∫ 2 + e x + y + z dydz + y − 3e x + y + z − xz dxdz + 2e x + y + z + 2 dydx
S
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT
Đáp án: CA 1
Câu 1:
df = 2dx + dy + 2dz
S = ∫∫ ds
9 3
= 7.794
2
3
hoặc
1
1
2− x
−2
x2
∫ dx ∫
(0.5đ) =
1 + ( −1) + ( −1) dy
2
2
(0.5đ)
(0.5đ)
I = ∫ dx
Câu 3:
∫∫
1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
Dxy
S
Câu 2:
=
S=
(2 đhr đúng 0.5+0.5; dh thứ 3 đúng và vp đúng 0.5)
( x −1) 2
∫
xdy
1− x
=
(1.0đ)
34
3 = 11.33
(0.5đ)
Câu 4: Có 2 cách
C1
x = z = cos t
C:
y = 2 sin t
I=
(0.5đ)
2π
∫ (−
)
2 sin 2 t + 2 2 cos2 t − 2 sin 3 t dt
0
(0.5đ)
= 2π = 4.44
(0.5đ)
C2 Gọi S là phần mp nằm trong hình cầu lấy pháp vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz (0.5đ)
I = ∫∫ ( y + 2 + x − 1) dxdy + ( z − 1 − y ) dzdx + ( y + x ) dydz
S
(0.5đ)
1
1
I = ∫∫ ( y + 2 + x − 1)
+ ( z − 1 + y ) .0 + ( y + x ) −
÷ ds
2
2
S
un +1 =
Câu 5:
1.3.5... ( 2n − 1) ( 2n + 1) 23n +1
32 n +1.1.4.7... ( 3n − 2 ) ( 3n + 1)
(0.5đ)
(0.5đ)
= 2π = 4.44
( 2n + 1) 23
un +1
lim
= lim 2
n →∞ un
n →∞ 3 ( 3n + 1)
Vậy chuỗi HT (0.5đ)
Câu 6: 1.
R = +∞
(0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm
n
( −3 ) n − 1
n
∑ 2.4.6... ( 2n ) ( −1)
n =1
∞
Khi x=0:
3
∞ ÷
1
2
=− ∑
3 n =1 n !
(0.5đ)
3
1
= 1 − e 2 ÷
3
(0.5đ)
(0.5đ)
=
(0.5đ)
16
<1
27
.
h ( x) = ex
Câu 7: 1.
(0.5đ)
2.
( 1,3)
y3
1
I = ∫ d e x x2 y +
÷ = 12e − = 32.29
÷
÷
3 ÷
3
( 0,1)
(0.5đ)
Đáp án: CA 2
f x′ ( 1,1) =
Câu 1 :
5
2
f y′ ( 1,1) =
(0.5),
3
2
1
34
( 5, 3) → grad f ( 1,1) =
2
2
grad f ( 1,1) =
(0.5)
(0.5đ)
Nếu đúng đạo hàm, nhưng viết sai grad f(1,1) : 0.5đ
I=
2π
π
1
∫ dϕ ∫π dθ ∫ ( ρ sin θ cos ϕ + ρ sin θ sin ϕ + 2ρ cos θ ) ρ
3
4
0
Câu 2:
I=
2
sin θ d ρ
=−
0
(1.0đ)
1
2π
∫ dϕ ∫
0
−r
2
rdr
0
∫ ( r cos ϕ + r sin ϕ + 2 z ) dz
− 1− r 2
Hoặc
=−
(1đ)
π
4
(0.5đ)
π
4
(0.5đ)
Lưu ý : sv có thể sử dụng thêm tính đ/x chỉ cần tính tp của 2z.
Câu 3:
3x 2
x3
2
3
2
I = ∫
+ 2 x ( 2 − x ) ÷dx + x ( 2 − x ) −
2
2 − x2
−1
( 2 − x2 )
1
Cách 1:
÷( −2 xdx )
÷
(1.0)
= 0.97
(0.5)
C1 : y = 1, x :1 → −1, D : −1 ≤ x ≤ 1,1 ≤ y ≤ 2 − x ,
2
Cách 2:
2
∫ Pdx + Qdy = − ∫∫ ( 3x y + 2 x ) dxdy
C ∪C1
=−
D
(0.5)
I =−
36
35 = −1.03
(0.5)
3x 2
36
x3
− ∫
+ 2 xy ÷dx + x3 y − 2 ÷dy = − 36 − (−2) = 34
35 C1 y
y
35
35 = 0.97
(0.5đ)
Nếu sai kết quả cuối cùng nhưng kết quả từng phần đúng : (1.5đ)
Câu 4:
z=2
Cách 1: Chọn S là phần mặt phẳng
nằm trong trụ
=
I = ∫∫ − xdydz − 2 xdzdx + ( z − 2 y ) dxdy
S
(0.5đ)
x2 + y 2 = 1
∫∫
x 2 + y 2 ≤1
, lấy phía trên theo hướng trục Oz.
( 2 − 2 y ) dxdy = 2π
(0.5đ +0.5đ)
Cách 2: Chọn S là mặt
z = 2x2 + 2 y 2
nằm trong trụ
x2 + y 2 = 1
, lấy phía trên theo hướng trục Oz,
I = ∫∫ − xdydz − 2 xdzdx + ( z − 2 y ) dxdy
S
(0.5)
∫∫ ( 4 x
=+
2
x 2 + y 2 ≤1
+ 8 xy + 2 x 2 + 2 y 2 − 2 y ) dxdy = 2π
(0.5+0.5)
Lưu ý: Ở cách 1 và 2, nếu sv tính pháp vector và chuyển qua mặt 1 đúng, phần còn lại sai, chỉ trừ 0.5.
C : x = cos t , y = sin t , z = 2
0 → 2π
Cách 3:
,t:
(0.5đ)
2π
∫ ( − sin
I=
3
0
t + 2 cos 2 t − 2 sin t cos ) dt
π 8n
= bn
2 ( n + 1) !
an ~
= 2π
(0.5+0.5)
bn +1
8
=
→ 0 < 1 ⇒ ∑ bn HT
bn
n+2
Câu 5:
(0.5đ)
Tính luôn giới hạn bằng 0 (1đ).
(0.5đ) . Chuỗi HT (0.5đ)
R=2
Câu 6:
(0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm
n
1
n
÷
∞
∞
∞
n 3n − 1 1
n −1 4
1
= 3∑ − ÷ + ∑ ( −1)
( −1)
∑
n 2n 2n
4
n
n =1
n =1
n =1
Câu 7: Chọn S1 là mp
z = 2x
(0.5đ)
3
5
= − + ln
5
4
lấy phía dưới, V là vật thể giới hạn bởi
z = x2 + y 2 , z = 2x
G −O
I = − ∫∫∫ 1dxdydz − ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
V
π
I=
2
∫
−π
2
dϕ
S1
2cos ϕ
∫
0
(0.5đ)
5π
r ( r 2 − 2r cos ϕ ) − 2 dr == −
2
= −7.854
(0.5đ)
(0.5đ)
