Toán 11 Nhận dạng tam giác

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠN G TAM GIÁC
I. TÍNH CÁ C GÓ C CỦ A TAM GIÁ C
Bà i 201: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u :
sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) =

Do

A+B+C= π

Nê n :

( *) ⇔ sin A + sin B − cos C =

3
2

( *)

3
2
A+B
A−B ⎛
C
⎞ 3
⇔ 2 sin
cos
− ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ =
2
2
2
⎝

⎠ 2
C
A−B
C 1
⇔ 2 cos cos
− 2 cos2 =
2
2
2 2
C
C
A−B
⇔ 4 cos2 − 4 cos cos
+1 = 0
2
2
2
2

C
A − B⎞
⎛
2 A − B
⇔ ⎜ 2 cos − cos
=0
⎟ + 1 − cos
2
2 ⎠
2
⎝

2

⇔

⇔

⇔

⇔

Bà i 202:

C
A − B⎞
⎛
2 A − B
=0
⎜ 2 cos − cos
⎟ + sin
2
2 ⎠
2
⎝
C
A−B
⎧
⎪⎪2 cos 2 = cos 2
⎨
⎪sin A − B = 0
⎪⎩

2
C
⎧
⎧C π
⎪⎪2 cos 2 = cos 0 = 1
⎪ =
⇔ ⎨2 3
⎨
A
−
B
⎪
⎪⎩ A = B
=0
⎪⎩ 2
π
⎧
⎪⎪ A = B = 6
⎨
⎪C = 2π
⎪⎩
3

Tính cá c gó c củ a ΔABC biế t :
cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) +

5
= 0 (*)
2

5
Ta có : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡⎣cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤⎦ + = 0
2


⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0
2

⇔ ⎡⎣2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤⎦ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0
2

⇔ ⎡⎣2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤⎦ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0
⎧sin ( B − C ) = 0
⎧B − C = 0
⎪
⎪
⇔⎨
⇔⎨
3
3
cos ( B − C )
⎪cos A =
⎪cos A =
⎩
2
2
⎩
⎧⎪ A = 300
⇔⎨
0

⎪⎩B = C = 75

Bà i 203: Chứ n g minh ΔABC có C = 1200 nế u :
A
B
C
sin A + sin B + sin C − 2 sin ⋅ sin = 2 sin (*)
2
2
2
Ta có

A+B
A−B
C
C
A
B
C
cos
+ 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin
2
2
2
2
2
2
2
B
C

A−B
C
C
A+B
A
⇔ 2 cos cos
+ 2 sin cos = 2 cos
+ 2 sin sin
2
2
2
2
2
2
2
C⎛
A−B
C⎞
A
B
⇔ cos ⎜ cos
+ sin ⎟ = cos ⋅ cos
2⎝
2
2⎠
2
2

(*) ⇔ 2 sin

C⎡
A−B
A + B⎤
A
B
+ cos
= cos cos
cos
⎢
⎥
2⎣
2
2 ⎦
2
2
C
A
B
A
B
⇔ 2 cos cos cos = cos cos
2
2
2
2
2
C 1
A
B
A B π

(do cos > 0 và cos > 0 vì 0 < ; < )
⇔ cos =
2
2 2
2
2 2 2
0
⇔ C = 120
⇔ cos

Bà i 204: Tính cá c gó c củ a ΔΑΒC biế t số đo 3 gó c tạ o cấ p số cộ n g và
3+ 3
sin A + sin B + sin C =
2
Khô n g là m mấ t tính chấ t tổ n g quá t củ a bà i toá n giả sử A < B < C
Ta có :
A, B, C tạ o 1 cấ p số cộ n g nê n A + C = 2B
π
Mà
A + B + C = π nê n B =
3
3+ 3
Lú c đó :
sin A + sin B + sin C =
2


π
3+ 3
+ sin C =

3
2
3
⇔ sin A + sin C =
2
A+C
A −C 3
⇔ 2 sin
=
cos
2
2
2
B
A −C 3
⇔ 2 cos cos
=
2
2
2
⎛ 3⎞
A−C 3
⇔ 2. ⎜⎜
=
⎟⎟ cos
2
2
⎝ 2 ⎠
⇔ sin A + sin

⇔ cos

π
C−A
3
=
= cos
2
2
6

Do C > A nê n ΔΑΒC có :
π
⎧C − A π
⎧
⎪ 2 =6
⎪C = 2
⎪
⎪
2π
π
⎪
⎪
⇔ ⎨A =
⎨C + A =
3
6
⎪
⎪
π

π
⎪
⎪
⎪B = 3
⎪B = 3
⎩
⎩
Bà i 205: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u

⎧⎪ b2 + c2 ≤ a 2
⎨
⎪⎩sin A + sin B + sin C = 1 + 2

(1 )
( 2)

b2 + c 2 − a 2
2bc
2
2
2
Do (1):
b + c ≤ a nê n cos A ≤ 0
π
π A π
Do đó :
≤A<π⇔ ≤
<
2
4 2 2

A
π
2
Vậ y
cos ≤ cos =
( ∗)
2
4
2
B+C
B−C
Mặ t khá c : sin A + sin B + sin C = sin A + 2 sin
cos
2
2
A
B−C
= sin A + 2 cos cos
2
2
⎛ 2⎞
B−C
⎛
⎞
≤ 1⎟
≤ 1 + 2 ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ 1 ⎜ do ( * ) và cos
2
⎝
⎠

⎝ 2 ⎠
Á p dụ n g đònh lý hà m cosin: cos A =

Mà sin A + sin B + sin C = 1 + 2

do (2)


⎧
⎪sin A = 1
⎪
A
2
⎪
⇔
Dấ u “=” tạ i (2) xả y ra ⇔ ⎨cos =
2
2
⎪
B−C
⎪
⎪⎩cos 2 = 1

π
⎧
⎪⎪ A = 2
⎨
⎪B = C = π
⎪⎩
4

Bà i 206: (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2004)
Cho ΔABC khô n g tù thỏ a điề u kiệ n
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3
( *)
Tính ba gó c củ a ΔABC
M = cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3
B+C
B−C
Ta có: M = 2 cos2 A + 4 2 cos
cos
−4
2
2
A
B−C
⇔
M = 2 cos2 A + 4 2 sin cos
−4
2
2
A
B-C
Do
sin > 0 và cos
≤1
2
2
A
Nê n M ≤ 2 cos2 A + 4 2 sin − 4

2
π
ΔABC khô n g tù nê n 0 < A ≤
Mặ t khá c :
2
⇒ 0 ≤ cos A ≤ 1

* Cá ch 1:

Đặt

Do đó :

⇒ cos2 A ≤ cos A
A
M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4
2
A⎞
A
⎛
⇔ M ≤ ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 4 2 sin − 4
2⎠
2
⎝
A
A
⇔ M ≤ −4 sin2 + 4 2 sin − 2
2
2
2

A
⎛
⎞
⇔ M ≤ −2 ⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0
2
⎝
⎠
Do giả thiế t (*) ta có M=0
⎧
⎪cos2 A = cos A
⎪
0
B−C
⎪
⎪⎧ A = 90
Vậ y : ⎨cos
=1 ⇔ ⎨
0
2
⎪⎩B = C = 45
⎪
A
1
⎪
⎪sin 2 = 2
⎩

* Cá c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 = 0

B+C
B−C
−2=0
cos
2
2
A
B−C
⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 2 sin cos
−2=0
2
2
A⎞
A
B−C
⎛
⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 2 2 sin cos
−2=0
2⎠
2
2
⎝
⇔ cos2 A + 2 2 cos

2

A
B − C⎞ ⎛
⎛

2 B − C⎞
⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos
⎟=0
⎟ − ⎜ 1 − cos
2
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
2

A
B − C⎞
⎛
2 B −C
⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos
= 0 (*)
⎟ − sin
2
2 ⎠
2
⎝
Do ΔABC khô n g tù nê n cos A ≥ 0 và cos A − 1 < 0
Vậ y vế trá i củ a (*) luô n ≤ 0
⎧
⎪cos A = 0
⎪
A
B−C
⎪
⇔ ⎨ 2 sin = cos

Dấ u “=” xả y ra
2
2
⎪
B−C
⎪
⎪⎩sin 2 = 0
0
⎪⎧ A = 90
⇔⎨
0
⎪⎩B = C = 45
Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có ít nhấ t 1 gó c 60 0 khi và chỉ khi
sin A + sin B + sin C
= 3 (*)
cos A + cos B + cos C
Ta có :
(*) ⇔ sin A − 3 cos A + sin B − 3 cos B + sin C − 3 cos C = 0

(

) (

) (

)

π⎞
π⎞
π⎞

⎛
⎛
⎛
⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 0
3⎠
3⎠
3⎠
⎝
⎝
⎝
π⎞
A−B
⎛ A + B π⎞
⎛
⇔ 2 sin ⎜
− ⎟ cos
+ sin ⎜ C − ⎟ = 0
3⎠
2
3⎠
⎝ 2
⎝
⎡⎛ π C ⎞ π ⎤
A−B
⎛C π⎞
⎛C π⎞
⇔ 2 sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos
+ 2 sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0
2
⎝ 2 6⎠

⎝ 2 6⎠
⎣⎝ 2 2 ⎠ 3 ⎦

A−B
⎛C π⎞⎡
⎛ C π ⎞⎤
⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos
+ cos ⎜ − ⎟ ⎥ = 0
2
⎝ 2 6⎠⎣
⎝ 2 6 ⎠⎦
A−B
⎛C π⎞
⎛C π⎞
⎛π A + B⎞
⇔ sin ⎜ − ⎟ = 0 ∨ cos
= cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ −
⎟
2
2 ⎠
⎝ 2 6⎠
⎝ 2 6⎠
⎝3
C π A − B π A + B −A + B π A + B
⇔
= ∨
= −
∨
= −
2 6

2
3
2
2
3
2
π
π
π
⇔C= ∨A = ∨B=
3
3
3


Bà i 208: Cho ΔABC và V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chứ n g minh:
a/ Nế u V = 0 thì ΔABC có mộ t gó c vuô n g
b/ Nế u V < 0 thì ΔABC có ba gó c nhọ n
c/ Nế u V > 0 thì ΔABC có mộ t gó c tù
1
1
(1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 1
2
2
1
⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C
2
⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C

Ta có : V =

⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C
⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦
⇔ V = −2 cos C cos A cos B

Do đó :
a/
V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0
⇔ ΔABC ⊥ tạ i A hay ΔABC ⊥ tạ i B hay ΔABC ⊥ tạ i C
b/
V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0
⇔ ΔABC có ba gó c nhọ n
( vì trong 1 tam giác khô n g thể có nhiề u hơn 1 góc tù nê n
khô n g có trườ n g hợ p có 2 cos cù n g â m )
c/
V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0
⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0
⇔ ΔABC có 1 gó c tù .

II. TAM GIÁC VUÔNG
B a+c
=
2
b
Chứ n g minh ΔABC vuô n g

Bà i 209:

Cho ΔABC có cotg

Ta có :

cotg

⇔

⇔

⇔
⇔

B a+c
=
2
b

B
2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C
B
2R sin B
sin B
sin
2
B
A+C
A−C
cos
2 sin
. cos
2 =

2
2
B
B
B
sin
2 sin . cos
2
2
2
B
B
A−C
B
cos2
= cos . cos
(do sin > 0)
2
2
2
2
B
A−C
B
cos = cos
(do cos > 0)
2
2
2
cos

B A−C B C−A
=
∨ =
2
2
2
2
⇔ A = B+C∨C = A +B
π
π
⇔ A = ∨C=
2
2
⇔ ΔABC vuông tại A hay ΔABC vuông tại C
⇔

Bà i 210:

Ta có :
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

Chứ n g minh ΔABC vuô n g tạ i A nế u
b
c

a
+
=
cos B cos C sin B sin C
b
c
a
+
=
cos B cos C sin B sin C
2R sin B 2R sin C
2R sin A
+
=
cos B
cos C
sin B sin C
sin B cos C + sin C cos B
sin A
=
cos B.cos C
sin B sin C
sin ( B + C )
sin A
=
cos B.cos C sin B sin C
cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0)
cos B. cos C − sin B. sin C = 0

⇔ cos ( B + C ) = 0

π
2
⇔ ΔABC vuông tại A
⇔ B+C=

Bà i 211:

Cho ΔABC có :
A
B
C
A
B
C 1
cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*)
2
2
2
2
2
2 2
Chứ n g minh ΔABC vuô n g

Ta có :

A
B
C 1
A
B

C
cos cos = + sin sin sin
2
2
2 2
2
2
2
1⎡
A+B
A − B⎤
C 1 1⎡
A+B
A − B⎤
C
cos
cos
cos
sin
⇔ ⎢cos
+ cos
=
−
−
2⎣
2
2 ⎥⎦
2 2 2 ⎢⎣
2
2 ⎥⎦

2

(*) ⇔ cos

C
A − B⎤
C
C
A − B⎤
C
⎡
⎡
⇔ ⎢sin + cos
cos = 1 − ⎢sin − cos
sin
⎥
⎥
2
2 ⎦
2
2
2 ⎦
2
⎣
⎣
C
C
A−B
C
C

C
C
A−B
C
⇔ sin cos + cos
cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2

⇔ sin

C
C
A−B
C
C
A−B
C
cos + cos
cos = cos2 + cos
sin
2

2
2
2
2
2
2