bài 3: Các phương pháp tính tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (273.15 KB, 22 trang )
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 10/01/2006
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 1: Phơng pháp đổi biến số)
Tiết PPCT: 62
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh hiểu đợc các định lí về các dạng đổi biến số, nắm vững các qui tắc đổi biến. Từ
đó biết cách sử dụng phơng pháp đổi biến số để các tích phân.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm vững các quy tắc đổi biến và các công thức.
B. hớng đích và gợi động cơ.
HĐ 1: Trong thực tế giải toán tích phân, có nhiều trờng hợp nếu chỉ sử dụng định nghĩa,
các tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản cùng với các phép phân tích thì sẽ rất khó khăn. Để tính
đợc các tích phân loại đó chúng ta phải sử dụng một số kỹ thuật khác. Đó chính là vấn đề chúng
ta sẽ tìm hiểu.
C. Làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
VD: Tính I1 =
1
0
1 − x 2 dx ?
− H·y chøng minh (1)?
Néi dung
1. Phơng pháp đổi biến số.
a) Đổi biến số dạng 1.
Định lí. Nếu
1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ].
2) Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định trên đoạn [; ].
3) u() = a; u(β) = b th× ta cã:
∫
b
a
β
f(x)dx = ∫ f [ u(t)] .u '(t)dt
(1)
Chứng minh.
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi
đó:
b
a
f(x)dx = F(b) F(a)
(2)
Mặt khác, vì F(x) là một nguyên hàm của f(x), nên theo tính
chất nguyên hàm, F[u(t)] là một nguyên hàm của hàm số
f[u(t)]u(t) và do đó
f [ u(t)] .u '(t)dt = F [ u(β)] − F [ u(α)] = F(b) − F(a)
α
(3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra ta cã (1).
Qui tắc đổi biến số dạng 1.
1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên
Phát biểu các bớc thực hiện [; ], f(u(t)) xác định trên [; ] và u() = a; u() =b.
quá trình trên?
2) Biến đổi f(x)dx = f(u(t).u(t)dt = g(t)dt.
3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t).
HĐ 3:
4) Kết luận
b
a
f(x)dx = G(t)
1
HĐ 4:
Ví dụ 1. Tính I1 =
Xác định các cận theo biến t?
Đặt x = sint t ∈ − ; ÷ . Khi x=0 ⇒ t=0; khi x =1⇒ t=1/2
2 2
0
1 − x 2 dx .
Biến đổi hàm số dới dấu tích
phân theo t.
Ta đặt x = sint víi t ∈ 0; . Ta cã:
2
π
1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos2 t = cos t v× t ∈ 0;
2
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
123
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Tính dt?
và dx = cost.dt. Do đó:
I1 =
1
0
BT tổng quát hơn?
Đa về dạng a2+x2?
HĐ 5:
b
a
f(x)dx = ?
Qui t¾c?
π
0
0
2
1 + cos2t
dt
2
1 1
π
π
= t + sin 2t ÷ 0 2 = .
2 2
4
1
dx
1
3
VÝ dô 2. TÝnh I 2 = 2
(HD: Đặt x + =
tgt )
0 x + x +1
2
4
b) Đổi biến số dạng 2.
Lấy t = v(x) làm biến số mới, khi đó ta biến đổi đợc f(x) thành
biểu thức dạng g(v(t)).v(t). Đặt t = v(x) ⇒ dt= v’(x)dx vµ ta
cã:
∫
b
a
f(x)dx = ∫ g ( v(x) ) .v '(x)dx =
b
v(b)
a
v(a)
g(t)dt
Qui tắc đổi biến số dạng 2.
1) Đặt t = v(x), v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục.
2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt.
3) Tính một nguyên hàm G(t) cđa g(t).
4) TÝnh
TÝnh I3 vµ I4?
π
1 − x 2 dx = ∫ 2 cos2 t.dt = ∫
∫
v(b)
v(a )
v(b)
g(t)dt = G(t) v(a )
VÝ dô 3. TÝnh I 3 =
VÝ dô 4. TÝnh I 4 =
∫ ( 5x + 3) dx
1
0
∫
2π
π
3
3
2π
cos 3x − ÷dx
3
D. Cđng cè – híng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững các qui tắc đổi biến?
Với tích phân loại nào thì dùng đổi biến dạng 1, dạng 2.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 1, 3 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
124
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 10/01/2006
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 2: Phơng pháp tích phân từng phần)
Tiết PPCT: 63
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân từng phần, từ đó biết cách vận dụng để giải
toán tích phân. Rèn luyện đợc kỹ năng tính tích phân thông qua các ví dụ.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tích phân từng phần.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính các tích phân sau:
a) I1 = ∫
2
4 − x 2 dx; b) I 2 = ∫
0
π
0
2
dx
2 + cos x
C. Làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
HÃy chứng minh (1)?
Nội dung
2. Phơng pháp tích phân từng phần.
Định lí. Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [a; b] th×:
∫
b
a
u(x).v '(x)dx = [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay
[ u(x).v(x)] ' = ?
⇒
∫
b
a
a
∫
b
a
u(x)dv = [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x)du
a
∫ [ u(x).v(x)] ' dx = ∫ u '(x)v(x)dx + ∫ v '(x).u(x)dx
⇒ ∫ u(x).v '(x)dx = [ u(x).v(x)] − ∫ v(x).u '(x)dx
b
b
a
b
a
TÝnh du, v?
⇒ I1 = ?
b
a
b
a
a
b
a
V× du = u.dx; dv = v.dx nên ta có:
udv = ?
HĐ 3:
b
b
Chứng minh.
Ta cã: [ u(x).v(x)] ' = u '(x).v(x) + u(x).v '(x)
Tính du, dv theo x và dx?
b
b
b
a
áp dụng.
b
udv = uv a − ∫ vdu
b
a
ln x
dx .
0 x3
dx
u = ln x
du = x
Đặt
dx
dv = x 3
v = 1
2x 2
VÝ dơ 1. TÝnh I1 =
Do ®ã: I1 =
∫
2
1
1
∫
2
ln x
1 2 dx
ln x
dx = − 2 ÷ + ∫ 3
3
x
2x 1 2 1 x
2
H§ 4:
Đặt u =?, dv = ?
Tính du, v?
ln 2 1 1
ln 2 1 1 1 1 3 ln 2
=−
+ − 2 ÷ = −
− . + . = −
8
2 2x 1
8 2 8 2 2 16
8
VÝ dô 2. TÝnh I 2 =
∫
π
0
2
x.cos xdx
u = x
du = dx
Đặt
dv = cos xdx v = sin x
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập NguyÔn Tr·i
125
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
⇒ I2 = ?
⇒ I 2 = ( x.sin x )
Tơng tự hÃy xét các ví dụ 3, 4?
2
0
2 sin xdx =
0
π
π
π
+ cos x 0 2 = − 1
2
2
1
VÝ dô 3. TÝnh I 3 = ∫ xe x dx
0
u = x
du = dx
Đặt
x
x
dv = e dx v = e
(
x
⇒ I 3 = xe
)
1
0
(
1
− ∫ e x dx = x.e x
0
1
Đặt u = ?, dv = ?
)
1
0
1
− e x = e − (e − 1) = 1.
0
VÝ dô 4. TÝnh I 4 = ∫ xe dx
x
0
u = x
du = dx
Đặt
x
x
dv = e dx v = −e
1
1
1
1
−x
−x
−x
−x
⇒ I 4 = (−xe ) 0 + ∫0 e dx = (−xe ) 0 + (−e ) 0 = 1 −
2
e
e
H§ 5:
VÝ dơ 5. TÝnh I 5 = ln xdx .
1
Xác định du và v theo x, dx?
1
u = ln x du = dx
Đặt
x
dv = dx v = x
e
Đặt u =?, dv = ?
e
⇒ I 5 = (x ln x) 1 − ∫1 dx = (x ln x) 1 − x 1 = e − (e − 1) = 1
e
e
π
VÝ dô 6. TÝnh I 6 = ∫ 2 (2x − 1) cos xdx
0
u = 2x − 1
du = 2dx
⇒
HD:
dv = cos xdx v = sin x
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững qui tắc tích phân từng phần?
Dấu hiệu? Cách đặt?
Bài tập về nhà: Làm các bài tËp 2, 3, 5, 6 − SGK.
E. Rót kinh nghiƯm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
126
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 12/01/2006
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 3: Luyện tập)
Tiết PPCT: 64
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh thành thạo kỹ năng vận dụng phơng pháp đổi biến số để giải toán tích phân. Biết
cách phân tích, biến đổi, tính các tích phân hàm số hữu tỉ.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tính đợc các
tích phân hàm hữu tỉ.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính các tích ph©n sau:
a) I1 = ∫
1
0
dx
4 + x2
π
; b) I 2 = 3 cos2 3x.sin 3xdx
0
C. Luyện tập.
Phân bậc hoạt động
Nội dung
Bài số 1. Tính
HĐ 2:
a) I1 = 4 cot gxdx; b) I 2 =
0
6
Hớng dẫn giải.
6
Đổi cận tích phân?
I1 = ?
Đổi biến nh thế nào?
Đổi cËn?
− BiĨu thÞ dx theo t, dt?
− Chun hs vỊ biến t?
I2 = ?
HĐ 3:
Đặt t = ? dt =?
§ỉi cËn?
π
4
4
a) Cã I1 = ∫π cot gxdx =
Đặt t =?
1
6
dx
4 x2
cos x
dx
sin x
Đặt sinx = t ⇒ dt = cosxdx
x=π ⇒t= 1 ;x=π ⇒t= 2
6
2
4
2
2
2
dt
2
1 1
⇒ I 1 = ∫1 2
= ( ln t ) 1 2 = ln
− ln = ln 2
t
2
2 2
2
2
π π
b) §Ỉt x = 2 sin t, t ∈ − ;
2 2
π
x = 0⇒ t = 0; x=1 t =
6
Đặt x = 2sint với 0 t ≤ ⇒ dx = 2 cos tdt
6
Cã 4 − x 2 = 4 − 4 sin 2 t = 4 cos 2 t = 2 cos t
π
(V× 0 ≤ t ≤ ⇒ c os t > 0 )
6
π 2 cos tdt
π
π
π
6
= ∫ 6 dt = t 0 6 =
⇒ I 2 = ∫0
0
2 cos t
6
Bµi sè 2. TÝnh
x
e 1 + ln x
4 e
a) I1 = ∫
dx; b) I 2 =
dx
1
1
x
x
Hớng dẫn giải.
1
a) Đặt t = 1+lnx dt = dx ;
x
x = 1 ⇒ t = 1;x=e⇒ t = 2.
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lËp NguyÔn Tr·i
127
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
2
I1 = ?
Đặt t =?, tính dt?
Đổi cận?
I2 = ?
(
2
2 1
1 + ln x
2 3
2
⇒ I1 = ∫
dx = ∫ tdt = ∫ t 2 dt = t 2 = 2 2 − 1
1
1
1
x
3
3
1
1
x
.e x dx;x = 1 → t = e, x = 4 → t = e 2
b) Đặt t = e dt =
2 x
e
e2
)
e2
I 2 = ∫ 2dt = 2t e = 2e 2 2e
e
Bài số 3. Tính các tích phân:
1
1 2xdx
3x + 2
a) J1 = ∫ 2
dx;b) J 2 = ∫ 2
0 x − 5x − 6
0 x −4
Híng dÉn gi¶i.
− Chúng ta biết tính tích phân hữu a) Giả sử:
3x + 2
A
B
tỉ dạng nào?
=
+
3x + 2 = (A + B)x + B − 6A
2
dx
x − 5x − 6 x + 1 x − 6
HS: ∫
?
x+a
A = 1
A + B = 3
7
Vậy hÃy đa về dạng đó?
B 6A = 2
B = 20 7
Xác định A, B?
HĐ 4:
1 20dx
dx
20
1
+∫
= ln x + 1 + ln x − 6
0 7(x + 1)
0 7(x − 6)
7
7
0
1
20
10
= ln 2 + ln 5 − ln 6
7
7
7
2x
1
1
=
+
b) T¬ng tù ta phân tích đợc: 2
x 4 x+2 x2
1
1
1 dx
1 dx
+
= ( ln x + 2 ) + ( ln x − 2 ) = ln 3
Do ®ã: J 2 = ∫0
0
0
x+2 0 x−2
⇒ J1 = ∫
⇒ J1 =?
T¬ng tù tÝnh J2 ?
\
1
1
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 5: Nắm vững phơng pháp đổi biến số? Rút ra dấu hiệu, trờng hợp vận dụng.
Ghi nhớ cách tính tích phân các hàm số hữu tỉ.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 3.25, 3.26, 3.27 Tr33, 34 SBT.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi
128
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 12/01/2006
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 4: Luyện tập)
Tiết PPCT: 65
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh củng cố đợc phơng pháp tích phân từng phần và thành thạo kỹ năng vận dụng
phơng pháp này để giải toán tích phân, cũng nh nắm đợc một số dạng tích phân tính đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc các trờng hợp vận dụng của phơng pháp tích phân từng
phần.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính các tích phân sau:
0
0
a) I1 = ∫ 4 x sin xdx; b) I 2 = ∫ 3 x cos2xdx
C. Luyện tập.
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Nội dung
Bài sè 1. TÝnh
π
π
0
0
a) I1 = ∫ 2 (x − 1) cos xdx; b) I 2 = ∫ 6 (2 − x)sin 3xdx
Đặt u =?, dv =?
Xác định du và v?
Hớng dẫn giải.
u = x 1
du = dx
a) Đặt
dv = cos xdx v = sin x
⇒I1 = ?
⇒ I1 = [ (x − 1)sin x ] 0 2 − ∫ 2 sin xdx
π
π
0
π
π
−1+1 =
2
2
du = − dx
u = 2 x
b) Đặt
cos3x
dv = sin 3xdx v = −
3
π
π
= [ (x − 1)sin x ] 0 2 cos x 0 2 =
Đặt u =? dv = ?
TÝnh du vµ v?
π
1
6 1 π
⇒ I 2 = (x − 3) cos 3x − ∫ 6 cos3xdx
3
0 3 0
π
π
1
1
1 1 5
= [ (x − 2) cos3x ] 0 6 − sin 3x 0 6 = 2. − =
3
9
3 9 9
⇒ I2 = ?
Bµi sè 2. TÝnh
H§ 3:
π
b) I 2 = ∫ ( ln x ) dx
e
a) I1 = ∫ 2 e x dx;
1
2
1
5
1
2
0
c) I 3 = ∫ 2x ln(x − 1)dx; d) I 4 = x 2 e x dx
Đặt u =?, dv =?
Xác định du và v?
Hớng dẫn giải.
u = e x
du = e x dx
a) Đặt
dv = cos xdx v = sin x
⇒I1 = ?
⇒ I1 = e x sin x
TÝnh tiÕp
∫
π
0
(
2
e x sin xdx
)
π
0
2
π
− ∫ 2 e x sin xdx = e
0
π
2
π
− ∫ 2 e x sin xdx
0
u1 = e
du = e dx
Đặt
dv1 = sin xdx v = − cos x
x
x
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập NguyÔn Tr·i
129
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
π
(
⇒ ∫ 2 e x sin xdx = − e x cos x
0
π
⇒ Ta cã: I1 = e
)
π
2
0
− ( 1 + I 1 ) ⇒ I1 =
2
π
+ ∫ 2 e x cos xdx = 1 + I1
0
e
Đặt u =?, dv =?
Xác định du và v?
2 ln xdx
u = ( ln x ) 2
du =
b) Đặt
x
dv = dx
v = x
⇒I2 = ?
⇒ I 2 = x ln 2 x
−1
2
2
∫
e
1
(
)
T¬ng tù tÝnh I3 ?
e
e
1
e
1
1
− 2 ∫ ln xdx = e 2 ln xdx
1
Ta đà tính đợc
ln xdx = ?
e
ln xdx = 1 ⇒ I 2 = e − 2
dx
u = ln(x − 1) du =
⇒
c) §Ỉt
x −1
dv = 2xdx
v = x
5
5
⇒ I 3 = (x 2 − 1) ln(x − 1) − ∫ (x + 1)dx
2 2
5
x2
27
= 48 ln 2 − + x ữ = 48 ln 2
2
2
2
HĐ 4:
Đặt u =?, dv =?
Xác định du và v?
(
I 4 = −x2 e− x
⇒I4 = ?
TÝnh
∫
1
0
u = x 2
du = 2xdx
d) Đặt
x
x
dv = e dx v = −e
−x
xe dx ?
)
1
0
1
1
0
0
+ 2 ∫ xe − x dx = −e −1 + 2 ∫ xe − x dx
u1 = x
du1 = dx
Đặt
x
x
dv1 = e dx v1 = −e
1
(
⇒ ∫ xe − x dx = − xe − x
0
⇒ I 4 = 2 − 5e
)
1
0
1
1
0
0
+ ∫ e − x dx = − e −1 − e − x = 1 − 2e −1
−1
D. Cñng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 5: Chú ý các trờng hợp vận dụng của phơng pháp tích phân từng phần.
Các dạng toán liên quan.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 3.28, 3.29 Tr.34, 35 SBT.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi
130
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 15/01/2006
Tiết PPCT: 66
Đ4. ứng dụng hình học và vật lí của tích phân
(Tiết 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x),
trục Ox và các đờng thẳng x =a; x=b; Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y=f(x), y = g(x) và các đờng thẳng x =a; x=b .
ã Trọng tâm: Học sinh nắm vững các công thức, vận dụng đợc để giải toán.
B. Hớng đích và gợi động cơ.
HĐ 1: Nhắc lại phơng pháp tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f(x) liên tục, f(x)0 trên [a; b], trục Ox và các đờng thẳng x = a, x=b?
C. làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động
Nội dung
1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
HĐ 2:
y=f(x), trục Ox và các đờng thẳng x = a, x = b.
− NÕu hµm sè y = f(x) liên tục và
không âm trên [a; b]. Diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Công thức tính diện tích của của f(x), trục Ox và các đờng thẳng
x = a, x = b là:
hình thang cong?
b
b
S = ∫ f(x)dx = ∫ f(x) dx
a
a
− NÕu hs y=f(x)≤0 trên [a; b] thì
(f(x))0 trên [a; b] và diện tích
hình thang cong aABb giới hạn bởi
đồ thị của f(x), trục Ox và các đờng
thẳng x = a, x = b bằng diện tích
hình thang aABb giới hạn bởi đồ
thị y=f(x), trục Ox, các đờng thẳng
x =a, x =b.
Khi đó ta còng cã:
SaABb =?
b
b
b
a
a
a
S = ∫ −f(x)dx = ∫ −f(x) dx = f(x) dx
Công thức tính S?
Từ các trờng hợp trên, một cách tổng quát ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
Ox và các đờng thẳng x = a, x = b đợc tính bởi công thức
b
S = f(x) dx
a
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hs y = x 2, trục Ox và các
đờng thẳng x =1, x= 2.
Hớng dẫn giải.
HĐ 3:
Công thức? ⇒ S=?
2
S = ∫ x dx = ∫
1
H§4:
2
2
1
2
x3
7
x dx =
=
3 1 3
2
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
5
y = x 2 2x 3 , trục Ox và các đờng thẳng x = ;x =
2
2
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trêng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
131
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Xác định miền cần tính diện tích?
Công thức?
Hớng dẫn giải.
Ta có:
S=
5
2
1
=
5
Tính tích phân đó?
2
( x 2 2x − 3)dx
2
−1
x 2 − 2x − 3 dx =
2
5
x3
2
265
= − − x 2 − 3x ÷ =
24
3
1
2
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = sin x trên đoạn [0; 2] (Xem sgk)
HĐ 5:
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng x=a,
x=b và đồ thị cđa hai hµm sè y = f1 (x);y = f2 (x) liên tục trên
đoạn [a; b].
Phân tích các trờng hợp xảy Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, suy ra diện
tích của hình phẳng trên đợc xác định bởi công thức:
ra?
b
Cách tính S?
S = f1 (x) − f2 (x) dx
a
§Ĩ tÝnh S ta thùc hiện theo cách sau:
Các cách tính tích phân chứa
Cách 1. Chia kho¶ng, xÐt dÊu biĨu thøc f 1(x) − f2(x) rồi khử
GTTĐ?
dấu GTTĐ và tính S.
Cách 2. Tìm các nghiệm của phơng trình f1(x) f2(x) = 0, giả
sử đó là , [a; b], thì:
b
a
S = f1 (x) − f2 (x) dx + ∫ f1 (x) − f2 (x) dx + ∫ f1 (x) − f2 (x) dx
=
H§6:
− XÐt c¸c vÝ dơ?
α
∫ (f
a
1
(x) − f2 (x) ) dx +
β
∫ (f
α
1
(x) − f2 (x) ) dx +
∫ (f
b
β
1
(x) − f2 (x) ) dx
(Vì trên mỗi đoạn nhỏ đó f1(x) f2(x) giữ nguyên dấu)
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đờng:
y = x3 , y = 0, x = −1, x = 2
VÝ dô 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y = x 2 ;y = x + 2
D. Cñng cè hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 7: Nắm vững các công thức, ttrờng hợp vận dụng?
Cách lấy tích phân các hàm chứa GTTĐ?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 1, 2, 3 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
132
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 16/01/2006
Đ4. ứng dụng hình học và vật lí của tích phân
(Tiết 2: Diện tích hình tròn và elíp. Thể tích khối chóp và khối nón)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm đợc công thức tính diện tích hình tròn và elíp đợc xây dựng bằng tích phân.
Công thức tÝnh thĨ tÝch cđa mét vËt thĨ, thĨ tÝch cđa khèi chãp, khèi nãn, khèi chãp cơt, nãn cơt.
• Träng tâm: Học sinh ghi nhớ đợc các công thức tính diƯn tÝch vµ thĨ tÝch.
TiÕt PPCT: 67
B. kiĨm tra vµ đánh giá.
HĐ 1: Phát biểu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng x=a,
x=b và đồ thị của hai hàm số y = f1 (x);y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b].
2
áp dụng víi f1 (x) = 2x + 1;f2 (x) = x + 2x + 3;a = 1;b = 2 .
C. lµm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Phơng trình đờng tròn?
Vậy dtích hình tròn là?
Nội dung
1. Diện tích của hình tròn và elíp.
a) Diện tích hình tròn.
Có thể xem hình tròn là hình hợp
bởi đồ thị của hai hàm sè
y1 = R 2 − x 2 vµ y 2 = − R 2 − x 2
Do ®ã, diƯn tÝch của nó đợc xác định
bởi công thức:
R
R
R
R x dx = ?
2
2
2
2
2
2
Shtrßn = ∫− R R − x + R − x dx
Chó ý. HiĨn nhiªn, ta cã thĨ tÝnh diện tích hình tròn theo công
thức:
S = 4
R
0
HĐ 3:
Tính S1?
HĐ4:
R 2 − x 2 dx
b. DiƯn tÝch cđa elÝp.
x2 y2
Cho elÝp (E): 2 + 2 = 1 . Gäi
a
b
S1 lµ diƯn tÝch cđa 1/4 elÝp øng
víi x≥0; y≥0 th× ta cã:
SelÝp = 4S1.
NhËn xÐt r»ng S1 lµ diƯn tÝch cđa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
b 2
a x 2 , (0 ≤ x ≤ 1) , trôc Ox và đờng thẳng x=0.
hàm số y =
a
a b
a 2 x 2 dx = πab
Do ®ã: S = 4S1 = 4 0
a
Ví dụ 1. Tính diện tích của:
a) Hình tròn có phơng trình: x 2 + y 2 2x − 4y − 5 = 0
x2 y2
b) ElÝp (E) cã phơng trình: + = 1
16 9
2. Thể tích của các vật thể:
a) Công thức tính thể tích.
Giả sử vật thể T giới hạn bởi 2 mp song song là () và ().
Chọn hệ trục toạ độ có Ox() và (), gọi a, b là giao điểm của
() và () với Ox (a
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi
133
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Giải thích bằng trực quan?
() cắt T theo một thiết diện có diện tích là S(x), giả thiết rằng
S(x) là hàm số liên tục của x. Khi đó thể tích của vật thể T đợc
b
xác định bởi công thức: V = S(x)dx
a
y
O
HĐ 5:
Xác định S(x)?
x
a
b x
b) Thể tích của khối nón và khối chóp.
Xét khối nón (khối chóp) đỉnh S và diện tích đáy là B, đờng
cao là SI = h.
Gọi S(x) là điện tích của thiết diện cắt bởi mp song song với
x2
đáy thì ta có: S(x) = B. 2
h
S
⇒V=?
Do ®ã thĨ tÝch cđa khèi chãp (khèi nãn) lµ:
h
x2
Bh
V= ∫ B. 2 dx =
0
h
3
c) ThĨ tÝch cđa khèi nãn cơt vµ chãp cơt.
XÐt khèi nãn cơt (chãp cơt) giới hạn bởi các mặt phẳng đáy có
HĐ6:
hoành độ SI = h và SI = h. ta có:
Xét tơng tự khãi chãp vµ khèi
h
x2
B
V = ∫ B. 2 dx = 2 h 3 − h '3
nãn?
h'
h
3h
Gäi B’ lµ diƯn tÝch đáy thứ 2 và H là chiều cao thì từ công thức
H
B + B '+ BB '
trên ta có: V =
3
(
(
)
)
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 7: Nắm vững các công thức, ttrờng hợp vận dụng?
Phơng pháp tính?
Bài tập về nhà: Làm các bài tËp 2, 3 − SGK.
E. Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Ngày: 16/01/2006
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lËp NguyÔn Tr·i
134
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Đ4. ứng dụng hình học và vật lí của tích phân
(Tiết 3: Thể tích vật thể tròn xoayThể tích khối cầu. ứng dụng vật lí)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm vững công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay, hiểu đợc công thức tính
thể tích khối cầu và vận dụng đợc để giải toán.
Nắm đợc một sè øng dơng vËt lÝ cđa tÝch ph©n nh tÝnh nhiệt lợng Q, tính công A của dòng
điện xoay chiều.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm vững công thức tính thể tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay.
TiÕt PPCT: 68
B. kiĨm tra và đánh giá.
HĐ 1: Công thức tính diện tích hình tròn, elíp?
Công thức tính thể tích khối chóp, khèi nãn, chãp cơt, nãn cơt?
C. lµm viƯc víi néi dung mới.
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Diện tích thiết diện?
V=?
Nội dung
3. Thể tích của vật thể tròn xoay.
a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các
đờng y=f(x), y = 0, x=a, x=b quay
quanh trục Ox tạo thành một vật thể
tròn xoay T. Ta tÝnh thĨ tÝch vËt thĨ
®ã.
ThiÕt diƯn cđa T cắt bởi mp()Ox
tại x là hình tròn bán kính y =f(x) nên
diện tích của thiết diện là S(x) = πy2.
b
VËy V = π∫ y 2 dx
(1)
a
VÝ dô 1. TÝnh thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng
giới hạn bởi các đờng y = x2, y = 0, x=1, x=2 quay quanh Ox.
Hớng dẫn giải.
áp dụng công thức (1) ta cã:
2
y =?. TÝnh
∫
2
1
4
x dx ?
2
πx5
31π
V = π∫ y dx = π∫ x dx =
=
1
1
5 1
5
2
2
2
4
VÝ dô 2. Xem VD1 SGK. Tr51
b) Xét đờng cong có phơng trình x = g(y) trong đó g(y) là một
hàm số liên tục trên [a; b]. Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đờng x =g(y), y=a; y=b và x = 0 quay quanh trục Oy tạo thành
vật thể T. Thì:
HĐ 3:
Tính VT?
b
VT ' = x 2 dy
(2)
a
áp dụng công thøc (2) ®Ĩ tÝnh?
VÝ dơ 3. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ sinh ra bëi phÐp quay quanh trơc
x2
Oy cđa h×nh phẳng giới hạn bởi các đờng y = , y = 2, y = 4
2
và x =0.
Hớng dẫn giải.
4
2
HĐ 4:
Quay hình phẳng nào thì đợc khối
cầu?
Vc =?
(
Có V = π ∫ 2ydy = πy 2
)
4
2
= 12 π
c) ThÓ tÝch của khối cầu
Khối cầu là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình tròn tâm O
và gới hạn bởi ®êng trßn x 2 + y 2 = R 2 quanh trục Ox.
Do đó từ công thức (1) ta có:
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Tr·i
135
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
R
Vc = π∫ (R 2 − x 2 )dx =
−R
H§ 5:
4R3
3
4. ứng dụng vật lí của tích phân.
a) Nhiệt lợng Q tỏa ra trên đoạn
mạch có dòng điện xoay chiều
2
i = I 0 sin
+ ữ chạy qua trong
T
Q=?
T
thời gian một chu kì T là Q = Ri 2 dt (với R là điện trở thuần
0
của đoạn mạch)
b) Công của dòng điện xoay chiều trong đoạn mạch có hiệu
điện thế xoay chiều u, dòng điện i trong thời gian một chu kì T
T
là: A = uidt .
A=?
0
áp dụng:
Tính các tích phân tơng ứng?
2
2
Với u = u 0 sin ữ và i = I 0 sin t + ϕ ÷ . Ta cã:
T
T
T
T
2
2
2 2 πt
• Q=
∫0 Ri dt = ∫0 RI 0 sin T + ϕ ÷ =
2π
1 − cos 2 t + ϕ ÷
2
T
T
dt = RI 0 T
= RI 2 ∫
0 0
2
2
T
T
2π
2π
• A=
∫0 uidt = ∫0 u 0 sin T t ÷.I 0 sin T t + ϕ ÷dt
u I
= 0 0 T cos
2
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững các công thức và trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 4, 5, 6 − SGK.
E. Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Ngµy: 22/01/2006
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập NguyÔn Tr·i
136
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Tiết PPCT: 69
Đ4. ứng dụng hình học và vật lí của tích phân
(Tiết 4: Luyện tập)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh thành thạo kỹ năng giải các bài toán tính diện tích hình phẳng nhờ ứng dụng tích
phân. Biết vận dụng công thức linh hoạt trong các tình huống cụ thể.
ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính diện tích hình phẳng nhờ vận dụng linh
hoạt công thức tích phân.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
a) y = 2x 2 + 2x + 3, y = 0, x = 0, x = 1
b) y = −x 2 + 3x, y = 0, x = −1, x = 2.
C. luyện tập
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Nội dung
Bài số 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ®êng sau:
a) y = x 2 + 1, y + x = 3
b) y = ln x, y = 0, x = e
c) x = y 3 , y = 1, x = 8
Híng dÉn gi¶i.
a) Cã y + x =3 y =x+3
Phơng trình hoành độ giao Hoành độ giao điểm của hai đờng dà cho là nghiệm của phơng
điểm?
x = 1
2
2
trình: x + 1 = 3 x ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔
- Công thức tính S?
x = 2
Do đó diện tích hình phẳng cần tính là:
1
Tính tích phân tơng ứng?
S1 = ∫ x 2 + 1 − (3 − x) dx =
−2
∫
1
−2
(x 2 + x − 2)dx =
1
x3 x 2
1 1
8 4
9
= + − 2x ÷ = + − 2 ÷− − + + 4 ÷ =
3 2
2
3 2
−2 3 2
b) Hoành độ giao điểm của các đờng y = lnx vµ y =0 tháa m·n:
lnx = 0 x = 1.
e
Tính
e
1
ln xdx ?
e
Diện tích hình phẳng cần tính là: S 2 = 1 ln x dx = ∫1 ln xdx
dx
u = ln x du =
Đặt
x
dv = dx v = x
S 2 = ( x ln x ) 1 − ∫ dx = e − x 1 = 1
e
e
e
1
T¬ng tù xÐt c©u c)?
S=?
c) Cã x = y 3 ⇔ y = 3 x .
Hoành độ giao điểm của y = 3 x và y =1 là nghiệm của phơng
trình : 3 x = 1 ⇔ x = 1
⇒ DiƯn tÝch h×nh phẳng cần tính là:
8
8
17
S 3 = 3 x 1 dx = ∫ 3 x − 1 dx =
1
1
4
Bµi số 2. Tính diện tích các gình phẳng giới hạn bởi:
(
)
HĐ 3:
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lËp NguyÔn Tr·i
137
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Xác định hình phẳng cần tính?
Giải phơng trình cosx=0?
Công thức xác định S?
-Tính tích phân tơng ứng?
a) x = , x = π, y = 0, y = cos x
2
b) y = x(x − 1)(x − 2), y = 0
Hớng dẫn giải.
a) Phơng trình hoành độ giao điểm của y =cosx vµ y =0 lµ:
π
π π π π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ , c¸c nghiƯm thuéc − ; : − ,
2
2 2 2 2
Do đó diện tích của hình phẳng cần tính lµ:
π
π
S = ∫ π2 cos x dx + ∫π cos x dx =
−
2
2
π
∫
π
2
−π
2
cos xdx +
∫
π
π
cos xdx
2
π
2
sin x − π + sin x π = 3 .
2
T¬ng tù, xÐt b)?
2
b) Cã x(x-1)(x-2)=0 ⇔ x =0, x= 1, x=2.
2
1
2
⇒ S = ∫ x(x − 1)(x − 2) dx = ∫ x 3 − 3x 2 + 2x dx + ∫ x 3 3x 2 + 2x dx
0
Viết phơng trình tiếp tuyến của
(P) tại M?
Tính
3
0
x 2 6x + 9 dx ?
0
1
1
0
1
2
Bài số 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):
f (x) = x 2 − 2x + 2 , tiếp tuyến của nó tại M(3; 5) và trục tung.
Hớng dẫn giải.
Phơng trình tiếp tuyến của (P) tại M(3;5)
là: g(x)= 4x-7.
=
H§ 4:
1
∫ (x
− 3x 2 + 2x)dx +
3
3
∫
2
(x 3 − 3x 2 + 2x)dx =
3
⇒ S = ∫ f (x) − g(x) dx = ∫ x 2 − 6x + 3 dx
0
=
( x − 3)
3
0
3 3
=9
0
D. Cñng cè – hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững các công thức và trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 4, 5, 6 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Ngày: 5/02/2006
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi
138
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Tiết PPCT: 70
Đ4. ứng dụng hình học và vật lí của tích phân
(Tiết 5: Luyện tập)
A. Mục tiêu.
ã Kiến thức:
Học sinh nắm vững chắc công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cong
không là đồ thị của các hàm số.
ã Kỹ năng:
Vận dụng đợc các công thức tính diện tích hình phẳng đà học để giải đợc các bài toán cụ
thể.
ã Rèn luyện t duy thuật toán và tính chính xác trong giải toán.
B. kiểm tra và đánh giá.
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C 1): y =f(x) và (C2): y=g(x) liên tục
và cắt nhau.
áp dụng: (C1): y = 2- x2; (C2): y = -x. Đáp số: S =
9
2
C. luyện tập
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Nội dung
Bài số 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y 2 = 2 x +1 và y = x-1
y
Hớng dẫn giải.
- Xác định trên hình vẽ miền
Cách 1: Tọa độ giao điểm của
cần tính diện tích?
các đờng đà cho là nghiệm của
- Hoành độ giao điểm?
- Tính diện tích theo biến x?
hƯ:
y= x− 1
2
y = 2x + 1
x
⇒ Hoµnh ®é giao ®iĨm: x = 0;
x = 4.
Tõ h×nh vÏ ta có diện tích hình
phẳng cần tính là:
S = 2
0
1
2
2 x + 1 dx +
4
0
0
cách khác?
HĐ 3:
2 x + 1 − ( x − 1) dx
3
2
1
= ( 2 x + 1) 3
+ ( 2 x + 1) 2
2 1
3
3
−
2
4
0
4
x2
16
−
2 − x = 3 (dvdt )
0
C¸ch 2: Xem x là hàm số của biến y, thì hình phẳng đà cho đ-
1
1
Tung độ giao điểm?
ợc giới hạn bởi các đờng: x = y+1 và x = y 2 .
2
2
Khi đó các đờng cong có phơng
Phơng trình tung độ giao điểm:
trình nh thế nào?
1
1
y + 1 = y 2 − ⇔ y = −1 ∨ y = 3
2
2
VËy diện tích cần tính là:
Diện tích?
3 1
3 1
1
3
S = ∫ y 2 − −( y +1) dy = ∫
y 2 − y − dy
−
1
− 2
1
2
2
2
=
H§ 4:
1
3
3
16 16
1 2
1 3 1 2 3
∫−1 2 y − y − 2 dy = 6 y − 2 y − 2 y −1 = − 3 = 3
3
Bài số 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y = x 2 và x = y 2
-1
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập NguyÔn Tr·i
O
139
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Xác định hình phẳng cần tính diện
tích?
Công thức?
Tính các tích phân tơng ứng?
Hớng dẫn giải.
Tọa độ giao điểm là nghiƯm
cđa hƯ:
y = x2 x = − 1; y = 1
2⇔
x = − y x = ;0 y = 0
Diện tích hình phẳng cần tÝnh
lµ:
VËy S =?
0
0
S =∫
−x −x 2 dx = ∫
−
1
−
1
2
3
x3
= − ( − x ) 2 −
3
3
H§ 5:
(
)
−x −x 2 dx
0
2 1
1
= + =
3 3
3
1
(đvdt)
Bài số 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y 2 = ( 4 − x ) vµ y 2 = 4 x
3
Hình phẳng cần tính diện tích?
Xác định topạ độ giao điểm?
Tính các tích phân tơng ứng?
y
Hớng dẫn giải.
Tọa ®é giao ®iĨm lµ nghiƯm
cđa hƯ:
y2 = (4 − x)3
2 (0 ≤ x ≤ 4)
y = 4x
O
x
4
⇒ x =2 là nghiệm duy nhất.
Từ hình vẽ ta có:
S = 2 ∫
0
2
4
4 x dx + ∫
2
(4 − x ) 3 dx
Đặt 4 x = t 2 dx = −2tdt ; Khi x =2 ⇒ t =
Do ®ã:
2; = 4 ⇒ t = 0
VËy S = ?
4
∫
2
0
( 4 −x ) 3 dx = ∫ t 3 ( t )dt = 2
2
2
2
Lại có:
0
Nên S =
4 x dx = 2.
0
2
x
3
3 2
2
0
=
2
t 4 dt = 2.
1 5
t
5
2
=
0
8 2
5
8 2
3
16 2 16 2 128 2
(®vdt)
+
=
3
5
15
D. Cđng cè – hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững các công thức và trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 4, 5, 6 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng – Trêng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
140
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 05/02/2006
Tiết PPCT: 71
Đ4. ứng dụng hình học và vật lÝ cđa tÝch ph©n
(TiÕt 6: Lun tËp− TÝnh thĨ tÝch của các vật thể)
A. Mục tiêu.
ã Kiến thức:
Học sinh nắm vững chắc công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay.
ã Kỹ năng:
Vận dụng đợc các công thức tính thể tích vật thể tròn xoay đà học để giải đợc các bài toán
cụ thể.
ã Rèn luyện t duy thuật toán và tính chính xác trong giải toán.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y =f(x) liên tục trên [a; b], trục Ox
và các đờng thẳng x =a; x =b quay quanh trục Ox tạo nên vật thể T. Nêu công thức tính VT?
áp dụng: (C): y=x23x+2; a=1, b = 2
C. luyện tập
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Nội dung
Bài số 1. Tính thể tích của các vật thể tròn xoay sinh ra bởi
mỗi hình phẳng giới hạn bởi các ®êng sau ®©y khi quay quanh
trơc Ox.
a) y = 0, y = 2x − x 2
b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π
4
2
c) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
x
PT hoành độ giao điểm?
Công thức tính V?
d) y = x.e 2 , y = 0, x = 0, x = 1
Hớng dẫn giải.
a) PT hoành độ giao điểm: 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0, x = 2 .
⇒ ThĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay đà cho là:
V = ( 2x x 2 ) dx = π ∫ (4x 2 − 4x 3 + x 4 )dx
2
Tính tích phân tơng ứng?
Thể tích nµy tÝnh nh thÕ nµo?
2
0
0
4
x 5 16π
= π x 3 − x 4 + ÷ =
5 0 15
3
π
π 1 + cos 2x
dx =
b) Cã V = π ∫0 4 cos 2 xdx = 0 4
2
2
- Tính tích phân tơng ứng?
4
4
π4
π 4 π
π2 π
= ∫ dx + ∫ cos 2xdx = x + sin 2x =
−
2 0
4 0
2 0
4
8 4
0
C«ng thøc tÝnh?
1 − cos 2x
c) V = π∫ sin xdx = π∫
÷ dx =
0
0
2
π
π
= ∫ ( 1 − 2 cos x + cos 2 2x ) dx =
4 0
π π
π π
π π 1 + cos 4x
= ∫ dx − ∫ cos 2xdx + ∫
dx =
4 0
4 0
4 0
2
TÝnh
∫
π
0
∫
π
0
π
sin 4 xdx ?
cos 2 2xdx
π
4
2
π
=
π2 π
π π
π π
1
π2
− sin 2x + ∫ dx + ∫ cos 4x. d4x =
4 4
8 0
8 0
4
4
0
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
141
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
⇒ V=?
H§ 3:
d) Cã: V = π ∫ x 2 e x dx .
C«ng thøc tÝnh V?
u = x
du = 2xdx
Đặt
x
x
dv = e dx v = e
1
0
2
Tính
1
x e dx ?
2 x
0
PP tích phân từng phần?
2 x
2 x
x
x
V = π∫0 x e dx = π ( x e ) − π ∫0 2xe dx = πe − 2 0 xe dx
1
1
1
1
0
u1 = x
du1 = dx
Đặt
x
x
dv1 = e dx v1 = e
⇒
∫
1
0
xe x dx = ( xe x ) − ∫ e x dx = e − e + 1 = 1
1
1
0
0
⇒ V = πe 2
Bài số 2. Cho D là miền đợc giới hạn bởi các đờng y = 0 và y
HĐ 4:
=2x-x2. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ra do D quay
quanh trơc Oy.
Híng dÉn gi¶i.
x = 1 + 1 − y
2
2
Cã y = 2x − x ⇔ x − 2x + y = 0 ⇔
Chun vỊ hµm sè biến y?
x = 1 1 y
D đợc giới hạn bởi những đờng Vậy thể tích V cần tính là thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra
nào?
khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y = 0, y = 1
x = f (y) = 1 + 1 − y
x = g(y) = 1 1 y
Công thức tìm V?
2
2
1
V = 0 1 + 1 − y − 1 − 1 y dy =
(
Tính tích phân tơng ứng?
= 4
1
0
) (
)
1
3
8
8π
1 − ydy = − π ( 1 − y ) 2 =
3
3
0
D. Cđng cè – híng dÉn c«ng viƯc ở nhà:
HĐ 5: Nắm vững các công thức và trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập phần ôn tập chơng III.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lËp NguyÔn Tr·i
142
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 10/02/2006
bài tập ôn chơng III
Tiết PPCT: 72
(Tiết 1)
A. Mục tiêu.
ã Kiến thức:
Định nghĩa nguyên hàm và tích phân, bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và
tích phân, các phơng pháp tính tích phân.
ã Kỹ năng:
Thuần thục trong việc tính nguyên hàm, tích phân
B. hệ thống hoá.
HĐ 1: Định nghĩa nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm cơ bản.
Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.
HĐ 2: Các phơng pháp tính tích phân:
- Phân tích, dùng định nghĩa.
- Đổi biến số dạng 1, dạng .
- Tích phân từng phần.
Một số dạng tích phân thờng gặp:
- Tích phân các hàm số hữu tỉ.
- Tích phân hàm chứa GTTĐ, căn thức.
- Tích phân hàm số lợng giác, hàm mũ và lôgarít.
C. luyện tập
Phân bậc hoạt động
HĐ 3:
Nội dung
Bài số 1. Tính các tích phân:
1
xdx
a) I1 = ∫ 2
0 x + 3x + 2
e sin(ln x)
b) I 2 = ∫
dx
1
x
2
c) I3 = ∫ x ln(x 2 + 1)dx
1
Hớng dẫn giải.
Cách tính tích phân hs hữu tỉ?
Tính tích phân tơng ứng?
Tính tích phân này nh thế nào?
PP đổi biÕn sè?
x
2
1
=
−
x + 3x + 2 x + 2 x + 1
1 2dx
1 dx
1 2d(x + 2)
1 d(x + 1)
−∫
=∫
−∫
Do ®ã I1 = ∫0
0
x + 2 0 x +1 0 x + 2
x +1
1
1
9
= 2 ln x + 2 0 ln x + 1 0 = ln
8
dx
b) Đặt t=lnx ⇒ ⇔ dt =
.
x
§ỉi cËn: x = 1, t =0; x = e, t =1.
a) Ph©n tÝch:
1
2
I 2 = ∫ sin tdt = − cos t 0 = 1 − cos1
1
0
Cách tính tích phân dạng này?
PP tích phân từng phần?
Xác ®Þnh du, v?
2x
du =
dx
u = ln(1 + x 2 )
1+ x2
c) Đặt
dv = xdx
v = 1 (1 + x 2 )
2
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trêng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
143
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
2
2
1
5
x2
2
2
⇒ I3 = (x + 1) ln(x + 1) − ∫1 xdx = ln 5 − ln 2 −
1
2
2
2
5
3
= ln 5 ln 2
2
2
Bài số 2. Tính các tÝch ph©n sau:
π
dx
a) J1 = ∫π 4 2
6 sin x cot gx
H§ 4:
1
0
4
b) J 2 = ∫ x 2 − x 6 dx
4
Cách tính tích phân này?
Xác định dt?
PP tính tích phân chứa GTTĐ?
Chia thành những khoảng nào?
Hớng dẫn giải.
dx
sin 2 x
Đổi cận: x = , t = 3; x = , t = 1
6
4
3
1 dt
3 −1
1
= ∫ t 2 dt = 2t 2 = 2 4 3 − 2
⇒ J1 = − ∫ 3
1
1
t
2
b) Cã x − x − 6 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 3
2
x − x − 6, khi x < −2 ∨ x > 3
x2 − x − 6 = 2
⇒
− x + x + 6, khi − 2 < x < 3
a) Đặt t=cotgx dt = −
−2
3
4
2
2
2
⇒ J 2 = ∫−4 (x − x − 6)dx − ∫−2 (x − x − 6)dx + ∫3 (x x 6)dx
2
GV hớng dẫn hs về nhà giải.
3
4
x3 x 2
x3 x 2
x3 x 2
= − − 6x ÷ + − − 6x ÷ + − − 6x ÷ = 3
2
2
2
3
−4 3
2 3
3
Bài số 3. Tính các tích ph©n:
1
xdx
a) I = ∫ 2
;
0 x +x+6
e ln x
b) J = ∫
dx
1
x
D. Cđng cè – híng dÉn c«ng viƯc ë nhà:
HĐ 5: Nắm vững các phơng pháp tính tích phân và trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Bài tËp sè 3 – SGK..
E. Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập NguyÔn Tr·i
144
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 15/02/2006
bài tập ôn chơng III
Tiết PPCT: 73
(Tiết 2)
A. Mục tiêu.
ã Kiến thức:
ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay, các công thức
liên quan.
ã Kỹ năng:
Thuần thục kỹ năng vận dụng các công thức, các kỹ thuật liên quan để giải toán.
B. hệ thống hoá.
HĐ 1: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y=f(x), y=g(x), x =a, x =b.
Các bớc tiến hành bài toán tín diện tích hình phẳng.
Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay.
C. luyện tập
Phân bậc hoạt động
HĐ 2:
Nội dung
Bài số 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
a) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a(a > 0)
b) y 2 = 4x; y = x.
Hớng dẫn giải.
Công thức tính diện tích?
Xác định cận tích phân?
Tính tích phân tơng ứng?
Tìm toạ độ giao điểm?
Cách tính diện tích?
4
(x 0)
x
Diện tích hình phẳng cần tính lµ:
3a 4
3a 4dx
3a
S=∫
dx = ∫
= 4 ln x a = 4 ln 3a − ln a = 4 ln 3
a
a
x
x
b) Phơng trình tung độ giao điểm:
y = 0
y2
=y
4
y = 4
DiƯn tÝch cÇn tÝnh:
a) Cã xy = 4 ⇔ y =
S=∫
4
0
y2
− y dy =
4
4
y2
y3 y 2
8
− y ÷dy = − ÷ =
∫0 4
12 2 0 3
4
HĐ 3:
Bài số 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay
hình phẳng giíi h¹n bëi:
1 x
a) y = x 2 e 2 , x = 1, x = 2, y = 0 quanh Ox.
b) y = ln x, x = 1, x = 2, y = 0 quanh Ox.
c) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1 quanh Ox, quanh Oy.
Hớng dẫn giải.
Công thức tính V?
a) Có V = π∫ y 2dx = π∫ xe x dx
TÝnh tÝch phân tơng ứng?
2
1
2
1
u = x
du = dx
Đặt
x
x
dv = e dx v = e
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trêng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
145
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
2
x 2
x
2
2
2
⇒ V = π xe 1 − ∫1 e dx = π 2e − e − e + e = πe
TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thể đà cho?
PP tích phân từng phần?
2
b) Có V = π ∫ ln 2 xdx
1
2 ln xdx
u = ln 2 x du =
Đặt
x
dv = dx
v = x
2
2
2
2
V = π (x ln x) 1 − ∫1 ln xdx = π 4 ln 2 − ∫1 ln xdx
1
u = ln x du = dx
Đặt
x
dv = dx v = x
⇒
∫
2
1
2
ln xdx = x ln x 1 − ∫ dx = 2 ln 2 − 1
2
1
Suy ra V = π [ 3ln 2 − ln 2 + 1] = π(2 ln 2 + 1)
c) Ph¬ng trình hoành độ giao điểm của các đờng y 2 = x 3 và
HĐ 4: Xác định hoành độ giao x=0 là:
điểm?
x 0
x=0
3
x =0
Công thức tính V khi quay quanh
• ThĨ tÝch cđa vËt thĨ khi quay quanh trôc Ox:
trôc Ox?
TÝnh V khi quay quanh Oy?
1
x4
π
VOx = π ∫ x dx = π
=
0
4 0 4
• ThĨ tÝch của vật thể tạo thành khi quay quanh quanh trục Oy:
VOy = V1 − V2
Víi V1 lµ thĨ tich cđa hình trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình
phẳng giới h¹n bëi: x=1, y =0, y= 1 quanh Oy ⇒ V1 = .
V2 là thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đờng: x = 3 y 2 , y = 0, y = 1 khi quay quanh
1
3
3π
.
7
3π 4π
=
⇒ V = π−
7
7
Oy ⇒ V2 =
D. Cđng cè – híng dÉn c«ng viƯc ë nhà:
HĐ 5: Nắm vững các công thức tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay?
Bài tËp vỊ nhµ: Bµi tËp ë SBT..
E. Rót kinh nghiƯm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT D©n lËp Ngun Tr·i
146
