Rút gọn biểu thức và bài toán phụ

TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
~ CƠ BẢN ~
Dành cho thi sinh tham gia thi theo đề Sở Giáo dục và Đào tạo
A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho biểu thức A =

3 x +2
x +1

−

2 x −3
3− x

−

(

)

3 3 x −5

x−2 x −3

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x = 4 + 2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

⎛
⎞
⎜⎜ x + 1
2 x
5 x + 2 ⎟⎟ 3 x − x
⎟⎟ :
−
+
Bài 2. Cho biểu thức B = ⎜
⎜⎜
⎟⎟ x + 4 x + 4
4−
x
x
−
2
x
+
2
⎝
⎠
a) Rút gọn Q;
b) Tìm giá trị của x để Q = 2 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
⎛
⎞
⎜ x +2
x −2
4x ⎟⎟ x + 5 x + 6
⎟⎟ :

−
−
Bài 3. Cho biểu thức C = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
4−
x
x−4
x +2
⎝ x −2
⎠
a) Rút gọn C;
b) Tìm giá trị của C khi x = 9 + 4 5 − 9− 4 5 ;
c) Tìm x để P = 2 .
⎛
⎞
⎜⎜ x −1
x + 1 ⎟⎟ x x − 2x − 4 x + 8
⎟⎟.
D
=
−
Bài 4. Cho biểu thức
⎜⎜
⎜⎝ x − 4 x − 4 x + 4 ⎟⎟⎠
6 x −18
a) Rút gọn D;
b) Tìm các giá trị của x để P > 0 ;
c) Tìm các giá trị của x để P < 1 .
Bài 5. Cho biểu thức E =

x+2
x x +1

+

x −1
x− x +1

−

x −1
x −1

a) Rút gọn P;

www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 1 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)

2
b) Tìm x để P = ;

3
c) Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định thì P < 1 .
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜ 1
x − x + 6 ⎟⎟ ⎜⎜ x + 1 x − x − 2 ⎟⎟
⎟
⎟⎟
+
−
Bài 6. Cho biểu thức F = ⎜
⎟⎟ : ⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎝ x −1 x + x − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ x + 2 x + x − 2 ⎟⎠
a) Rút gọn F;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c) Tìm x để P.

x −1

<−2 .
x 2 + 8x
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜ 4 x
8x ⎟⎟ ⎜⎜ x −1
2 ⎟⎟

⎟⎟ : ⎜
⎟⎟
+
−
Bài 7. Cho biểu thức G = ⎜
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ x − 2 x
⎟⎟
4−
x
2
+
x
x
⎝
⎠ ⎝
⎠

a) Rút gọn G;
b) Tìm giá trị của x để P = −1 .
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜ x −1
1
8 x ⎟⎟ ⎜⎜ 3 x − 2 ⎟⎟
⎟
⎟⎟
−
+

Bài 8. Cho biểu thức H = ⎜
⎟⎟ : ⎜⎜1−
⎜⎜
9x
−1
⎟
3 x + 1 ⎟⎟⎠
⎝ 3 x −1 3 x + 1
⎠ ⎜⎝
a) Rút gọn H;
b) Tìm các giá trị của x để P =

6
5

.

⎛
⎞⎟ ⎛
⎞
⎜⎜ 1
2 x −2
⎟⎟ : ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟
−
Bài 9. Cho biểu thức I = ⎜
⎟⎟
⎟⎟ ⎜
⎜⎜
⎝ x + 1 x x − x + x −1 ⎟⎠ ⎜⎝ x −1 x −1 ⎟⎠
a) Rút gọn I;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để I nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I. Với giá trị nhỏ nhất của I thì x bằng bao
nhiêu?

⎛
⎞
⎜ x −2
x + 2 ⎟⎟
2
⎟⎟ :
−
Bài 10. Cho biểu thức K = ⎜⎜
⎜⎜ x −1
2
⎟
x + 2 x + 1 ⎟⎠ x − 2x + 1
⎝
a) Rút gọn K;
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức K nhận giá trị dương;
c) Tính giá trị của K khi x = 7 − 4 3 ;
d) Tìm giá trị lớn nhất của K, khi đó tìm giá trị của x.
www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 2 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C

TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)

Bài 11. Cho biểu thức L =

2 x −9
x−5 x + 6

+

2 x +1
x −3

+

x +3
2− x

a) Rút gọn L;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để L có giá trị nguyên.
Bài 12. Cho biểu thức M =

3x + 9x − 3
x + x −2

x +1

−

x −2

+

⎞⎟
x − 2 ⎛⎜ 1
⎜⎜
−1⎟⎟⎟
⎟⎠
x ⎜⎝ 1− x

a) Rút gọn M;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để M nguyên;
c) Tìm các giá trị của x thỏa mãn A = x .
⎛
⎞⎟⎛
⎜⎜ x + 1
x −1
1 ⎞⎟⎟
−
+ 4 x ⎟⎟⎟⎜⎜⎜ x −
Bài 13. Cho biểu thức N = ⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟⎜⎝
x +1
x ⎟⎠
⎝ x −1
⎠
a) Rút gọn N;
b) Tìm giá trị của A với x =

3
3− 5

.

⎛
⎞
⎜⎜ 2 + x
x − 2 ⎟⎟ x x + x − x −1
⎟⎟.
−
Bài 14. Chứng minh giá trị của biểu thức P = ⎜
⎜⎜
x −1 ⎟⎟⎠
x
⎝x + 2 x +1
không phụ thuộc vào giá trị của biến.
⎛
⎞
⎜⎜ 1
a + 1 ⎟⎟
a +1
⎟⎟ :
+
Bài 15. Cho biểu thức Q = ⎜
⎜⎜
a −1 ⎟⎟⎠ a − 2 a + 1
⎝a − a
a) Rút gọn biểu thức Q;

b) Tính giá trị của biểu thức Q khi a = 3 + 2 2 ;
c) Tùy theo giá trị của a, hãy so sánh giá trị của Q với 1.
⎛
⎞
⎜⎜ x
1 ⎟⎟ x − 2
⎟⎟.
+
Bài 16. Cho biểu thức R = ⎜
⎜⎜ x − 4
⎟⎟
2
x
−
2
⎝
⎠
a) Rút gọn R;
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức 2R nhận giá trị nguyên.
⎛
⎞
⎛
x + 2 ⎞⎟⎟ ⎜⎜
x
x − 4 ⎟⎟
⎟⎟
:
−
Bài 17. Cho biểu thức S = ⎜⎜⎜ x −
⎟⎟ ⎜⎜

⎟⎟
⎜⎝
⎟
1−
x
⎜
⎠
x +1 ⎝ x +1
⎠
a) Rút gọn S;
www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 3 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)
b) Tìm gí trị nhỏ nhất của S.
⎛
⎞⎟
⎜ x+2 x
1− x
−1⎟⎟⎟ :
Bài 18. Cho biểu thức T = ⎜⎜
⎜⎜
⎟

⎝ x + 3 x + 2 ⎟⎠ x x −1
a) Rút gọn T;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1− T .
Bài 19. Cho biểu thức U =

15 x −11
x + 2 x −3

+

3 x −2
1− x

−

2 x +3
x +3

a) Rút gọn U;
b) Tìm các giá trị của x để U =

1
3

;

1
c) Tìm các giá trị của x để U < ;
2
d) Tùy theo các giá trị của x, hãy so sánh giá trị của biểu thức U với

2
3

.

⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜ 2 x
x
3x + 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 x − 2 ⎟⎟
⎟
⎟⎟
V
=
+
−
:
−1
Bài 20. Cho biểu thức
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
x
−
9
⎟
⎜⎝ x + 3
⎜

x −3
⎠ ⎝ x −3
⎠
a) Rút gọn V;

1
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức V <− ;
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức V.
B. TRÍCH TỪ ĐỀ THI
[TP. Hà Nội, 2016]
Cho hai biểu thức A =

7
x +8

và B =

x
x −3

+

2 x − 24
x−9

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 ;
b) Chứng minh B =

x +8

x +3

;

c) Tìm x để biểu thức A.B nhận giá trị nguyên.

www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 4 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)
[TP. Hà Nội, 2015]
Cho hai biểu thức P =

x+3
x −2

x −1

và Q =

x +2

+

5 x −2
x−4

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9 ;
b) Rút gọn biểu thức Q;
P

c) Tìm giá trị của x để biểu thức

Q

đạt giá trị nhỏ nhất.

[TP. Hà Nội, 2014]
1. Tính giá trị của biểu thức A =

x +1
x −1

khi x = 9 .

⎛ x−2
1 ⎞⎟⎟ x + 1
2. Cho biểu thức P = ⎜⎜⎜
với x > 0 và x ≠ 1
+
⎟⎟.
⎜⎝ x + 2 x
x + 2 ⎟⎠ x −1

a) Chứng minh rằng P =

x +1
x

;

b) Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x + 5 .
[TP. Hà Nội, 2013]
Với x > 0 , cho hai biểu thức A =

2+ x
x

và B =

x −1
x

+

2 x +1
x+ x

1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64 ;
2. Rút gọn biểu thức B;
3. Tìm x để

A

3
> .
B 2

[TP. Hà Nội, 2012]
1. Cho biểu thức A =

x+4

. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .
x +2
⎛
⎞
⎜⎜
x
4 ⎟⎟ x + 16
⎟⎟ :
+
2. Rút gọn biểu thức B = ⎜
(với x ≥ 0 ; x ≠ 16 )
⎜⎜
⎟⎟ x + 2
x
+
4
x
−
4
⎝

⎠
www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 5 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9
(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)
3. Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của

(

)

biểu thức B A −1 là số nguyên.
[TP. Hà Nội, 2011]
Cho A =

x
x −5

−

10 x
x − 25

5

−

x +5

, với x ≥ 0 và x ≠ 25 .

1. Rút gọn biểu thức A;
2. Tìm giá trị của A khi x = 9 ;
3. Tìm x để A <

1
3

[TP. Hà Nội, 2010]
Cho A =

x
x +3

−

2 x
x −3

−

3x + 9
x−9

, với x ≥ 0 và x ≠ 9 .

1. Rút gọn biểu thức A;
2. Tìm giá trị của x để A =

1

;
3
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
[TP. Hà Nội, 2009]
Cho biểu thức A =

x
x−4

+

1
x −2

+

1
x +2

với x ≥ 0; x ≠ 4

1. Rút gọn biểu A;

2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 ;

1
3. Tìm giá trị của x để x = − .
3
[TP. Hà Nội, 2008]

⎛
⎞
⎜ 1
x ⎟⎟
x
⎟⎟ :
+
Cho biểu thức P = ⎜⎜
⎜⎜
x + 1 ⎟⎟⎠ x + x
⎝ x
1. Rút gọn P;

www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 6 ~

www.fb.com/etc.gddt


TỔ CHỨC LIÊN KẾT GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO E.T.C
TÀI LIỆU MÔN TOÁN – LỚP 9

(Chọn lọc và tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu)
2. Tìm giá trị của P khi x = 4 ;
3. Tìm x để P =

13
3

.

[TP. Hà Nội, 2007]

x

Cho biểu thức P =

x −1

+

3
x +1

−

6 x −4
x −1

1. Rút gọn biểu thức P;

1

2. Tìm x để P < .
2
[TP. Hà Nội, 2006]
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎛
⎞
a
+
3
a
+
2
a
+
a
⎥ : ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
Cho biểu thức P = ⎢⎢
−
⎟⎟
⎥ ⎜
a −1 ⎥ ⎜⎝ a + 1
⎢ a + 2 a −1
a −1 ⎟⎠
⎢⎣
⎥⎦
1. Rút gọn biểu thức P;

(

2. Tìm a để

1
P

−

)(

a +1
8

)

≥1.

---------- ~ Làm hết đi nha ~ Còn nữa đấy ~ Hihi ~ ----------

www.etcgroup.edu.vn

0166 787 2265 – 0966 868 747
~ Trang 7 ~

www.fb.com/etc.gddt