Chuyên đề toán 8: Tứ giác Hình Thang Hình thang cân bồi dưỡng hsg

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

Chuyªn ®Ò 3:

Tø Gi¸c – h×nh Thang – H×nh thang c©n

Để Làm tốt được các bài tập sau đây chúng ta lần lượt tìm hiểu
những dạng thức có trong chuyên đề:
Bài 1.Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh ABCD là hình thang.
Bài 2.Cho hình thang ABCD. Đáy
AB=40cm,CD=80cm,BC=50cm,AD=30cm.Chứng minh ABCD là hình thang
vuông.
Bài 3.Hình thang cân ABCD (AB // CD) có đường chéo BD chia hình thang
thành hai tam giác cân:tam giác ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D. Tính
các góc của hình thang đó.
Bài 4.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi D, E lần
lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng HK. Gọi M là trung điểm của
BC.Chứng minh:
a,Tam giác MKH cân
b,Chứng minh DK = HE
Bài 5.Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I
của AM cắt các cạnh AB,AC. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là hình chiếu của A, B,
C lên d. Chứng minh BB’ + CC’ = 2AA’.
Bài 6.Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của
BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và
đường thẳng qua F vuông góc BC. Chứng minh:
a)H là trực tâm tam giác EFK.
b)Tam giác HCD cân.
Bài 7.Cho tam giác ABC đều. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của
tia AC lấy điểm F sao choAD = AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của

các đoạn BE, AD, AC, AB.
Chứng minh:
a)Tứgiác BCDE là hình thang cân.
b)Tứ giác CNEQ là hình thang.
c)Trên tia đối của tia MN lấy N’ sao cho N’M = MN. Chứng minh BN’
vuônggóc BD và EB = 2MN.
Bài 8.Cho hình thang cân ABCD ( AB// CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB. Độ dài
đường cao BH bằng độ
dài đường trung bình MN ( M thuộc AD, N thuộc BC) của hình thang ABCD.
Vẽ BE // AC ( E thuộc DC).
a)Chứng minh
b)Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh tam giác OAB cân.
c)Tam giác DBE vuông cân.
Bài 9. Cho tứgiác ABCD có AD = BC. Đường thẳng qua trung điểm M và N của
hai cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E, F. Chứng minh góc AEM bằng
góc MFB


Giáo án BDHSG Toán 8

I, T Giỏc

*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì
hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng.
A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.

Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một

cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh
đối (không kề nhau).
Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt
điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng thẳng
chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi
A

B

1. Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600 .
*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau.
Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác
lồi.
ABCD lồi ABCD có hai đờng chéo cắt nhau.
D

C

Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I)
Tia Oz nằm trong gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M
Oz, N Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng
bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy.

(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác
ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng
hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM
là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không
thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm
A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác
lồi.
B
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa
mặt
phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
M
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm
bất kì
thuộc miền trong của tam giác ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai
trờng hợp :
A
- M ở trong góc đối đỉnh của một góc
của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối

C


Giáo án BDHSG Toán 8

đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam
giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm).
- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M nằm trong góc A. Do
đó AM là tia trong của góc A, mà A và M nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên
đoạn Am cắt đoạn thẳng BC và ABMC là tứ giác lồi.
Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC
là tứ giác lõm.
Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các
đỉnh của tứ giác lồi.
j
M

B

M'

A

C

c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao
giờ
cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng MN không
cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền
ngoài của tam
B
giác MAC và nằm trong góc MAC).
M

N

C

A

H .2a
Ví dụ 1:

các ví dụ :

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi)
lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm
các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác,
toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
Giải
B
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
C
1) Chứng minh
AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
o
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong BCD)
A
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD)

Từ đó :
2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)
AC + BD < AB + BC + CD + DA
2) Chứng minh
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).

D


Giáo án BDHSG Toán 8
Trong tam giác ABO và CDO, ta có :
AB < BO + OA
(1)
CD < CO + OD
(2)
Cộng (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < BD + AC
(3)
Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :
AD + BC < BD + AC
(4)
Từ (3) và (4) ta đợc :
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).
(đpcm)
*) Nhận xét:
1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của
tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề :
Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng
chéo.

2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn
đúng không ? vì sao?
Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD.
Chứng minh rằng :
AB < AC.
C
Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
B
AB < AO + OB
(1)
O
D
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD
(3)
Theo giả thiết :
A
AB + BD AC + CD
(4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.(đpcm)

Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC.

Chứng minh rằng :
PQ

DC + AB
2

Gợi ý :
ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có
các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng
định lí về đờng trung bình trong tam giác.
B
Giải
GT Tứ giác ABCD
A
PA = PD, QB = QC
KL

Cm:

PQ

DC + AB
2

Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm P
F của AC.
Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do
đó :
PF =

DC
2

D

Q
F

C


Giáo án BDHSG Toán 8
Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó :
QF =

AB
2

Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:
PQ < PF + QF =

DC + AB
2

Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có
:
PQ = PF + QF =
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ

DC + AB
2
DC + AB
. ( đpcm)
2

Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng
Do đó ta chứng minh đợc rằng :



AB//CD.

DC + AB

PQ
.
2
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
lí:

Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định
CD + AB
2
CD + AB
(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ
2
DC + AB

và PQ <
2

(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =

Bài tập 1:

Các bài tập :

Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc
miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và
BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E.

Bài tập 2:

Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba
điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ
giác lồi.
Bài tập 3:

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau
thì có ít nhất một góc tù.
Bài tập 4:

Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E,
hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED
và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD.


Giáo án BDHSG Toán 8

*) hình thang - hình thang cân:

Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang
hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
B
A

A

B

D

C

B

D

Trong hình thang, hai
cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia
nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

A

PQ//AB và PQ =

C

D

C

là hai cạnh bên, đoạn thẳng
trung bình

AB + CD
2

hình thang cân
1. Định nghĩa:
Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau.
2. Tính chất:
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB//CD) : BC= AD
Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau.
AC = BD
Hình thang ABCD(AB//CD) :
Định lí 3 :(đảo của định lí 2)
Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang

đó có một trong các tính chất sau :
1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa).
2) Hai đờng chéo bằng nhau.
Ví dụ 4 :
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB
và AC sao cho :
AE + AK = AB + AC
Chứng minh rằng :
BC < EK.
A

Giải :
Lấy trên AB một điểm L sao cho
AL = AK
Lấy trên AC một điểm D sao cho
AD = AE
Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những
tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy
ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
DL = EK
(1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
K

L

O

B

E

C

D


Giáo án BDHSG Toán 8
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL)

(2)

Nhng trong tam giác OKL, ta có :
OK + OL > LK
Trong DEO :
EO + OD > ED

(3)
(4)

Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED
Từ giả thiết
AE + AK = AB + AC
Suy ra
BE = CK
Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên
BE = CK

Vậy
DC = CK.
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL.
Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra :
LK + ED = 2BC
Từ (5) và (6), ta có :
EK > BC
( đ p c m).

(5)

(6)

Ví dụ 5 :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc. Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy.
Giải :
Vẽ AE// BD (ECD). Vì AC BD (gt) nên AC AE (quan hệ giữa tính song
B
A
song và vuông góc).
Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn)
AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy
ra
O
AC = AE ; VAEC vuông cân tại A ; đờng cao
AH cũng là trung tuyến, do đó AH =
1
1
EC = (AB + CD) hay

2
2
E
AB + CD =2h.
D
H
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đờng
phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ
trên).
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.

C

Ví dụ 6 :
à +C
à = 1800 . Chứng minh rằng
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A
a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
K

Giải :
ả =C
à (cùng bù với
a) Vẽ BH CD, BK AD. Ta có A
1
do đó BHC = BKA(cạnh huyền, góc

nhọn), suy ra BH = BK.
1
2
Vậy DB là tia phân giác của góc D.
D

1

A

B

2

H

ả )
A
2

C


Giáo án BDHSG Toán 8
b) Góc A1 là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên
ả = 2D
ả A
ả = ADC
ã
A

AB // CD (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
1

1

1

ã
à (vì cùng bằng A
ả
Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có ADC
=C
1
1
) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là
hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa)
hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì
AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh
bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.

Bài tập 5:

Các bài tập vận dụnG

Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân
giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :

Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung
điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên
kia.
Bài tập 7:

Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung điểm
của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =
Bài tập 8:

CD AB
2

thì tứ giác ABCD là hình thang.

Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ
đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các
tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB +AC
Chứng minh rằng :

BC < EK .

Tiết 13 =>18
Chuyên đề 5 (6tiết):
Đờng trung bình của tam giác, của hình thang

*) Kiến thức cơ bản :


Giáo án BDHSG Toán 8
1.
a) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
2.
a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.(h.9)
A

A

E

D

F

E

F

C

B

D

C

h.8
h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và
bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :

Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối
trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
A
B
MN // AB // CD
CD AB
.
MN =
2
M
N
Các ví dụ minh họa

D

C

*) Ví dụ 1:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC. Chứng
AB + CD
minh rằng nếu MN =
thì tứ giác ABCD là hình thang.
2
Giải :
Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt là đờng
trung bình của ABD và BCD nên
B
AB
và OM // AB ;
(1)
OM =
2
CD
ON =
và ON // CD ;
(2)
A
O
2
N
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M,
O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác
M
ABCD là hình thang.

D

C

+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai
điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm
trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung
bình của tam giác để chứng minh.


Giáo án BDHSG Toán 8
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình
của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học.
*) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của
hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần
bằng nhau.
A
B
Giải :
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ; MN
cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của
N
M
Q
hình thang nên MN // AB // CD.
P
Xét ABD có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD
Xét ADC có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC.

D
MP và NQ lần lợt là đờng trung bình của ABD và ABC nên
AB
.
MP = NQ =
2
PQ là đoạn nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang ABCD nên
CD AB
.
PQ =
2
AB2 CD AB
Ta có : MP = +Q = QN
=
2
2
AB = CD AB
CD = 2.AB
+) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD ,
chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành
ba phần bằng nhau.
Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo của nó
chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau.
*) Ví dụ 3 :
Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đờng
thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam
giác xuống đờng thẳng d.
Giải :
Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các

đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d. Ta phải chứng
minh:
AG + BH + CK = 3OI
A

F

E
O

M
C

Từ trung điểm M của BO và
từ E, ta hạ MN và
EP vuông góc với d. Ta có
BH // MN // OI //
AG // EP //CK ( chúng cùng
vuông góc với d).
Vì O là tọng tâm của tam giác
ABC nên BM =
MO = OE. Ta lại
có HN =
N
I G
P
K
IN = IP (đờng thẳng song song H
cách đều). Nh vậy
ta đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các

đờng trung bình. Từ đó suy ra
B

D

C


Giáo án BDHSG Toán 8
MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI
(1)
Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc
BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.
Ví dụ 4 :
Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác vuông
ã AC = CBB'
ã
cân ACA, BCB ra ngoài tam giác ABC ( A'
= 1v ). Chứng minh rằng
vị trí của điểm M ( trung điểm của AB) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm
C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ dàng chứng
minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau :
B'
A 'HA = AEC
(1)
M
B'FB = BEC
(2)

Suy ra AH = BF =
CE. Gọi N là
C
A'
trung điểm của HF
thì N cũng là
trung điểm của AB.
MN cũng là
đờng trung bình của
hình thang
vuông
AHFB nên
F
H
E
N
B
A
A'H + B'F
.
MN AB và MN =
2
Nhng từ (1) và (2) ta có
AH = AE ; BF = BE
AE + BE
AB
nên
.
MN =
=

2
2
AB
Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và MN =
, nghĩa
2
là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C
( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB).
các bài tập vận dụng
Bài 1:
à = . Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ
Cho tam giác ABC có A
đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đờng thẳng xy tạo với
AB.
Bài 2 :
Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng
nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lợt là trung
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đờng thẳng IE song song với tia phân giác
của góc xOy.
Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và C
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A,
E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lợt là trung điểm của
EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân.
Bài 4:
Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ
trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy.
Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B và C là chân đờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để
tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất.

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8